Τα Μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής

Τα Μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής Πέμπτη 7 Μαΐου 2015 Α Αρσάκειο Γενικό Λύκειο Ψυχικού Υπεύθυνος Καθηγητής: Τριανταφύλλου Δήμος

Ή χ ο ς Ομάδα: Ηχολήπτες Ερμείδης Θάνος Ζαφειρόπουλος Παναγιώτης Ζορμπάς Μάριος Καραΐσκος Βασίλης Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 2

Ή χ ο ς Με τη φωνή μας, δηλαδή με τον ήχο που παράγουν οι φωνητικές μας χορδές, επικοινωνούμε με τους άλλους ανθρώπους. Οι ήχοι της φωνής των ανθρώπων οργανώνονται σε έναν κώδικα, που είναι η γλώσσα κάθε λαού, και μ' αυτόν τον κώδικα οι άνθρωποι μπορούν να συνεννοούνται. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 3

Ή χ ο ς Η ανάγκη των ανθρώπων να επικοινωνούν και να εκφράζουν τα συναισθήματά τους μέσα από τους ήχους, τους έκανε να αναπτύξουν τη μουσική. Ακόμα και οι πρώτοι πολιτισμοί είχαν κατασκευάσει μουσικά όργανα για να παίζουν μουσική και με αυτή να συνοδεύουν τις ευχάριστες αλλά και τις δυσάρεστες στιγμές τους. Οι άνθρωποι συνδέουν τις σκέψεις και τα αισθήματά τους με τις μελωδίες και τις μουσικές. Οι εμπειρίες και ο πολιτισμός των διαφορετικών λαών εκφράζονται μέσα από τις μουσικές τους. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 4

Ή χ ο ς Ο ήχος είναι η αίσθηση που προκαλείται λόγω της διέγερσης των αισθητηρίων οργάνων της ακοής από μεταβολές πίεσης του ατμοσφαιρικού αέρα. Αυτές οι μεταβολές διαδίδονται με τη μορφή ηχητικών κυμάτων. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 5

Η Φυσική του Ήχου Τα ηχητικά κύματα παράγονται από σώματα που εκτελούν μηχανικές ταλαντώσεις, δονήσεις, και επομένως χαρακτηρίζονται ως μηχανικά κύματα ελαστικότητας, που μεταφέρουν μηχανική ενέργεια. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 6

Χαρακτηριστικά του Ήχου Ένα ηχητικό κύμα χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες φυσικές ιδιότητες: Συχνότητα Περίοδος Μήκος κύματος Πλάτος ταλάντωσης Χρόνος Κυματομορφή Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 7

Χαρακτηριστικά του Ήχου Η συχνότητα εκφράζει την ταχύτητα ταλάντωσης και μετράται σε κύκλους ανά δευτερόλεπτο (Hertz, Hz). Γρηγορότερες ταλαντώσεις υψηλότερους ήχους. Βραδύτερες ταλαντώσεις χαμηλότερους ήχους. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 8

Χαρακτηριστικά του Ήχου Ένταση αποκαλείται το πόσο ισχυρή ή ασθενής είναι η ταλάντωση ενός σώματος. Πλατύτερες ταλαντώσεις επιφέρουν ηχητικά κύματα με μεγαλύτερη ένταση, ενώ σε ταλαντώσεις μικρότερου πλάτους το προϊόν είναι ασθενέστεροι ήχοι. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 9

Μη Νευτώνεια Υγρά Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 10

Ομάδα: Οι Μουσικοί Νιράκης Νίκος Μπάφης Δημήτρης Τοΐλου Δέσποινα Χαραλαμπίδη Δωράνθη Χρονοπούλου Μυρτώ Π υ θ α γ ό ρ α ς Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 11

Θέμα: Πυθαγόρας ο Σάμιος Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 12

Βασικά Στοιχεία Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών. Δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουράνιων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις. Ιδρυτής μυητικού φιλοσοφικού κινήματος: Πυθαγορισμός. Γνωστός για το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 13

Γεννήθηκα περίπου το 570 π.χ. Κατάγομαι από την Σάμο και μου αρέσουν τα ταξίδια Μετακόμισα στη Ν.Ιταλία Απεβίωσα το 500 π.χ. αλλά θα μετενσαρκωθώ! Ανέπτυξα φιλοσοφικές θεωρίες

Πυθαγόρεια Φιλοσοφία Για τον Πυθαγόρα, η σχέση των μαθηματικών και της μουσικής θα μπορούσε να αποδοθεί ως: Υπέρβαση των σωματικών περιορισμών και κάθαρση της ψυχής, για να μπορέσει η τελευταία να απελευθερωθεί από τον κύκλο της μετενσάρκωσης και να φτάσει τελικά στη θεότητα από την οποία προέρχεται. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 15

Ψυχή Ψυχή & & Σώμα Σώμα όριο & άπειρο (πέρας) όριο & άπειρο (πέρας) Εδώ η σύγκρουση είναι φαινομενική, γιατί το πέρας είναι αυτό που οργανώνει τον κόσμο. H ύψιστη έκφραση του πέρατος είναι ο αριθμός, ο οποίος αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της τάξης που βάζει το πέρας στον κόσμο. Θεωρία των Αριθμών

Κόσμος Αρμονία σώματος = ψυχή η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου. Ψυχή Ταυτότητα ετερότητα στάση κίνηση «Τετρακτύς» της ψυχής

Πυθαγόρας και Μουσική Όπως λέει μια ιστορία: «Ενώ ο Πυθαγόρας περπατούσε στο δρόμο άκουσε τον ήχο που προερχόταν από το κατάστημα ενός σιδηρουργού.» Ανακάλυψε έτσι ότι ο ήχος προέρχεται από τις δονήσεις των μεταλλικών φύλλων που χτυπιούνται από το σφυρί. Παρατήρησε ότι ο ήχος είχε σχέση με τον όγκο του σφυριού. Πειραματίστηκε σπίτι του με κουδούνια και ποτήρια με νερό και έβρισκε πάντοτε τις ίδιες σχέσεις: 1. Όσο πιο ογκώδες είναι ένα αντικείμενο, τόσο χαμηλότερος είναι ο τόνος του ήχου του. 2. Ο τόνος του ήχου τους είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το μήκος τους. Κατέληξε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι: οι αριθμητικές αναλογίες κυβερνούν τους νόμους της μουσικής αρμονίας κάτι που επρόκειτο να γίνει το αποτύπωμα των Πυθαγορείων, ο ακρογωνιαίος λίθος της παγκόσμιας εικόνας τους. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 18

Μουσικό Διάστημα Διάστημα Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 19

Μονόχορδο Το μονόχορδο υπήρξε αρχαίο μουσικό και επιστημονικό όργανο. Συνδέθηκε με το έργο του Πυθαγόρα, ο οποίος το χρησιμοποιούσε για να διδάσκει τους μαθητές του φιλοσοφία. Αν και η ονομασία του οργάνου παραπέμπει στη χρήση μίας και μόνο χορδής, στην πραγματικότητα δύο χορδές ήταν το πλέον σύνηθες. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 20

Μονόχορδο Στην απλούστερή του μορφή, το μονόχορδο φέρει μία χορδή που εκτείνεται επί ενός ακουστικού. Η χρήση κινητών τάστων επιτρέπει την ελεγχόμενη αλλοίωση του ύψους του τόνου, από την οποία προκύπτει η μεταξύ τους μαθηματική σχέση. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 21

Μονόχορδο Το μονόχορδο απεικονίστηκε σε δεκάδες πραγματείες των μουσικοθεωρητικών του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης ως το κύριο μέσο πρακτικής απόδειξης της σχέσης μαθηματικών και μουσικής. Υπήρξε δε, κύριο εργαλείο των οργανοποιών, μέχρις ότου αντικαταστάθηκε από το διαπασών. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 22

Μουσική και αριθμοί Μία από τις ανακαλύψεις του Πυθαγόρα αφορούσε το πεδίο της μουσικής. Τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας μπορούν να διατυπωθούν αριθμητικά ως αναλογίες μεταξύ των αριθμών. Οι αριθμοί αυτοί προστιθέμενοι μας δίνουν το 10. Αριθμό, που σύμφωνα με τον Πυθαγόρειο μυστικισμό ονομαζόταν τέλειος αριθμός. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 23

Μουσική και αριθμοί Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν μια σχέση απόλυτα σταθερή ανάμεσα στο μήκος των χορδών της λύρας και των βασικών συγχορδιών: 1/2 για την ογδόη 3/2 για την πέμπτη 4/3 για την τετάρτη H θαυμαστή ιδιότητα αυτών των αρμονικών σχέσεων έγκειτο στο ότι περιλάμβαναν τους τέσσερις πρώτους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4), το άθροισμα των οποίων ισούται με το 10 (Τετρακτύς). Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 24

Πυθαγόρας και Μουσική Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 25

Μουσικά όργανα Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 26

Κρουστά Χρησιμοποιούνταν κυρίως από γυναίκες σε λατρείες. Δεν ήταν καθαρά μουσικό όργανο γιατί κατά κύριο λόγο χρησιμοποιούνταν σε λατρευτικές εκδηλώσεις και όχι με σκοπό την ψυχαγωγία. Όργανα τα οποία κρατούνταν από γυναίκες για να διατηρούν το ρυθμό των χορευτών και είναι αντίστοιχα με τις σημερινές καστανιέτες. Η χρήση τους ήταν συγκεκριμένη αφού χρησιμοποιούνταν κυρίως στις διονυσιακές τελετές. Πρόκειται για όργανα κατασκευασμένα από μέταλλο και είναι ασιατικής προέλευσης. Κρουστό με οξύ ήχο που συνόδευε ρυθμικά τους χορευτές. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 27

Έγχορδα Η λύρα είναι ένα έγχορδο μουσικό όργανο, γνωστό για τη χρήση του στην Κλασική Αρχαιότητα. Η κιθάρα υπήρξε έγχορδο μουσικό όργανο της Αρχαιότητας, το οποίο ανήκε στην ευρύτερη οικογένεια της λύρας. Στην ίδια οικογένεια ανήκε και η βάρβιτος. Η βάρβιτος ή το βάρβιτον ήταν αρχαίο έγχορδο μουσικό όργανο, μια παραλλαγή της λύρας. Η Φόρμιγξ ήταν έγχορδο μουσικό όργανο της Ελληνικής αρχαιότητας, και συγκεκριμένα της εποχής του Ομήρου. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 28

Πνευστά Ο αυλός ήταν βασικό όργανο σε όλους τους εορτασμούς στην Αρχαία Ελλάδα. Σε παραστάσεις σε αγγεία συχνά φαίνεται ότι ο αυλός στερεωνόταν με μια δερμάτινη λωρίδα η οποία περνούσε γύρω από το κεφάλι και είχε άνοιγμα στην περιοχή των χειλιών. Η σύριγγα απαρτίζεται από μια σειρά ανισομηκών σωλήνων, κολλημένων μεταξύ τους με κερί και τοποθετημένων κατά τέτοιο τρόπο ώστε να παράγουν μια πλήρη διατονική κλίμακα. Ύδραυλις Η Ύδραυλις ήταν αρχαιοελληνικό αερόφωνο όργανο με ισχυρό και οξύ ήχο, χρησιμοποιούμενο στα θεάματα του ιππόδρομου και στη στρατιωτική μουσική. Η ύδραυλις ήταν επινόηση του μηχανικού Κτησίβιου του Αλεξανδρέα. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 29

https://www.youtube.com/watch?v=-1aaunaw1ga Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 30

«Μουσική είναι η απόλαυση που νιώθει η ανθρώπινη ψυχή, όταν μετράει χωρίς να ξέρει πως μετράει.» Ομάδα: ΜΙ ΛΑ ΡΕ ΣΙ Λιανοπούλου Μαρία Λογοθέτης Γιάννος Ντουσόπουλος Άγγελος Πουλή Ελένη Α ρ μ ο ν ί α Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 31

Σχέση Μαθηματικών και Μουσικής Για πολλούς ανθρώπους τα Μαθηματικά είναι μια ξένη γλώσσα. Δύσκολα, ψυχρά και ανούσια. Τις περισσότερες φορές, η διδασκαλία τους συνοδεύεται από συναισθήματα αδιαφορίας και απόρριψης. Αντιθέτως η Μουσική είναι ένας τρόπος έκφρασης συναισθημάτων! Έχει να κάνει με τη συγκίνηση, τη χαρά, τη λύπη και ό,τι απασχολεί τον άνθρωπο. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 32

