ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons. για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Α.Π.) Οι μεταβλητές δεν έχουν πλέον φυσικό νόημα, αλλά λογικό. Αντιμετώπιση μιας ιδιαίτερα σημαντικής κατηγορίας προβλημάτων κατανομής πόρων μεταξύ εναλλακτικών δραστηριοτήτων, στα οποία οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές. Προβλήματα «ΝΑΙ» - «ΟΧΙ» (επενδύσεις, χωροταξίας) Προβλήματα παραγωγής, διανομής, δρομολόγησης Για μεγάλες τιμές των μεταβλητών ( 15) τα προβλήματα λύνονται με Γ.Π. και επιλέγεται η πλησιέστερη ακέραια λύση. 63
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (Α.Π.) : Αποτελεί πρόβλημα Γραμμικού προγραμματισμού (Γ.Π.) του οποίου μερικές ή όλες οι μεταβλητές δέχονται τιμές ακέραιων αριθμών. Στα προβλήματα του Γραμμικού Προγραμματισμού (Γ.Π.) οι μη ακέραιες λύσεις ήταν αποδεκτές. Εντούτοις, αρκετά σημαντικά προβλήματα απαιτούν ακέραιες λύσεις. 64
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Α.Π. Προβλήματα ακέραιης μορφής : οι μεταβλητές απόφασης δέχονται, υποχρεωτικά, τιμές ακέραιων αριθμών. Προβλήματα μικτής μορφής : κάποιες από τις μεταβλητές απόφασης μπορούν να δεχτούν τιμές ακέραιων αριθμών και κάποιες άλλες μη αρνητικές τιμές. Προβλήματα δυαδικής μορφής : οι μεταβλητές περιορίζονται στις τιμές 1 και 0 π.χ. διχοτομικές αποφάσεις (ΝΑΙ/ΟΧΙ) 65
ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α.Π. Θεωρούμε 2 ποσότητες προϊόντων Α και Β που θα παραχθούν και θα πωληθούν με σκοπό την αποκόμιση κάποιου κέρδους. Υποθέτουμε ότι οι περιορισμοί < αντιπροσωπεύουν τους περιορισμούς των πόρων και ο > αντιπροσωπεύει ορισμένες ελάχιστες υποχρεώσεις. 66
Έτσι, το πρόβλημα των 2 μεταβλητών μπορεί να διατυπωθεί ως εξής : Max 18Α + 6Β αντικειμενική συνάρτηση s.t. A 3B < 0 (1) 42.8A + 100B < 800 (2) 20A + 6B < 142 (3) 30A + 10B > 135 (4) A, B > 0 και ακέραιοι 67
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 1ο βήμα: Εντοπίζουμε την περιοχή εφικτότητας (feasible region) ανάγοντας, όμως, το πρόβλημα σε πρόβλημα Γ.Π. (θεωρούμε δηλαδή ότι ο τελευταίος περιορισμός που αφορά στα Α και Β πρέπει να «απαιτεί» θετικές τιμές αλλά όχι και ακέραιες). 2ο βήμα: Προσδιορίζουμε τα σημεία των ακέραιων τιμών εντός της περιοχής εφικτότητας. 3ο βήμα: Επιλέγουμε μεταξύ των σημείων που προσδιορίσαμε στο προηγούμενο βήμα, ένα που να βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. 68
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ (3,6) (4,6) (3,5) (4,5) (5,5) (4,4) (5,4) (4,3) (5,3) (6,3) (5,2) (4,2) (6,2) 69
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Το σημείο (6,3) που βρίσκεται εντός της περιοχής εφικτότητας μας δίνει την βέλτιστη λύση (αφού αν θέσουμε για Α=6 και Β=3 παρατηρούμε ότι λαμβάνουμε το μέγιστο κέρδος, ίσο δηλαδή με 128) 70
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Αριθμώντας τα ζεύγη των ακεραίων τιμών μπορούμε να κάνουμε δοκιμές αντικαθιστώντας κάθε φορά τις τιμές στην αντικειμενική συνάρτηση και αναζητώντας την βέλτιστη λύση (Μέθοδος απαρίθμησης). Η κατάσταση, ωστόσο, περιπλέκεται όταν το πλήθος των μεταβλητών μας είναι μεγάλο. Σκεφτείτε να είχαμε ένα πρόβλημα όπου θα υπήρχαν 20 μεταβλητές αποφάσεως, εκ των οποίων η κάθε μια θα μπορούσε να λάβει τιμές μεταξύ 1 και 50. Τα ζεύγη που θα έπρεπε να αριθμήσουμε θα ήταν σε αυτή την περίπτωση, 50 υψωμένα στην 20η δύναμη! Έτσι, για μεγάλο πλήθος μεταβλητών ( 15) τα προβλήματα λύνονται με Γραμμικό Προγραμματισμό (Γ.Π.) και επιλέγεται η πλησιέστερη ακέραια λύση. Σε περίπτωση αποτυχίας εντοπισμού της βέλτιστης λύσης μέσω του γραμμικού προγραμματισμού και της μεθόδου απαρίθμησης χρησιμοποιείται η μέθοδος «κλάδου και φράγματος» (branch and bound). Κυριώς για προβλήματα μεσαίου μεγεθους. 71
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΑΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Οι δυαδικές τιμές (0-1) καθιστούν δυνατή την ενσωμάτωση αποφάσεων τύπου ΝΑΙ/ΟΧΙ (που αποκαλούνται και διχοτομικές αποφάσεις) 72
1. ΑΠΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΥΑΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Προϋπολογισμός Κεφαλαίου Η απόφαση προϋπολογισμού κεφαλαίου είναι ένα ζήτημα που έχει να κάνει με την επιλογή μεταξύ n εναλλακτικών λύσεων με σκοπό την μεγιστοποίηση του κέρδους. Ωστόσο, αυτό δεσμεύεται από τους περιορισμούς που έχουν να κάνουν με το ποσό του κεφαλαίου που επενδύεται κατά την διάρκεια του χρόνου. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι ένα συμβούλιο αποτελούμενο από μηχανικούς αντιμετωπίζει τα εξής δεδομένα και μέσα από αυτά πρέπει να πάρει τις αντίστοιχες αποφάσεις του : 73
Το συμβούλιο πρέπει να επιλέξει μεταξύ ενός ή περισσοτέρων εναλλακτικών λύσεων : Εναλλακτικές λύσεις Επιφερόμενο κέρδος ( 000) Απαιτούμενο ετήσιο κεφάλαιο συναρτήσει εναλλακτικής ( 000) 1 2 3 4 5 Επέκταση κτηριακών εγκαταστάσεων στο Βέλγιο 400 100 50 200 100 0 Επέκταση μικρής ικανότητας μηχανημάτων στην Ολλανδία 700 300 200 100 100 100 Επέκταση κτηριακών εγκαταστάσεων στην Γαλλία 800 100 200 270 200 100 Επέκταση μεγάλης ικανότητας μηχανημάτων στην Ολλανδία 1000 200 100 400 200 200 Διαθέσιμο κεφάλαιο 500 450 700 400 300 74
ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ξεκινάμε θεωρώντας ότι όλες οι μεταβλητές μας είναι δυαδικής μορφής (0-1). Έστω xi = 0 αν το σχέδιο είναι αποδεκτό από το συμβούλιο και έστω xi = 1 αν αυτό απορριφθεί. Έτσι το πρόβλημα έχει ως εξής : 75
Max 400x1 + 700x2 + 800x3 + 1000x4 s.t. 100x1 + 300x2 + 100x3 + 200x4 < 500 50x1 + 200x2 + 200x3 + 100x4 < 450 200x1 + 100x2 + 270x3 + 400x4 < 700 100x1 + 100x2 + 200x3 + 200x4 < 400 100x2 + 100x3 + 200x4 < 300 xi = 0 or 1; i = 1, 2, 3, 4 Παρούσα αξία από αποδεκτά σχέδια Απαιτούμενο κεφάλαιο στο χρόνο 1 Διαθέσιμο κεφάλαιο στο χρόνο 1 76
2.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΔΥΑΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (0-1) ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ n πιθανές τοποθεσίες εγκατάστασης για m πελάτες. c i, i=1,,n : κόστος ανοίγματος εγκατάστασης στη θέση i. d ij, i=1,,m, j=1,,n : κόστος εξυπηρέτησης πελατών i από μια τοποθεσία j. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ min s. t. { 0,1} Όπου : y j =1 αν η τοποθεσία j έχει επιλεγεί. x ij =1 αν η τοποθεσία i εξυπηρετεί τους πελάτες j. x ij, n c j= 1 x j= 1 x y j n ij j y ij j + = 1, y j d, m n i= 1 j= 1 ij x i = 1,..., m i = 1,..., m, ij j = 1,..., n 77
3. ΑΠΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ BRANCH AND BOUND Σκοπός: min c =2x+3y Με τους περιορισμούς: x+3y 5 2x+y 6 x, y 0 και ακέραιοι. Μια επίλυσή του δίνει x = 2.6, y = 0.8, c = 7.6 Γραφική λύση 78
ΕΠΙΛΥΣΗ Η πρώτη διακλάδωση αφορά τη μεταβλητή x, που δεν μπορεί να πάρει την τιμή 2.6 αλλά πρέπει να είναι είτε x 2 είτε x 3. Δημιουργούνται δύο νέα προβλήματα Π 2, Π 3 όμοια με το αρχικό στα οποία προστίθεται ένας νέος περιορισμός. Δηλαδή: Π 2 Min c = 2x + 3y s.t. x + 3y 5 2x + y 6 x 2 x, y 0 Π 3 Min c = 2x + 3y s.t. x + 3y 5 2x + y 6 x 2 x, y 0 Η λύση στο πρόβλημα Π 2 είναι x = 2, y = 2, c= 10 και στο Π 3 είναι x = 3, y = 2/3, c = 8. Η τιμή c = 8 είναι το νέο κατώτατο όριο που αντικαθιστά την τιμή c = 7,6 και αποτελεί τη βέλτιστη λύση. H λύση του Π 2 είναι ένας ακέραιος που αποτελεί το ανώτατο όριο του προβλήματος με c = 10. Η επόμενη διακλάδωση αφορά στη μεταβλητή y του προβλήματος Π 3 που δεν μπορεί να πάρει την τιμή 2/3 αλλά πρέπει να πάρει είτε y 0 είτε y 1. Δημιουργούνται δύο νέα προβλήματα που περιγράφονται ως Π 4 και Π 5. 79
Π 4 Min c = 2x + 3y s.t. x + 3y 5 2x + y 6 x 3 y 0 x, y 0 Π 5 Min c = 2x + 3y s.t. x + 3y 5 2x + y 6 x 3 y 1 x, y 0 Η λύση για το Π 4 είναι x = 5, y = 0, c = 10 και για το Π 5 είναι x = 3, y = 1, c = 9. Η λύση c = 9 αποτελεί το νέο κατώτερο όριο. Ταυτόχρονα η λύση αυτή είναι ακέραιος αριθμός και επομένως αποτελεί και το ανώτερο όριο. Εξαιτίας όλων των παραπάνω οι τιμές x = 3, y = 1, c = 9 αποτελούν τη βέλτιστη λύση. Η λύση του Π 4 είναι επίσης ακέραιος αριθμός αλλά η τιμή c = 10 δεν ελαχιστοποιεί την παράσταση (μικρότερη τιμή c = 9). Η μέθοδος παρουσιάζεται συνοπτικά παρακάτω 80
Π 1 min c = 2x+3y x+3y 5 2x + y 6 x,y 0 Επίλυση x = 2.6, y = 0.8, c = 7.6 x 2 x 3 Π 2 x = 2, y = 2, c = 10 Π 3 x = 3, y = 2/3, c = 8 y 0 y 1 Π 4 x = 5, y = 0, c = 10 Π 5 x = 3, y = 1, c = 9 βέλτιστη 81
3. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΝΟΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ Να βρεθεί :min διαδρομή ενός οχήματος από αφετηρία (κόμβος 0) προκειμένου να επισκεφθεί Ν κόμβους και να επιστρέψει στον κόμβο 0. Ορίζουμε: x ij = min συνολ. διαδρομή s.t. n x j= 1 n x i= 1 x ij 1, εάν στο δρομολόγιο περιλαμβάνεται η διαδρομή i -> j 0, διαφορετικά n n c i= 1 j= 1 ij ij = 0 = 1 = 1 ή 1 ij x ij i = 1,..., n j = 1,..., n i, j 82
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ Αντικείμενο: Η επιλογή της θέσης μιας μονάδας παροχής εξυπηρέτησης (αεροδρόμιο, νοσοκομείο, σταθμοί λεωφορείων). ΒΑΣΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ 1. Πρότυπα μέγιστης απόστασης (Maximum distance problem). 2.Το πρόβλημα p-διασποράς (The p-dispersion Problem). 3.Πρότυπα συνολικής ή μέσης απόστασης (Total or Average Distance Models). 83
1.ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ (Maximum distance models) Λαμβάνεται υπόψη εξαρχής περιορισμός μέγιστης απόστασης. Η απόσταση δηλαδή μεταξύ δύο εγκαταστάσεων να μην υπερβαίνει μια μέγιστη τιμή. Η συγκεκριμένη κατηγορία περιλαμβάνει τρία πρότυπα προβλήματα χωροθέτησης. Τα εξής : i. Πρότυπο χωροθέτησης καθορισμένης κάλυψης. ii. Πρόβλημα χωροθέτησης μέγιστης κάλυψης. iii. Πρόβλημα χωροθέτησης p-κέντρου. 84
ΠΡΟΤΥΠΟ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΚΑΛΥΨΗΣ Σκοπός είναι η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης χωροθέτησης ελάχιστου αριθμού εγκαταστάσεων ώστε να καλύψουν δεδομένη ζήτηση εντός ενός δικτύου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΛΥΨΗΣ Στη συγκεκριμένη κατηγορία θεωρείται ανέφικτη η ικανοποίηση του συνόλου της ζήτησης εντός ενός δικτύου. Γίνεται επομένως προσπάθεια να καλυφθεί όσο το δυνατόν μεγαλύτερο μέρος της ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ p-κεντρου Σκοπός του προβλήματος είναι να ελαχιστοποιήσει τη μέγιστη απόσταση που απέχει κάθε κόμβος ζήτησης από την πλησιέστερη μονάδα παροχής εξυπηρέτησης. Πέραν της μέγιστης απόστασης η εξυπηρέτηση θεωρείται ανεπαρκής. 85
2.ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-διασπορασ (The p-dispersion problem) Στόχος του προβλήματος είναι η μεγιστοποίηση της απόστασης ανάμεσα σε υπό χωροθέτηση μονάδες παροχής εξυπηρέτησης π.χ. χωροθέτηση στρατιωτικών μονάδων που απαιτούν μεγάλη απόσταση μεταξύ τους. 86
3. ΠΡΟΤΥΠΑ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ Ή ΜΕΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ (Total or average distance models) Σκοπός των συγκεκριμένων προτύπων είναι η εύρεση της βέλτιστης λύσης της συνολικής ή μέσης διανυόμενης απόστασης για την πλήρη εξυπηρέτηση της ζήτησης. Η παρούσα κατηγορία προβλημάτων περιλαμβάνει τέσσερα πρότυπα : i. Το πρόβλημα p-διαμέσου (the p-median problem). ii. iii. iv. To πρόβλημα χωροθέτησης σταθερού κόστους (the fixed charged location problem). Προβλήματα χωροθέτησης πλήμνης (Hub location problems). Το πρόβλημα χωροθέτησης μέγιστου αθροίσματος (the maximum location problem). 87
ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-διαμεσου (the p-median problem) Αντικείμενο των προβλημάτων είναι η ελαχιστοποίηση της μέσης σταθμισμένης διανυόμενης απόστασης μεταξύ των σημείων ζήτησης και των χωροθετημένων μονάδων. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ (the fixed charge location problem) Στόχος του προβλήματος είναι η όσο το δυνατόν μεγαλύτερη μείωση του κόστους που αφορά τις μονάδες που θα χωροθετηθούν αλλά και του κόστους μετακίνησης. 88
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΛΗΜΝΗΣ (Hub location problems) Στόχος είναι η χωροθέτηση του κέντρου διακίνησης εμπορευμάτων (πλήμνη) καθώς και η ελαχιστοποίηση του κόστους μεταφοράς εμπορευμάτων από και προς το κέντρο διακίνησης. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ (the maximum location problem) Στόχος είναι η εύρεση της βέλτιστης λύσης για την χωροθέτηση μονάδων παροχής εξυπηρέτησης ώστε να μεγιστοποιείται η μέση σταθμισμένη διανυόμενη απόσταση μεταξύ των σημείων ζήτησης και των εγκαταστάσεων π.χ. κτίρια φυλακών, ΧΥΤΑ. 89
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα Πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση.