Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο ή τρεις διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο ή τρεις διαστάσεις

Στόχοι 3 ου Κεφαλαίου Τα διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας. Το διάνυσμα της επιτάχυνσης. Παράλληλη και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης. Κίνηση βλήματος. Κίνηση σε κύκλο- Ομαλή και μη ομαλή κυκλική κίνηση. Σχετική ταχύτητα σε μια, δύο και τρεις διαστάσεις.

Το διάνυσμα της θέσης και της ταχύτητας Το διάνυσμα θέσης r ή r ενός σωματίου στις τρεις διαστάσεις είναι: r = xi + yj + zk

Η μετατόπιση Δr κατά στο χρονικό διάστημα Δt είναι Δr = r 2 r 1 = x 2 x 1 i + y 2 y 1 j + z 2 z 1 k Ορίζουμε μέση ταχύτητα υ av το διάνυσμα: υ av = r 2 r 1 Δt = Δr Δt Ορίζουμε στιγμιαία ταχύτητα υ στο σημείο P 1 το διάνυσμα: Δr υ = lim = dr Δt 0 Δt dt Όπου είναι η εφαπτομένη στο σημείο P 1.

Στιγμιαία ταχύτητα σε τρεις διαστάσεις: υ = dr dt = dx dy dz i + j + dt dt dt k Το μέτρο είναι: υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 Στο επίπεδο xy το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας είναι: υ = υ x 2 + υ y 2 ενώ η κατεύθυνσή της δίνεται από τη γωνία α. tan α = υ y υ x

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας. Ένα τηλεκατευθυνόμενο όχημα χρησιμοποιείται για την εξερεύνηση της επιφάνειας του Άρη. Το διαστημόπλοιο προσεδάφισης είναι η αρχή των συντεταγμένων και η επιφάνεια του Άρη είναι στο επίπεδο xy. Το όχημα που το παριστάνουμε ως σημείο, έχει συντεταγμένες x και y που μεταβάλλονται με το χρόνο σύμφωνα με τις εξισώσεις: x = 2,0 m 0,25 m/s 2 t 2 y = 1,0 m/s t + 0,025 m/s 3 t 3 α) Βρείτε τις συντεταγμένες του οχήματος και την απόστασή του από την αρχή τη χρονική στιγμή t=2,0 s. β) Βρείτε το διάνυσμα της μετατόπισης του οχήματος και της μέσης ταχύτητάς του στο χρονικό διάστημα από t=0,0 s έως t=2,0 s. γ) Να διατυπώσετε ια γενική έκφραση της στιγμιαίας ταχύτητας του οχήματος και να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=2,0 s. Να εκφράσετε τη στιγμιαία ταχύτητα σε μορφή συνιστωσών καθώς επίσης και υπό μορφή μέτρου και κατεύθυνσης. Τη χρονική στιγμή t=2,0 s οι συντεταγμένες του οχήματος είναι: x = 2,0 m 0,25 m s 2 2,0 s 2 = 1,0 m y = 1,0 m/s 2,0 s + 0,025 m/s 3 2,0 s 3 = 2,2 m Η απόσταση του οχήματος από την αρχή είναι: r = x 2 + y 2 = 1,0 m 2 + 2,2 m 2 = 2,4 m

β) Για να βρούμε τη μετατόπιση και τη μέση ταχύτητα εκφράζουμε το διάνυσμα θέσης r συναρτήσει του χρόνου t. Άρα: r = xi + yj = 2,0 m 0,25 m/s 2 t 2 i + 1,0 m/s t + 0,025 m/s 3 t 3 j Για t=0 s, r 0 = 2,0 m i + 0,0 m j Για t=2,0 s, r 2 = 1,0 m i + 2,2 m j Μέση ταχύτητα: υ av = Δr Δt = 0,50 m/s i + 1,1 m/s j γ) Οι συνιστώσες της στιγμιαίας ταχύτητας είναι: υ x = dx dt = 0,25 m/s2 2t υ y = dy dt = 1,0 m s + 0,025 m/s3 3t 2 Επομένως το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας είναι: υ = 0,5 m/s 2 t i + 1,0 m s + 0,075 m/s3 t 2 j για t=2,0 s υ x = 0,5 m/s 2 2,0 s = 1,0 m s και υ x = 1,0 m s + 0,075 m/s3 2,0 s 2 = 1, 3 m s υ = υ x 2 + υ y 2 = 1,6 m s tan a = υ y υ x = 1,3 α=128 ο

