ΜΕΡΟΣ Β! Στρόβος ελεύθερος από εξωτερικές ροπές

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Β Στρόβος ελεύθερος από εξωτερικές ροπές Θεωρούµε µια συµµετρική σβούρα στην οποία έχει δοθεί µε κατάλληλο τρό πο αρχική περιστροφική κίνηση περί άξονα που δεν συµπίπτει µε τον άξονα συµµετρίας της και η οποία καποια στιγµή έρχεται σε επαφή µε την µύτη της µε οριζόντιο έδαφος. Υποθέτουµε ότι το βάρος της σβούρας είναι πολύ µικρό, ώστε µε καλή προσέγγιση να αγνοηθεί η επίδραση του βαρυτικού πεδίου της Γης στην κίνησή της. Επιλέγουµε για την µελέτη της κίνησης της σβούρας ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧYΖ, του οποίου η αρχή Ο συµπίπτει µε την µύτη της σβούρας και ένα σύστηµα κύριων αξόνων αδράνειας Οy αυτής, άρρηκτα συνδεδεµένο µε τη σβούρα, του οποίου ο άξονας Ο είναι ο άξονας συµµέτριας της σβούρας ενώ οι δύο άλλοι άξονες βρίσκονται στο κάθετο επί τον άξονα Ο επίπεδο. Eάν Ι, I y, είναι οι ροπές αδράνειας της σβούρας ως προς τους άξονες Ο, Oy, O αντιστοίχως θα ισχύει Ι =I ψ = και έστω ότι τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της σβούρας επι Σχήµα 8 βάλλουν Ι <. Εξετάζοντας την σβούρα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t παρατηρούµε ότι αυτή δεν δέχεται καµιά εξωτερική ροπή περί το Ο, οπότε οι εξισώσεις Euler που περιγράφουν την κίνησή της έχουν τη µορφή: I (d /) - (I y - ) y = 0 I y (d y /) - ( - I ) = 0# (d /) - (I - I y ) = 0 (d /) - ( - ) y = 0 (d y /) - ( - ) = 0# d / = 0

2 d / - (1 - / ) y = 0 d y / + (1- / ) = 0# d / = 0 d / - (1 - / ) y = 0 d y / + (1- / ) = 0# = C d / - k y = 0 d y / + k = 0# = C όπου ω, ω y, ω οι προβολές της γωνιακής ταχύτητας της σβούρας στους κινητούς άξονες Ο, Oy, O αντιστοίχως, k=c(1- /Ι 0 ) και C σταθερή ποσό τητα. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t την πρώτη εκ των εξισώσεων (1) παίρνουµε: (1) d - k d y = 0 η οποία λόγω της δεύτερης εκ των (1) παίρνει τη µορφή: d + k = 0 () Η () αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: = Aµ (kt + # 0 ) (3) όπου Α, φ 0 σταθερές ολοκλήρωσης που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της σβούρας. Αν δεχθούµε ότι τη χρονική στιγµή t=0 που η σβούρα αφήνεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος είναι ω =0, τότε η σταθερά φ 0 είναι µηδενική και η (3) γράφεται: = Aµkt (4) Συνδυάζοντας την (4) µε την πρώτη εκ των εξισώσεων (1) παίρνουµε τη σχέ ση: d ( Aµkt ) + k y = 0 Ak#kt + k y = 0 y = -A#kt (5) Εποµένως η γωνιακή ταχύτητα της σβούρας στο σύστηµα αναφοράς Οy των κύριων αξόνων της έχει τη µορφή: (4),(5) = e + y e y + e = Aµkt e - A#kt e y + C e (6) όπου e, e y, e τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών. Από την (6) προκύπτει ότι το µέτρο της ικανοποιεί τη σχέση:

3 = A µ kt+ A #kt + C = A + C = A + C = σταθερό Εξάλλου η γωνία α που σχηµατίζει το διάνυσµα µε τον άξονα συµµετρίας Ο της σβούρας απολογίζεται από τη σχέση: # = = C A + C (7) Σχήµα 9 Σχήµα 10 που σηµαίνει ότι η γωνία α είναι σταθερή, δηλαδή κατά την εξέλιξη της κίνη σης της σβούρας το διάνυσµα της γωνιακής της ταχύτητας εκτελεί µεταπτω τική κίνηση περί τον άξονα συµµετρίας της, διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, που ονοµάζεται κώνος χώρου και είναι ακίνητος σε σχέση µε την σβούρα αλλά κινούµενος σε σχέση µε ένα αδρανειακό παρατη ρητή που έχει εγκατασταθεί στο σύστηµα ΟΧYZ (σχήµα 9). Η κυκλική συχνότητα της µεταπτωτικής αυτής κίνησης είναι ίση µε k. Η στροφορµή L της σβούρας περί το Ο στο σύστηµα αναφοράς των κύριων αξόνων αδράνειας υπολογίζεται από τη σχέση: L = e + y e y + e = Aµkt e - A#kt e y + C e (8) δήλαδή το µέτρο της στροφορµής και η διεύθυνση της σχηµατίζει µε τον άξονα συµµετρίας σταθερή γωνία β για την οποία ισχύει η σχέση: # = L L = = C (9) I 0 A + I C ( A/ ) + C Επειδή δεχθήκαµε για την σβούρα τη σχέση Ι 0 >Ι, από την σύγκριση των σχέσεων (7) και (9) προκύπτει συνβ<συνα ή β>α, δηλαδή το διάνυσµα L της στροφορµής βρίσκεται µεταξύ των διανυσµάτων και ή το ίδιο µεταξύ του άξονα συµµετρίας και του στιγµιαίου άξονα περιστροφής της σβούρας. (σχήµα 10). Από την γεωµετρία του σχήµατος αυτού προκύπτουν οι σχέσεις:

4 # = y / = y / C = L y / L = y / = y / C( # = # = (10) Εξάλλου η σχέση (8) γράφεται: L = (Aµkt e - A#kt e y ) + C e L = ( - C e ) + C e L = + C( - ) e = L - C(I - I ) 0 e = L - k e (11) η οποία δηλώνει ότι τα διανύσµατα L, και e είναι συνεπίπεδα. Αν τώρα εξετάσουµε την κίνηση της σβούρας από το αδρανειακό σύστηµα ΟΧYZ παρα τηρούµε ότι η στροφορµή της στο σύστηµα αυτό παραµένει σταθερή, διότι καµιά ροπή δεν εξασκείται σ αυτήν περί το Ο. Επιλέγοντας τον άξονα ΟΖ του αδρανειακού συστήµατος κατά τη διεύθυνση της σταθερής στροφορµής, παρατηρούµε ότι το µοναδιαίο διάνυσµα e του άξονα συµµετρίας της σβού ρας εκτελεί στο αδρανειακό σύστηµα περιστροφή, µε γωνιακή ταχύτητα και η χρονική του µεταβολή* του δίνεται από τη σχέση: d e = # d e = d e # L ( e ) = + ( ) e - k e ( e ) 0 + ( ) ( e ) d e (11) d = # e = L e # L - k e e = L Z I 0 e (1) # 0 Σχήµα 11 όπου Z 0 το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα στροφορµής ΟΖ της σβούρας. Η σχέση (1) δηλώνει ότι το διάνυσµα e φαίνεται από το αδρανειακό σύστη * Στο µη αδρανειακό σύστηµα Οy το µοναδιαίο διάνυσµα e δεν µεταβάλλεται χρονικά, ενώ στο αδρανειακό ΟΧYZ περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα.

5 µα ΟXYZ ότι περιστρέφεται περί τον σταθερό φορέα ΟΖ της στροφορµής µε γωνιακή συχνότητα L/Ι 0 δηλαδή εκτελεί µεταπτωτική κίνηση διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου που ονοµάζεται κώνος κλονήσεως. Η κίνηση αυτή του άξονα συµµετρίας της σβούρας υποπίπτει άµεσα στην αντίληψη του αδρανειακού παρατηρητή και ονοµάζεται κλόνηση του άξονα. Επειδή η γωνιακή ταχύτητα της σβούρας διατηρεί σταθερή γωνία µε τον άξονα συµµετρίας της, σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα της σβούρας εκτελεί µετάπτωση περί τον σταθερό άξονα στροφορµής µε γωνιακή συχνό τητα L/Ι 0, διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου που ονοµά ζεται κώνος σώµατος. Ο κώνος αυτός εφάπτεται εξωτερικά του κώνου χώρου της σβούρας και κάθε στιγµή η κοινή γεννέτειρα των δύο αυτών κώνων καθορίζει την διεύθυνση του στιγµιαίου άξονα περιστροφής της σβούρας (σχήµα 9). Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να ισχυριστούµε ότι κατά την κίνηση της σβούρας ο κώνος σώµατος κυλίεται εξωτερικά επί του κώνου χώρου και η κοινή τους γεννέτειρα αποτελεί κάθε στιγµή τον αντί στοιχο άξονα περιστροφής της σβούρας, δηλαδή τον φορέα της γωνιακής της ταχύτητας. Παρατήρηση: Eάν η σβούρα είναι πεπλατυσµένη, τότε θα ισχύει Ι >Ι 0, οπό τε στην περίπτωση αυτή το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας θα βρίσκεται µεταξύ του διανύσµατος της στροφορµής και του άξονα συµµετρίας της σβού Σχήµα 1 Σχήµα 13 ρας (β<α) (σχήµα 13). Αυτό σηµαίνει ότι ο κώνος χώρου θα εφάπτεται εσωτερικά του κώνου σώµατος (σχήµα 1) η δε κοινή εσωτερική γεννέτειρα των δύο κώνων θα παρέχει κάθε στιγµή την διεύθυνση του αντίστοιχου άξονα περιστροφής της σβούρας. Στρόβος υπό την επίδραση εξωτερικών ροπών Θεωρούµε µια σβούρα που παρουσιάζει άξονα συµµετρίας, την οποία θέτουµε σε περιστροφή περί τον άξονα αυτόν και κάποια στιγµή την αφήνουµε ελευ θερη ώστε η µύτη της να έλθει σε επαφή µε το οριζόντιο έδαφος. Η µάζα της σβούρας έχει αρκετά µεγάλη τιµή, ώστε η βαρύτητα να επηρεάζει την κίνησή της. Για την µελέτη της κίνησης της σβούρας επιλέγουµε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧYZ του οποίου η αρχή Ο είναι το σηµείο επαφής της

