Προσομοίωση προαγωγικών εξετασεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος

Transcript

1 Προσομοίωση προαγωγικών εξετασεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ (4) ΘΕΜΑ ο Α.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει f ( ) f ( ). β. Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον. γ. Αν 0 με, τότε ισχύει log. δ. Η εξίσωση συν = α, με α > έχει άπειρες λύσεις στο. ε. Η συνάρτηση (Μονάδες 5 = 0) f () με 0 και, έχει σύνολο τιμών το (0, ). Β. Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P(). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = αημ(β) με α, β 0, η οποία έχει ελάχιστο το 4 και περίοδο Τ = π. A. Να αποδείξετε ότι a 4 και. (Μονάδες 0) B. Να λύσετε την εξίσωση: f() (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής

2 Προσομοίωση προαγωγικών εξετασεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε το πολυώνυμο: 4 3 P() ( ) ( ) (4 ) 6, με, R. Δίνεται επίσης ότι το πολυώνυμο P() είναι 3 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το είναι 4. A. Να υπολογίσετε τα και. (Μονάδες 0) B. Για a και 3, να λύσετε την ανίσωση P() 0. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f () log(5 4 5 ) και g() Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g. (Μονάδες 8) B. Να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 0) f () 0 g(). Γ. Να αποδείξετε ότι f ( ) f(0) log g() log3 3. (Μονάδες 7) ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ. Να απαντήσετε στην κόλλα σας σε όλα τα θέματα.. Στα σχήματα που θα χρειαστούν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και μολύβι. 3. Διαθέσιμος χρόνος εξέτασης δύο () ώρες. 4. Χρόνος δυνατής αποχώρησης 30 από τη διανομή των θεμάτων. Ευχόμαστε Επιτυχία Μαθηματικός Περιηγητής

3 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο Α. α. Σωστό. β. Λάθος. γ. Σωστό. δ. Λάθος. ε. Σωστό. Β. Απόδειξη: Έστω ότι το - ρ είναι παράγοντας του Ρ(). Τότε: P() = ( - ρ)π() Από την ισότητα αυτή για = ρ παίρνουμε: P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0 ΘΕΜΑ ο Α. Η συνάρτηση f() = αημ(β) με α, β 0 έχει ελάχιστο το και περίοδο Επομένως 4 4 και Β. Έχουμε διαδοχικά:.

4 3 f() - 3 0αημ(β) ή ή 8 8 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Αφού το πολυώνυμο είναι 3 ου βαθμού έχουμε: Επομένως. 4 3 P() ( ) ( ) (4 ) 6,, 0 ή και 0 Ακόμα, επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το είναι 4, έχουμε: Για έχουμε: P 4 ( ) ( ) (4 ) Β. Για και 3 το πολυώνυμο γίνεται ανίσωση είναι: Επειδή P() 3 6 και η προς λύση P 0, το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το και η διάρεση του P() με το (ας πούμε με βάση το σχήμα Horner) δίνει: P() Στον επόμενο πίνακα φαίνεται το πρόσημο των παραγόντων και του πολυωνύμου P() P()

5 Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης P() 0, 3,. είναι όλα τα ΘΕΜΑ 4 ο Α. Για τη συνάρτηση f () log(5 4 5 ) πρέπει να ισχύει: (αφού η 5 5 συνάρτηση h() είναι γνησίως φθίνουσα στο ). 5 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A,. Για τη συνάρτηση g() το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Β. Για κάθε έχουμε διαδοχικά: f () log(5 4 5 ) 0 g() 0 g() Στην τελευταία εξίσωση θέτουμε οποία έχει ρίζες τις και 0 και έχουμε την εξίσωση. Οπότε είναι: 5 0, η Όμως η τιμή απορρίπτεται, αφού A ενώ η τιμή είναι δεκτή, A. Γ. Έχουμε: Επομένως η παράσταση Κ γίνεται: 7 f ( ) log 00 f 0 log3 g 30 αφού

6 7 7 K f ( ) f(0) log g() log3 log log3 log30 log3 log log90 log log log903 log log log log Επομένως Κ=3. Επιμέλεια λύσεων: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών