ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΥΠΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΑΚΟΠΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΡΟΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΥΠΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΑΚΟΠΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΡΟΕΣ Αθανάσιος Χ. Ρακιτζής ιπλωµατική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς Οκτώβριος 4

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΥΠΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΑΚΟΠΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΡΟΕΣ Αθανάσιος Χ. Ρακιτζής ιπλωµατική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειίκευσης στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πειραιάς Οκτώβριος 4

Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εγκρίθηκε οµόφωνα από την Τριµελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τµήµατος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς στην υπ αριθµ. 9/.5.4 συνερίασή του σύµφωνα µε τον Εσωτερικό Κανονισµό Λειτουργίας του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουών στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Τα µέλη της Επιτροπής ήταν: - ηµήτριος Αντζουλάκος, Επικ. Καθηγητής (Επιβλέπων) - Μάρκος Κούτρας, Καθηγητής - Μπούτσικάς Μιχαήλ, Λέκτορας Η έγκριση της ιπλωµατική Εργασίας από το Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς εν υποηλώνει αποοχή των γνωµών του συγγραφέα.

UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPIED STATISTICS SHEWHART CONTRO CHARTS WITH STOPPING RUES BASED ON RUNS By Raitzis C. Athanasios MSc Dissertation submitted to the Deartment of Statistics and Insurance Science of the University of Piraeus in artial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Science in Alied Statistics Piraeus, Greece October 4

Στους γονείς µου Χρήστο και Ιωάννα και στον αερφό µου Βασίλη

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου αλλά και τον αερφό µου για την αµέριστη συµπαράσταση που µου έχουν είξει όλα αυτά τα χρόνια, χωρίς τη βοήθεια των οποίων εν θα είχα πετύχει σχεόν τίποτα από τα όσα έχω κάνει µέχρι σήµερα, τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Αντζουλάκο ηµήτριο για την άψογη συνεργασία που είχαµε αλλά και για την πραγµατικά µεγάλη βοήθεια που µου προσέφερε προκειµένου να φέρω σε πέρας αυτή τη ιπλωµατική εργασία καθώς και τα µέλη της τριµελούς επιτροπής κ.κ. Κούτρα Μάρκο (καθηγητή), Μπούτσικα Μιχαήλ (λέκτορα) για την επίβλεψη της παρούσας ιπλωµατικής εργασίας.

Περίληψη Τα ιαγράµµατα ελέγχου τύπου Shewhart για την παρακολούθηση του µέσου µ µιας ιεργασίας ίνουν σήµα ότι µια ιεργασία είναι εκτός ελέγχου (µετατόπιση του µέσου) όταν ένα σηµείο του ιαγράµµατος βρεθεί εκτός της ζώνης που ορίζεται από το κάτω (C) και το άνω (UC) όριο ελέγχου του ιαγράµµατος. Είναι γνωστό ότι τα ιαγράµµατα ελέγχου τύπου Shewhart εν είναι ευαίσθητα σε µικρές µετατοπίσεις του µέσου της ιεργασίας. Η αύξηση της ευαισθησίας του ιαγράµµατος ως προς την ικανότητά του να ανιχνεύει µικρές µετατοπίσεις του µέσου της ιεργασίας επιτυγχάνεται µε χρήση προειοποιητικών ορίων (εσωτερικών των C και UC) και µε χρήση κανόνων ιακοπής (Stoing Rules) που σχετίζονται µε την εµφάνιση ειικών σχηµατισµών από σηµεία (atterns) στο ιάγραµµα. Η εµφάνιση ενός τέτοιου ειικού σχηµατισµού από σηµεία ίνει σήµα εκτός ελέγχου ιεργασίας. Τέτοιοι κανόνες παρουσιάστηκαν και εφαρµόστηκαν για πρώτη φορά το 956 από την εταιρεία Western Electric Comany. Σκοπός της ιπλωµατικής εργασίας είναι η ανάπτυξη και η µελέτη της επίρασης κανόνων ιακοπής που σχετίζονται µε στατιστικές συναρτήσεις ροών (runs) στα ιαγράµµατα ελέγχου τύπου Shewhart.

Abstract The Shewhart tye control charts for monitoring the mean of a manufacturing rocess gives signal of an out of control rocess (shift of the mean) when a lotted oint falls outside the area secified by the lower (C) and uer (UC) control limit of chart. It is well nown that Shewhart tye control charts are not sensitive in detecting small shifts of the rocess mean. The sensitization of the chart to detect small shifts of the rocess mean is usually achieved by the use of warning limits (internal of C and UC) and the adotion of stoing rules related with the aearance of secial atterns of lotted oints in the chart. The aearance of a secial attern of oints gives signal of an out of control rocess. Such rules were introduced and alied for the first time in 956 by the Western Electric Comany. The main urose of the dissertation is the develoment and the study of the effect of stoing rules that are related to run statistics in the Shewhart tye control charts.

Περιεχόµενα Περίληψη Abstract Κατάλογος Σχηµάτων xvii Κατάλογος Συντοµογραφιών xix. Εισαγωγή. ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart. ιάγραµµα ελέγχου Shewhart για τη µέση τιµή ενός συνεχούς χαρακτηριστικού. Μέσο µήκος ροής στα ιαγράµµατα ελέγχου 7.4 Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart 9.5 Ανάλυση του χρόνου αναµονής ενός σχηµατισµού.5. Η περίπτωση του απλού σχηµατισµού.5. Η περίπτωση του σύνθετου σχηµατισµού 5.6 Υπολογισµός του µέσου µήκους ροής στα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart υπό την παρουσία κανόνων ευαισθητοποίησης.6. Μελέτη του σύνθετου κανόνα C 8.6. Μελέτη του σύνθετου κανόνα C 5 4 6. Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart που 8 βασίζονται σε ροές. Εισαγωγή 8. Μονόπλευρα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart τύπου.. Μελέτη του άνω ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου. 5.. Μελέτη του άνω ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου µε 6 AR ( ) 6.4 για () 5... Μελέτη του άνω ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου µε 46 xiii

AR ( ) 74.8 για () 5... Μελέτη του άνω ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 498.7 για () 5. 55.4 ίπλευρα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart τύπου (, ). 64.5 Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου (, )..5. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου (, ) µε AR () 8. 5 για () 5.,.5. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου (, ) µε AR () 7. 4 για () 5.,.5. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου (, ) µε AR () 49. 4 για () 5.,.6 Αξιολόγηση των ίπλευρων ιαγραµµάτων ελέγχου Shewhart τύπου (, ). 7 7 8 9 99. Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart που βασίζονται σε σχηµατισµούς τύπου /r. Εισαγωγή 7. ίπλευρα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart τύπου / r 7. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου / r.. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου / r µε AR 8. 5 για r, 4, 5. / r.. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου / r µε AR 7. 4 για r, 4, 5. / r.. Μελέτη του ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου / r µε AR 49. 4 για r, 4, 5. / r.4 Αξιολόγηση των ίπλευρων ιαγραµµάτων ελέγχου Shewhart τύπου / r.4. Αξιολόγηση των ίπλευρων ιαγραµµάτων ελέγχου Shewhart 6 7 4 8 5 xiv

τύπου / r µε εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής AR 8. 5 / r.4. Αξιολόγηση των ίπλευρων ιαγραµµάτων ελέγχου Shewhart τύπου / r µε εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής AR 7. 4 / r.4. Αξιολόγηση των ίπλευρων ιαγραµµάτων ελέγχου Shewhart τύπου / r µε εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής AR 49. 4 / r 9 4 Παραρτήµατα 45 Προγράµµατα MATHEMATICA 45 Βιβλιογραφία 7 xv

xvi

Κατάλογος Πινάκων. εοµένα για την επίειξη ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart 4. Επιπρόσθετα εοµένα 6. Μέσο µήκος ροής για ιαγράµµατα ελέγχου τύπου Shewhart µε χρήση κανόνων ευαισθητοποίησης 7.4 Μέση τιµή και ιακύµανση του µήκους ροής T για τον κανόνα C.5 Ποσοστιαία σηµεία και AR ( ) του µήκους ροής T ( ) για τον κανόνα C.6 Μέση τιµή και ιακύµανση του µήκους ροής T για τον κανόνα C 5.7 Ποσοστιαία σηµεία και AR ( ) του µήκους ροής T ( ) για τον 5 5 κανόνα C 5. Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου για () 5 µε AR ( ) 6. 4. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 6. 4. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 6. 4.4 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 6. 4.5 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα 7 44 44 45 45 ελέγχου Shewhart τύπου 4 µε AR ( ) 6. 4.6 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα 45 xvii

ελέγχου Shewhart τύπου 5 µε AR ( ) 6. 4.7 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου για () 5 µε AR ( ) 74. 8.8 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 74. 8.9 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 74. 8. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 74. 8. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου 4 µε AR ( ) 74. 8. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου 5 µε AR ( ) 74. 8. Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου για () 5 µε AR ( ) 498. 7.4 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 498. 7.5 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 498. 7.6 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου µε AR ( ) 498. 7.7 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου 4 µε AR ( ) 498. 7.8 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το άνω ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου 5 µε AR ( ) 498. 7.9 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, 46 5 5 54 54 54 55 6 6 6 6 6 7 ελέγχου xviii

Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε AR () 8. 5,. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 79 ελέγχου Shewhart τύπου (,) µε AR () 8. 5,. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 79 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) µε AR () 8. 5,. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 8 ελέγχου Shewhart τύπου (,) µε AR () 8. 5,. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 8 ελέγχου Shewhart τύπου ( 4, 4) µε AR () 8. 5,.4 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 8 ελέγχου Shewhart τύπου ( 5,5) µε AR () 8. 5,.5 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, 8 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε AR, () 7.6 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 88 ελέγχου Shewhart τύπου (,) µε AR () 7. 4,.7 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 88 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) µε AR () 7. 4,.8 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 89 ελέγχου Shewhart τύπου (,) µε AR () 7. 4,.9 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 89 ελέγχου Shewhart τύπου ( 4, 4) µε AR () 7. 4,. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 89 ελέγχου Shewhart τύπου ( 5,5) µε AR () 7. 4,. Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, 9 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε xix

AR (), 49.4. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 97 ελέγχου Shewhart τύπου (,) µε AR () 49. 4,. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 97 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) µε AR () 49. 4,.4 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 98 ελέγχου Shewhart τύπου (,) µε AR () 49. 4,.5 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 98 ελέγχου Shewhart τύπου ( 4, 4) µε AR () 49. 4,.6 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα 98 ελέγχου Shewhart τύπου ( 5,5) µε AR () 49. 4,.7 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, ελέγχου Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε AR, () 5.44.8 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, ελέγχου Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε AR, () 78..9 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, 4 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε AR, () 9.75.4 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα, 5 ελέγχου Shewhart τύπου (, ) για () 5 µε AR, ().. Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα / r 5 ελέγχου Shewhart τύπου / r για r, 4, 5 µε AR / () 8.5 r xx

. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / µε AR / () 8. 5. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / 4 µε AR () 8. 5 / 4.4 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / 5 µε AR () 8. 5 / 5.5 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / r / r για r, 4, 5 µε AR () 7. 4 / r.6 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / µε AR / () 7. 4.7 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / 4 µε AR () 7. 4 / 4.8 Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / 5 µε AR () 7. 4 / 5.9 Μέσο µήκος ροής AR ( ) για το ίπλευρο ιάγραµµα / r 7 7 8 9 ελέγχου Shewhart τύπου / r για r, 4, 5 µε AR / () 49.4 r. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / µε AR / () 49. 4. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / 4 µε AR () 49. 4 / 4. Τιµές για τις ποσότητες Q, M και Q για το ίπλευρο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart τύπου / 5 µε AR () 49. 4 / 5. Μέσο µήκος ροής AR ( ), AR ( ) για r, 4, 5 και / r, 4 4 5 6 ()5 µε AR 8. 5 in.4 Μέσο µήκος ροής AR ( ), AR ( ) για r, 4, 5 και 9 / r, xxi

()5 µε AR 7. 4 in.5 Μέσο µήκος ροής AR ( ), AR ( ) για r, 4, 5 και / r, 4 ()5 µε AR 49. 4 in xxii

Κατάλογος ιαγραµµάτων. Τυπικό ιάγραµµα ελέγχου Shewhart. ιάγραµµα ελέγχου Shewhart για τα εοµένα του Πίνακα. 5. ιάγραµµα ελέγχου Shewhart για τα εοµένα των Πινάκων.,. 6.4 Γραφική παράσταση του µέσου µήκους ροής AR ( W ~ N(, (5) / ) ) 9.5 ιάγραµµα ελέγχου Shewhart και προειοποιητικά όρια.6 Ζώνες του ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart για τον κανόνα C 9.7 Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) για τον κανόνα C για.8 Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) για τον κανόνα C για. 5.9 Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) για τον κανόνα C για.. Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) για τον κανόνα C για.. Ζώνες του ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart για τον κανόνα C 5. Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) 6 για τον κανόνα C 5 για. Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) 6 για τον κανόνα C 5 για. 5.4 Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) 6 για τον κανόνα C 5 για..5 Συνάρτηση κατανοµής και συνάρτηση πιθανότητας του µήκους ροής T ( ) 6 για τον κανόνα C 5 για.. Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 6. 4 8 in xxiii

. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5 ) 9.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 9.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 9.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 4.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 4.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4. Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 74. 8 47. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 48.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5 ) 48.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 48.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 48.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 49.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 49 in 4 4 4 4 5 5 5 5 xxiv

.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 49. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 49. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 5. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 5.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 5.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5.4 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 498. 7 56.44 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 57.45 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5 ) 57.46 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 57.47 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ( ) 57.48 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 58.49 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 58.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 58.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 58.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 59.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 59.54 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 59.55 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 59 in 4 4 4 4 5 5 5 5 xxv

.56 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.57 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 6.58 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.59 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (.5) 6.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.64 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 8. 5 7,.65 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,() 74.66 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,(.5).67 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,( ) 74.68 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,() 74.69 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 75 in 4 4 4 4 5 5 5 5, 74.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, (.5) 75.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 75.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 75.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 76,,.74 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, (.5) 76.75 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 76.76 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 76.77 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 77 4,4.78 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T 4,4 (.5) 77 xxvi

.79 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 77.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 77.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 78 4,4 4,4 5,5.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T 5,5 (.5) 78.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 78.84 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 78.85 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 7. 4 8,.86 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,() 8.87 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,(.5).88 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,( ) 8.89 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,() 8.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 84 in 5,5 5,5, 8.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, (.5) 84.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 84.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 84.94 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 85,,.95 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, (.5) 85.96 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 85.97 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 85.98 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 86 4,4.99 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T 4,4 (.5) 86 xxvii

. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 86. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 86. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 87 4,4 4,4 5,5. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T 5,5 (.5) 87.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 87.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 87.6 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 49. 4 9,.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,() 9.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,(.5).9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,( ) 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T,() 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 9 in 5,5 5,5, 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, (.5) 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 9.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 9.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 94,,.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, (.5) 94.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 94.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T, () 94.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 95 4,4. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T 4,4 (.5) 95 xxviii

. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 95. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 95. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 96 4,4 4,4 5,5.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T 5,5 (.5) 96.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 96.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 96.7 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 5. 44,.8 5 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 78.,.9 Γραφική παράσταση του I 4 ( ) για () 5 µε AR 9. 75 4,. Γραφική παράσταση του I 456 ( ) για () 5 µε AR. 5,. Γραφική παράσταση του I ( ) για r () 5 µε AR 8. 5 6 / r. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 7. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / (.5).4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / () 7.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / () 7.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 8.7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / 4 (.5).8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 8.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 8. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / 5 (.5). Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 9. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 9 in in in in in 5,5 5,5 / / 4 / 4 / 4 / 5 / 5 / 5 7 8 9 xxix

.4 Γραφική παράσταση του I ( ) για r () 5 µε AR 7. 4 / r.5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 4.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / (.5).7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / () 4.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / () 4.9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / 4 (.5). Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 5. Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / 5 (.5).5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () 6.7 Γραφική παράσταση του I ( ) για r () 5 µε AR 49. 4 / r.8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ().9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / (.5). Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / (). Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / (). Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T (). Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / 4 (.5).4 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ().5 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T () in in / / 4 / 4 / 4 / 5 / 5 / 5 / / 4 / 4 / 4 4 5 6 xxx

.6 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ().7 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T / 5 (.5).8 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ().9 Συνάρτηση πιθανότητας και συνάρτηση κατανοµής του µήκους ροής T ().4 Γραφική παράσταση του I ) για () 5 µε AR 8. 5 7 ; (.4 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 8. 5 8 ; 4.4 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 8. 5 8 ; 5.4 Γραφική παράσταση του I ) για () 5 µε AR 7. 4 4 ; (.44 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 7. 4 4 ; 4.45 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 7. 4 4 ; 5.46 Γραφική παράσταση του I ) για () 5 µε AR 49. 4 4 ; (.47 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 49. 4 4 ; 4.48 Γραφική παράσταση του I ( ) για () 5 µε AR 49. 4 44 ; 5 in in in in in in in in in / 5 / 5 / 5 xxxi

xxxii

Κατάλογος Συντοµογραφιών C UC C AR AR in AR out Q M Q AR T (Center ine) Κεντρική γραµµή (Uer Control imit) Άνω όριο ελέγχου (ower Control imit) Κάτω όριο ελέγχου (Average Run ength) Μέσο µήκος ροής (In Control Average Run ength) Εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής (Out of Control Average Run ength) Εκτός ελέγχου µέσο µήκος ροής ο Τεταρτηµόριο ιάµεσος ο Τεταρτηµόριο Μέσο µήκος ροής άνω ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου Μήκος ροής άνω ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου AR, Μέσο µήκος ροής ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου (, ) T, Μήκος ροής ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart τύπου (, ) AR / Μέσο µήκος ροής ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου r Shewhart τύπου / r T / Μήκος ροής ίπλευρου ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart r τύπου / r xxxiii

xxxiv

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart. ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart Στις παραγωγικές ιεργασίες µας ενιαφέρει η παρακολούθηση της συµπεριφοράς µιας κρίσιµης ποσότητας ενός (µετρήσιµου) χαρακτηριστικού X (τυχαία µεταβλητή) των προϊόντων που παράγονται (για παράειγµα το χαρακτηριστικό X µπορεί να είναι µήκος, βάρος, όγκος προϊόντων). Η ιαικασία παρακολούθησης της κρίσιµης ποσότητας βασίζεται σε µετρήσεις του χαρακτηριστικού Χ (τυχαία µεταβλητή), όπως προκύπτουν από την επιλογή τυχαίων ειγµάτων προϊόντων από την παραγωγή σε ιαφορετικές χρονικές στιγµές στα οποία αντιστοιχούν τυχαία είγµατα τιµών του χαρακτηριστικού Χ, έστω τα X,...., X Χρησιµοποιώντας τα τυχαία είγµατα X,... υπολογίζουµε την τιµή W X ),, X t g( t t,,..., µιας κατάλληλης στατιστικής συνάρτησης (τυχαίας µεταβλητής) που εκτιµά (συνήθως αµερόληπτη εκτιµήτρια) την κρίσιµη ποσότητα που µας ενιαφέρει (π.χ. µέση τιµή ή ιακύµανση της X ). Έτσι η (ιαχρονική) παρακολούθηση της συµπεριφοράς της κρίσιµης ποσότητας επιτυγχάνεται µε την παρακολούθηση των τιµών που λαµβάνει η στατιστική συνάρτηση W στα ιάφορα είγµατα. Για παράειγµα ας υποθέσουµε ότι ενιαφερόµαστε να παρακολουθήσουµε τη συµπεριφορά της µέσης τιµής της ιαµέτρου Χ των κυλίνρων που παράγει µια µηχανή. Για το σκοπό αυτό επιλέγονται τυχαία είγµατα µεγέθους n ( n ) κυλίνρων από την παραγωγή της µηχανής σε ιαφορετικά χρονικά ιαστήµατα και µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη στατιστική συνάρτηση W t ( t t t + tn / g X ) ( X + X + X ) n (η οποία είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µέσου της Χ) για την παρακολούθηση της συµπεριφοράς της µέσης τιµής.

Ένα τυπικό ιάγραµµα ελέγχου Shewhart είναι µια γραφική παράσταση µε την ακόλουθη µορφή ιάγραµµα.: Τυπικό ιάγραµµα ελέγχου Shewhart όπου στο ιάγραµµα., εκτός από τις παρατηρούµενες τιµές W t, που έχουν απεικονιστεί µε σηµεία (τετραγωνάκια) τα οποία έχουν συνεθεί µε µια τεθλασµένη γραµµή, έχουν σχειαστεί και άλλες τρεις γραµµές. Η κεντρική γραµµή (center line, C) ή µέσο επίπεο της ιεργασίας παριστάνει συνήθως τη µέση τιµή (mean value) της W όπως προκύπτει από τη λειτουργία µιας εντός (στατιστικού) ελέγχου ιεργασίας, ηλαή µιας ιεργασίας που λειτουργεί µόνο µε την παρουσία φυσικής µεταβλητότητας (chance causes of variation). Οι ύο άλλες γραµµές που εµφανίζονται στο παραπάνω ιάγραµµα ονοµάζονται άνω και κάτω όριο ελέγχου του ιαγράµµατος (uer and lower control limit, UC and C). Όσο οι τιµές της W βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου και η συµπεριφορά τους είναι τυχαία µπορούµε να υποθέσουµε ότι η ιεργασία παραµένει εντός ελέγχου και εν χρειάζεται να προβούµε σε κάποια ιορθωτική ενέργεια. Αν όµως κάποιο σηµείο βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου λέµε ότι υπάρχει ένειξη ότι η ιεργασία είναι εκτός ελέγχου και πρέπει να προχωρήσουµε σε έρευνα για να ανακαλύψουµε τις ειικές αιτίες µεταβλητότητας (assignable causes of variation) που είναι υπεύθυνες για αυτή τη συµπεριφορά και αν κριθεί απαραίτητο να προβούµε σε ιορθωτικές ενέργειες. Ωστόσο, θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι ακόµη και στην περίπτωση που όλα τα σηµεία του ιαγράµµατος βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου αλλά συµπεριφέρονται µε ένα συστηµατικό ή µη τυχαίο τρόπο τότε και αυτό αποτελεί ένειξη ότι η ιεργασία είναι εκτός ελέγχου. Ως (ακραίο) παράειγµα µπορούµε να αναφέρουµε την περίπτωση όπου όλα τα σηµεία στο ιάγραµµα. βρίσκονται µεταξύ την κεντρικής γραµµής και του κάτω ορίου ελέγχου.

Στο ακόλουθο πλαίσιο ίνεται ένα γενικό µοντέλο, το µοντέλο ορίων σίγµα (sigma limits model), για την κατασκευή ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart Mοντέλο ορίων σίγµα UC µ W + σ W Center ine µ W C µ W σ W Οι ποσότητες µ W και σ W ηλώνουν τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση της στατιστικής συνάρτησης W που απεικονίζεται στο ιάγραµµα ελέγχου (συνήθως γίνεται η υπόθεση ότι ακολουθεί κανονική κατανοµή). Η ποσότητα ηλώνει την απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραµµή σε µονάες τυπικής απόκλισης. Συνήθως, οπότε οµιλούµε για ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart µε σ όρια ελέγχου. Εκτός από τo µοντέλο ορίων σίγµα για την κατασκευή ιαγραµµάτων ελέγχου Shewhart, υπάρχει και το µοντέλο ορίων πιθανότητας (robability limits model) που παρουσιάζεται στο ακόλουθο πλαίσιο (µοντέλο ορίων πιθανότητας a / ) για κανονική ή προσεγγιστικά κανονική κατανοµή της W Μοντέλο ορίων πιθανότητας α/ UC µ W + za / σ W Center ine µ W C µ W za / σw Στις ΗΠΑ χρησιµοποιούνται αποκλειστικά τα σ όρια ελέγχου ενώ στη Μεγάλη Βρετανία και σε άλλες υτικές χώρες χρησιµοποιούνται όρια µε πιθανότητα. ( a /. ). Στις παρούσες σηµειώσεις θα χρησιµοποιήσουµε αποκλειστικά σ όρια. Τα ύο µοντέλα κατασκευής ιαγραµµάτων ελέγχου που µόλις περιγράψαµε αποτελούν µοντέλα κατασκευής ίπλευρων ιαγραµµάτων ελέγχου αφού υπάρχει και άνω και κάτω όριο ελέγχου. Στη βιβλιογραφία αναφέρονται και τα µονόπλευρα ιαγράµµατα ελέγχου στα οποία απουσιάζει είτε το άνω είτε το κάτω όριο ελέγχου. Στα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart ιακρίνουµε ύο µεγάλες κατηγορίες ανάλογα µε το αν το χαρακτηριστικό X είναι συνεχής ή ιακριτή τυχαία µεταβλητή. Αν η τυχαία µεταβλητή X είναι συνεχής µε µέση τιµή µ και ιακύµανση σ, τότε υπάρχουν ιαγράµµατα ελέγχου

Shewhart για την παρακολούθηση της µέσης τιµής και της ιασποράς της X. Στην περίπτωση που η τυχαία µεταβλητή X είναι ιακριτή υπάρχουν ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart για την παρακολούθηση του ποσοστού (και του αριθµού) των ελαττωµατικών προϊόντων που αποίει η παραγωγική ιεργασία, καθώς επίσης και για τον αριθµό (και το µέσο αριθµό) των ελαττωµάτων (ατελειών) σε µια µονάα ελέγχου (για περισσότερες λεπτοµέρειες είτε Αντζουλάκος (), αµιανού (996), Καφφές (996)). Το πιο απλό και πλέον ιαεοµένο ιάγραµµα ελέγχου Shewhart είναι το ιάγραµµα ελέγχου για την παρακολούθηση της µέσης τιµής ενός συνεχούς χαρακτηριστικού X, το οποίο θα αναπτύξουµε εν συντοµία στην επόµενη παράγραφο µέσω ενός παραείγµατος.. ιάγραµµα ελέγχου Shewhart για τη µέση τιµή ενός συνεχούς χαρακτηριστικού Στον Πίνακα. παρουσιάζονται µετρήσεις µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ που ηλώνει την εσωτερική ιάµετρο κυλινρικών εµβόλων όπως προέκυψαν από την επιλογή έκα τυχαίων ειγµάτων µεγέθους ύο από την παραγωγή ενός εργοστασίου. Έστω ότι, υπό συνθήκες φυσικής µεταβλητότητας (εντός ελέγχου ιεργασία), η κατανοµή της Χ είναι κανονική κατανοµή µε µ και σ. 5, και ότι ενιαφερόµαστε να παρακολουθήσουµε τη ιαχρονική συµπεριφορά της µέσης τιµής µ της Χ. Πίνακας.: εοµένα για την επίειξη ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart είγµα Πρώτη µέτρηση εύτερη µέτρηση Μέση τιµή 9.844 9.6656 9.759 9.8879 9.9767 9.87.588 9.768 9.948 4 9.9469 645.54 5 9.5596.98 9.888 6 9.58 9.7789 9.6496 7 9.47.5 9.7769 8 9.5985 9.95854 9.7757 9 9.544 9.676 9.5859 65 66 595 Χρησιµοποιώντας ως εκτίµηση της µέσης τιµής µ της ιεργασίας σε κάθε είγµα το ειγµατικό µέσο του αντίστοιχου είγµατος W X ( X + X ) /, έχουµε ότι t t t t W t X ~ N( µ, σ ), µ µ µ, σ σ σ /.5, t, t X t X t Wt X t Wt X t 4

Κατασκευάζοντας ένα ιάγραµµα ελέγχου Shewhart µε απεικονίζονται τα σηµεία C W W σ όρια ελέγχου όπου ( t,wt ), έχουµε ότι C µ W, UC µ W + σw. 5, και µ σ 9.4697. Το ιάγραµµα ελέγχου είναι το ακόλουθο X-bar Chart for Measurements X-bar,6,4, 9,8 9,6 9,4 4 6 8 Subgrou UC,5 CTR, C 9,4697 ιάγραµµα.: ιάγραµµα ελέγχου Shewhart για τα εοµένα του Πίνακα. Εφόσον όλα τα σηµεία του ιαγράµµατος βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου µπορούµε να ισχυριστούµε ότι ο µέσος εν έχει αλλάξει (µετατοπιστεί) και εποµένως η παραγωγική ιεργασία είναι εντός στατιστικού ελέγχου. Η παραπάνω ιαικασία µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί µια σειρά από ελέγχους υποθέσεων ( το πλήθος) που αφορούν τη µέση τιµή ενός κανονικού πληθυσµού. Πράγµατι, αν, X X n είναι ένα τυχαίο είγµα από ένα πληθυσµό που περιγράφεται από µια X,..., κανονική κατανοµή τότε για τον έλεγχο της υπόθεσης H : µ µ µ (σ γνωστό) µ H : σε επίπεο σηµαντικότητας a, η περιοχή απόρριψης Κ (κρίσιµη περιοχή) της µηενικής υπόθεσης είναι η σ σ K : X > µ + za / ή X < µ za /. n n Επιλέγοντας z, ηλαή a. 7, για το παράειγµά µας ( µ, σ. 5, n ) a / έχουµε ότι K : X >.5 ή X < 9.4697 5

και εποµένως τα όρια του ιαγράµµατος ελέγχου συµπίπτουν µε τις ύο τιµές που καθορίζουν την κρίσιµη περιοχή K. Εφόσον τα σηµεία W X ( X + X ) / βρίσκονται εντός των t t t t ορίων ελέγχου αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε έλεγχο (ένας για κάθε είγµα) η τιµή της X εν βρίσκεται στην κρίσιµη περιοχή και συνεπώς εν µπορούµε να απορρίψουµε τη µηενική υπόθεση σε επίπεο σηµαντικότητας a. 7. Στη συνέχεια επιλέξαµε άλλα 5 είγµατα από την παραγωγική ιαικασία (σε µεταγενέστερες χρονικές στιγµές) η οποία όµως λόγω κάποιας εσφαλµένης ρύθµισης της µηχανής που παράγει τα έµβολα (εµφάνιση ειικής µεταβλητότητας) παράγει κυλίνρους µε µ.5 και σ. 5. Τα επιπρόσθετα εοµένα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα Πίνακας.: Επιπρόσθετα εοµένα είγµα Πρώτη µέτρηση εύτερη µέτρηση Μέση τιµή 548.7 9 9 55 775 56.57.555 4 9.8 495 5.55.56.564 Το ιάγραµµα ελέγχου είναι το ακόλουθο X-bar Chart for Measurement X-bar,6,4, 9,8 UC,5 CTR, C 9,4697 9,6 9,4 6 9 5 Subgrou ιάγραµµα.: ιάγραµµα ελέγχου Shewhart για τα εοµένα των Πινάκων.,. Από το παραπάνω ιάγραµµα προκύπτει καθαρά ότι έχουµε ενείξεις που ηλώνουν ότι ο µέσος της ιεργασίας έχει µετατοπιστεί σε υψηλότερο επίπεο και εποµένως θεωρούµε ότι η ιεργασία είναι εκτός στατιστικού ελέγχου. 6

. Μέσο µήκος ροής στα ιαγράµµατα ελέγχου Μια βασική έννοια που σχετίζεται µε τα ιαγράµµατα ελέγχου είναι το µέσο µήκος ροής AR (average run length) του ιαγράµµατος. Η τυχαία µεταβλητή T που ηλώνει το πλήθος των σηµείων που πρέπει να σχειαστούν σε ένα ιάγραµµα ελέγχου έως ότου πάρουµε ένειξη ότι η ιεργασία είναι εκτός ελέγχου ονοµάζεται µήκος ροής (run length) του ιαγράµµατος. Το µέσο µήκος ροής AR ορίζεται ως ο αναµενόµενος αριθµός των σηµείων που πρέπει να σχειαστούν στο ιάγραµµα έως ότου λάβουµε για πρώτη φορά ένειξη ότι η ιεργασία είναι εκτός ελέγχου, ηλαή AR E(T ). Στα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart µε απεικονιζόµενη ποσότητα τη W η οποία έχει εντός ελέγχου µέσο µ, τυπική απόκλιση σ και συνάρτηση κατανοµής F ( ), έχουµε ότι η πιθανότητα ίση µε in εµφάνισης ενός σηµείου του ιαγράµµατος εκτός των ορίων ελέγχου είναι in P( C W UC) F ( µ + σ ) + F ( ( µ σ )) και το εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής είναι ίσο µε AR in in αφού το µήκος ροής T ακολουθεί τη γεωµετρική κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας Φυσικά για µια ιεργασία που βρίσκεται εντός ελέγχου θέλουµε να έχουµε µεγάλη τιµή για το AR in έτσι ώστε να µειωθεί ο αριθµός των λανθασµένων ενείξεων εκτός ελέγχου ιεργασίας ή αλλιώς ο αριθµός των λανθασµένων συναγερµών (false alarms). Για µια εκτός ελέγχου ιεργασία, όπου η συνάρτηση κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής W είναι η F out ( ), έχουµε ότι η πιθανότητα out εµφάνισης ενός σηµείου εκτός των ορίων ελέγχου του ιαγράµµατος είναι ίση µε out P( C W UC) F ( µ + σ ) + F ( ( µ σ )) και το εκτός ελέγχου µέσο µήκος ροής είναι ίσο µε AR out in out. Φυσικά για µια ιεργασία που βρίσκεται εκτός ελέγχου θέλουµε να έχουµε µικρή τιµή για το AR out έτσι ώστε να µειωθεί ο αριθµός των ειγµάτων (και συνεπώς ο χρόνος) που απαιτούνται για να γίνει αντιληπτό ότι η ιεργασία είναι εκτός ελέγχου. out in out in in. 7

Αν για την τυχαία µεταβλητή W είναι γνωστό ότι W ~ N( µ, σ ) τότε έχουµε ότι το εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής είναι ίσο µε αφού AR in in Φ( ) in P( C W UC W ~ N( µ, σ )) P( µ σ W µ + σ W ~ N( µ, σ ) Φ( ) + Φ( ) Φ( ). Για προκύπτει ότι AR in 7..7 Αν κατά τη ιάρκεια της παραγωγικής ιεργασίας η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής W µετατοπιστεί από τη θέση µ στη θέση τυπικής απόκλισης) και η ιακύµανσή της εν αλλάξει έχουµε ότι µ * µ + σ (µετατόπιση εκφρασµένη σε µονάες out P( C W UC W ~ N( µ + σ, σ )) P( µ σ W µ + σ W ~ N( µ + σ, σ ) Φ( ) + Φ( ) Φ( ) Φ( ) και AR Φ( ) Φ( + ) out. out Από τα παραπάνω προκύπτει ότι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό AR ( ) για να ηλώσουµε το µέσο µήκος ροής ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart όταν ο µέσος της ιεργασίας µετατοπιστεί από τη θέση µ στη θέση µ + σ. Φυσικά για προκύπτει το εντός ελέγχου µέσο µήκος ροής. Επίσης µε ανάλογο τρόπο γίνεται ο υπολογισµός του AR στα µονόπλευρα ιαγράµµατα ελέγχου. Στο ακόλουθο ιάγραµµα ίνεται η γραφική παράσταση του µέσου µήκους ροής AR για το παράειγµα που ώσαµε στην προηγούµενη παράγραφο ( W ~ N(, (5) / ) συναρτήσει της µετατόπισης του µέσου µ. 8

ιάγραµµα.4: Γραφική παράσταση του µέσου µήκους ροής AR ( W ~ N(, (5) / ) ) Η χρήση του AR ως µέτρου για την περιγραφή της απόοσης ενός ιαγράµµατος ελέγχου έχει υποστεί αρκετή κριτική τα τελευταία χρόνια γιατί το AR που παρατηρείται στην πράξη ιαφέρει συνήθως αρκετά από το θεωρητικό AR (είτε είναι αρκετά µεγαλύτερο είτε είναι αρκετά µικρότερο). Αυτό συµβαίνει επειή η κατανοµή του µήκους ροής T είναι µια γεωµετρική κατανοµή και συνεπώς η µέση τιµή της εν µπορεί να θεωρηθεί ως αντιπροσωπευτικό µέτρο κεντρικής τάσης της κατανοµής, ιίως για µικρές τιµές του, αφού σε αυτή την περίπτωση η ιακύµανση της γεωµετρικής κατανοµής γίνεται αρκετά µεγάλη. Έτσι κρίνεται αναγκαίο η µέση τιµή της T ( E ( T ) AR ) να συνοεύεται από την ιακύµανση της T ή ακόµα και από ποσοστιαία σηµεία της..4 Κανόνες ευαισθητοποίησης ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart Από µελέτες έχει ιαπιστωθεί ότι για µικρές µετατοπίσεις του µέσου µ της W (έως και.5σ ) το εκτός ελέγχου µέσο µήκος ροής AR του ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart εν είναι ικανοποιητικό (είναι αρκετά µεγάλος αριθµός). Για να γίνει περισσότερο ευαίσθητο ένα ιάγραµµα ελέγχου Shewhart µε σ όρια ως προς την ικανότητά του να ανιχνεύει πιο γρήγορα εκτός ελέγχου ιεργασίες, εκτός από τη σχείαση των ορίων ελέγχου, σχειάζουµε επίσης και προειοποιητικά όρια εσωτερικά των ορίων ελέγχου όπως είχνει το ακόλουθο ιάγραµµα 9

Zone A Zone B Zone C Zone C Zone B Zone A UC (σ limit) σ Warning imit σ Warning imit C σ Warning imit σ Warning imit C (σ limit) ιάγραµµα.5: ιάγραµµα ελέγχου Shewhart και προειοποιητικά όρια Τα προειοποιητικά όρια χρησιµοποιούνται για την ανάπτυξη κανόνων ευαισθητοποίησης (sensitizing rules) οι οποίοι περιγράφουν ενεχόµενα που σχετίζονται µε την εµφάνιση ειικών ακολουθιών σηµείων (atterns) σε ένα ιάγραµµα ελέγχου. Στην περίπτωση που συµβεί το ενεχόµενο που περιγράφει ο κανόνας, τότε θεωρούµε ότι η ιεργασία είναι εκτός ελέγχου χωρίς απαραίτητα να έχουµε κάποιο σηµείο του ιαγράµµατος εκτός των ορίων ελέγχου (UC και C ). Οι σηµαντικότεροι κανόνες που χρησιµοποιούνται για την ευαισθητοποίηση ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart είναι οι ακόλουθοι: Κανόνας. Ένα σηµείο εκτός των ορίων ελέγχου Κανόνας. ύο από τρία συνεχόµενα σηµεία στην Ζώνη Α (σε µια από τις ύο ζώνες Α) Κανόνας. Τέσσερα από πέντε συνεχόµενα σηµεία πέραν της Ζώνης C (σε µια από τις ύο περιοχές) Κανόνας 4. Οκτώ συνεχόµενα σηµεία στην ίια µεριά (επάνω ή κάτω) της κεντρικής γραµµής Κανόνας 5. Έξι συνεχόµενα σηµεία σε αύξουσα ή φθίνουσα ιάταξη Κανόνας 6. εκαπέντε συνεχόµενα σηµεία στην ολική Zώνη C Κανόνας 7. εκατέσσερα συνεχόµενα σηµεία σε εναλλασσόµενη µορφή πάνω-κάτω Κανόνας 8. Οκτώ συνεχόµενα σηµεία εκτός της ολικής Ζώνης C Κανόνας 9. Οποιαήποτε ασυνήθιστη ή µη τυχαία ακολουθία σηµείων

Κανόνας. Ένα ή περισσότερα σηµεία κοντά στα προειοποιητικά όρια ή τα όρια ελέγχου. Οι πρώτοι τέσσερις κανόνες είναι γνωστοί ως Western Electric rules. Η χρήση πολλών κανόνων ταυτοχρόνως θα πρέπει να γίνεται µε ιιαίτερη προσοχή γιατί ένας µεγάλος αριθµός λανθασµένων συναγερµών συνεπάγεται και αντίστοιχο αριθµό λανθασµένων ιακοπών της παραγωγικής ιαικασίας για την ανίχνευση ειικών αιτιών µεταβλητότητας µε αποτέλεσµα την αύξηση του κόστους παραγωγής. Επίσης η χρήση πολλών κανόνων ταυτοχρόνως καθιστά εξαιρετικά ύσκολο τον υπολογισµό του µέσου µήκους ροής AR του ιαγράµµατος ελέγχου. Η πρώτη σηµαντική εργασία που αντιµετώπισε το προαναφερθέν πρόβληµα µε ένα ενοποιητικό τρόπο ήταν των Cham και Woodall (987). Στην επόµενη παράγραφο θα αναπτύξουµε την αναγκαία θεωρία για τον υπολογισµό του µέσου µήκους ροής AR ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart υπό την παρουσία κανόνων ευαισθητοποίησης χρησιµοποιώντας µια παρόµοια προσέγγιση που βασίζεται σε πρόσφατες εργασίες των Fu (996), Koutras (997), και Antzoulaos (999, ))..5 Ανάλυση του χρόνου αναµονής ενός σχηµατισµού Έστω { X t, t } µια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβλητών µε σύνολο τιµών A a, a,..., a }, λ, και έστω ότι { λ Θα καλούµε την τυχαία µεταβλητή P( X a ), i, t. t i i λ X t ως t -οστή οκιµή. Ας θεωρήσουµε επίσης ένα ενεχόµενο E για το οποίο µπορούµε να απαντήσουµε στο ερώτηµα αν αυτό έχει συµβεί στη t -οστή οκιµή της πεπερασµένης ακολουθίας X X,..., X, και ότι το ενεχόµενο E συµβαίνει τουλάχιστον µια φορά µε πιθανότητα σε µια επαρκώς µεγάλη ακολουθία οκιµών. Επίσης ας συµβολίσουµε µε T την τυχαία µεταβλητή που ηλώνει το χρόνο αναµονής εµφάνισης του ενεχοµένου E για πρώτη φορά. Στην περίπτωση που το ενεχόµενο E µπορεί να γραφεί αναλυτικά συναρτήσει στοιχείων του συνόλου τιµών A a, a,..., a } (για παράειγµα E a a } που είναι ένα απλός { λ t { a σχηµατισµός, ή E E U E a a a } U{ a a a } { a a a, a a } που είναι ένας σύνθετος { a σχηµατισµός) η µελέτη της τυχαίας µεταβλητής T µπορεί να επιτευχθεί µε χρήση της

µεθόου της εµφύτευσης των τυχαίων µεταβλητών Marov. X t σε µια οµογενή ιακριτή αλυσία.5. Η περίπτωση του απλού σχηµατισµού Έστω ότι A { a, a,..., aλ } και E a i ai... a i (απλός σχηµατισµός µήκους m ). m Αποσυνθέτουµε το ενεχόµενο E στα ακόλουθα m κοµµάτια (όσο και το µήκος του σχηµατισµού) i, ai ai,..., m + ai a i a... a (τους αριθµούς,,, m τους αποκαλούµε ταµπέλες των αντίστοιχων κοµµατιών). Ορίζουµε µια ιακριτή οµογενή αλυσία Marov { Y t, t } µε χώρο καταστάσεων Ω {,,..., m, m + }, όπου η κατάσταση m + είναι απορροφητική. Η { Y t, t } λειτουργεί παράλληλα µε την ακολουθία { X t, t } και οι καταστάσεις στις οποίες µεταπηά σε κάθε βήµα της καθορίζονται σύµφωνα µε τον ακόλουθο κανόνα Κανόνας: Η Y t βρίσκεται στην κατάσταση j, j m +, αν το µέγιστο τελικό κοµµάτι της i m ακολουθίας X X,..., X t, κοιτώντας προς τα πίσω, αντιστοιχεί στο κοµµάτι a i ai... ai, ηλαή j X a X a,, X t a i. Σε οποιαήποτε άλλη περίπτωση καθορίζουµε ως τιµή j t j+ i, t j+ i της Y t την τιµή. Οι αρχικές πιθανότητες π [ π, π,..., π m, π m + ] [ P( Y ), P( Y ),..., P( Y m), P( Y m + και ο πίνακας πιθανοτήτων µεταπήησης πρώτης τάξης )] P ( ij ) j m, m+ j m, m+ M M M M M R ( I R) + i i ij im i, m+ M M M M M m m mj mm m, m+ ( m ) ( m+ ) ( m+ ) ( m+ ) ( m+ ) ( m+ )

της αλυσίας { Y t, t } µπορούν να προκύψουν εύκολα συναρτήσει των πιθανοτήτων P ( X a ), i λ. t i i Θεώρηµα : Για την τυχαία µεταβλητή T έχουµε ότι n i. P( T n) π P e m+, n n ii. P ( T > n) α R, n iii. π e m+, n P( T n) n π P ( I P) e m+, n όπου e (,,...,,) και α π, π,..., π ]. m+ [ m Απόειξη: Σύµφωνα µε τα προαναφερθέντα, αν ισχύει ότι Y n m + τότε αυτό σηµαίνει ότι συνέβη το ενεχόµενο { T n}, ηλαή Συνεπώς µπορούµε να γράψουµε ότι όπου e (,,...,,). Επίσης m+ P( T n) P( Yn m + ), n,,.... n P( T n) P( Y m + ) n π P e m+ n,,... n P( T n) P( T n) P( Y m + ) n π P ( e m ) n,,.... > + Είναι εύκολο να ιαπιστωθεί ότι n n n R ( I R ) P, n,,... οπότε µπορούµε να γράψουµε ότι όπου P( T > n) α R n n,,... α π, π,..., π ] [ P( Y ), P( Y ),..., P( Y )]. [ m m Για τη µέση τιµή και τη ιακύµανση της τυχαίας µεταβλητής T έχουµε το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα : Η ροπογεννήτρια M (s), η µέση τιµή E (T ) και η εύτερη ροπή E ( T ) της τυχαίας µεταβλητής T ίνονται από τις σχέσεις st s s s (i) M ( s) E( e ) e [ + ( e ) α ( I e R) ] (ii) E ( T ) + α ( I R )

