ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,τότε η σχέση Α Β σημαίνει στην κοινή γλώσσα: «Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β». β) Για όλους τους αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α β και γ>δ) αγ β δ Μονάδες γ) Η ανίσωση α x β, α 0 έχει λύσεις όλα τα x, με β x. α Μονάδες δ) Αν οι αριθμοί α, α, α 3, α 4, α 5, α6,...είναι όροι γεωμετρικής προόδου, τότε και οι αριθμοί α, α 4, α6,...είναι επίσης όροι γεωμετρικής προόδου. Μονάδες Μονάδες ε) Το συμμετρικό του σημείου A ( a, β) ως προς τον άξονα y y είναι το σημείο Γ( α, β). Μονάδες Α. Έστω το τριώνυμο αx βx γ, α 0 και Δ β 4αγ. Αν Δ=0, να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ Β β αx βx γ α x α Μονάδες 5 Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τις ρίζες του. x 3x. Μονάδες 0
β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 3 και x 3x 0. είναι λύσεις της ανίσωσης: x 3x 0 Μονάδες 5 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Γ Ο ν-οστός όρος μίας ακολουθίας α) Να βρείτε τον επόμενο όρο α ν. (α ν ) είναι αν 3ν. β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (α ν ), ν είναι αριθμητική πρόοδος, γ) Να βρείτε το άθροισμα των 30 πρώτων όρων της, δ) Να βρείτε την τάξη του όρου της που είναι ίσος με 6. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Ένα κλειστό στάδιο έχει 5 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη. α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά. Μονάδες 0 β) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του σταδίου. Μονάδες 5 γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την 7η μέχρι και την 4η σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου. Μονάδες 0
ΘΕΜΑ Α ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε α,β 0, ισχύει α β α β. Μονάδες ν ν β) Αν ο ν είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση x α έχει δύο λύσεις, τις x α και x α. Μονάδες γ) Ένα κερί καίγεται με σταθερό ρυθμό. Στο τέλος της ης ώρας είχε ύψος 36 cm, στο τέλος της ης ώρας είχε ύψος 33cm, στο τέλος της 3 ης ώρας είχε ύψος 30 cm κ.ο.κ.. Οι τιμές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελούν αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω 3. Μονάδες δ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( x) x είναι το διάστημα Δ (, ). Μονάδες ε) Η παραβολή y x x 5 δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x x. Μονάδες Α. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος, με απλά ενδεχόμενα ισοπίθανα. Αν τα Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του Ω, να αποδείξετε ότι: P( A B) P( A) P( B) P( A B) ΘΕΜΑ Β Μονάδες 5 Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 0% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι.
α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) A M ii) M A iii) M β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε : i) Να μην έχει μηχανάκι. ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. Μονάδες 9 Μονάδες 7 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ α) Να βρείτε με ποια οριζόντια και ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( x) 3x θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) 3x 5x. Μονάδες 3 β) Να κάνετε τι ίδιο και για η συνάρτηση φ( x) 3x 7x 4, θεωρώντας την h( x) 3 x. Μονάδες ΘΕΜΑ Δ Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : συνάρτησης g( x) x. και της
Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε: α) Τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει f ( x) x. β) Τις τιμές f ( ), f (0), f () γ) Τις τιμές τουx, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g. δ) Τις τιμές του x, για τις οποίες η παράσταση A f ( x) x έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Α 3 ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν (α, β, γ) γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η συνάρτηση f ( x) x 4x 4 εφάπτεται του άξονα x x στο σημείο A(, 0). Μονάδες β) Οι ευθείες ε και ε με εξισώσεις y 3x και y 3x αντιστοίχως είναι παράλληλες 3 Μονάδες Στις παρακάτω προτάσεις (γ, δ, ε) η σωστή απάντηση σε κάθε ερώτηση είναι μόνο μία. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση της κάθε ερώτησης. γ) Αν α β και γ 0, τότε: Α. αγ βγ Β. α γ β γ Γ. α β Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα γ γ δ) Η εξίσωση( x )( x ) 0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: Μονάδες Α. x x 0 Β. x x 0 Γ. x x 0 Δ. x x 0 ε) Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με B A, τότε: Μονάδες Α. P( A) P( B) Β. P( A) P( B) Γ. P( B) P( A) Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα Μονάδες Α.. Να αποδείξετε ότι ο ν-στός όρος μιας αριθμητικής προόδου ( αν ), ν, με πρώτο όρο α και διαφορά ω είναι: αν α (ν )ω Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Β x 4x μ Δίνεται η συνάρτηση g, με g( x), μ. x Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από το σημείο A(, 4) : α) να δείξετε ότι μ 6, β) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, γ) για μ 6 να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. Μονάδες 9 Μονάδες 9 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι αριθμοί: με: και: κ P( A), λ P( B) και μ P( A B) κ λ μ [ P( A)] [ P( B)] () 3 4 3 κ λ (), 4 3 όπου P(A) και P(B) οι πιθανότητες δύο ενδεχομένων Α και Β, αντίστοιχα, ενός δειγματικού χώρου Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: i) A B ii) A B Μονάδες 5 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Δ Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους m, με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm μεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό.
α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν -οστό όρο αυτής της προόδου. Μονάδες 5 β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του. γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού. Μονάδες 4 Μονάδες 4 δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό. i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε τον ν οστό όρο αυτής της προόδου. Μονάδες 7 ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιμέτωπα σε απόσταση cm. Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Α 4 ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν (α,β,γ) γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) αx, με α 0, είναι μία καμπύλη που λέγεται παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον y y. β) Οι αριθμοί 3 3,,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο 4 4 8 γ) Για κάθε α,β, γ ισχύει η ισοδυναμία α βα γ β γ. Μονάδες λ. Μονάδες Μονάδες Στις παρακάτω ερωτήσεις (δ και ε) να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν ισότητες και ισοδύναμες ή αληθείς σχέσεις ή προτάσεις. Στη στήλη Β υπάρχει ένα επιπλέον στοιχείο. Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. δ) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β. P(A ) α. P( B) P( A B). P( B A) β. 0 3. P( Ω) γ. P( A) δ. Μονάδες ε) Το τριώνυμο αx βx γ 0, α 0 γράφεται: ΣΤΗΛΗ Α (Αν...). Δ 0. Δ 0 β. ΣΤΗΛΗ Β (τότε...) β α. αx βx γ α x α αx βx γ α( x x)( x x) 3. Δ 0 γ. β Δ x x x α 4α α β γ α δ. αx βx γ (αx γ) Μονάδες
Α. Έστω δύο ευθείες ε και ε με εξισώσεις y αx β και y αx β αντιστοίχως και ω και ω οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές με τον άξονα x x γωνίες αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι αν α α, τότε οι ευθείες ε και ε τέμνονται. ΘΕΜΑ Β Δίνεται αριθμητική πρόοδος α) Να δείξετε ότι α α α α 5 9 0 7 (α ν ) με διαφορά ω. β) Αν α5 α9 8, να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. Μονάδες 5 Μονάδες 3 Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση x κ x κ 0, κ () α) Για ποιες τιμές του κ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα ; β) Αν κ, να λύσετε την εξίσωση (). γ) Αν δ) Για Μονάδες 5 κ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο άνισες ρίζες. 3 κ, να κατασκευάστε την εξίσωση που έχει ως ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης () 3 αυξημένες κατά 3. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y (σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή t (σε sec) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση y 60t 5t α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y 75 m; Μονάδες 8
Μονάδες 8 γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από 00 m. Μονάδες 9 Από τα Βιβλία :Τεύχος Α και τεύχος Β : «Άλγεβρα Α Λυκείου», Εκδόσεις Σαββάλας του Καραγιάννη Ιωάννη. Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών