d 2 x = f (x, x). (t),x 2

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Στην Κλασική Μηχανική, ο θεσεογραφικός χώρος μιας σημειακής μάζας είναι το σύνολο των θέσεων που έχει τη δυνατότητα να καταλάβει στον ευκλείδειο χώρο 3 Αν η σημειακή μάζα δεν υπόκειται σε χωρικούς περιο- ρισμούς τότε ο θεσεογραφικός της χώρος, δηλαδή ο χώρος των ενδεχόμενων θέσεών της, με τη σημειακή του υπόσταση, είναι ο ευκλείδειος χώρος 3, και αν δεν υπόκειται ούτε σε περιορισμούς ταχυτήτων τότε ο χώρος των ενδεχόμενων ταχυτήτων της, με τη διανυσματική του υπόσταση, είναι επίσης ο ευκλείδειος χώρος 3, οπότε ο χώρος των ενδεχόμενων θέσεων και ταχυτήτων είναι το καρτεσιανό γινόμενο 3 3 Η Αρχή του Ντετερμινισμού του Νεύτωνα διασφαλίζει, ως προς την κίνηση της σημειακής μάζας, την ύπαρξη μιας συνάρτησης ορισμένης στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων, με τιμές στο χώρο των θέσεων που, για κάθε δεδομένη αρχική θέση και αρχική ταχύτητα, ορίζει την κίνηση στο θεσεογραφικό χώρο ως την αντίστοιχη λύση της θεμελιώδους εξίσωσης: 1 d 2 x = f (x, x) 2 Η αξιωματική εισαγωγή της θεμελιώδους εξίσωσης, ως διαφορικής εξίσωσης 2 ης τάξης, καθορίζει την ορθο- λογική βάση ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας της κίνησης ανταποκρινόμενης στα πειραματικά δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση καθορίζεται από τα φυσικά δεδομένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, ορίζεται μονοσήμαντα η κίνηση, για κάθε δεδομένη αρχική θέση και ταχύτητα, σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα και η τροχιά της καταγράφεται στον ευκλείδειο χώρο: x : I 3, x(t) = (x 1 (t),x 2 (t),x 3 (t)) Όταν η σημειακή μάζα υπόκειται σε χωρικούς περιορισμούς, ο θεσεογραφικός χώρος περιορίζεται σε ένα υπο- σύνολο του ευκλείδειου χώρου 3 Αν το υποσύνολο αυτό είναι μια ομαλή επιφάνεια M, τότε σε κάθε σημείο a M ορίζεται το εφαπτόμενο επίπεδο T a M που περιέχει όλα τα εφαπτόμενά της διανύσματα στο δεδομένο σημείο, δηλαδή όλες τις ενδεχόμενες ταχύτητες με τις οποίες το σωματίδιο μπορεί να διέλθει από αυτό το σημείο Το σύνολο των ενδεχόμενων θέσεων και ταχυτήτων του σωματιδίου ορίζει αυτό που αποκα- λούμε εφαπτόμενο ινώδες του θεσεογραφικού χώρου που προκύπτει από τη διακριτή ένωση των εφαπτό- μενων επιπέδων στα σημεία του θεσεογραφικού χώρου: { } TM : {a} T a M =: T a M a M Πχ Αν ο θεσεογραφικός χώρος είναι μια ομαλή καμπύλη στο ευκλείδειο επίπεδο τότε σε κάθε σημείο της ορίζεται η εφαπτόμενη ευθεία που είναι φορέας των ενδεχόμενων ταχυτήτων με τις οποίες η σημειακή μάζα μπορεί να διέλθει από αυτό το σημείο Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση του απλού επίπεδου εκκρεμούς όπου ο θεσεογραφικός του χώρος είναι ο κύκλος a M 1 S, ενώ στην περίπτωση του απλού χωρικού εκκρεμούς ο θεσεο- γραφικός χώρος είναι η επιφάνεια της σφαίρας S 2 και προκύπτει το εφαπτόμενο ινώδες: ( ) a S 2 TS 2 = {a} T a S 2 = T a S 2 Ο θεσεογραφικός χώρος των στερεών σωμάτων είναι το καρτεσιανό γινόμενο 3 SO(3) και το σύνολο των θέσεων και ταχυτήτων τους εκφράζεται με το εφαπτόμενο ινώδες: T( 3 SO(3)) = a S 2 T a ( 3 SO(3)) a 3 SO(3) 1 Βλ Κλασική Μηχανική, Σ Πνευματικού, Αθήνα 2006 55

ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ Το απλό επίπεδο εκκρεµμές εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση του βάρους του και αυτή προκαθορί- ζεται από την αρχική του θέση και την αρχική του ταχύτητα, όπως υπαγορεύει η αρχή του ντετερµμι- νισµμού του Νεύτωνα Οι θέσεις που έχει τη δυνατότητα να καταλάβει στο χώρο η προσδεδεµμένη στο άκρο του εκκρεµμούς µμάζα m αντιστοιχούν στα σηµμεία ενός κύκλου µμε κέντρο το σηµμείο πρόσδεσης και ακτίνα ίση προς το µμήκος του εκκρεµμούς Ο κύκλος αυτός αποτελεί το θεσεογραφικό χώρο του εκκρεµμούς και ως γεωµμετρικό πρότυπο εκλαµμβάνεται ο µμοναδιαίος κύκλος S1 Κάθε σηµμείο αυτού του κύκλου, άρα κάθε ενδεχόµμενη θέση του εκκρεµμούς, υποδεικνύεται µμε την προσανατολισµμένη γωνία που μετρά την απόκλισή του από την κατακόρυφο ή το αντίστοιχο τόξο του κύκλου Οι ενδεχόμενες ταχύτητες με τις οποίες το εκκρε- μές μπορεί να διέλθει από αυτή τη θέση εκφράζονται με τα διανύσματα που έχουν φορέα την εφαπτόμενη ευθεία στο θεσεογραφικό του κύκλο σε αυτό το σημείο και οι αντίστοιχες τιμές της γωνιακής του ταχύτητας αναπαρίστανται στα σημεία της πραγματικής ευθείας Άρα, το σύνολο όλων των ενδεχόμενων θέσεων και ταχυτήτων του εκκρεμούς αναπαρίσταται στο καρτεσιανό γινόμενο του μοναδιαίου κύκλου με την πραγματι- κή ευθεία, δηλαδή την επιφάνεια του κυλίνδρου S1 που αναπαριστά το εφαπτόμενο ινώδες του κύκλου: T S1 = Ta S1 S1 a S1 Το απλό επίπεδο εκκρεμές και η ανάλυση της ασκούμενης βαρυτικής δύναμης Ο χώρος θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς είναι το τοπολογικό γινόμενο S1 Η κίνηση του απλού επίπεδου εκκρεµμούς υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα Λαµμβάνοντας υπόψη ότι µμια συνιστώσα του βάρους του αντισταθµμίζει την τάση του νήµματος, αν δεν υπάρχουν τριβές, προσδι- ορίζεται η κινητήρια δύναµμη που υπεισέρχεται στην εξίσωση του Νεύτωνα: d 2x = ω 2 sin x όπου ω = g / 2 Απλό επίπεδο εκκρεμές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση της βαρύτητας Η συνάρτηση ενέργειας του εκκρεµμούς ορίζεται στο εφαπτόµμενο ινώδες του θεσεογραφικού του κύκλου Σε κάθε σηµμείο αυτού του καρτεσιανού γινοµμένου, η συνάρτηση αυτή αποδίδει µμια ενεργειακή τιµμή, η οποία προκύπτει από την άθροιση των τιµμών της δυναµμικής ενέργειας που αποκτάται στην εκάστοτε θέση και της κινητικής ενέργειας που προσδίδει η ταχύτητα µμε την οποία διέρχεται από αυτή τη θέση: E : S1, E(x, y) = U(x) + K( y) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, Μάθημα 1ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών 56

Το οµμογενές πεδίο βαρυτικών δυνάµμεων, ως πεδίο δυναµμικού, αποδίδει σε κάθε σηµμείο του χώρου, και συνακόλουθα σε κάθε σηµμείο του θεσεογραφικού χώρου του εκκρεµμούς, την αριθµμητική τιµμή της δυναµμι- κής ενέργειας που αποκτά το εκκρεµμές από την αλληλεπίδρασή του µμε το πεδίο βαρύτητας Ένας απλός υπολογισµμός, στο αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς όπου µμηδενίζεται η σταθερά του δυναµμικού, οδηγεί στην έκφραση της συνάρτησης δυναµμικού: U :S 1, U(x) := mgh = mg(1 cos x) Η συνάρτηση αυτή δεν εξαρτάται από το χρόνο και η περιοδικότητά της δίνει τη δυνατότητα ορισµμού της στο θεσεογραφικό κύκλο του εκκρεµμούς Έτσι, µμε προσέγγιση του διαστατικού παράγοντα m 2, ορίζεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου η συνάρτηση ενέργειας: E :S 1, E(x, y) = ω 2 (1 cos x) + y 2 /2 Με εκδίπλωση αυτής της κυλινδρικής επιφάνειας στο ευκλείδειο επίπεδο, οι θέσεις και οι ταχύτητες του εκκρεµμούς αποκτούν καρτεσιανές συντεταγµμένες που η ανάγνωσή τους γίνεται µμε προβολή των σηµμείων του επιπέδου στους αντίστοιχους άξονες Έτσι, η συνάρτηση ενέργειας εκφράζεται ως εξής: E :, E(x, y) = ω 2 (1 cos x) + y 2 /2, Κάθε ενεργειακή τιµμή ορίζει ένα ισοενεργειακό σύνολο σηµμείων στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων: y 2 + 2ω 2 (1 cos x) = 2Ε ο /m 2, Ε ο Πρόκειται για ισοενεργειακές καµμπύλες οι οποίες είναι λείες εκτός από τα σηµμεία που αντιστοιχούν στις κρίσιµμες ενεργειακές τιµμές, δηλαδή τις τιµμές που αντιστοιχούν στα σηµμεία του επιπέδου θέσεων και ταχυ- τήτων όπου µμηδενίζεται το διαφορικό της συνάρτησης ενέργειας: de(x, y) = ω 2 sin x dx + y dy, (x = kπ, y = 0), k Ισοενεργειακές καµμπύλες στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεµμούς Τα σηµμεία αυτά, όπου µμηδενίζεται το διαφορικό της συνάρτησης ενέργειας, ανήκουν στον άξονα των θέ- σεων, αφού εκεί η ταχύτητα του εκκρεµμούς είναι µμηδενική, και αντιστοιχούν στις θέσεις ισορροπίας του εκκρεµμούς Επαναλαµμβάνονται περιοδικά εκεί όπου λαµμβάνει ακρότατες τιµμές η συνάρτηση δυναµμικού: U(x) = ω 2 (1 cos x) Κάθε ισοενεργειακή καµμπύλη περιέχει µμια µμόνο τροχιά που εξελίσσεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτή- των, εκτός από µμια ιδιάζουσα ισοενεργειακή καµμπύλη η οποία περιέχει περισσότερες από µμια τροχιές και διαχωρίζει το ευκλείδειο επίπεδο ανάλογα µμε τη φύση των εξελισσόµμενων σε αυτό τροχιών Άλλωστε, το θεώρηµμα ύπαρξης και µμοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων υποδεικνύει ότι από κάθε σηµμείο αυτού του επιπέδου διέρχεται µμια µμόνο τροχιά, αλλά αυτό δεν αντιφάσκει µμε το ενδεχόµμενο να εξελίσσονται σε κάποια ισοενεργειακή καµμπύλη περισσότερες από µμια τροχιές ίδιας ενεργειακής τιµμής Η προβολή κάθε σηµμείου µμιας τέτοιας τροχιάς στον άξονα των θέσεων και στον άξονα των ταχυτήτων υποδεικνύει αντίστοιχα τη θέση που έχει το εκκρεµμές στο φυσικό χώρο και την ταχύτητα µμε την οποία διέρχεται από αυτή τη θέση, τη δεδοµμένη χρονική στιγµμή Τα σηµμεία ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων αντιστοιχούν σε σηµμειακές τροχιές, δηλαδή σε χρονικά σταθερές λύσεις της εξίσωσης της κίνησης του εκκρεµμούς και διακρίνονται σε δυο κατηγορίες: Ευσταθείς καταστάσεις ισορροπίας: (x = 2kπ, y = 0), k, Ασταθείς καταστάσεις ισορροπίας: (x = (2k +1)π, y = 0), k 57

