ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί κατακόρυφο άξονα OZ που διέρχεται από το µέσο Ο της ράβδου και σχηµατίζει γωνία φ µε αυτήν. i) Να δείξετε ότι η κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος ικανοποιεί τη σχέση: K = m R / + L "µ ) ii) Εάν L είναι η στροφορµή του συστήµατος περί το Ο, να δείξετε τη σχέση: L " ) = K Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Εάν r είναι η απόσταση των κέντρων των δύο σφαιρών από τον κατακόρυφο άξονα OZ περιστροφής του συστήµατος, τότε η ροπή αδράνειάς του Ι ως προς τον άξονα αυτόν θα είναι: I = mr / +mr ) = mmr / + L µ ") 1) Η κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος υπολογίζεται από τη σχέση: 1) K = I / K = m R / + L "µ ) ) ii) Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα Ο κύριων αξόνων αδράνειας του συστήµατος ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό, όπου ο άξονας Ο συµπίπτει µε την ράβδο, ο άξονας Ο ανήκει στο επίπεδο που καθορίζει η ράβδος και ο άξο νας περιστροφής, ενώ ο άξονας Ο είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό βλέπε

σχήµα). Οι προβολές ω, ω, ω της γωνιακής ταχύτητας στους άξονες αυτούς είναι: ω =ωσυνφ, ω =ωηµφ, ω =0 Eάν e, e, e είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ο, O, O αντι στοίχως, θα έχουµε τη σχέση: = + e + e = " + µ e 3) Η στροφορµή L του συστήµατος περί το Ο, δίνεται από τη σχέση: L = I + I e + I e L = I " + I µ e ) όπου Ι, I, I οι ροπές αδράνειας του συστήµατος ως προς τους κύριους άξονες Ο, O, O αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύει: I = mr " = mr, I = I = mr " + ml R = m + " L Έτσι η ) γράφεται: L = mr " e + m R + ) L + *,µ e ) Εξάλλου από τις σχέσεις 3) και ) για το εσωτερικό γινόµενο L " ) έχου µε: L " ) = mr " + m R + * ) L, + " -µ L " ) = mr " + mr " µ + ml " µ L " ) = mr 1) " + ml " µ L " ) = K P.M. fsikos

Mια ορθογώνια και οµογενής πλάκα, διαστάσε ων α, α και µάζας m στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί άξονα που ταυτίζεται µε µια διαγώνιό της. Να δείξετε ότι το διάνυσµα της στροφορµής της πλάκας περί το κέντρο µάζας της διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, του οποίου να καθορίσετε τα στοιχεία. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς άξονα που διέρχεται από τα µέσα δύο απέναντι πλευρών της είναι ίση µε md /1, όπου d το µήκος των πλευρών αυτών. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων C ακλόνητα συνδε δεµένο µε την πλάκα, του οποίου η αρχή συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C της πλάκας, οι δε άξονές του συµπίπτουν µε τους τρεις κύριους άξονες αδράνειας της πλάκας που είναι και άξονες συµµετρίας αυτής. Κατά την περιστροφή της πλάκας το σύστηµα C περιστρέφεται σε σχέση µε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς µε γωνιακή ταχύτητα την οποία µπορούµε να εκφράσουµε στο σύστηµα C µέσω της σχέσεως: = + e + e 1) όπου e, e, e τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων C, C, C αντιστοί χως και ω, ω, ω οι προβολές της στους άξονες αυτούς. Όµως ισχύουν οι σχέσεις: = " = " = 0 ) = "/" ) = / = "/" ) = / = 0 H στροφορµή L της πλάκας περί το κέντρο µάζας της C δίνεται από την σχέση: L = I + I e + I e 3) όπου Ι, I, I οι ροπές αδράνειας της πλάκας ως προς τους κύριους άξονες αδράνειάς της, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: )