Εισαγωγή στη θεωρία της μουσικής Η μουσική έχει τα δικά της σύμβολα, τα φθογγόσημα. Τα φθογγόσημα έχουν μόνο αξία, ενώ από τη στιγμή που γράφονται στο πεντάγραμμο, εκτός από αξία παίρνουν όνομα και ύψος (οξύτητα) και ονομάζονται φθόγγοι. Μισό Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 33

Στοιχεία φθόγγων Το ύψος (οξύτητα) του κάθε φθόγγου εξαρτάται από τη συχνότητά του, κάτι που καθορίζει τη θέση του στο πεντάγραμμο. Η διάρκεια του εξαρτάται από το σχήμα του. Η ένταση του εξαρτάται από τον τρόπο εκτέλεσης του. Η χροιά (timpre) εξαρτάται από το όργανο που εκτελεί τον φθόγγο. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 34

Παύσεις ΠΑΥΣΕΙΣ: είναι τα σημεία που μας φανερώνουν διακοπή της μουσικής για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Έχουν τις ίδιες αξίες όπως και οι φθόγγοι. Η αξία κάθε παύσης εξαρτάται από το σχήμα της. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 35

ΥΠΟΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΞΙΩΝ ΤΩΝ ΦΘΟΓΓΩΝ ΠΑΥΣΕΩΝ Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 36

ΜΕΤΡΑ Μέτρο λέγεται μία αναλλοίωτη κατάσταση που ρυθμίζει τα πάντα. Στη μουσική η έννοια Μέτρο σκοπό έχει να μας δώσει μία σταθερή κατάσταση μέτρησης των αξιών των φθόγγων και των παύσεων. Είναι καθαρά άψυχο υλικό στοιχείο όπου μέσα του ζωντανεύει ο ρυθμός που μορφοποιεί και πλάθει τα επί μέρους υλικά. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 37

Σύνθετοι ήχοι και Μαθηματικά Τι έχουν να πουν τα μαθηματικά για τους πιο σύνθετους ήχους και πώς εξηγείται το γλυκό άκουσμα μερικών ήχων και η κακοφωνία άλλων; Οι γραφικές παραστάσεις όλων των μουσικών ήχων και σ αυτό τον όρο συμπεριλαμβάνονται και οι συνηθισμένοι ήχοι της ανθρώπινης φωνής παρουσιάζουν µία κανονικότητα. Δηλαδή οι καμπύλες της μετατόπισης σε σχέση µε το χρόνο επαναλαμβάνονται µε απόλυτη ακρίβεια πολλές φορές το δευτερόλεπτο. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτής της περιοδικότητας είναι οι παραστάσεις των ήχων του βιολιού και του κλαρινέτου, όπως και της ανθρώπινης φωνής. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 38

Γραφικές Αναπαραστάσεις ήχων Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 39

Πυθαγόρας Μουσική των σφαιρών Όταν η μουσική υποβάλλεται σε αριθμητική αξία, μόνο τότε μπορεί να αποκτήσει ρυθμό και μελωδία. 3 Είδη Μουσικής : «Ενόργανη μουσική» «Ανθρώπινη μουσική» «Εγκόσμια μουσική» Κρούοντας χορδές λύρας. Δεν μπορούμε να την ακούμε. Δημιουργείται απ το σύμπαν. «Μουσική των Σφαιρών» Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 40

M o z a r t E f f e c t Ομάδα: Πεντάγραμμες Κορρέση Άρτεμις Ράντου Μαριάννα Ρέτσα Μαρία Τόγια Μαργαρίτα Τσιρίτα Έλενα Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 41

Η σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Μουσικής Μέσω μελετών έχουν ανακαλυφθεί πολλά στοιχεία που υποστηρίζουν τα θετικά αποτελέσματα της μουσικής στην ενίσχυση των μαθηματικών δεξιοτήτων. Οι περισσότερες έρευνες δείχνουν ότι τα παιδιά που εκπαιδεύονται στη μουσική σε νεαρή ηλικία τείνουν να βελτιώνουν τις μαθηματικές τους δεξιότητες στο μέλλον. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 42