Από το γράφηµμα της συνάρτησης δυναµμικού γίνεται αντιληπτή η φύση της ισορροπίας του εκκρεµμούς και η ποιοτική συµμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή της στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων Γράφηµμα της συνάρτησης δυναµμικού και τροχιές στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, καθώς και στην επιφάνεια του κυλίνδρου Οι ευσταθείς καταστάσεις ισορροπίας έχουν µμηδενική ενεργειακή τιµμή και εκεί η κινητική και η δυναµμική ενέργεια είναι µμηδενικές Οι ασταθείς καταστάσεις ισορροπίας έχουν την ιδιάζουσα ενεργειακή τιµμή: E o = 2mg Η ιδιάζουσα αυτή ενεργειακή τιµμή ορίζει στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων τη διαχωριστική ισοενεργει- ακή καµμπύλη που περιέχει τα σηµμεία ασταθούς ισορροπίας, τα οποία προβάλλονται στον άξονα των θέσεων εκεί όπου η συνάρτηση δυναµμικού αποκτά µμέγιστη τιµμή Όµμως, σε αυτή την ισοενεργειακή καµμπύλη, αµμφίπλευρα σε κάθε ένα σηµμείο ασταθούς ισορροπίας, εξελίσσονται µμε την ίδια ενεργειακή τιµμή τέσσερις ακόµμη ιδιάζουσες τροχιές οι οποίες, παρακάµμπτοντας τα σηµμεία ευσταθούς ισορροπίας, κατευ- θύνονται και τείνουν να καταλήξουν σε άπειρο χρόνο στα παράπλευρα σηµμεία ασταθούς ισορροπίας Η εξέλιξη των τροχιών στην περιοχή κάθε σηµμείου ασταθούς ισορροπίας είναι σαγµματική, ενώ γύρω από κάθε σηµμείο ευσταθούς ισορροπίας η εξέλιξή τους είναι ελλειπτική και αυτό ισχύει έως την ενεργειακή τιµμή της διαχωριστικής ισοενεργειακής καµμπύλης Πέρα από αυτή την κρίσιµμη ενεργειακή τιµμή αλλάζει εντελώς η τοπολογική φύση των τροχιών στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων και αυτό είναι αντίκρισµμα της φύσης των κινήσεων που εκτελεί το εκκρεµμές µμε αντίστοιχες ενεργειακές τιµμές στο φυσικό χώρο Η προβολή κάθε ελλειπτικής περιοδικής τροχιάς στον άξονα των θέσεων αναδεικνύει την περιοδική τα- λάντωση που εκτελεί το εκκρεµμές στο φυσικό χώρο Πέρα από την κρίσιµμη ενεργειακή τιµμή της διαχωρι- στικής ισοενεργειακής καµμπύλης, το εκκρεµμές περιστρέφεται αέναα γύρω από το σηµμείο πρόσδεσής του Με τη θεώρηση της συνάρτησης ενέργειας, η εξίσωση της κίνησης του εκκρεµμούς εκφράζεται στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων ως σύστηµμα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: dx E(x, y) = y dy E(x, y) = x dx = y dy = ω2 sin x Το σύστηµμα αυτών των διαφορικών εξισώσεων εκφράζεται γεωµμετρικά µμε ένα διανυσµματικό πεδίο στην επιφάνεια του κυλίνδρου S 1, δηλαδή µμια απεικόνιση που σε κάθε σηµμείο της κυλινδρικής επιφάνειας αποδίδει ένα διάνυσµμα το οποίο ανήκει στο αντίστοιχο εφαπτόµμενό της επίπεδο : X E :S 1 T(S 1 E(x, y) E(x, y) ), X E (x, y) := (, ) T y x ( x,y) (S 1 ) Η έκφραση του διανυσµματικού αυτού πεδίου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι η εξής: X E :, X E (x, y) = ( y, ω 2 sin x), και προφανώς είναι ορθογώνιο προς το πεδίο κλίσης της συνάρτησης ενέργειας: X E (x, y) E(x, y), (x, y) 58

Αποτύπωση του διανυσµματικού πεδίου του απλού επίπεδου εκκρεµμούς µμε εκδίπλωση της κυλινδρικής επιφάνειας στο επίπεδο Τα σηµμεία µμηδενισµμού του διανυσµματικού αυτού πεδίου αντιστοιχούν στις θέσεις ισορροπίας του εκκρεµμούς Η µμη απώλεια ενέργειας κατά µμήκος κάθε τροχιάς του εκκρεµμούς στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων αναδεικνύεται µμε το µμηδενισµμό της απόκλισης του διανυσµματικού αυτού πεδίου: E(x, y) E(x, y) divx E (x, y) = + = 0 x y Αποτύπωση των τροχιών του απλού επίπεδου εκκρεµμούς µμε εκδίπλωση της κυλινδρικής επιφάνειας στο επίπεδο Θέμα μελέτης 1 Διαπιστώστε ότι ο χώρος θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεµμούς S 1, µμετασχηµματίζεται αµμφιδιαφορικά µμέσα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ως εξής: ( ) 3 S 1 3 (x, y) sin x, y, E(x, y) Γεωµμετρική αναπαράσταση του χώρου των θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεµμούς που προκύπτει από τον µμετασχηµματισµμό στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο έτσι ώστε κάθε ενεργειακή τιµμή να ορίζει στην 3 η διάσταση ένα οριζόντιο επίπεδο το οποίο τέµμνοντας τη µμετασχηµματισµμένη επιφάνεια του κυλίνδρου να αναδεικνύει τις αντίστοιχες τροχιές Θέμα μελέτης 2 Όταν το απλό επίπεδο εκκρεµμές δεν έχει απώλεια ενέργειας, δείξτε ότι, στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, µμε κατάλληλη τοπική αµμφιδιαφορική αλ- λαγή συντεταγµμένων, η συνάρτηση ενέργειας αποκτά τετραγωνική έκφραση Εξετάστε την ποιοτική δια- φορά των τροχιών της γραµμµμικής δυναµμικής που απορρέει από αυτές τις τετραγωνικές εκφράσεις της συνάρτησης ενέργειας συγκριτικά µμε την τοπική συµμπεριφορά των τροχιών της µμη γραµμµμικής δυναµμικής Απάντηση Αν το απλό επίπεδο εκκρεµμές εκτελεί την κίνησή του χωρίς τριβές, η συνάρτηση ενέργειας: E :, E(x, y) = ω 2 (1 cos x) + y 2 /2, αναδεικνύει την ελλειπτική και σαγµματική φύση των τροχιών στην περιοχή των σηµμείων ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων, δηλαδή εκεί όπου µμηδενίζεται το διαφορικό: de(x, y) = ω 2 sin x dx + y dy 59

Οι καταστάσεις ισορροπίας του απλού επίπεδου εκκρεµμούς αντιστοιχούν σε κρίσιµμα µμη εκφυλισµμένα σηµμεία της συνάρτησης ενέργειας στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων και αυτό αφήνει να γίνει αντιληπτό ότι η απάντηση θα δοθεί από το Λήµμµμα Morse Θεωρώντας το τοπικό ανάπτυγµμα της συνάρτησης δυναµμικού, αφενός στη θέση ευ- σταθούς ισορροπίας και αφετέρου στη θέση ασταθούς ισορροπίας, προκύπτουν αντίστοιχες τετραγωνικές συναρτή- σεις που ορίζουν αντίστοιχες γραµμµμικές δυναµμικές οι οποίες οδηγούν στα ακόλουθα τοπικά συµμπεράσµματα: 2 Τοπικά στην κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας (x = 0, y = 0) : E(x, y) = y2 2 + x 2 ω2 2 dx E(x, y) = y dy E(x, y) = x dx = y dy = ω2 x x y = 0 1 ω 2 0 x y Τετραγωνικό δυναμικό και τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής στην περιοχή του σημείου ευσταθούς ισορροπίας Τοπικά στην κατάσταση ασταθούς ισορροπίας (x = π, y = 0) : E(x, y) = y2 2 x 2 ω2 2 dx E(x, y) = y dy E(x, y) = x dx = y dy = ω2 x x y = 0 1 ω 2 0 x y Τετραγωνικό δυναμικό και τροχιές της γραμμικοποιημένης δυναμικής στην περιοχή του σημείου ευσταθούς ισορροπίας Για την κατασκευή των τοπικών συντεταγµμένων στις οποίες η συνάρτηση ενέργειας αποκτά τετραγωνική έκφραση προφανώς αρκεί να εξεταστεί η συνάρτηση δυναµμικού στην περιοχή των σηµμείων του χώρου των θέσεων εκεί όπου λαµμβάνει τις ακρότατες τιµμές της Στην περιοχή των σηµμείων ελαχιστοποίησης του δυναµμικού, πχ x o = 0, ισχύει: και καθορίζεται η τοπική αµμφιδιαφορική αλλαγή: + U(x) = ω 2 (1 cos x) = x 2 ω 2 ( 1) k (2k)! xk 2, k=1 u = x ω 2 + k=1 ( 1) k (2k 1)! x2k 2 1/2, v = y 1 2, από όπου προκύπτει η τετραγωνική τοπική έκφραση της συνάρτησης ενέργειας: 2 Στις τοπικές αυτές εκφράσεις της συνάρτησης ενέργειας υπεισέρχεται µμόνο ο πρώτος όρος του αναπτύγµματος Taylor της συνάρ- τησης δυναµμικού στις αντίστοιχες θέσεις ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας Οι προκύπτουσες τετραγωνικές µμορφές δίνουν στην περιοχή των αντίστοιχων θέσεων ισορροπίας, ελλειπτικές και υπερβολικές ισοενεργειακές καµμπύλες Τα συστήµματα διαφορικών εξισώσεις που απορρέουν και διέπουν τοπικά τις κινήσεις του εκκρεµμούς είναι γραµμµμικά και η επίλυσή τους είναι γνωστή Βλ Συστήµματα Γραµμµμικών Διαφορικών Εξισώσεων, Μεταπτυχιακό µμάθηµμα, Τµμήµμα Μαθηµματικών, Πανεπιστήµμιο Πάτρας 60

και το αντίστοιχο γραµμµμικό πεδίο διανυσµμάτων : X E (u,v) = E(u,v) v E(u,v) = 1 2 v2 + 1 2 u2 u E(u,v) u v = v u ω2 u v Στην περιοχή των σηµμείων µμεγιστοποίησης του δυναµμικού, πχ x o = π, ισχύει: και καθορίζεται η τοπική αµμφιδιαφορική αλλαγή: + U(x) = ω 2 (1 cos x) = (x x o ) 2 ω 2 ( 1) k (2k)! (x x o )k 2 u = (π x) ω 2 + k=1 k=1 ( 1) k (π x)2k 2 (2k 1)! 1/2, v = y 1 2, από όπου προκύπτει η τετραγωνική τοπική έκφραση της συνάρτησης ενέργειας: και το αντίστοιχο γραµμµμικό πεδίο διανυσµμάτων : X E (u,v) = E(u,v) v E(u,v) = 1 2 v2 1 2 u2 u E(u,v) u v = v u + ω2 u v Ø Απλό επίπεδο εκκρεμές και απώλεια ενέργειας Αν το απλό επίπεδο εκκρεµμές εκτελεί την κίνησή του σε ένα µμέσο όπου υφίστανται τριβές, λαµμβάνοντας υπόψη την ανθιστάµμενη δύναµμη τριβής που στην πράξη είναι ανάλογη της ταχύτητάς του µμε συντελεστή τριβής ρ> 0, προσδιορίζεται η κινητήρια δύναµμη που ορίζει την εξίσωση του Νεύτωνα: d 2 x 2 = ω2 sin x ρ dx Εδώ η δυναµμική στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων υπαγορεύεται από µμια διαφορική µμορφή: α(x, y) = (ω 2 sin x + ρy)dx + ydy Η διαφορική αυτή µμορφή δεν είναι ακριβής οπότε δεν υφίσταται συνάρτηση δυναµμικού που αθροιζόµμενη µμε την κινητική ενέργεια του εκκρεµμούς να ορίζει συνάρτηση ενέργειας Η εξίσωση του Νεύτωνα διατυ- πώνεται στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων ως σύστηµμα εξισώσεων: dx = y, dy = ω2 sin x ρy και εκφράζεται γεωµμετρικά µμε το πεδίο διανυσµμάτων: X (x, y) = y x (ω2 sin x + ρy) y Όσο πιο µμεγάλη είναι η τιµμή του συντελεστή τριβής τόσο µμεγαλύτερη είναι η απώλεια ενέργειας ως προς τη συνάρτηση ενέργειας που υφίσταται αν ρ=0 και αυτό προκύπτει από τον υπολογισµμό της απόκλισης: divx (x, y) = ρ Τα σηµμεία µμηδενισµμού αυτού του διανυσµματικού πεδίου είναι ακριβώς τα σηµμεία µμηδενισµμού της διαφο- ρικής µμορφής και ορίζουν τις καταστάσεις ισορροπίας του απλού επίπεδου εκκρεµμούς στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων: (x o, y o ) = (kπ,0), k Διακρίνουµμε δυο είδη ισορροπίας: (x o = 2kπ, y o = 0) και ( x o = (2k +1)π, y o = 0), k 61