I = m 1, I = m 1, I = m 1 ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ), 3) και ) παίρνουµε: L = m 1 " + m 1 " e L = m " 30 + e ) ) Eξάλλου η 1) λόγω των ) παίρνει τη µορφή: = + e = e + e ) 6) και H γωνία θ των διανυσµάτων L υπολογίζεται µέσω του εσωτερικού γινοµένου L " ) για το οποίο ισχύει: L " ) = L " " = L )/L " = m / 30) / ) + ) m / 30) / ) = Kαθώς η πλάκα περιστρέφεται το διάνυσµα παραµένει σταθερό, ενώ το διάνυσµα L περιστρέφεται στον χώρο περί το κέντρο µάζας C διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, που έχει κορυφή το C, ο άξονάς του συµπίπτει µε τον άξονα περιστροφής ΑΒ της πλάκας και η γωνία της κορυ φής του είναι θ βλέπε σχήµα). P.M. fsikos Ένας λεπτός κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας R, στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και σχηµατίζει γωνία φ µε την κάθετη στο επίπεδό του διεύθυνση i) Eάν είναι η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσ κου, να βρείτε την ροπή περί το κέντρο του, των δυνάµεων που αναπτύσσονται στα έδρανα στήριξης του άξονά του. ii) Nα υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του δίσκου. Δίνεται ότι, η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον κάθετο στο επίπεδό του άξονα και διερχόµενο από το κέντρο του είναι I=mR /. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα Ο κύριων αξόνων αδρά νειας του δίσκου, ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτόν, του οποίου η αρχή είναι

το κέντρο O του δίσκου, ο άξονας Ο είναι η κάθετος στο επίπεδό του, ο άξονας Ο είναι η τοµή του δίσκου µε το επίπεδο που ορίζει ο άξονας περιστροφής και ο άξονας Ο, ενώ ο άξονας Ο είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό βλέπε σχήµα). Οι προβολές ω, ω, ω της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου στους τρεις αυτούς άξονες είναι: ω =ωσυνφ, ω =-ωηµφ, ω =0 1) Άρα η γωνιακή ταχύτητα εκφραζόµενη µε όρους του συστήµατος Ο δίνεται από τη σχέση: 1) = + e + e = " - µ e ) όπου e, e, e τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ο, O, O αντι στοίχως. Εξάλλου η στροφορµή L του δίσκου περί το Ο εκφραζόµενη και αυτή µε όρους του συστήµατος Ο είναι: L = I + I e + I e L = I " - I µ e 3) όπου Ι, Ι, Ι οι ροπές αδράνειας του δίσκου ως προς τους κύριους άξονες αδράνειας Ο, O, O αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: I = mr, I = I = mr Εάν είναι η ροπή περί το Ο όλων των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα δίσκος-άξονας περιστροφής, θα ισχύει σύµφωνα µε τον νόµο µεταβολής της στροφορµής η σχέση: = d L / ) όπου d L / ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής θεωρούµενος από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς λογουχάρη από το σύστηµα αναφοράς του εδάφους). Όµως ο ρυθµός αυτός συνδέεται µε τον αντίστοιχο ρυθµό µετα βολής d L /), όταν αυτή εξετάζεται από το περιστρεφόµενο µη αδρα νειακό) σύστηµα Ο, µέσω της σχέσεως: d L = d L " ) ) + ) L " = d L + ) * L ) ) 6) Όµως από τη σχέση ) προκύπτει ότι d L /) = 0, οπότε η 6) γράφεται:

) = " L ),3) [ ] = " e - "µ e )I " e - I "µ e ) = - I " µ e e ) - I " µ e e ) ) = - mr " µ - e ) - mr " µ e ) = mr " µ e = mr 8 " µ e 7) δηλαδή η ροπή έχει την κατευθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος e, που σηµαίνει ότι είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής του δίσκου. Επειδή η ροπή του βάρους του δίσκου περί το Ο είναι µηδενική, η ροπή αποτελεί την ροπή περι το Ο των δυνάµεων που δέχεται ο άξονας περιστροφής από τα έδρανα. ii) H κινητική ενέργεια Κ του δίσκου υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: K = I + I + I 1),) K = mr " + mr 8 µ K = m R " + µ * ), + " = m R 1 - µ * ), + P.M. fsikos Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτί νας R στρέφεται περί το κέντρο µάζας του Ο, το οποίο είναι ακίνητο ως προς ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν Κ είναι η κινητική ενέργεια του δίσκου και L η στροφορµή του περί το κέντρο µάζας του κατά µια χρονική στιγµή, να δείξετε ότι η προβο λή της αντίστοιχης γωνιακής ταχύτητας του δίσκου στον άξονα Ο, που είναι κάθετος στο επίπεδό του δίνεται από τη σχέση: = mr L - mr K Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Ο είναι Ι =mr / ΛΥΣΗ: Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Ο ακλόνητα συνδε δεµένο µε τον δίσκο, του οποίου η αρχή είναι το κέντρο µάζας Ο του δίσκου, οι δε άξονές του συµπίπτουν µε τρεις κύριους άξονες αδράνειας του δίσκου εκ των οποίων ο Ο είναι κάθετος στο επίπεδό του, ενώ ο Ο και Ο ανήκουν στο επίπεδο αυτό. Κατά την περιστροφή του δίσκου η γωνιακή του

ταχύτητα και η στροφορµή του L εκφράζονται κάθε στιγµή µε όρους του συστήµατος O, µέσω των σχέσεων: = + e + e " L = I + I e + I e L = I, L = I, L = I 1) όπου e, e, e τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ο, O, O αντιστοί χως, ω, ω, ω oι προβολές της γωνιακής ταχύτητας στους άξονες αυτούς, L, L, L oι αντίστοιχες προβολές της στροφορµής και Ι, I, I οι αντίστοιχες ροπές αδράνειας του δίσκου ως προς τους άξονες, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: I = I = mr / και Ι = mr / ) Εξάλλου η κινητική ενέργεια Κ του δίσκου δίνεται από τη σχέση: K = I + I + I Όµως ισχύει και η σχέση: 1),) K = L + L I + L 3) I L = L + L + L L - L = L + L όποτε η 3) παίρνει τη µορφή: K = L - L I + L 1) I K = L - I I + I ) I K = L mr - mr + mr mr = L mr - K m R = 8L - KmR mr = L - KmR = mr L - KmR P.M. fsikos

Σε οµογενή λεπτό δίσκο µάζας m και ακτίνας R έχει προσαρµοσθεί αβαρής λεπτή ράβδος µήκους R, η οποία είναι αλκόνητη και διευθύνεται κάθετα προς τον δίσκο, το δε µέσο της συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C του δίσκου. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ώστε ένα σηµείο Α της περιφέρειας του δίσκου και το ένα άκρο Β της ράβδου να στηρίζον ται στο επίπεδο. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου θέτουµε το σύστηµα σε κίνηση, µε το κέντρο µάζας του δίσκου να είναι ακίνητο αµέσως µετά την έναρξη της κίνησης, ενώ υπάρχει περιστροφή του συστήµατος περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας µε γωνιακή ταχύτητα 0. i) Να εκφράσετε την στροφορµή του συστήµατος περί το κέντρο µάζας C και ii) να υπολογίσετε τις αντιδράσεις του εδάφους στα σηµεία στήρι ξης Α και Β. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας Ι του δίσκου ως προς την διεύθυνση της ράβδου είναι Ι=mR /. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων C, του οποίου η αρχή είναι το κέντρο µάζας C του δίσκου, οι δε άξονές του αποτε λούν τρεις κύριους άξονες αδράνειας του δίσκου εκ των οποίων ο C ταυτί ζεται µε την ράβδο, ο C είναι η τοµή του δίσκου µε το κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τη ράβδο, οπότε ο τρίτος άξονας C θα είναι οριζόντιος βλέπε σχήµα). Κατά την κίνηση του συστήµατος αυτό δέχεται το βάρος m g του δίσκου και τις κατακόρυφες αντιδράσεις F A και F B στα σηµεία στήριξής του µε το οριζόντιο επίπεδο. Συµφωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας οι δυνάµεις που αναφέρθηκαν προηγούµενα δεν προσδίδουν οριζόντια επιτάχυνση στο κέντρο µάζας, αλλά ούτε και κατακόρυφη επιτάχυνση που σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας ή θα ακινητεί ή θα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Όµως οι αρχικές συνθήκες κίνη σης αποκλείουν το δεύτερο ενδεχόµενο, οπότε το κέντρο µάζας θα είναι συνεχώς ακίνητο. Εξάλλου οι ροπές των δυνάµεων περί τον άξοναc είναι µηδενικές, διότι οι φορείς τους τέµνουν τον άξονα αυτόν, οπότε η τρίτη εξί σωση του Εuler εξίσωση που αναφέρεται στον άξονα C) για το εξεταζόµε νο σύστηµα έχει τη µορφή:

I d - I - I ) " = 0 1) όπου ω, ω, ω οι προβολές της γωνιακής ταχύτητας του συστήµατος στους άξονες C, C, C αντιστοίχως και Ι, I, I οι αντίστοιχες ροπές αδρά νειας του δίσκου ως προς τους άξονες αυτούς. Όµως ισχύουν οι σχέσεις: I = mr / και I = I = mr / οπότε η 1) γράφεται: I d = 0 d = 0 = σταθερό ) Εξάλλου κατά την κίνηση του συστήµατος η γωνία θ παραµένει σταθερή και ίση µε π/, δηλαδή η χρονική παράγωγος dθ/ είναι µηδενική που σηµαίνει ότι η προβολή ω είναι µηδενική, αφού εκφράζει την ποσότητα dθ/. Aκόµη είναι γνωστό ότι η κινητική ενέργεια Κ του συστήµατος δίνεται από τη σχέ ση: K = I + I + I = mr + " 3) Επειδή οι δυνάµεις που ενεργούν στο σύστηµα δεν παραγουν έργο κατά την κίνησή του, η κινητική ενέργεια Κ διατηρείται σταθερή και σύµφωνα µε τις σχέσεις ) και 3) θα είναι και ω =σταθερή, Όµως την χρονική στιγµή t=0 ισχύει: = 0 " /) = 0 / ) = 0 µ /) = 0 / *) Άρα κάθε στιγµή θα έχουµε: = = 0 / H στροφορµή L του συστήµατος περί το κέντρο µάζας του C δίνεται από τη σχέση: L = I + I e + I e L = mr " 0 + 0 + 0 e = mr 0 + e ) ) όπου e, e, e τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων C, C, C αντιστοί χως. ii) Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής L θεωρούµενος στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους συνδέται µε τον αντίστοιχο ρυθµό µεταβολής στο στρεφό µενο µη αδρανειακό) σύστηµα C µέσω της σχέσεως:

d L = d L " ) ) + ) L Όµως σύµφωνα µε τον γενικευµένο νόµο µεταβολής της στροφορµής ισχύ ει: d L = ) " = d L + ) * L ) = 0 + " ) L ) = " 0 + e ) ) mr " 0 + e ) = mr " 0 = mr " 0 = - mr " 0 e όπου Όµως για την ροπή [ + e ) e + e )] [ e ) + e e )] ) = - mr " 0 e 6) η συνολική ροπή περί το C των δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα. ισχύει και η σχέση: F A ) + CB " F B = CA " = -R ) = -F A R e + F R B e F A - F B ) e 7) Συνδυάζοντας τις 6) και 7) παίρνουµε: mr 0 = R F A - F B ) F A - F B = mr 0 8) Όµως λόγω της ακινησίας του κέντρου µάζας έχουµε και τη σχέση: F A + F B = mg 9) Από την λύση του σύστήµατος των 8) και 9) υπολογίζονται τα µέτρα των αντιδράσεων F A και F B. P.M. fsikos Ένα σώµα που παρουσιάζει άξονα συµµετρίας στρέφεται περί τον άξονα αυτόν µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα 0,

ένώ ένα σηµείο Ο του άξονα είναι διαρκώς ακίνητο. Στο σώµα ασκείται µια σχετικώς µικρή σταθερή δύναµη F, της οποίας ο φορέας τέµνει τον άξονα συµµετρίας σε σηµείο που απέχει από το Ο απόσταση r, µε αποτέλεσµα ο άξονας αυτός να εκτελεί κανονική µετάπτωση. Να δείξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα µεταπτώσεως µ ικανοποιεί τη σχέση: r µ = - F I" 0 όπου Ι η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα συµµετ ρίας του. ΛΥΣΗ: Η ροπή της δύναµης F περί το σταθερό σηµείο Ο του άξονα συµµετρίας Ο του σώµατος, δίνεται από τη σχέση: = r " F ) = r e " F ) = r e " F ) 1) όπου r το διάνυσµα θέσεως ως προς το Ο του σηµείου τοµής Μ του φορέα της F µε τον άξονα συµµετρίας Ο και e το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα. Εάν d L / είναι o ρυθµός µεταβολής της στροφορµής L του σώµατος κατά µια τυχαία χρονική στιγµη t, θα ισχύει συµφωνα µε τον νόµο µεταβολής της στροφορµής η σχέση: d L / = 1) d L / = r e F ) ) Eπειδή ο άξονας συµµετρίας του σώµατος εκτελεί κανονική µετάπτωση η στροφορµή του L έχει συνεχώς την κατεύθυνση του e και µάλιστα ισχύει: L = I = I e 3) όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος περί τον άξονα συµ µετρίας του. Λαµβάνοντας το εωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων L και d L / έχουµε:

" d L L = r e F ) I) e = ri) e e ) F = 0 ) H σχέση ) εξασφαλίζει ότι κατά την κίνηση του σώµατος η στροφορµή του διατηρεί σταθερό µέτρο, που σηµαίνει ότι και το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητας θα είναι σταθερό δηλαδή ίσο µε Ω 0. Παραγωγίζοντας εξάλλου ως προς τον χρόνο t τη σχέση ) παίρνουµε: d L = I 0 d e ) r e F d e ) = I" 0 d e = - r F " e I ) ) 0 Θέτοντας µ =-r F /I" η ) γράφεται: d e = µ " e ) 6) H ) εκφράζει ότι το διάνυσµα e στρέφεται στον χώρο περί το Ο µε γωνια κή ταχύτητα µ διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, που έχει κορυφή το Ο και άξονα συµµετρίας τον σταθερό φορέα της δύναµης F. Aυτό σηµαίνει ότι ο άξονας συµµετρίας Ο του σώµατος εκτελεί µεταπτω τική κίνηση µε γωνιακή ταχύτητα µετάπτωσης µ. P.M. fsikos Οµογενής σφαίρα µαζας m και ακτίνας R βρίσ κεται ακίνητη πάνω σε µη λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγ µή δέχεται σε σηµείο της Μ ώθηση βραχείας χρονικής διάρκει ας, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ<π/ και κατευθύνεται προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο σχήµα. i) Εάν η σφαίρα κυλίεται επί του οριζόντιου επιπέδου, να δείξετε ότι το κέντρο µάζας της κινείται προς την κατεύθυνση του διανύσ µατος OA, όπου Α το σηµείο στο οποίο ο φορέας της ώθησης τέµ νει το οριζόντιο επίπεδο O και Ο το σηµείο επαφής της σφαίρας µε το επίπεδο αυτό. ii) Eάν 0, 0, 0) είναι οι συντεταγµένες του σηµείου Α ως προς το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Ο, να βρεθεί το µέτρο της ταχύ τητας του κέντρου µάζας της σφαίρας αµέσως µετά την έναρξη της κίνησής της. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της.

ΛΥΣΗ: i) Αµέσως µετά την δράση της ώθησης η σφαίρα αποκτά µεταφο ρική και στροφική κίνηση κατά την εξέλιξη της οποίας το σηµείο επαφής της µε το οριζόντιο επίπεδο έχει µηδενική ταχύτητα, αφου η σφαίρα κυλίε ται. Η µεταφορική κίνηση αναλύεται σε δύο επιµέρους µεταφορικές κινήσεις κατα τις διευθύνσεις των αξόνων Ο και Ο, ενώ κατά τον άξονα O δεν υπάρχει µεταφορική κίνηση. Εξάλλου η στροφική κίνηση της σφαίρας αναλύεται σε τρεις επιµέρους στροφικές κινήσεις περι τους άξονες Ο, Ο και Ο, δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας αµέσως µετά την έναρ ξη της κινήσεώς της παρουσιάζει τρεις συνιστώσες, µε προβολές ω, ω, ω στους τρείς αυτούς άξονες. Εφάρµόζοντας για την σφαίρα κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που δρά η ώθηση το θεώρηµα µεταβολής της στροφορµής θεωρούµενης περί το σηµείο Ο, παίρνουµε τη σχέση: "t = " L όπου η συνισταµένη ροπή περί το Ο των εξωτερικών δυνάµεων που δέχε ται η σφαίρα κατά τον χρόνο Δt και L η αντίστοιχη µεταβολή της στροφορ µής της περί το Ο. Όµως οι ροπές του βάρους της σφαίρας και της δύναµης επαφής από το οριζόντιο επίπεδο περί το Ο είναι µηδενικές, οπότε η 1) γράφεται: OA F )"t = " L OA F "t) = " L OA " ) = L ) όπου F η δύναµη που αντιστοιχεί στην ώθηση. Εξάλλου εάν Ω, Ω, Ω είναι οι προβολές της στους άξονες Ο, Ο, Ο αντιστοίχως και i, j, k τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών, θα έχουµε: OA " ) = i j k 0 0 0 = " 0 " " " 1) i - " 0 j + " 0 - " 0 ) k 3) Επειδή οι άξονες Ο, O, O αποτελούν κύριους άξονες αδράνειας της σφαίρας η µεταβολή L της στροφορµής της σφαίρας περί το Ο, υπολογίζε ται από τη σχέση:

L = I " i + I " j + I " k ) = I " i + I " j + I " k L = I " - 0) i + I " - 0) j + I " - 0) k = I " i + I " j + I " k ) όπου Ι, Ι, Ι οι ροπές αδράνειας της σφαίρας ως προς τους άξονες αυτούς, για τις οποίες έχουµε τις σχέσεις: I = I = I + mr = mr / + mr = 7mR / και I = mr / ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ), 3) και ) παίρνουµε: I = " 0 I = -" 0 I = " 0 - " 0 = " 0 /I = -" 0 /I = " 0 - " 0 )/ I ) = " 0 /7mR = -" 0 /7mR = " 0 - " 0 )/ mr 6) Eξάλλου λόγω της κυλίσεως της σφαίρας η ταχύτητα του σηµείου Ο στο τέλος του χρόνου Δt είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: v O = 0 v C + r O " ) = 0 v C - " r O ) = 0 v C = " r O ) v C = v C = - 0 7mR v C = 7mR i - 0 7mR i j k 0 0 R j = 7mR 0i + 0 j = R i - R 6) j ) "OA 7) δηλαδή η ταχύτητα v C του κέντρου µάζας της σφαίρας αµέσως µετά τη δρά ση της ώθησης είναι οµόρροπη του διανύσµατος OA. ii) Το µέτρο της ταχύτητας v C, σύµφωνα µε τη σχέση 7) είναι: v C = " OA = 7mR 7mR 0 + 0 P.M. fsikos

Οµογενής λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, µετατοπίζεται ώστε το ένα της άκρο Α να κινείται χωρίς τριβή επί κατακορύφου άξονα ΟΖ, ενώ το άλλο της άκρο Β κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ΟΧΨ, όπως φαίνεται στο σχήµα. Θεωρούµε κινητό σύστηµα κύριων αξόνων αδράνειας της ράβδου µε αρχή το άκρο της Α, µε άξονα Α κατά τη διεύθυνση της ράβ δου, µε άξονα Α κάθετο στο επίπεδο της ράβδου και του κατακό ρυφου άξονα ΟΖ και άξονα Α επί του επιπέδου αυτού. i) Εάν L είναι η στροφορµή της ράβδου περί το άκρο Α. να δείξετε τη σχέση: L k ) = " όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα ΟΖ και λ σταθερή ποσό τητα. ii) Εάν φ είναι η αζιµουθιακή γωνία του άκρου Β ως προς τον άξονα ΟΧ και θ η γωνία της ράβδου µε τον κατακόρυφο άξονα, να δείξετε τη σχέση: L = - ml 3 d e + d" µ e ) όπου e, e τα µοναδιαία διανύσµατα των κύριων αξόνων αδράνει ας Α και Α αντιστοίχως. iii) Να δείξετε ακόµη τη σχέση: d "µ = - 3 ml Δίνεται ότι η ροπή άδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρ χεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος στην ράβδο είναι ίση µε ml /3. ΛΥΣΗ: i) H ράβδος ςτην διάρκεια της κίνησής της δέχεται το βάρος της m g, την κατακόρυφη αντίδραση N του λείου οριζόντιου επιπέδου ΟΧΨ και την δύναµη αντίδρασης του κατακορύφου άξονα ΟΖ, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το άκρο Α της ράβδου. Επειδή το άκρο Α κινείται ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής L της ράβδου περί το Α είναι ίσος µε την συνολική ροπή περί το Α των δυνάµεων που δέχεται η ράβδος, µείον την ποσότητα v A m v C ), όπου v A, v C οι ταχύτητες του άκρου Α και του κέντρου µάζας C της ράβδου αντίστοιχα, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧΨΧ, δηλαδλη ισχύει η σχέση: d L / = AC m g ) + AB N ) - v A m v C ) 1)

Όµως τα διανύσµατα ACm g ) και AB N ) είναι κάθετα στο επίπεδο ΑΟΒ το δέ διάνυσµα v A m v C ) είναι επίσης κάθετο προς το επίπεδο αυτό, αφού τα διανύσµατα v A και v C είναι πάνω στο επίπεδο. Έτσι από τη σχέση 1) προκύπτει ότι το διάνυσµα d L / είναι κάθετο στο επίπεδο ΑΟΒ, δηλαδή κάθετο στο µοναδιαίο διάνυσµα k, οπότε θα ισχύει: " d L k = 0 όπου λ σταθερή ποσότητα. d L k ) = 0 L k ) = " ) ii) H θέση της ράβδου στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧΨΖ καθορί ζεται κάθε στιγµή από τις γωνίες φ και θ ή το ίδιο από την αντίστοιχη θέση του κινητού συστήµατος συντεταγµένων Α. Η στιγµιαία γωνιακή ταχύ τητα της ράβδου διαµορφώνεται από τις χρονικές µεταβολές των γωνιών φ και θ, όπου η µεταβολή της θ δηµιουργεί γωνιακή ταχύτητα αντίρροπη προς το µοναδιαίο διάνυσµα e, η δε µεταβολή της φ δηµιουργεί γωνιακή ταχύτητα αντίρροπη προς το µοναδιαίο διάνυσµα k του άξονα ΟΖ. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: = - d" e - d k 3) Εξάλλου εάν ω, ω, ω είναι οι προβολές της γωνιακής ταχύτητας στους κύριους άξονες αδράνειας της ράβδου, θα έχουµε τις σχέσεις: = " = " = " ) e ) e ) 3) = - [d" / ) e + d / ) k ] = - [d" / ) e + d / ) k ] e = - [d" / ) e + d / ) k ] e

= -d" / ) k ) =d" / ) = - d / ) ) = - d / = -d" / ) k e ) = - d" / )µ ) + * +, ) Eάν I, Ι, I έιναι οι ροπές αδράνειας της ράβδου ως προς τους άξονες Α, A, A αντιστοίχως, θα έχουµε: Ι =0, I =I =ml /3 Η στροφορµη L περί το Α υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: ) L = I + I e + I e L = 0 + ml 3 L = - ml 3 " - d e + ml " - d 3 )µ e d e + d" µ iii) Από τη σχέση ) έχουµε: L k ) = - ml 3 e ) ) d" e k ) + d µ" e k ) )* ) = - ml 3 d" e k ) + d µ" e k ) ) + * = - ml 3 *, + d" 0 + d - µ") / - ")/. d "µ = - 3 ml = σταθερό P.M. fsikos