i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.

Transcript

1 Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τη ράβδο και είναι κάθετο στον τοίχο είναι µια καµπύλη γραµµή, της οποίας η εξίσωση ως προς το ορθογώ νιο σύστηµα αξόνων Οxy έχει την µορφή: y = L - 1 L - x i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη. ii) Να βρείτε τις αντιδράσεις που δέχεται η ράβδος στις άκρες της σε συνάρτηση µε τη γωνία θ. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι η ράβδος ισορροπεί στη θέση που καθορίζεται από τη γωνία θ. Επί της ράβδου ενεργεί το βάρος της w, η αντίδραση F του κατακό ρυφου τοίχου της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και η αντίδραση R της καµπύλης επιφάνειας, η οποία είναι κάθετη στην εφαπτόµενη (ε) της τοµής της Σχήµα 1 στο άκρο B. Λόγω της ισορροπίας της ράβδου οι φορείς των τριών αυτών δυνά µεων τέµνονται στο ίδιο σηµείο Ο, τα δε µέτρα τους ικανοποιούν τις σχέσεις: R µ"/ = F µ ("- #) = w µ("/+ #)

2 R = F µ" = w #$%" R= w/"#$ & ' F= w%$$ ( (1) Aν x, y είναι οι συντεταγµένες του άκρου B στο σύστηµα αξόνων Οx, Οy, η y- συντεταγµένη του κέντρου µάζας της ράβδου είναι: y = y + L "#$ = L - 1 L - x + L "#$ () Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ Β έχουµε AB'= L - x x"# = L - x οπότε η () γράφεται: y = L - x"# + L $%# = L - x $%# &µ# + L $%# Επειδή x=lηµθ η προηγούµενη σχέση δίνει: y = L - L µ"#$%" µ" + L #$%" = L Δηλαδή η απόσταση του κέντρου µάζας της ράβδου από τον οριζόντιο άξονα Ox είναι ανεξάρτητη της γωνίας θ, που σηµαίνει ότι η βαρυτική της δυναµική ενέρ γεια U, όταν αποµακρυνθεί λίγο απο τη θέση ισορροπίας της δεν θα µεταβληθεί, δηλαδή για κάθε τιµή της θ ισχύει du/dθ=0 γεγονός που εξασφαλίζει ότι η ισορροπία της ράβδου είνα αδιάφορη. ii) Από την γεωµετρία του σχήµατος προκύπτουν οι σχέσεις: "#= x/ab' $ % ""= x / AB' & "# "# = "" = "" (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: και R = w 1 + " " = w 1 + " # / 4 = (w / ) 4 + " # F = w"" = w"# / P.M. fysikos Οµογενής τετραγωνική πλάκα µάζας m και πλευράς α στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, εδραζό

3 µενη επί λείου οριζοντίου επιπέδου. Κάποια στιγµή ενεργεί σε µια κορυφή της πλάκας ώθηση βραχείας χρονικής διάρκειας, η οποία ακι νητοποιεί την κορυφή αυτή, ενώ ταυτόχρονα απελευθερώνεται ο άξο νας περιστροφής της πλάκας. i) Εάν 0 είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πλάκας πρίν δράσει η ώθηση, να βρείτε την γωνιακή της ταχύτητα περί τον κατα κόρυφο άξονα που διέρχεται από την ακινητοποιηµένη κορυφή. ii) Να βρείτε την ώθηση που προκαλεί την µεταβολή της περιστροφι κής κατάστασης της πλάκας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =mα /6 της πλάκας ως προς τον αρχικό άξονα περιστροφής της. iii) Να δείξετε ότι η ώθηση αυτή ικανοποιεί τον νόµο µεταβολής της στροφορµής της πλάκας, ως προς τον αρχικό άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η ώθηση ενεργεί στην κορυφή Α της περιστρε φόµενης πλάκας, την οποία και ακινητοποιεί. Επειδή κατά τον χρόνο δράσεως της ώθησης, δεν ενεργεί καµία ροπή περί τον άξονα που διέρχεται από την κο ρυφή Α και είναι κάθετος στην πλάκα, η στροφορµή της πλάκας περί τον άξονα Σχήµα αυτόν δεν µεταβάλλεται στη διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει: L A A "#$ %&"' = L (µ)*+, µ)-( L + L " = I A # (1) όπου η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα της πλάκας, L η στροφορµή του κέντρου µάζας της πλάκας περί τον θεωρούµενο άξονα πριν την δράση της ώθησης και L " η στροφορµή της πλάκας περί τον αρχικό της άξονα περισ τροφής. Όµως η L είναι µηδενική, ενώ η L " είναι ίση µε I 0, οπότε η σχέση (1) γράφεται: 0 + I 0 = I A Εξάλλου κατά το θεώρηµα Steiner ισχύει η σχέση: = I 0 /I A ()

4 I A = I + m(a) = m /6 + m( /) I A = m /6 + m / = m /3 οπότε η () γράφεται: = m" /6 m" /3 0 = 0 4 (3) ii) Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας της πλάκας κατά τον χρόνο Δt, έχουµε σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης ορµής τη σχέση: m v - m 0 = F t m v = (4) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας αµέσως µετά τη δράση της ώθησης. Όµως η ταχύτητα v είναι κάθετη στην επιβατική ακτίνα A, έχει φορά που αντιστοιχεί στην περιστροφή της πλάκας µε γωνιακή ταχύτητα = 0 /4 το δε µέτρο της είναι: v = (A) = 0 4 " = " 0 8 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) συµπεραίνουµε ότι η ώθηση έχει φορά κάθετο στην A, φορά ίδια µε την φορά της ταχύτητας v και µέτρο: = m" 0 # /8 (6) iii) Η µεταβολή της στροφορµής της πλάκας ως προς τον αρχικό άξονα περιστροφής της στη διάρκεια του χρόνου Δt είναι: L = L "µ#$%& µ#'" - L = m" 3 # 0 L ()*+,-). # m" 8 = I A% m / " m" # 0 6 % 0 = - m" # I % Εξάλλου η δύναµη F που αντιστοιχεί στην ώθηση ( = F "t) έχει περί τον αρχικό άξονα περιστροφής της πλάκας ροπή (A F ), της οποίας ροπής η ώθηση για τον χρόνο Δt είναι: (A F )"t = (A F "t) = (A # ) (A " ) = (A)"#µ($ /) k = % (6) " k (5) (7)

5 (A " ) = # (A " ) = - m# 8 m$ 0 # 8 k = # m# $ 0 8 k $ 0 (8) όπου k το µοναδιαίο κάθετο επί την πλάκα διάνυσµα, του οποίου η φορά ελήφθη αντίθετη της 0. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) καταλήγουµε στην σχέση: L = (A " # ) η οποία εγγυάται ότι η ώθηση που ακινητοποιεί την κορυφή Α της περισ τρεφόµενης πλάκας είναι συµβατή προς τον νόµο µεταβολής της στροφορµής, περί τον αρχικό άξονα περιστροφής της. P.M. fysikos Μια σφαίρα µάζας m και ακτίνας r ισορροπεί εφαπτόµενη εξωτερι κώς ακλόνητου κυρτού σφαιρικού οδηγού κέντρου Ο και ακτίνας R>r, όπως φαίνεται στο σχήµα. Η σφαίρα ωθείται ελαφρώς µε αποτέλεσµα να κατέρχεται κυλιόµενη κατά µήκος του οδηγού. i) Nα δείξετε ότι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της περιστροφι κής κίνησης της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της και ο ρυθµός µε ταβολής dφ/ της γωνίας φ που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύ θυνση η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας, ως προς το Ο, συνδέ ονται µε τη σχέση: " = $ R # r + 1 % ' & d( ii) Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότο το µέτρο της ταχύτητας v του κέντρου µάζας της σφαίρας ικανοποιεί την συνθήκη κύλισης v =ωr iii) Να εκράσετε την κινητική ενέργεια και την στροφορµή της σφαί ρας περί το Ο, σε συνάρτηση µε τον ρυθµό µεταβολής της γωνίας φ. Δίνεται η ροπή αδράνειας I =5mr / της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Η κύλιση της σφαίρας επί του οδηγού είναι επίπεδη κίνηση απο τελούµενη από µια µεταφορική κίνηση κατά την οποία το κέντρο µάζας της

6 διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας R+r και από µια στροφική κίνηση περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο κίνησης. Ας δεχθούµε ότι κατά την µετατόπιση της σφαίρας από την ανώτατη θέση (I) στη θέση (ΙΙ) το σηµείο Μ αυτής γίνεται σηµείο επαφής της µε Σχήµα 3 τον οδηγό. Μπορούµε να ισχυριστούµε ότι η συνολική µετατόπιση του Μ είναι το διανυσµατικό άθροισµα της µετατόπισής του MM', λόγω της µεταφορικής κίνησης της σφαίρας και της µετατόπισής του M'A' λόγω περιστροφής της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της. Όµως το διάνυσµα MM' είναι ίσο µε το διάνυσµα µετατόπισης ' του κέντρου µάζας, που σηµαίνει ότι η γωνία ΜA είναι ίση µε την διαφορά της γωνίας στροφής θ που φέρει το σηµείο Μ στη θέση Α και της γωνίας φ κατά την οποία εστράφη η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας. Εξάλλου λόγω της κύλισης της σφαίρας το µήκος του τόξου ΜΑ είναι ίσο µε το µήκος του τόξου ΑΑ, δηλαδή ισχύει η σχέση: τοξ(μα)=τοξ(αα ) r(θ - φ) = Rφ rθ = Rφ+rφ θ = φ(r + r)/r θ = φ(r/r + 1) (1) Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τη σχέση: d = d" # R % $ r + 1 & ( () ' Όµως το διαφορικό πηλίκο dθ/ αποτελεί το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της κατά τη στιγµή που την εξετάζουµε, οπότε η () γράφεται: " = $ R # r + 1 % ' & d( (3) ii) Θεωρώντας την κίνηση του κέντρου µάζας της σφαίρας επί της κυκλικής τροχιάς κέντρου Ο και ακτίνας R+r διαπιστώνουµε, ότι το µέτρο της ταχύτη

7 τάς του v είναι: v = ( R + r) d (4) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: v = R + r (R + r)r = R / r + 1 R + r + 1 = r v = r (5) Δηλαδή προκύπτει η συνθήκη κύλισης, η οποία απαιτεί το σηµείο επαφής της σφαίρας µε τον οδηγό να έχει κάθε στιγµή µηδενική ταχύτητα, στο σύστηµα αναφοράς του κυρτού σφαιρικού οδηγού. iii) Η κινητική ενέργεια Κ της σφαίρας κατά µια τυχαία χρονική στιγµή είναι: K = 1 mv + 1 (5) I K = 1 m r mr K = m r " 1 + % $ ' = 7 () # 5& mr K = 7mr R # " r + 1 $ d' $ & # & % " % K = 7m ( R + r ) " d % $ ' # & Εξάλλου η στροφορµή L (O) της σφαίρας περί το Ο είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της αντίστοιχης στροφορµής του κέντρου µάζας της σφαίρας, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη την µάζα αυτής και της στροφορµής L () της σφαίρας, λόγω της περιστροφής της περί το κέντρο µάζας της, δηλαδή ισχύει: = m( r v ) + L () (7) όπου r η επιβατική ακτίνα του, ως προς το Ο. Εάν k είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης της σφαίρας η (7) γράφεται: = -m(r + r)v µ("/) k - I # k (5) = -m(r + r)r k - (/5)mr k = -mr[(r + r + r/5)] k (3) (6) = -mr# R " r + 1 $ & R + 7r $ # & % " 5 % d' k P.M. fysikos

8 Θεωρούµε τη σφαίρα του προηγούµενου προβλήµατος. Εάν ο συντε λεστής οριακής τριβής µεταξύ σφαίρας και οδηγού έχει κατάλληλη τιµή, ώστε η σφαίρα να χάσει την επαφή της µε τον οδηγό πρίν αρχί σει η ολίσθησή της σ αυτόν, να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της στρο φορµής τη σφαίρας περί το κέντρο του οδηγού την στιγµή που η σφαί ρα εγκαταλείπει τον οδηγό. ΛΥΣΗ: Έστω φ η γωνία που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας της σφαίρας, ως πρός το κέντρο Ο του οδηγού κατά τη στιγµή που χάνει την επαφή του µε αυτόν. Τη στιγµή αυτή η µόνη δύναµη επί της σφαίρας είναι το βάρος της w που αναλύεται στην ακτι νική συνιστώσα w 1 και την εφαπτοµενική συνιστώσα w. Η w 1 αποτελεί για την κίνηση του κέντρου µάζας κεντροµόλο δύναµη και εποµένως ισχύει: w 1 = mv R + r mg"#$ = mv R + r v = g(r + r)"#$ (1) Σχήµα 4 όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή. Εξάλλου σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας ισχύει για την σφαίρα η σχέση: = 1 mv + 1 I - mg(r + r)(1 - "#$%) 0 = v + 5 r v - g(r + r)(1 - "#$) r

9 7v 5 = g(r + r)(1 - "#$) v = 10 7 g(r + r)(1 - "#$) () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: g(r + r)"#$ = 5g(R + r)(1 - "#$)/ 7 7"#$ = 10g(1 - "#$) 7"#$ + 10"#$ = 10 "#$ = 10/17 (3) Η στροφορµή L (O) της σφαίρας περί το κέντρο Ο του οδηγού είναι το διανυσµα τικό άθροισµα της αντίστοιχης στροφορµής του κέντρου µάζας της σφαίρας, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη τη µάζα του και της στροφορµής L () της σφαί ρας, λόγω της περιστροφής της περί το κέντρο µάζας, δηλαδή ισχύει η σχέση: = m( r v ) + L () (4) όπου r η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας, ως προς το Ο. Εάν k είναι µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης της σφαίρας η (4) γράφεται: = -m(r + r)v µ (" / ) k - 5 mr # k = -m(r + r)v k - v 5 mr r k = -m R + r + r $ # & v " 5 k = -m R + 7r $ # & v % " 5 k (5) % Παραγωγίζοντας την (5) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d = -m R + 7r $ # & " 5 % dv k = -m R + 7r $ # & a " 5 ' k (6) % όπου a η επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας. Όµως η επιτά χυνση a οφείλεται στην συνιστώσα w του βάρους, οπότε θα ισχύει: w = ma mgµ" = ma # a = g"µ# Συνδιάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε: d = -m R + 7r $ # & g'µ( k d " 5 % = -m R + 7r $ # & g 1-'() * (3) k " 5 % d = -mg R + 7r $ # & 1-10 $ # & " 5 % " 17% k P.M. fysikos

10 Οµογενής κύλινδρος ακτίνας r και βάρους w κυλίεται επί κοίλης κυ λινδρικής επιφάνειας ακτίνας R, ώστε ο άξονας του κυλίνδρου να παραµένει παράλληλος πρός τον άξονα της κυλινδρικής επιφάνειας. Τη στιγµή t=0 που ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος η ευθεία που συνδέει το κέντρο µάζας του κυλίνδρου µε το κέντρο Ο της κυλιν δρικής επιφάνειας σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ 0 <π// i) Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδ ρου σε συνάρτηση µε τη γωνία φ που σχηµατίζει η O µε την κατακό ρυφη διεύθυνση. ii) Εάν n είναι ο συντελεστής οριακής τριβής στην επαφή των δύο κυλίνδρων, να δείξετε τη σχέση: εφφφ 0 3n Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mr / του κυλίνδρου ως πρός τον γεωµετ ρικό του άξονα. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε τον κύλινδρο, όταν η ευθεία O σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση Οy γωνία φ. Τη στιγµή αυτή ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του w και τη δύναµη επαφής από την κυλινδρική επιφάνεια, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T µε φορέα εφαπτόµενο των δύο κυλίνδρων και στην κάθετη αντίδραση N, µε φορέα την ευθεία O. Το κέντρο µάζας του Σχήµα 5 κυλίνδρου διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας R-r κινείται δε ως υλικό σηµείο µάζας w/g επί του οποίου επιδρούν οι δυνάµεις w, N και T. Εφαρµόζοντας για κυλιόµενο κύλινδρο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά την µετατόπισή του από την αρχική του θέση στη θέση που τον εξετάζουµε, παίρνουµε:

11 -mg(r-r)µ ("/ - # 0 )+0=- mg(r-r)µ ("/ - #) + mv / + I$ / -mg(r - r)"#$ 0 = -mg(r - r)"#$ + mv / + mr % /4 g(r - r)("#$ - "#$ 0 ) = v + r % / g(r - r)("#$ - "#$ 0 ) = v + r % / (1) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας και γωνιακή ταχύτητα της περισ τροφής του κυλίνδρου περί τον γεωµετρικό του άξονα. Όµως λόγω της κύλι σης ισχύει v =ωr, οπότε η (1) γράφεται: 4g(R - r)("#$ - "#$ 0 ) = 3r % () Εάν είναι η γωνιακή ταχύτητα του κέντρου µάζας κατά την περιστροφή του περί το Ο θα ισχύει: v = (R - r) r ="(R - r) = "(R - r)/r οπότε η σχέση () γράφεται: 4g(R - r)("#$ - "#$ 0 ) = 3r % (R - r) / r 4g("#$ - "#$ 0 ) = 3% (R - r) (3) Διαφορίζοντας τη σχέση (3) έχουµε: 4g(-µ")d" = 6#(R - r)d# -gµ" d" = 3#(R - r) d# -g"µ# = 3(R - r) d d = -g"µ# 3(R - r) ii) Η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων N και w αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την κίνηση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου, οπότε θα ισχύει: (4) N - w = mv R - r N = mg"#$ + m% R - r (R - r) (3) N=m[ g"#$+% (R-r)] N=m[ g"#$+4g("#$-"#$ 0 )/3] N = mg ["#$ + 4("#$ - "#$ 0 )/3] (5) Εξάλλου η συνισταµένη των εφαπτοµενικών δυνάµεων w 1 και T αποτελεί για την κίνηση του κέντρου µάζας επιτρόχια δύναµη, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

12 w 1 - T = m d (4) ( R - r) mgµ" - T = mgµ" 3(R - r) (R - r) T = mgµ"/3 (6) Όµως η κύλιση του κυλίνδρου επιβάλλει την σχέση: (5),(6) T nn mgµ"/3 # nmg [ $%&" + 4($%&" - $%&" 0 )/3] η οποία πρέπει να ισχύει και κατά την έναρξη της κίνησης, δηλαδή για φ=φ 0, οπότε θα έχουµε: µ" 0 /3 # n$%&" 0 µ" 0 /#$%" 0 & 3n "# 0 $ 3n P.M. fysikos Mια σφαίρα, µάζας m και ακτίνας r ισορροπεί εφαπτόµενη εσωτερι κώς ακλόνητου κοίλου σφαιρικού οδηγού, κέντρου Ο και ακτίνας R>r όπως στο σχήµα. Η σφαίρα ωθείται στιγµιαίως µε κατάλληλη δύναµη, ώστε να ανέρχεται κυλιόµενη πάνω στον σφαιρικό οδηγό. Δε χόµαστε ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας αµέσως µετά την εκκίνηση της είναι τέτοια, ώστε η επιβατική της ακτίνα ως προς το Ο να γίνεται στιγµιαίως οριζόντια και η σφαίρα να επανα κάµπτει προς την αρχική της θέση. i) Να εκφράσετε το µέτρο της τριβής και της κάθετης αντίδρασης που δέχεται η σφαίρα από τον οδηγό πάνω στον οποίο κυλίεται, σε συνάρ τηση µε την γωνία φ. ii) Να δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής της σφαίρας περί το Ο, ικανοποιεί τη σχέση: d = mr R - 7r $ # & " 5 % d' k όπου dω/ ο ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της σφαί ρας περί το κέντρο µάζας της και k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης του. ΛΥΣΗ: i) Εάν v είναι η ταχύτητα του κένρου µάζας της σφαίρας, στη θέση που καθορίζεται από την γωνία φ και η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα περί το κέντρο µάζας, θα ισχύει σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχα νικής ενέργειας η σχέση:

13 1 mv + 1 I + 0 = mg(r - r)"#$% 1 mv mr = mg(r - r)"#$% 1 v + 10 v = g(r - r)"#$ v = 10 7 g(r - r)"#$ (1) Σχήµα 6 Εξάλλου θεωρώντας την κίνηση του κέντρου µάζας της σφαίρας παρα τηρούµε ότι, αυτό κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας R-r, υπο την επίδραση του βάρους w της σφαίρας, της τριβής T και της κάθετης αντίδ ρασης N του οδηγού. Η συνισαµένη των ακτινικών δυνάµεων N και w 1 αποτε λεί για το κέντρο µάζας κεντροµόλο δύναµη, οπότε θα ισχύει: N - w 1 = mv R - r N = w + mv (1) 1 R - r % m ( N = mg"#$ + ' * & R - r) 10 7 g(r - r)"#$ N = 17 7 mg"#$ () Η συνισταµένη των εφαπτοµενικών δυνάµεων T και w αποτελεί για το κέν τρο µάζας επιτρόχια δύναµη, δηλαδή ισχύει: w - T = m'r (3) όπου ω το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της περιστροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας. Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης θα ισχύει: Tr = I' Tr = 5 mr ' '= 5T mr (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

14 w - T = mr 5T $ # & mgµ" - T = 5T " mr% ii) Η στροφορµή της σφαίρας περί το Ο είναι: = m(r - r)v k - 5 mr k = m(r - r)r k - 5 mr k T = mgµ" (5) 7 " = mr R - r - r % " $ ' k = mr R - 7r % $ ' k (6) # 5 & # 5 & όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας. Από την (6) µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t προκύπτει: d = mr R - 7r $ # & " 5 % d' k P.M. fysikos Μια ελαστική σφαίρα ακτίνας R προσπίπτει πάνω σε τραχύ οριζόν τιο επίπεδο µε ταχύτητα v 0, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Εάν κατα τον χρονο επαφής της µε το έδαφος η σφαίρα δεν ολισθαίνει και λίγο πριν εγκαταλείψει το έδαφος έχει αρχίσει η κύλισή της, να βρείτε: i) την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας αµέσως µετά την κρουσή της µε το έδαφος και ii) το πλήθος των περιστροφών της σφαίρας µεχρις ότου το κέντρο της βρεθεί στην ανώτατη θέση της τροχιάς που διαγράφει. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι Ι=mR /, όπου m η µάζα της σφαίρας. ΛΥΣΗ: i) Στη διάρκεια του πολύ µικρού χρόνου Δt επαφής της σφαίρας µε το οριζόντιο έδαφος αυτη δέχεται το βάρος της w και τη δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθετη αντίδραση N. Η µέση τριβή για τον χρόνο Δt είναι αντίρροπη προς την οριζόντια συνιστώσα v 0x της v 0 και ο φορέας της απέχει περίπου απόσταση R από το κέντρο της σφαίρας, ενώ η αντίστοιχη µέση κάθετη αντίδραση είναι κατακόρυφη και ο φορέας της διέρχεται περίπου από το κέντρο της σφαίρας. Εφαρµόζοντας για

15 την σφαίρα το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα παίρνουµε τις σχέσεις: mv' 0x -mv 0x = -T t mv' 0y - m(-v 0y ) = N t " # $ m(v - v' ) = T t " 0x 0x # m(v 0y + v' 0y ) = N t$ όπου v ' 0x, v ' 0y η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντιστοίχως της ταχύ τητας ανάκλασης v ' 0 και T, N οι µέσες τιµές των µέτρων των δυνάµεων T, N αντιστοίχως. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) παίρνουµε: (1) T N = v 0x - v' 0x v 0y + v' 0y () Σχήµα 7 Εφαρµόζοντας εξάλλου τον νόµο µεταβολής της στροφορµής της σφαίρας περί το κέντρο µάζας της, παίρνουµε τη σχέση: T Rt = I" 0-0 T t = mr" 0 /5 (3) όπου 0 η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας αµέσως µετά την κρού ση της µε το έδαφος. H (3) συνδυαζόµενη µε την πρώτη εκ των εξισώσεων (1) παίρνει τη µορφή: m(v 0x - v' 0x ) = mr 0 /5 v 0x - v' 0x = R 0 /5 (4) Όµως η σφαίρα λίγο πριν εγκαταλείψει το έδαφος κυλίεται που σηµαίνει ότι στο τέλος του χρόνου Δt ισχύει η σχέση ω 0 R=v 0x, οπότε η (4) γράφεται: v 0x - v' 0x = v' 0x /5 v' 0x = 5v 0x /7 v' 0x = 5v 0 µ"/7 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: v 0 µ" - 5v 0 µ" /7 = R# 0 /5 v 0 µ"/7 = R# 0 /5 0 = 5v 0 "µ# /7R (6) ii) H σφαίρα αµέσως µετά την κρούση εκτελεί µέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης επίπεδη κίνηση, που αποτελείται από µια καµπυλόγραµµη µεταφορική κίνηση λόγω της οποίας το κέντρο της διαγράφει παραβόλική τροχιά και από

16 µια οµαλή στροφική κίνηση περί το κέντρο, µε γωνιακή ταχύτητα 0. Την στιγµή που το κέντρο της σφαίρας βρεθεί στο ανώτατο σηµείο Α της τροχιάς του η γωνία στροφής θ της σφαίρας είναι ίση µε ω 0 t α, όπου t α ο χρόνος ανόδου του κέντρου, οπότε ο αντίστοιχος αριθµός ρ των περιστροφών της σφαίρας θα είναι ω 0 t α /π, δηλαδή ισχύει: = " 0 t # $ (5) = 5v 0"µ# 14$R v' 0y g (6) Επειδή η κρούση της σφαίρας είναι ελαστική η κινητική της ενέργεια διατη ρείται, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: 1 mv 0 = 1 mv' 0x + 1 mv' 0y + 1 I 0 (4),(5) mv 0 = 5 49 mv 0µ " + mv' 0y + m v 0µ " v 0 = 5 49 v 0µ " + v' 0y v 0µ " v' 0y = v v 0µ " = v 0 ( µ " ) v' 0y = v v 0µ " Έτσι η σχέση (6) γράφεται: = 5v 0"µ# 98$gR 49-35"µ # P.M. fysikos Οµογενής ράβδος µήκους L συγκρατείται στη θέση που φαίνεται στο σχήµα και είναι εξ ίσου κεκλιµένη ως προς τον λείο κατακόρυφο τοίχο και το λείο οριζόντιο έδαφος. Αφήνουµε τη ράβδο ελεύθερη και τότε οι άκρες της ολισθαίνουν κατά µήκος του τοίχου και του εδά φους, ένω η ράβδος παραµένει πάντα στο ίδιο επίπεδο. Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου τη στιγµή που αυτή σχηµατί ζει µε το έδαφος γωνία φ=π/6. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο σ αυτή, που διέρχεται από το κέντρο µάζας της είναι I =ml /1.

17 ΛΥΣΗ: H ράβδος εκτελεί επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας της διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας L/, ενώ ταυτό χρονα η ράβδος στρέφεται περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας και κάθετο στο επίπεδο της κίνησης. Όµως κάθε επίπεδη κίνηση µπορεί να θεωρη θεί ως καθαρή στροφική κίνηση περί ένα στιγµιαίο κέντρο, το οποίο βέβαια µετακινείται, αλλά κάθε στιγµή βρίσκεται στο σηµείο τοµής των καθέτων στα διανύσµατα των ταχυτήτων δύο σηµείων της ράβδου, λόγου χάρη των άκρων Α και Β. Έτσι στην περίπτωση που η ράβδος σχηµατίζει γωνία φ µε το έδαφος το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της Κ βρίσκεται στην τοµή των καθέτων επί του τοίχου και του εδάφους στα σηµεία επαφής Α και Β. Το σηµείο Κ καθώς η ράβ Σχήµα 8 δος κινείται διαγράφει περιφέρεια κέντρου Ο και ακτίνας L. Εάν είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου θα ισχύει, σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, η σχέση: U "# + K "# = U mg L µ # " & % ( + 0 = mg L $ 4' µ) + 1 I K* mgl/ = mglµ" + I K # (1) όπου Ι Κ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνη σης και διερχόµενο από το σηµείο Κ. Όµως σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner θα ισχύει: I K = I + m(k) = ml /1 + ml /4 = ml /3 () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: mgl/ = mglµ" + ml # /3 3 gl= 6gLµ" + L # gl(3-6µ") = L # gl(3-6µ") = L# = g(3-6 / ) L = 3g( - 1) L (3)

18 Άρα το µέτρο της ταχύτητας v του κέντρου µάζας τη θεωρούµενη χρονική στιγµή είναι: (3) v = (K) = L/ v = L 3g( - 1) L Η διεύθυνση του διανύσµατος v είναι κάθετη στο µέσον της ΟΚ και έχει τη φορά που δείχνεται στο σχήµα. Παρατήρηση: Εάν x, y είναι οι συντεταγµένες του κέντρου µάζας της ράβδου κατά µία στιγµή που αυτή σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο έδαφος, θα έχουµε τις σχέσεις: (4) x = L/ - L"#$ / & ' y = L%µ$ / ( dx / = (Lµ" /)(d# /)' ( dy / = (L$%&" /)(d# /d ) v x = L "µ# / v y = L $%&# / ' ( ) όπου η γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης της ράβδου περί το κέντρο µάζας της. Από τις πιο πάνω σχέσεις έχουµε: v x + v y = L ("µ #+$%& #)/4 v = (L / ) v = L / (5) δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής περί το Κ είναι ίδια µε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής περί το. P.M. fysikos