Η σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Μουσικής Μια μελέτη που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Nature έδειξε ότι: σε παιδιά Α Δημοτικού που παρουσιάστηκε κάποιο σεμινάριο μουσικής και κρουστών, που είχε σχέση με παιχνίδια και άλλες δραστηριότητες, παρατηρήθηκε πως μετά από έξι μήνες τα παιδιά που συμμετείχαν στο σεμινάριο παρουσίασαν βελτίωση στα μαθηματικά, ενώ τα παιδιά που δεν συμμετείχαν δεν παρουσίασαν καμιά βελτίωση. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 43

Η σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Μουσικής Έχει αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο μορφές λογικής σκέψης. Η Spatial Temporal (ST). Χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες όπως το σκάκι και γενικώς σε καταστάσεις που απαιτείται να σκεφτόμαστε μελλοντικές κινήσεις. Η Language Analytical (LA). Συμμετέχει στην επίλυση των εξισώσεων και την απόκτηση ποσοτικών αποτελεσμάτων. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 44

Φαινόμενο Μότσαρτ Η επίδραση της μουσικής στα μαθηματικά ονομάζεται μερικές φορές «Φαινόμενο Μότσαρτ». Το φαινόμενο Μότσαρτ (Mozart Effect) είναι ονομασία που δόθηκε για να εξηγήσει τη στατιστικά σημαντική αύξηση όσον αφορά τη βαθμολογία σε τεστ μελέτης Spatial Temporal που παρατηρείται αμέσως μετά την ακρόαση μια σονάτας για πιάνο γραμμένη από τον Μότσαρτ. Το συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από τον Alfred A. Tomatis, ο οποίος χρησιμοποιούσε τη μουσική του Mozart στις έρευνές του αποσκοπώντας στο να θεραπεύσει μια σειρά διαταραχών. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 45

Φαινόμενο Μότσαρτ Μερικά πολύ βασικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για τη χωροχρονική συλλογιστική (spatial temporal reasoning) είναι: 1. Ο μετασχηματισμός και ο συσχετισμός που αφορά εικόνες στο χώρο και στο χρόνο. 2. Συμμετρίες των μοτίβων του εγγενή φλοιού του εγκεφάλου, που η πυροδότησή του χρησιμοποιείται για την σύγκριση εικόνων. 3. Φυσικές χρονικές ακολουθίες των μοτίβων του εγγενούς φλοιού. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 46

Φαινόμενο Μότσαρτ Οι ίδιοι άνθρωποι που διεξήγαγαν το πείραμα του Φαινομένου Μότσαρτ πρότειναν πως η χωροχρονική συλλογιστική είναι ζωτικής σημασίας για τα μαθηματικά. Ο τομέας των μαθηματικών που απαιτεί λογική ST είναι κατά κύριο λόγο η γεωμετρία αλλά υπάρχουν και ορισμένες πτυχές άλλων τομέων που απαιτούν το μετασχηματισμό εικόνων στο χώρο και το χρόνο. Σε ανώτερα μαθηματικά, η ικανότητα αποτύπωσης μαθηματικών αποδείξεων συνδέεται επίσης με την ST λογική, διότι η γραπτή απόδειξη είναι μια διαδικασία που απαιτεί διαίσθηση φυσικών ακολουθιών και την ικανότητα να σκεφτόμαστε πολλά βήματα μπροστά. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 47

Φαινόμενο Μότσαρτ Εν κατακλείδι, οι έρευνες που αφορούν την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής φαίνεται να δείχνουν ότι η μουσική ενισχύει τις δεξιότητες στα μαθηματικά. Ωστόσο, όσον αφορά το ζήτημα του κατά πόσον ή όχι η μουσική είναι το μαγικό συστατικό που θα ανυψώσει την ικανότητα του καθενός να κάνει με ευκολία μαθηματικές πράξεις, η απάντηση δυστυχώς είναι αρνητική. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 48

https://www.youtube.com/watch?v=r0jkcyz8hng Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 49

Σχέση μαθηματικών σχέσεων και μουσικής. Σε πρόσφατη συνέντευξη του ο Κος. Κοτζιάς Ηλίας μας είπε λίγα λόγια για τη ζωή του ως μουσικός και συνθέτης, κάποια λόγια για το θέμα του project του οποίου μελετάμε: «Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής» καθώς και για τον τρόπο σύνδεσης αυτών των δύο επιστημών μεταξύ τους. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 50

Σχέση μαθηματικών σχέσεων και μουσικής. «Συνθέτω και με όργανα και με υπολογιστές. Ειδικά όταν χρησιμοποίει κανείς ήχους συνταγμένους από υπολογιστή, τα μαθηματικά επιτελούν πάρα πολύ στη δημιουργία του ήχου και από θέμα φυσικής ακουστικής και από τον τρόπο σύνδεσης των ήχων μέσω των μαθηματικών.» «Πολλές φορές από αρκετούς μουσικούς συνθέτες εν αγνοία τους χρησιμοποιούνται μαθηματικές σχέσεις. Όταν κάτι διέπεται από μία σωστή αρμονική δομή, ένα μουσικό έργο δηλαδή, αυτόματα μέσα υπάρχουν μαθηματικές φόρμες και σχέσεις». Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 51

Σχέση μαθηματικών σχέσεων και μουσικής. Συνεπώς, υπάρχουν συνθέτες: Που γνωρίζουν μαθηματικά και τα χρησιμοποιούνε (για παράδειγμα ο γνωστός σε όλους μας Ι.Ξενάκης) Yπάρχουν και άνθρωποι που δεν έχουν ιδέα από μαθηματική πρακτική αλλά υπάρχει μαθηματική πρακτική στο έργο τους, όπως για παράδειγμα ο Σκαλκώτας ο οποίος δε γνώριζε μαθηματικά και όμως υπάρχουν μαθηματικά στην σύνθεση του. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 52

Ι ά ν ν η ς Ξ ε ν ά κ η ς Ομάδα: Πεντάγραμμες Κορρέση Άρτεμις Ράντου Μαριάννα Ρέτσα Μαρία Τόγια Μαργαρίτα Τσιρίτα Έλενα Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 53

Η ζωή του Ιάννη Ξενάκη Έλληνας συνθέτης και αρχιτέκτονας του 20ού αιώνα (29/5/1922 4/2/2001). Πήγε σε ρουμανικό σχολείο ενώ παράλληλα μελετούσε Ελληνικά. Το 1932 σπούδασε στις Σπέτσες στην Aναργύριο και Kοργιαλένιο Σχολή. Έκανε μαθήματα αρμονίας και πιάνου. Μελέτησε αρχαία ελληνική λογοτεχνία και πιάνο. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 54

Η ζωή του Ιάννη Ξενάκη Σπούδασε πολιτικός μηχανικός στο Μετσόβιο Πολυτεχνείο ενώ συγχρόνως έκανε μαθήματα ανώτερων θεωρητικών στη μουσική. Συνέβαλλε στον προβληματισμό για την κρίση της σύγχρονης ευρωπαϊκής μουσικής των δεκαετιών του 1950 και 1960. Ανέπτυξε πρωτοποριακές συνθετικές μεθόδους που συσχέτιζαν τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά και τη φυσική. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 55

Το μουσικό έργο του Ξενάκη Πρώτο του μουσικό έργο, σταθμός για ορχήστρα ήταν οι Μεταστάσεις. Αρχίζει να χρησιμοποιεί μαθηματικές και αρχιτεκτονικές έννοιες στη μουσική δομή σε αντίθεση με τον σειραϊσμό και την αντίληψη της γραμμικής κίνησης των μουσικών φθόγγων. Προβάλλει την έννοια των ηχητικών επιφανειών, τις «ηχητικές μάζες» ή «γαλαξίες» όπως τις ονόμαζε. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 56

Το μουσικό έργο του Ξενάκη Προσπάθησε, δηλαδή, να εφαρμόσει στη μουσική τους φυσικούς νόμους που διέπουν διάφορα φαινόμενα, όπως π.χ. το θρόισμα των φύλλων ενός δέντρου, την οχλοβοή μιας διαδήλωσης, το τερέτισμα των τζιτζικιών κ.ά., δημιουργώντας μια μουσική «ηχητικών μαζών», «συμπάντων» ή «γαλαξιών». Ο Ξενάκης χρησιμοποίησε ως βάση για τις περισσότερες συνθέσεις του μαθηματικά μοντέλα, με αποτέλεσμα να χαρακτηριστεί «νεοπυθαγόρειος» Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 57

Το μουσικό έργο του Ξενάκη Ο Ξενάκης εφαρμόζει ακόμα ένα πλήθος από μαθηματικές θεωρίες στο έργο του, όπως: 1. Η θεωρία των συνόλων, όπως την εφάρμοσε στο έργο του Έρμα για πιάνο. 2. Η θεωρία των παιγνίων. Στα έργα που εφαρμόζει τη θεωρία αυτή (Duel και Στρατηγική), υπάρχουν δύο μαέστροι που αντιδρούν ο ένας στις επιλογές του άλλου 3. Η άλγεβρα Boole, σε συνδυασμό με τη θεωρία των συνόλων. Η θεωρία αυτή χρησιμοποιείται στα έργα Έρμα και Εόντα και ονομάζεται από τον Ξενάκη «Συμβολική μουσική». Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 58

Το μουσικό έργο του Ξενάκη Ανάμεσα στις θεωρίες, τις οποίες χρησιμοποίησε ο Ξενάκης περιλαμβάνονται: Ο τύπος του Poisson. H κινητική θεωρία των αερίων. O νόμος των Maxwell Boltzmann. H έννοια της χρυσής τομής. H ακολουθία Fibonacci. Oι νόμοι των συνεχών πιθανοτήτων. Αλγοριθμικές διαδικασίες. Κίνηση Brown κ.ά. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 59

Το μουσικό έργο του Ξενάκη Σταμάτησε να συνθέτει το 1997 λόγω σοβαρών προβλημάτων υγείας. Το έργο του Ωμέγα (τελευταίο γράμμα του ελληνικού αλφάβητου) ήταν αυτό που έμελλε να κλείσει τον κύκλο της μεγάλης δημιουργικής περιπέτειας του. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 60

Έργο του Ιάννη Ξενάκη Δίδαξε σύνθεση στη Σορβόννη. Ανακηρύχτηκε διδάκτωρ και καθηγητής σε πολλά πανεπιστήμια Ευρώπης και Αμερικής. Πήρε πολλά διεθνή βραβεία και διακρίσεις. Διηύθυνε το Κέντρο Έρευνας για την Πρωτοποριακή Μουσική στο Παρίσι. Ίδρυσε στην Ελλάδα το Κέντρο Σύγχρονης Μουσικής Έρευνας, που αποτελούσε όνειρο της ζωής του. Στις 23 Ιανουαρίου του 2001 αναγορεύτηκε επίτιμος διδάκτωρ του Τμήματος Μουσικών Σπουδών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 61

Ιάννης Ξενάκης Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου, ενός χαρακτήρα, όπως είναι το ύψος, η ένταση, η πυκνότητα, ο βαθμός αταξίας. Στην ιστορία, πολλές φορές η μουσική σκέψη ήταν πρωτοπόρα απέναντι στη μαθηματική σκέψη. Οι Πυθαγόρειοι, για παράδειγμα, συσχέτιζαν το ύψος με το μήκος των χορδών. Για να βρούνε, ας πούμε, το διάστημα της ογδόης, έπρεπε να διαιρέσουν τη χορδή στα τέσσερα. Είναι διαίρεση με το δύο - πρόκειται για μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 62

Ιάννης Ξενάκης "Η μουσική γλώσσα έφτασε εν μέρει, και μπορεί ακόμη πιο πολύ να προχωρήσει, σε τέτοια αφαίρεση και τέτοια γενίκευση, ώστε να μπορεί να αποσπασθεί από τις τοπικές διαλέκτους και χροιές. Θα ονομάσω αυτό το φαινόμενο «αλγεβροποίηση» της μουσικής με το σύγχρονο περιεχόμενο της λέξεως «Άλγεβρα», το οποίο ταυτίζεται με τις θεμελιώδεις αρχές και νόμους της ανθρώπινης σκέψεως και λογικής." Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 63

Ευχαριστούμε πολύ για την προσοχή σας!!! Τα μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής 64