Το διάνυσμα της επιτάχυνσης. Μέση επιτάχυνση α av του σωματιδίου που κινείται από το P 1 στο P 2 ορίζεται ως η διανυσματική μεταβολή στην ταχύτητα, Δυ=υ 2 -υ 1 διαιρεμένη με το χρονικό διάστημα Δt=t 2 -t 1. α av = υ 2 υ 1 t 2 t 1 = Δυ Δt Η μέση ταχύτητα είναι διάνυσμα με την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα Δυ

Στιγμιαία επιτάχυνση στο σημείο P 1 ορίζεται ως: Δυ α = lim = dυ. Δt 0 Δt dt Η στιγμιαία επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς την κοίλη πλευρά της καμπύλης τροχιάς. Αν η καμπύλη τροχιά είναι ευθεία γραμμή τότε το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι παράλληλο του Δυ. α x = dυ x,α dt y = dυ y, a dt z = dυ z dt a = dυ x dt i + dυ y dt j + dυ z dt k και ως προς τη θέση: α = d2 x dt 2 i + d2 y dt 2 j + d2 z dt 2 k

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέσης και στιγμιαίας επιτάχυνσης. Αν ξαναγυρίσουμε στο τηλεκατευθυνόμενο όχημα του προηγούμενου παραδείγματος, βρήκαμε ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι: υ x = dx dt = 0,25 m/s2 2t υ y = dy dt = 1,0 m s + 0,025 m/s3 3t 2 Και το διάνυσμα της ταχύτητας: υ = 0,5 m/s 2 t i + 1,0 m s + 0,075 m/s3 t 2 j α) Βρείτε τις συνιστώσες της μέσης επιτάχυνσης στο διάστημα από t=0,0 s έως t=2,0 s. β) Βρείτε τη στιγμιαία επιτάχυνση στο t=2,0 s. α) για t=0 s υ x =0,0 m/s και υ y =1,0 m/s Για t=2s υ x =-2,0 m/s και υ y =1,3 m/s α av x = Δυ x Δt α av y = Δυ y Δt = 0,5 m/s2 = 0,15 m/s2

β) α x = dυ x dt = 0,50 m/s2 και α y = dυ y dt = 0,075 m/s3 2t a = dυ x dt i + dυ y dt j = 0,5 m/s2 i + 0,15 m/s 3 tj t=2,0 s a = 0,50 m/s 2 i + 0,30 m/s 2 j Μέτρο επιτάχυνσης: a = a x 2 + a y 2 = 0,50 m/s 2 2 + 0,30 m/s 2 2 = 0,58 m s 2Κατεύθυνση επιτάχυνσης: tan β = α y a x = 0,30 m/s2 0,50 m/s 2 = 0.60 β = 180 31 = 149

Παράλληλη και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης. Η επιτάχυνση μπορεί να αναλυθεί σε μια συνιστώσα παράλληλη προς την τροχιά α και μια συνιστώσα κάθετη στην τροχιά α. Όταν το α είναι παράλληλο προς το υ, το μέτρο του υ αυξάνει, όμως δεν αλλάζει η κατεύθυνσή του. Το σωματίδιο κινείται σε ευθεία γραμμή με μεταβαλλόμενο μέτρο ταχύτητας. Όταν το α είναι κάθετο προς το υ, η κατεύθυνση του υ αλλάζει, όμως το μέτρο του παραμένει σταθερό. Το σωματίδιο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης με σταθερό μέτρο ταχύτητας.

α) όταν το διάνυσμα της επιτάχυνσης α είναι κάθετο στην ταχύτητα, το σωματίδιο κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας. β) όταν το σωματίδιο κινείται με ταχύτητα υ που το μέτρο της αυξάνει, τότε το α κοιτάει μπροστά από την κάθετη στην τροχιά. γ) όταν το σωματίδιο κινείται με ταχύτητα που το μέτρο της μειώνεται, τότε το α κοιτάει πίσω από την κάθετη στην τροχιά.

Παράδειγμα: Υπολογισμός της παράλληλης και κάθετης συνιστώσας της επιτάχυνσης. Για το τηλεκατευθυνόμενο όχημα του προηγούμενου παραδείγματος να βρείτε την παράλληλη και την κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t=2,0 s. Για t=2,0 s βρήκαμε ότι το μέτρο της επιτάχυνσης είναι 0,58 m/s 2 και η γωνία με τον άξονα των x είναι 149 ο. Την ίδια στιγμή η ταχύτητα σχηματίζει γωνία 128 ο με τον θετικό άξονα των x. Άρα η επιτάχυνση σχηματίζει γωνία 21 ο με την ταχύτητα. Τότε: α = α cos 21 ο = 0,58 m/s 2 cos 21 o = 0,54 m/s 2 a = a sin 21 o = 0,58 m/s 2 sin 21 o = 0,21 m/s 2 Αφού η παράλληλη συνιστώσα του α είναι στην ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα, σημαίνει ότι το όχημα επιταχύνεται. Επίσης η κάθετη συνιστώσα είναι μη μηδενική άρα η τροχιά του οχήματος καμπυλώνεται και το όχημα κάνει στροφή..

Παράδειγμα: Επιτάχυνση σκιέρ Στο Β επιταχύνεται. Στο D επιταχύνεται (η παράλληλη συνιστώσα της επιτάχυνσης έχει την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα. Η κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι μη μηδενική άρα καμπυλώνει η τροχιά. Στο Ε ο σκιερ έχει τη μέγιστη ταχύτητά του και δεν αλλάζει στιγιμαία άρα η παράγωγος της ταχύτητας με το χρόνο είναι μηδέν και επομένως η παράλληλη συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι μηδενική. Όμως στο Ε καμπυλώνει η τροχιά και επομένως υπάρχει κάθετη συνιστώσα για την επιτάχυνση. Στο σημείο F η επιτάχυνση έχει παράλληλη συνιστώσα αντίθετη από την ταχύτητα, άρα επιβραδύνεται. Επίσης έχει κάθετη συνιστώσα γιατί σ εκείνο το σημείο καμπυλώνεται η τροχιά..

Κίνηση βλήματος. Θεωρούμε το απλό μοντέλο όπου δεν λαμβάνεται υπ οψη η αντίσταση του αέρα παρά μόνο η βαρύτητα. Η κίνηση είναι στο κατακόρυφο επίπεδο xy. Το βλήμα κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας. Μπορούμε να αναλύσουμε την κίνηση σαν δυο ανεξάρτητες κινήσεις του βλήματος στον άξονα x και στον άξονα y. Στον άξονα x το βλήμα κινείται με μηδενική επιτάχυνση α x =0 (κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας που είναι κατακόρυφη). Στον άξονα y κινείται με επιτάχυνση α y =-g. Αν εκτοξευτεί με αρχική ταχύτητα υ 0 τότε: Άξονας x υ x = υ 0x και x = x 0 + υ 0x t Άξονας y υ y = υ 0y gt και y = y 0 + υ 0y t 1 2 gt2

Η κόκκινη μπάλα πέφτει από την ηρεμία και η κίτρινη βάλλεται οριζόντια ταυτόχρονα. Κάθε χρονική στιγμή και οι δύο μπάλες έχουν τις ίδιες y-συνιστώσες θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, παρόλο που έχουν διαφορετικές x-συνιστώσες θέσης και ταχύτητας.

Θεωρούμε x 0 =y 0 =0 Άξονας x υ x = υ 0 cos a 0 και x = υ 0 cos a 0 t Άξονας y υ y = υ 0 sin a 0 gt και y = υ 0 sin a 0 t 1 2 gt2 r = x 2 + y 2, tan α 0 = υ y υ x και υ = υ x 2 + υ y 2 Απαλείφοντας το χρόνο από τις πιο πάνω εξισώσεις έχουμε: g y = tan a 0 x 2υ 2 0 cos α 2 x2 0 Η τροχιά του βλήματος είναι παραβολική.

Επίδραση της αντίστασης του αέρα στην κίνηση βλήματος. Πιο πολύπλοκοι υπολογισμοί. Η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή. Η επίδραση της αντίστασης του αέρα πάνω στην τροχιά του βλήματος μπορεί να είναι πολύ σημαντική. Το μέγιστο ύψος και το εύρος της τροχιάς (βεληνεκές) μειώνεται. Η τροχιά δεν είναι παραβολική.

Όταν ο σκιέρ όταν βρεθεί σε κίνηση βλήματος, η επιτάχυνση είναι σταθερή (-g) και κατευθύνεται προς τα κάτω.

Παράδειγμα: Οριζόντια βολή σώματος. Ένας ριψοκίνδυνος μοτοσικλετιστής πηδάει από την άκρη ενός γκρεμού. Ακριβώς στην άκρη του γκρεμού η ταχύτητά του είναι οριζόντια και έχει μέτρο 9,0 m/s. Βρείτε τη θέση της μοτοσικλέτας, την απόσταση από την άκρη του γκρεμού και την ταχύτητα μετά από 0,5 s. Πού βρίσκεται η μοτοσικλέτα όταν t=0,5 s; x = υ 0x t = 9,0 m/s 0,50 s = 4,5 m y = 1 2 gt2 = 1 2 9,8 m s 2 0,5 s 2 = 1,2 m Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι βρίσκεται κάτω από το αρχικό σημείο. Η απόσταση της μοτοσικλέτας από την αρχή για t=0,5 s είναι: r = x 2 + y 2 = 4,5 m 2 + 1,2 m 2 = 4,7 m Ποια είναι η ταχύτητα της μοτοσικλέτας μετά από t=0,5 s; Οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι: υ x = υ 0x = 9,0 m s υ y = gt = 9,8 m s 2 0,50 s = 4,9 m/s Η μοτοσικλέτα έχει την ίδια οριζόντια ταχύτητα από τη στιγμή της εκκίνησης αλλά αποκτά και μια κάθετη συνιστώσα. Άρα: υ = υ x i + υ y j = 9,0 m/s i + 4,9 m/s j υ = υ x 2 + υ y 2 = 9,0 m/s 2 + 4,9 m/s 2 = 10,2 m/s α = arc tan υ y υ x = arctan 4,9 m/s 9,0 m/s = 29 o

Παράδειγμα: Ύψος και βεληνεκές μπάλας του μπέιζμπολ. Ένα μπαστούνι χτυπά μια μπάλα μπέιζμπολ με αρχική ταχύτητα που έχει μέτρο υ 0 =37,0 m/s και σχηματίζει γωνία α 0 =53,1 ο σε μια περιοχή που το g=9,80 m/s 2. α) Να βρείτε τη θέση της μπάλας καθώς και το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητάς της, όταν t=2,00 s. β) Να βρείτε το χρόνο κατά τον οποίο η μπάλα φτάνει στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς και βρείτε το ύψος της h σ αυτό το σημείο. γ) Να βρείτε το βεληνεκές, δηλ., την οριζόντια απόσταση από το σημείο εκκίνησης έως το σημείο που η μπάλα χτυπά στο έδαφος. Για κάθε μέρος μεταχειριστείτε τη μπάλα ως βλήμα.

υ 0x = υ 0 cos α 0 = υ 0y = υ 0 sin a 0 = 37 m/s cos 53,1 o = 22,2 m/s 37 m/s sin 53,1 o = 29,6 m/s α) x = υ 0x t = 22,2 m/s 2,00 s = 44,4 m y = υ 0y t 1 2 gt2 = 29,6 m s 2,00 s 1 2 9,80 m s 2 2,00 s 2 = 39,6 m υ y = υ 0y gt = 29,6 m s 9,80 m s 2 2 2,00 s = 10,00 m/s Η συνιστώσα της ταχύτητας στον y είναι θετική άρα μετά από 2,00 s η μπάλα κινείται προς τα πάνω. υ = υ x 2 + υ y 2 = 22,2 m/s 2 + 10,0 m/s 2 = 24,3 m/s a = arc tan 10,0 m/s 22,0 m/s = arctan0,450 = 24,2 o Η ταχύτητα στα 2,00 s σχηματίζει 24,2 ο με τον ορίζοντα.

β) υ y = υ 0y gt = 0 t = υ 0y g 29,6 m/s = 9,80 m = 3,02 s s 2 h = y = υ 0y t 1 2 gt2 = 29,6 m s 3,02 s 1 2 9,80 m s 2 3,02 s 2 = 44,7 m υ x = υ x0 = 22,4 m s Εναλλακτικά μπορούμε να εφαρμόσουμε τη σχέση σταθερής επιτάχυνσης στην κίνηση κατά την κατεύθυνση y. υ y 2 = υ y0 2 + 2a y y y 0 = υ y0 2 + 2g y y 0 = 0 y 0 =0, y=h h = υ y0 2 2g 29,6 m/s 2 = 2 9,80 m/s2 = 44,7 m γ) Θα βρούμε το οριζόντιο βεληνεκές σε δύο βήματα. Πρώτα βρίσκουμε το χρόνο που χρειάζεται η μπάλα από την εκκίνησή της να χτυπήσει στο έδαφος. y = 0 = υ 0y t 1 2 gt2 = t υ 0y 1 gt. Είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς το t. Άρα t=0 2 και t = 2υ 0y g 2 29,6 m/s = 9,80 m/s 2 = 6,04 s

Το χρονικό αυτό διάστημα είναι διπλάσιο από αυτό που απαιτείται για να φτάσει η μπάλα στο μέγιστο ύψος, έτσι ο χρόνος ανόδου ισούται με το χρόνο καθόδου. Το οριζόντιο βεληνεκές R είναι: R = υ 0x t = 22, 2 m/s 6,04 s = 134 m. Η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας, υ y όταν η μπάλα φτάνει στο έδαφος είναι:υ y = υ 0y gt = 29,6 m s 9,80 m s 2 6,04 s = 29,6 m s. Δηλαδή ίδια με την αρχική υ 0y αλλά με αντίθετο πρόσημο. Αφού υ x σταθερό η γωνία στο τέλος της διαδρομής είναι α=-53,1 ο κάτω από τον ορίζοντα.

Παράδειγμα: Ο φύλακας και ο πίθηκος. Ένας πονηρός πίθηκος το σκάει από το ζωολογικό κήπο. Ο φύλακας τον βρίσκει σ ένα δέντρο. Αφού δεν κατάφερε να τον δελεάσει να κατέβει, τον σημαδεύει με όπλο αναισθητικού και τον πυροβολεί. Ο πονηρός πίθηκος αφήνει το κλαδί του, την ίδια στιγμή που το βελάκι αναισθητικού βγαίνει από την κάνη του όπλου, με πρόθεση να πέσει στο έδαφος και να ξεφύγει. Δείξτε ότι το βελάκι πετυχαίνει πάντα τον πίθηκο ανεξάρτητα από τη αρχική του ταχύτητα (με την προϋπόθεση πως τον βρίσκει πριν εκείνος πέσει στο έδαφος).

Ο πίθηκος πέφτει προς το έδαφος και ισχύει για όλους τους χρόνους x monkey = d. Για το βελάκι η οριζόντια συνιστώσα της κίνησης είναι ευθύγραμμη ομαλή: x dart = υ 0 cos α 0 t Οι δύο x-συνιστώσες γίνονται ίσες τη χρονική στιγμή: t = d υ 0 cos α 0 Για τις συνιστώσες y της θέσης ισχύει: y monkey = d tan a 0 1 2 gt2 αφού το αρχικό ύψος του πιθήκου είναι: d tan a 0 Για το βελάκι ισχύει: y dart = Βλέπουμε ότι αν d tan a 0 = υ 0 sin α 0 t 1 2 gt2 υ 0 sin α 0 t, τη χρονική στιγμή που x monkey = x dart τότε y monkey = y dart και έχουμε επιτυχία. Για να αποδείξουμε αυτό ότι πράγματι συμβαίνει, d αντικαθιστούμε το t με, τη στιγμή που x υ 0 cos α monkey = x dart. 0 Οπότε= υ 0 sin α 0 t = υ 0 sin α 0 d υ 0 cos α 0 = d tan a 0 Αποδείξαμε ότι όταν οι συντεταγμένες x είναι ίσες αλλά και συντεταγμένες y είναι επίσης ίσες, ένα βελάκι που σημαδεύει την αρχική θέση του πιθήκου τον πετυχαίνει πάντα ανεξάρτητα από την αρχική ταχύτητα του βέλους, υ 0.

Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος και βεληνεκές βλήματος. Για ένα βλήμα το οποίο βάλλεται με ταχύτητα υ 0 υπό αρχική γωνία α 0 (μεταξύ 0 ο -90 ο ), βρείτε γενικές εκφράσεις για το μέγιστο ύψος h και το οριζόντιο βεληνεκές R.Για δεδομένη υ 0, ποια τιμή της α 0 δίνει μέγιστο ύψος; Μέγιστο οριζόντιο βεληνεκές.

Για να βρούμε την έκφραση για το ύψος h δεδομένης της αρχικής ταχύτητας υ 0. Βρίσκουμε το χρόνο όπου η υ y =0 και αντικαθιστούμε αυτό το χρόνο στην έκφραση για το h. υ y = υ 0 sin α 0 gt = 0 t = υ 0 sin α 0 g h = υ 0 sin α 0 υ 0 sin α 0 g 1 2 g υ 0 sin α 0 g 2 = υ 0 sin α 0 2 το ύψος h γίνεται μέγιστο όταν sin α 0 =1, άρα για α 0 =90 ο, δηλ. όταν το βλήμα βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Για να βρούμε το βεληνεκές υπολογίζουμε πρώτα το χρόνο που κάνει το βλήμα μέχρι να φτάσει στο έδαφος, δηλ. y=0. υ 0 sin α 0 t 1 2 gt2 = t υ 0 sin α 0 1 gt = 0. Η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού και 2 έχει δύο λύσεις, t=0 (στιγμή βολής) και t = 2 υ 0sin α 0 g (στιγμή που φτάνει στο έδαφος). Το βεληνεκές R υπολογίζεται θέτοντας το χρόνο t = 2 υ 0sin α 0 g στην έκφραση για την οριζόντια συνιστώσας της θέσης στο x. Άρα: x = 2 υ υ 0 cos α 0 t R = υ 0 cos α 0 sin α 0 0 ισχύει: 2 sin α g 0 cos α 0 = sin 2α 0 R = υ 0 2 sin 2α 0 g R μέγιστο για 2α 0 =90 ο, άρα για α 0 =45 ο 2g

Παράδειγμα: Διαφορετικό αρχικό και τελικό ύψος. Ρίχνετε μια μπάλα από το παράθυρο σας που είναι 8 πάνω από το έδαφος. Όταν η μπάλα φεύγει από το χέρι σας κινείται με ταχύτητα 10 m/s και γωνία 20 ο κάτω από τον ορίζοντα. Πόσο μακριά από το παράθυρο σας θα κτυπήσει η μπάλα το έδαφος; Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα.

Υπολογίζουμε το χρόνο t όπου χρειάζεται η μπάλα να φτάσει στο έδαφος. 1 2 gt2 υ 0 sin α 0 t + y = 0 λύνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς t. Ax 2 + Bx + C = 0 x = B± B2 4AC 2A t = υ 0 sin α 0 ± υ 0 sin α 0 2 2gy g t=0, 98 s και t=-1,67 s Αφού μιλάμε για χρόνο που παρήλθε μέχρι να πέσει η μπάλα στο έδαφος είναι λογικό να δεχθούμε τη θετική λύση, άρα t=0,98 s Ζητούμε την οριζόντια συνιστώσα x της διαδρομής μέχρι η μπάλα να χτυπήσει στο έδαφος. Άρα: x = υ 0 cos α 0 t = 10 m/s cos 20 o 0,98 s = 9,2 m Η μπάλα χτυπά το έδαφος σε οριζόντια απόσταση 9,2 m από το παράθυρο.

Ομαλή κυκλική κίνηση. Όταν τροχιά καμπυλώνεται ακόμα και όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό, υπάρχει συνιστώσα της επιτάχυνσης που είναι κάθετη στην τροχιά. Στην ομαλή κυκλική κίνηση η επιτάχυνση είναι κάθετη στην τροχιά με κατεύθυνση προς το κέντρο του κύκλου. Η επιτάχυνση ονομάζεται και κεντρομόλος επιτάχυνση. Όταν το σωμάτιο κινηθεί από το P 1 στοp 2 πάνω στον κύκλο σχηματίζοντας γωνία Δφ, τα δύο τρίγωνα είναι όμοια και ισσχύει: υ υ 1 = s R Το μέτρο της μέσης επιτάχυνσης α av για το χρονικό διάστημα Δt είναι: α av = υ = υ 1 Δs, Δt R Δt Το μέτρο της στιγμιαίας επιτάχυνσης α στο P 1 είναι: υ α = lim 1 Δs = υ 1 Δt 0 R Δt R lim Δs Δt 0 Δt α rad = υ2 R Δs όπου lim = υ Δt 0 Δt 1

α rad = υ2 R υ = 2πR T a rad = 4π2 R T 2

Παράδειγμα: Κεντρομόλος επιτάχυνση σε καμπύλο δρόμο. Ένα αυτοκίνητο έχει μια πλευρική επιτάχυνση 0,87 g =(0,87)(9,8 m/s 2 ). Αυτό αντιπροσωπεύει τη μέγιστη κεντρομόλο επιτάχυνση που μπορεί να επιτευχθεί χωρίς πλευρικό γλίστρημα προς τα έξω σε κυκλικό δρόμο. Εάν το αυτοκίνητο τρέχει με ταχύτητα σταθερού μέτρου 40 m/s, ποια είναι η ελάχιστη ακτίνα καμπύλου δρόμου που μπορεί να περάσει; R = υ2 α rad = 40 m/s 2 8,5 m s 2 = 190 m Παράδειγμα: Κεντρομόλος επιτάχυνση σε τροχό λούνα-πάρκ. Σε οριζόντιο τροχό λούνα-πάρκ οι αναβάτες περιστρέφονται σε κύκλο ακτίνας 5,0 m. Κάνουν έναν πλήρη κύκλο σε 4,0 s. Ποια είναι η επιτάχυνσή τους; α rad= 4π 2 5,0 m 4,0 s 2 = 12 m/s 2

Mη ομαλή κυκλική κίνηση. Στη μη ομαλή κυκλική κίνηση Εκτός από την ακτινική συνιστώσα α rad = υ2 R Υπάρχει και η εφαπτομένη στην κυκλική τροχιά: α tan = d υ dt Η διανυσματική επιτάχυνση ενός σωματίου που κινείται σε κύκλο με μεταβαλλόμενο μέτρο ταχύτητας είναι το διανυσματικό άθροισμα της ακτινικής και της εφαπτομένης συνιστώσας της επιτάχυνσης.

Σχετική ταχύτητα σε μια διάσταση. Η ταχύτητα ενός αντικειμένου σε σχέση μ ένα παρατηρητή ονομάζεται σχετική ταχύτητα ως προς τον παρατηρητή. Γενικά ένας παρατηρητής εφοδιασμένος μ ένα μέτρο και ένα ρολόι αποτελεί ένα σύστημα αναφοράς. Θεωρούμε τον παρατηρητή Α ακίνητο ως προς το έδαφος. Και το τρένο που κινείται με ταχύτητα υ Β/Α. Τότε ο ακίνητος παρατηρητής θα βλέπει τον επιβάτη του τρένου P να έχει διανύσει απόσταση: x P/A = x P/B + x B/A και dx P/A dt = dx P/B dt + dx B/A dt υ P/A = υ P/B + υ B/A

Παράδειγμα: Σχετική ταχύτητα σε ευθύγραμμο δρόμο. Ταξιδεύετε προς βορρά σε ευθύγραμμο δρόμο δύο λωρίδων με σταθερή ταχύτητα 88 km/h. Ένα φορτηγό που τρέχει με σταθερή ταχύτητα 104 km/h σας πλησιάζει. α) Ποια είναι η σχετική ταχύτητα του φορτηγού ως προς εσάς; β) Ποια είναι η ταχύτητά σας ως προς το φορτηγό; γ) Πως αλλάζουν οι σχετικές ταχύτητες μετά το προσπέρασμα του ενός από τον άλλο; α) υ Τ/Ε = υ Τ/Υ + υ Υ/Ε υ Τ/Υ = υ Τ/Ε υ Υ/Ε = 104 km h 88 km h = 192 km/h Το φορτηγό κινείται με 192 km/h προς νότο σχετικά με τον παρατηρητή. β) υ Υ/Τ = υ Τ/Υ = +192 km h Ο παρατηρητής κινείται με 192 km/h προς βορρά σχετικά με το φορτηγό. γ) Οι σχετικές ταχύτητες δεν αλλάζουν καθώς προσπερνά ο ένας τον άλλο. Οι σχετικές θέσεις των σωμάτων δεν παίζουν ρόλο. Η ταχύτητα του φορτηγού σχετικά με τον παρατηρητή είναι ακόμη -192 km/h.

Σχετική ταχύτητα σε δύο ή τρεις διαστάσεις. r P/A = r P/B + r B/A υ P/A = υ P/B + υ B/A υ P/A = 3,0 m/s 2 + 1,0 m/s 2 = 3,2 m s tan φ = 1,0 m/s 3,0 m/s φ = 18 ο υ A/B = υ B/A

Παράδειγμα: Πτήση με πλευρικό άνεμο. Η πυξίδα ενός αεροπλάνου δείχνει ότι έχει κατεύθυνση προς βορρά και ο μετρητής της ταχύτητας του ως προς τον αέρα δείχνει 240 km/h. Εάν υπάρχει άνεμος 100 km/h από δυσμάς προς ανατολάς, ποια είναι η ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς τη Γη; Η ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς τον αέρα: υ P/A = 240 km h υ A/E = 100 km h υ P/E = υ P/A + υ A/E υ P/E = 240 km/h 2 + 100 km/h 2 = 260 km/h a = arc tan 100 km/h 240 km/h = 23o βορειοανατολικά

Παράδειγμα: Διόρθωση για πλευρικό άνεμο. Στο προηγούμενο παράδειγμα προς ποια κατεύθυνση πρέπει να κατευθυνθεί ο πιλότος για να πάει ακριβώς προς βορρά; Ποια θα είναι τότε η ταχύτητα του ανέμου και το μέτρο της ταχύτητας του ως προς τη Γη; υ P/A = 240 km h κατεύθυνση άγνωστη υ A/E = 100 km h κατεύθυνση προς ανατολάς υ P/E = υ P/A + υ A/E κατεύθυνση προς βορρά υ P/E = 240 km/h 2 100 km/h 2 = 218 km/h β = arc tan 100 km/h 240 km/h = 23o βορειοδυτικά Ο πιλότος πρέπει να κατευθύνει την άτρακτο 23 ο βορειοδυτικά.