4 (iii) R I R I α ) )( ( ) ( + T E Απόειξη: Για τη ροπογεννήτρια της τυχαίας µεταβλητής T έχουµε τα ακόλουθα > > )] ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( n sn n sn st n T P n T P e n T P e e E s M > > + > > ) ( ) ( ) ( ) ( n sn n sn s n sn n sn n T P e n T P e e n T P e n T P e + > > + > > + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n sn n sn s s n sn n n s s n T P e n T P e e e n T P e n T P e e > + > > + ) ( ) ( ) ( ) ( n sn s s n sn n sn s s n T P e e e n T P e n T P e e e R α R α + + ) ( ) ( ) ( n n s s s s n n sn s s e e e e e e e ] ) ( ) ( [ R I α + s s s e e e. Η µέση τιµή ) (T E και η εύτερη ροπή ) ( T E της τυχαίας µεταβλητής T προκύπτουν εύκολα από τις σχέσεις ) ( ) (, ) ( ) ( s s s M ds d T E s M ds d T E κάνοντας χρήση της ιιότητας. ) ( ) ( R I R R I s s s e e e ds d Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η µέση τιµή ) (T E µπορεί να προκύψει και ως ακολούθως R I α R α R α ) ( ) ( ) ( ) ( + + + > + > n n n n n n n T P n T P T E. Παράειγµα: Έστω ότι },, { a a a A, } { a a a E και /6, ) ( i i a X P i i t. Τότε 4 m, και 4,, a a a a a a. Στην περίπτωση που παρατηρηθεί η ακολουθία 7 6 5 4 a a a a a a a X X X X X X X τότε έχουµε ότι 5 T και

Y YYY4Y5Y6Y7... 444. Οι αρχικές πιθανότητες είναι ίσες µε π [ π, π, π, π 4 ] [ P( Y ), P( Y ), P( Y ), P( Y 4)] [,,,] [5/6,/6,, ] και ο πίνακας πιθανοτήτων µεταπήησης πρώτης τάξης είναι ο ακόλουθος Εποµένως P 5/6 /6 5/6 /6 /6 α [ π, π, π ] [5 / / 6 6,/ 6, ] R /6 ( I R). 5/ 6 R /6 5/ 6 / 6 / 6 /6 P( T 5/6 / 6 n > n) α R [5/ 6,/6,, ] /6 / 6 /6, n,,... 5/6 n + ( e 7 + 5e ) s 7 7e + 6e s s s s s s M ( s) e [ + ( e ) α ( I e R) ] e s s E ( T ) + α ( I R) 78 E ( T ) + α (I R)( I R) 8. 5e.5. Η περίπτωση του σύνθετου σχηµατισµού Στην περίπτωση που το ενεχόµενο E είναι σύνθετο, ηλαή όπου τα ενεχόµενα i E E U E U... U E r E ( i r ) είναι απλά, µπορούµε να εφαρµόσουµε τη γενική µέθοο που περιγράψαµε στην Παράγραφο.5. µε την εξής ιαφοροποίηση ως προς την αποσύνθεση του ενεχοµένου E σε κοµµάτια (η υπόλοιπη φιλοσοφία παραµένει η ίια). Αποσυνθέτουµε κάθε απλό ενεχόµενο E i σε κοµµάτια. Από το σύνολο των κοµµατιών που προκύπτουν αποµακρύνουµε τυχόν επαναλήψεις, ηλαή από τα κοµµάτια που εµφανίζονται 5

περισσότερες από µια φορές κρατάµε µόνο ένα. Επίσης για να µειωθούν οι ταµπέλες που θα χρησιµοποιήσουµε για την κατασκευή του πίνακα πιθανοτήτων µεταπήησης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κοινή ταµπέλα (µια ταµπέλα) για τις r το πλήθος ταµπέλες που αντιστοιχούν στην εµφάνιση του ενεχοµένου E (κάθε µια από αυτές αντιστοιχεί στο πλήρες µήκος του ενεχοµένου E ( i r )). i Η εφαρµογή της παραπάνω µεθοολογίας θα επιειχθεί στην επόµενη παράγραφο όπου θα µελετήσουµε το µέσο µήκος ροής στα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart µε χρήση κανόνων ευαισθητοποίησης..6 Υπολογισµός του µέσου µήκους ροής στα ιαγράµµατα ελέγχου Shewhart υπό την παρουσία κανόνων ευαισθητοποίησης. Οι κανόνες ευαισθητοποίησης ενός ιαγράµµατος ελέγχου Shewhart στο οποίο απεικονίζεται µια τυχαία µεταβλητή W µε εντός ελέγχου µέσο µ και τυπική απόκλιση σ ( C µ σ, UC µ + σ ) µπορούν να κωικοποιηθούν µε τον ακόλουθο τρόπο που πρότειναν οι Cham και Woodall (987). Ο συµβολισµός T (, m, a, b) θα ηλώνει ότι από m ιαοχικά σηµεία του ιαγράµµατος βρίσκονται στο ιάστηµα ( µ + a σ, µ + bσ ), a < b. Έτσι στο σύνηθες ιάγραµµα ελέγχου Shewhart,, ο Κανόνας της Παραγράφου.4, που είναι ο κλασικός κανόνας λήψης ένειξης εκτός ελέγχου ιεργασίας, µπορεί να γραφεί στη µορφή C { T (,,, ), T (,,, )}, και ο Κανόνας της Παραγράφου.4 µπορεί να αποοθεί ως C { T (,,, ), T (,,,)} Οι Cham και Woodall (987) µελέτησαν τους ακόλουθους κανόνες ευαισθητοποίησης ος Κανόνας: C { T (,,, ), T (,,, )} ος Κανόνας: C { T (,,, ), (,,,)} T ος Κανόνας: C { T (4,5,, ), (4,5,, )} T 4 ος Κανόνας: C { T (8,8,,), (8,8,, )} 4 T 5 ος Κανόνας: C { T (,,, ), (,,,)} 5 T 6 ος Κανόνας: C { T (5,5,, ), (5,5,, )} 6 T 7 ος Κανόνας C { T (,,,.9), T (,,.9, )} 7 6