6 σβούρας µε το έδαφος οι δε άξονές του ΟΧ, ΟY να βρίσκονται επί του εδά φους. Επίσης επιλέγουµε κινητό σύστηµα αναφοράς Οy ακλόνητα συνδεδε µένο µε τη σβούρα του οποίου οι άξονες ταυτίζονται µε τρεις κύριους άξονες αδράνειας της σβούρας και µάλιστα ο άξονας Ο ταυτίζεται µε τον άξονα συµµετρίας της, ο άξονας Ο ταυτίζεται µε την τοµή του οριζόντιου επιπέ δου και του επιπέδου που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετο στον άξονα Σχήµα 14 συµµετρίας, οπότε ο άξονας Οy θα βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο αλλά θα είναι στο ίδιο επίπεδο µε τους άξονες ΟΖ, Ο (σχήµα 14). Eάν C είναι η προβολή του κέντρου µάζας C της σβούρας στο οριζόντιο επίπεδο, τότε η θέση του καθορίζεται κάθε στιγµή από την γωνία φ που σχηµατίζει η ΟC µε τον άξονα ΟΧ, ονοµάζεται δε αζιµουθιακή γωνία του κέντρου µά ζας της σβούρας. Εξάλλου η γωνία θ που σχηµατίζει ο άξονας συµµετρίας Ο της σβούρας µε τον άξονα ΟZ αποτελεί την λεγόµενη πολική γωνία του κέντρου µάζας. Κατά την κίνηση της σβούρας οι δύο αυτές γωνίες µεταβάλ λονται, όµως κάθε στιγµή καθορίζουν τη θέση του κινητού (µη αδρανειακού) συστήµατος Οy, δηλαδή τη θέση της σβούρας στο αδρανειακό σύστηµα ΟΧYZ, που σηµαίνει ότι η κίνηση της σβούρας περιγράφεται από δύο συναρτήσεις φ=φ(t) και θ=θ(t) που εκφράζουν τη χρονική µεταβολή των γωνιών φ και θ αντιστοίχως. Η χρονική παράγωγος dφ/ περιγράφει την περιστροφή του άξονα συµµετρίας της σβούρας περί τον σταθερό άξονα ΟZ του αδρανειακού συστήµατος. Η περιστροφική αυτή κίνηση ονοµάζεται µετάπτωση και γίνεται µε γωνιακή ταχύτητα µ, για την οποία ισχύει: µ = (d /) k (1) όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα ΟΖ. Η χρονική παράγωγος dθ/ περιγράφει την µεταβολή της κλίσεως του άξονα συµµετρίας της σβούρας σε σχέση µε τον σταθερό άξονα ΟΖ. Η κίνηση αυτή του άξονα συµµετρίας ονοµά ζεται κλόνηση και γίνεται µε γωνιακή ταχύτητα, για την οποία ισχύει: = -(d# /) e () όπου το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι σε µείωση της γωνίας θ ο κανόνας του δεξιού χεριού δίνει την κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος e.

7 του άξονα Ο. Eπειδή η γωνιακή ταχύτητα της σβούρας, κάθε στιγµή δια µορφώνεται από τις µεταβολές των γωνιών φ και θ, αλλά και από την ιδιοπε ριστροφή της περί τον άξονα συµµετρίας της Ο, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: = + + # (1),() = d k - d# e + e (3) όπου η γωνιακή ταχύτητα που περιγράφει την ιδιοπεριστροφή της σβού ρας περί τον άξονα συµµετρίας της Ο, η οποία γίνεται αντιληπτή στο κινού µενο σύστηµα Οy και e το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Ο. Για να εκφράσουµε την σε όρους του κινητού συστήµατος Οy πρέπει το µονα διαίο διάνυσµα k να αναχθεί στο σύστηµα αυτό. Επειδή το k ανήκει στο επίπεδο Οy µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: k =# e - µ e y Έτσι η σχέση (3) γράφεται: = d # e - µ ( e y ) - d e + e = - d e - d# µ e * y + d# + ( -, )/ e (4) +. Από την (4) προκύπτουν οι προβολές ω, ω y, ω του διανύσµατος στο σύ στηµα Οy, δηλαδή θα έχουµε; = - d, y = - d #µ, = d # + ( (5) H στροφορµή L της σβούρας περί το Ο εκφραζόµενη µε όρους του συστήµα τος Οy δίνεται από τη σχέση: (5) L = I e + I y e y + e L = - I d e - I d #µ ) d e y + +, + (. e (6) * - όπου Ι η κοινή τιµή των ροπών αδράνειας της σβούρας ως προς τους άξονες Ο, Oy, (η κοινή τιµή οφείλεται στην συµµετρία τους σε σχέση µε τον O). Eξάλλου η σβούρα δέχεται το βάρος της m g και τη δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αποτελεί µια δύναµη δεσµού. Η συνολική ροπή περί το Ο των δύο αυτών δυνάµεων δίνεται από τη σχέση: [ ] = (OC m g ) + 0 = L e (-mg k ) =- mgl( e k ) (7) Όµως ο ρυθµός µεταβολής d L / της στροφορµής L θεωρούµενος στο αδρα

8 νειακό σύστηµα ΟΧYZ είναι ίσος µε, δηλαδή ισχύει: d L = (7) d L = - mgl( e k ) (8) Αλλά η χρονική παράγωγος d L / εκφράζεται και µε όρους του κινητού συστήµατος Οy, µέσω της σχέσεως: d L = d L # (8) + ( ) L - mgl( e k ) = d L # ( (9) + ) L όπου (d L /) ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής θεωρούµενης στο κινη τό σύστηµα Οy. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (9) παίρνουµε: - mgl( e k ) = d 0 d -I e - I d# µ * d# e y + + ( -, )/ 3 e e e y e y (10) I I y Mετά από αρκετές πράξεις πάνω στη σχέση (10), καταλήγουµε στο επόµενο σύστηµα διαφορικών εξισώσεων: I d +( # d - I) ( # d )µ*+, + ( -. )µ = mgl)µ (11) I d µ# +(I - I ) d d# d# ) ) *+,# - I ( ) - (. = 0 (1) ( d d ) d ) # - ( + ( +,µ + d-. * * = 0 (13) H λύση των τριών αυτών διαφορικών εξισώσεων παρέχει πληροφορίες για τον τρόπο κίνησης της σβούρας, η οποία είναι εν γένει εξαιρετικά πολύπλο κη και αποτελεί επαλληλία µιας ιδιοπεριστροφής αυτής περί τον άξονα συµ µετρίας της, µιας µεταπτωτικής κίνησης και µιας κίνησης κλονήσεως του άξονα αυτού περί τον σταθερό άξονα ΟΖ του αδρανειακού συστήµατος ανα φοράς. Κανονική µετάπτωση της σβούρας Ας δεχθούµε ότι κατά την κίνηση της σβούρας η γωνία θ παραµένει χρονικά σταθερή, δηλαδή ο άξονας συµµετρίας της διαγράφει την παράπλευρη επιφά νεια ενός κώνου που η κορυφή του είναι το Ο, η γωνία της κορυφής του στα θερή και ο άξονας του κώνου συµπίπτει µε τον άξονα ΟΖ του αδρανειακού

9 συστήµατος αναφοράς. Υπό την δέσµευση αυτή θα ισχύει dθ/=0 και η τρί τη από τις διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή η (13), παίρνει τη µορφή: d # + d = 0 d ( d # + + * - = 0 ), d # + =A d# =A - (14) όπου Α σταθερή ποσότητα. Εξάλλου η πρώτη από τις τρείς διαφορικές εξισώ σεις, δηλαδή η (11), µε βάση την προηγούµενη σχέση (14) γράφεται: ( - I) d d d d (µ)*+,) + A - d # *+,) (µ) = mgl(µ) d ()*+ - ()*++ A d d - I # ()*+ = mgl ()*+ + A d + mgl = 0 (15) H (15) είναι µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς dφ/ και έχει ρίζες: d = A I# ± 1 I# A - 4ImgL# Με την προυπόθεση ότι Ι A >4ImgLσυνθ οι ρίζες αυτές είναι πραγµατικές και αν επιπροσθέτως δεχθούµε ότι η γωνιακή ταχύτητα της ιδιοπεριστροφής της σβούρας είναι πολύ µεγάλη σε σχέση µε την dφ/, τότε Α Ω π µε αποτέ λεσµα να είναι επιτρεπτή η προσέγγιση: ( I A - 4ImgL# 1-4ImgL# + * I - ), 1 / ( I A - 4ImgL# 1 - ImgL# + * I - ), A - 4ImgL# - ImgL# Στην περίπτωση αυτή οι ρίζες της (15) θα είναι: και d 1 = I*+,- + I*+,- - ImgL*+,- I *+,-. I*+,-

10 d = I*+,- - I*+,- + ImgL*+,- I *+,- = mgl Δηλαδή υπάρχουν δύο επιτρεπτές τιµές γωνιακής ταχύτητας µεταπτώσεως της σβούρας, µια µικρή mgl/ Ω π και µια µεγάλη Ι Ω π /Ισυνθ. Παρατήρηση: Η περίπτωση της κανονικής µεταπτώσεως της σβούρας µπορεί να εξετασθεί χωρίς χρήση των διαφιρικών εξισώσεων που περιγρά φουν την κίνησή της, µε τον εξής σχετικά απλό τρόπο. Αν παραδεχθούµε ότι η γωνιακή ταχύτητα της ιδιοπεριστροφής της σβούρας περί τον άξονα συµµετρίας της είναι σηµαντική, ώστε να κυριαρχεί έναντι οποιασδήποτε άλλης περιστροφής που µπορεί να εκτελέσει, τότε µπορούµε να ισχυριστού µε µε καλή προσέγγιση ότι η στροφορµή L της σβούρας θεωρούµενη στο Σχήµα 15 αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧYZ έχει κάθε στιγµή την κατεύθυνση του άξονα συµµετρίας της και δίνεται από τη σχέση: L # e (16) Εξάλλου η µοναδική ροπή περί το Ο που δέχεται η σβούρα, είναι η ροπή του βάρους της m g, αφού η η αντίδραση του εδάφους στήριξης της σβούρας διέρχεται από το Ο, δίνεται δε η ροπή αυτή από τη σχέση: = ( L m g ) = (L e m g ) = -mgl( e k (16) ) = - mgl L k # = mgl k L # (17) όπου L το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας C της σβούρας και k το µοναδιαίο διάνυσµα του σταθερού κατακόρυφου άξονα ΟΖ. Από τη σχέση (17) διαπυστώνουµε ότι το διάνυσµα είναι κάθετο στο L, που σηµαίνει ότι

11 η ροπή µεταβάλλει µόνο τη διέυθυνση της στροφορµής L, ενώ αφήνει αµετάβλητο το µέτρο της. Εξάλλου σύµφωνα µε το νόµο µεταβολής της στρο φορµής η µεταβολή d L της στροφορµής της σβούρας µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ είναι: d L = (17) d L = - mgl ( L # k ) (18 Δηλαδή το διάνυσµα d L είναι κάθετο προς τα διανύσµατα L και k, που σηµαίνει ότι βρίσκεται σε επίπεδο κάθετό στον κατακόρυφο άξονα ΟΖ, δηλα δή είναι ένα οριζόντιο διάνυσµα (σχήµα 15) Από όλα τα παραπάνω προκύ πτει ότι κατά την κίνηση της σβούρας η στροφορµή της αποτελεί ένα περιστρεφόµενο στον χώρο διάνυσµα, του οποίου το άκρο διαγράφει οριζον τια περιφέρεια, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται στον άξονα ΟΖ (σχήµα 15) Άρα ο άξονας περιστροφής της σβούρας διαγράφει την παράπλευρη επιφά νεια ενός κώνου που έχει κορυφή το Ο και κάθε γεννέτειρά του σχήµατίζει σταθερή γωνία θ µε τον άξονα ΟΖ, ίση µε µε την αντίστοιχη γωνία που σχηµατίζει η αρχική στροφορµή της σβούρας. H κίνηση αυτή του διανύσµα τος της στροφορµής L της σβούρας, που ουσιαστικά είναι και κίνηση του άξονα συµµετρίας της, αποτελεί την µετάπτωση του άξονα, η δε γωνιακή ταχύτητα περιστροφής µ του άκρου του διανύσµατος L, ονοµάζεται γωνι ακή ταχύτητα µεταπτώσεως. Tο διάνυσµα αυτό έχει φορέα τον κατακόρυφο άξονα OΖ, φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού, το δε µέτρο της είναι: µ = d / (19) όπου dφ η στοιχειώδης γωνία, κατά την οποία στρέφεται η επιβατική ακτίνα r του άκρου του διανύσµατος L, ως προς το κέντρο K, µεταξύ των χρονι κών στιγµών t και t+. Όµως ισχύει η σχέση: dl = rd = L µ# d d = dl /L µ# (0) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (19) και (0) παίρνουµε: µ = dl 1 L µ# = L µ# µ = # µ (1) Aπό όσα αναφέρθηκαν προηγουµένως προκύπτουν τα εξής συµπεράσµατα: i) Aν η σβούρα δεν έχει αρχική περιστροφική κίνηση ως προς τον άξονα συµµετρίας της (Ω π =0), τότε αν αφεθεί ελεύθερη στο στήριγµα της, υπό την επίδραση της ροπής του βάρους της θα πέσει, δηλαδή ο άξονάς της δεν θα εκτελέσει µεταπτωτική κίνηση (ω µ + ). ii) Aν η σβούρα έχει αρχική περιστροφική κίνηση (Ω π 0), τότε υπό την επίδραση της ροπής όχι µόνο δεν ανατρέπεται, αλλά ο άξονας της εκτελεί κίνηση µεταπτώσεως, µε γωνιακή ταχύτητα που είναι αντιστρόφως ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σβούρας περί τον άξονα συµµετ ρίας της.

12 iii) Eπειδή το µέτρο της ροπής τ είναι ίσο µε mglηµθ η (1) γράφεται: µ = mglµ# µ# = mgl µε αποτέλεσµα η (17) να πάρει τη µορφή: = ( µ k # L ) = µ k # L () = µ # L Mετάπτωση και κλόνηση της σβούρας Εάν κατά την κίνηση της σβούρας οι γωνίες φ και θ µεταβάλλονται βραδέως µε τον χρόνο, τότε µπορούµε να αγνοήσουµε τον όρο (dφ/) στην πρώτη από τις τρείς διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή στην (11), µε αποτέλεσµα αυτή να παίρνει τη µορφή: I d + I # d * +µ = mgl+µ I d = + mgl - I # d. - * 0 1µ (3), / Eπίσης αγνοώντας στην δεύτερη εξίσωση, δηλαδή στην (1), τον όρο που περιέχει το γινόµενο (dφ/)(dθ/) παίρνουµε: I d µ# - I d# ) ( + = 0 (4) * Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο t έχουµε: d (µ) + I d d *+,) d) d ) - I # -. = 0 I d d d ) (µ) - I # * + = 0 (5) I d όπου αγνοήθηκε και πάλι ο όρος που περιέχει το γινόµενο (dφ/)(dθ/. Συνδύαζοντας την (5) µε την(3) παίρνουµε: d (µ) - I * + I I d # mgl - * + I d (µ) = 0 d - I I d mgl + I ) I d = 0 (6) Θέτοντας dφ/=w η (6) παίρνει τη µορφή:

13 d w d + I ( ) ( I w = ) ( mgl I d (w - ) + K (w - ) = 0 (7) µε Κ=Ι Ω π /Ι και α=mgl/ι Ω π. H (7) αποτελεί µια οµογεγή διαφορική εξίσω ση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και δέχεται λύση της µορ φής: w - = Aµ (Kt + #) w = + w 0 µ (Kt + #) d = mgl + w 0 µ (Kt + ) d = mgl ) ( + w # 0 µ(kt + ) + # * Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση παίρνουµε: = mgl # t + w 0 K (Kt + ) + 0 (8) όπου w, δ, φ 0 σταθερές ολοκληρώσεως, που µπορούν να προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της σβούρας. H σχέση (4) µε βάση την (8) γράφεται: Iw 0 K#(Kt + )µ - ( d = 0 d = - Iw 0K (Kt + )(µ (9) # Aν δεχθούµε ότι λόγω της βραδείας µεταβολής της γωνίας θ ισχύει ηµθ ηµθ 0, όπου θ 0 η αρχική τιµή της θ, τότε µε ολοκλήρωση της (9) παίρνουµε: = - Iw 0 # µ (Kt + )µ 0 + = - w 0 K µ (Kt + #)µ 0 + (30) όπου λ επίσης µια σταθερά που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της σβούρας. Οι σχέσεις (8) και (30) εκφράζουν ότι στην περίπτωση βρα δείας µεταβολής των γωνιών φ και θ το άκρο της σβούρας διαγράφει κυκλι κή τροχιά που διαταράσσεται από µια παλλινδροµική κίνηση µπρος-πίσω κυκλικής συχνότητας Κ. Η κίνηση αυτή αποτελεί την λεγόµενη κλόνηση της σβούρας. Ας δούµε όµως το πρόβληµα της κλόνησης γενικότερα. Η κινη τική ενέργεια Ε κιν της σβούρας κατά µια τυχαία χρονική στιγµή δίνεται από τη σχέση: E # = I + I y + I ( + ) = I + I y + I ( + )

14 E # = I + I y + A E # = I d ( * ) + I d+ ( *,µ + A ) όπου Α σταθερή ποσότητα. H αντίστοιχη βαρυτική δυναµική ενέργεια U της σβούρας, µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο έδαφος, είναι: U = mgl# oπότε η µηχανική ενέργεια Ε της σβούρας θα είναι: E = K # + U = I d ( * ) + I d+ ( * ),µ + A + mgl-.# E - A = I d + I d( )µ + mgl*+, E= I d + I d( )µ + mgl*+, Σχήµα 16 Σχήµα 17 όπου η ποσότητα Ε είναι σταθερή, αφού η µηχανική ενέργεια της σβούρας διατηρείται σταθερή στη διάρκεια της κίνησής της. Αν οµαδοποιήσουµε τους όρους που περιέχουν µόνο τη γωνία θ, στην συνάρτηση: U() = I # d µ + mgl*+, και ονοµάσουµε την συνάρτηση αυτή ανηγµένη δυναµική ενέργεια της σβούρας, είναι σχετικά ευκολο να διαπιστώσουµε ότι υπάρχει τιµή θ 0 της γωνίας θ για την οποία η V(θ) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο (σχήµα 16) Εξάλ λου επειδη V(θ) Ε υπάρχουν δύο τιµές θ 1 και θ της γωνίας θ για τις οποίες ισχύει: V(θ 1 ) = V(θ ) = Ε

15 Οι τιµές αυτές αποτελούν την ελάχιστη αντιστοίχως την µέγιστη τιµή που µπορεί να πάρει η γωνία θ καθώς εξελίσσεται η κίνηση της σβούρας. Αυτό σηµαίνει ότι, το πάνω άκρο της της σβούρας ταλαντώνεται ανάµεσα σε δύο περιφέρειες των οποίων τα επίπεδα είναι κάθετα στον άξονα ΟΖ και αντιστοι χούν στις ακραίες τιµές θ 1 και θ της θ (σχήµα 17). Αυτή η κίνηση αποτελεί την κλόνηση του άξονα συµµετρίας της σβούρας και η µορφή της εξαρτάται από το πρόσηµο που παρουσιάζει η ποσότητα dφ/ µεταξύ των τιµών θ 1, θ. Εάν για θ 1 θ θ είναι (dφ/)>0, τότε το άκρο της σβούρας διαγράφει την καµπύλη του σχήµατος 18α. Εάν η dφ/ αλλάζει πρόσηµο καθώς η γωνία Σχήµα 18α Σχήµα 18β Σχήµα 18γ µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών θ 1 και θ το άκρο της σβούρας διαγράφει την καµπύλη 18β. Τέλος εάν για θ=θ 1 ή θ=θ η dφ/ είναι µηδενική, η τρο χιά που διαγράφει το άκρο της σβούρας έχει τη µορφή του σχήµατος 18γ. P.M. fysikos