Προκύπτουν τα ακόλουθα τοπικά συµμπεράσµματα από την γραµμµμικοποίηση του διανυσµματικού πεδίου: Κατάσταση ισορροπίας (0,0): X = y x (ω2 x + ρy) y : dx = y, dy = ω2 x ρy, Κατάσταση ισορροπίας (π,0): X = y x + (ω2 x ρy) y : dx = y, dy = ω2 x ρy Τοπική άποψη των τροχιών στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων της γραµμµμικοποιηµμένης δυναµμικής του απλού επίπεδου εκκρεµμούς στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας (kπ,0), k (Η τιµμή του συντελεστή τριβής δεν επηρεάζει τη φύση των ιδιοτιµμών της γραµμµμικοποιηµμένης δυναµμικής στα σηµμεία (2kπ,0), k, ενώ την επηρεάζει στα σηµμεία ((2k +1)π,0), k ) Ποια όµμως είναι η σχέση των τροχιών του µμη γραµμµμικού συστήµματος µμε τις τροχιές της γραµμµμικοποίησης του στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας; Εδώ δεν διαθέτουµμε συνάρτηση ενέργειας όπως στην περίπτωση ρ=0 και δεν υπάρχει δυνατότητα χρήσης του Λήµμµματος Morse Εντούτοις, το θεώρηµμα των D Grobman (1959) και P Hartman (1951), επιτρέπει να αναγνώσουµμε την τοπολογική φύση των τροχιών της µμη γραµμµμικής δυναµμικής στην γραµμµμικοποίησή της στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας Έτσι, συνθέτοντας τις τοπικές πληροφορίες σχηµματίζεται ποιοτικά το πορτρέτο των τροχιών της µμη γραµμµμικής δυναµμικής στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων ανάλογα µμε την τιµμή του συντελεστή τριβής Τροχιές στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς που εκτελεί την ταλάντωσή του με απώλεια ενέργειας ανάλογα με την τιμή του συντελεστή τριβής 62

ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Κατά την κίνηση ενός στερεού σώµματος στο χώρο, κάθε χρονική στιγµμή, η χωροθέτησή του στο ευκλεί- δειο σύστηµμα αναφοράς προσδιορίζεται από τη θέση του αδρανειακού του κέντρου και τη στροφική του τοποθέτηση γύρω από το αδρανειακό κέντρο η οποία υποδεικνύεται µμε ένα στοιχείο της οµμάδας χωρικών στροφών Συνεπώς, ο θεσεογραφικός του χώρος ορίζεται από το καρτεσιανό γινόµμενο 3 SO(3) 3 Στιγµμιότυπα της εξέλιξης ενός στερεού σώµματος στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο Κάθε στιγμιότυπο του στερεού σώματος στον ευκλείδειο χώρο προσδιορίζεται από τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες που υποδεικνύουν τη θέση του αδρανειακού του κέντρου και τρεις γωνιακές συντεταγμένες που υποδεικνύουν την εκάστοτε στροφική του τοποθέτηση Αν στο στερεό σώµμα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµμεις ή αν η συνισταµμένη των ασκούµμενων εξωτερι- κών δυνάµμεων είναι µμηδενική, ο πρώτος νόµμος του Νεύτωνα δηλώνει ότι το αδρανειακό του κέντρο θα εκτελέσει ευθύγραµμµμη οµμαλή κίνηση ή θα παραµμείνει ακίνητο στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς Αν η συνισταµμένη των ασκούµμενων εξωτερικών δυνάµμεων δεν είναι µμηδενική, ο δεύτερος νόµμος του Νεύτωνα δίνει την εξίσωση που διέπει την κίνηση του αδρανειακού κέντρου στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς Η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα του αδρανειακού κέντρου καθορίζουν τη λύση αυτής της εξίσωσης, η οποία υποδεικνύει την τροχιά του στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς Αν η θεωρία του Νεύτωνα απαντά στο ερώτηµμα της κίνησης του αδρανειακού κέντρου των στερεών σωµμάτων, εντούτοις δεν απαντά στο ερώτηµμα της στροφικής τους κίνησης γύρω από το αδρανειακό τους κέντρο και στο ζήτηµμα αυτό έρχεται να δώσει απάντηση η θεωρία του Euler Στιγµμιότυπα στροφικής κίνησης του στερεού σώµματος γύρω από το αδρανειακό του κέντρου και της κίνησής του στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς Θεωρούµμε ένα σύστηµμα αναφοράς ℜ : [x, y,z] το οποίο έχοντας τους άξονές του σε παραλληλία προς τους αντίστοιχους άξονες του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς και όντας επικεντρωµμένο στο αδρανειακό κέντρο του στερεού σώµματος ακολουθεί την κίνησή του στον ευκλείδειο χώρο Σε αυτό το σύστηµμα ανα- φοράς, µμε δεδοµμένη την αρχική χωροθέτηση του στερεού, οι διαδοχικές στροφικές χωροθετήσεις του αντιστοιχούν σε µμια συνεχή διαδοχή σηµμείων της οµμάδας χωρικών στροφών SO(3) Αν λέγαµμε ότι στο θεσεογραφικό χώρο ενός στερεού σώµματος υπεισέρχεται όλη η ορθογώνια οµμάδα του ευκλείδειου χώρου, τότε η επιλογή του χωρικού προσανατολισµμού καθορίζει την τοπολογική συνεκτική συνιστώσα στην οποία καταγράφεται η στροφική του χωροθέτηση Ας σηµμειωθεί ότι µμόνο η τοπολογική συνιστώσα των χωρικών στροφών είναι υποοµμάδα της ορθογώνιας οµμάδας αφού αυτή περιέχει το ουδέτερο στοιχείο της, δηλαδή τον ταυτοτικό µμετασχηµματισµμό του ευκλείδειου χώρου 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, Μάθημα 1ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών 63

Το βασικό θεώρηµμα της θεωρίας της κίνησης των στερεών σωµμάτων δηλώνει την ύπαρξη διαφορίσιµμης απεικόνισης η οποία υποδεικνύει κάθε στιγµμή το αντίστοιχο στοιχείο της οµμάδας χωρικών στροφών που εκτελεί τη χωρική στροφή του στερεού σώµματος στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] : S : I SO(3) Πρόκειται για τον τελεστή περιστροφής ο οποίος υποδεικνύει κάθε χρονική στιγµμή τη θέση κάθε σηµμείου του στερεού σώµματος και την ταχύτητά του στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] : R i (t) = S(t) R i (0), R i (t) = S(t) R i (0), S(0) = I 3 Από εδώ προκύπτει το περίφηµμο θεώρηµμα Chasles- Euler σύµμφωνα µμε το οποίο, στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς, κάθε χρονική στιγµμή, η κίνηση κάθε σηµμείου ενός στερεού σώµματος αποσυντίθεται σε µμια στιγ- µμιαία µμεταφορική κίνηση και µμια στιγµμιαία στροφική κίνηση γύρω από ένα στιγµμιαίο άξονα περιστροφής Θεωρούµμε επίσης ένα σύστηµμα αναφοράς R : [ x, y, z ] το οποίο έχοντας τους άξονές του ενσωµματωµμένους στο στερεό σώµμα και, όντας επικεντρωµμένο στο αδρανειακό κέντρο του στερεού σώµματος, εκτελεί την στροφική του κίνηση µμαζί µμε το στερεό σώµμα στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] Κάθε χρονική στιγµμή, η στροφική χωροθέτηση του στερεού σώµματος στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] αντικατοπτρίζεται στην χωροθέτηση, ως προς αυτό το σύστηµμα, του ενσωµματωµμένου στο στερεό σώµμα συστήµματος αναφοράς R : [ x, y, z ] Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού σώµματος ορίζεται ως εκείνη του περιστρεφόµμενου συστή- µματος αναφοράς R : [ x, y, z ] ως προς το σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] : 4 ω(t) ω 1 (t),ω 2 (t),ω 3 (t) ( ), ω i : I, i = 1,2,3 Το αδρανειακό και το περιστρεφόµμενο σύστηµμα αναφοράς του στερεού σώµματος µμε τις ορθοκανονικές τους βάσεις ΑΣΚΗΣΗ Πώς θα υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση µμιας σηµμειακής µμάζας ως προς το σύστηµμα αναφοράς R : [ x, y, z ] το οποίο περιστρέφεται µμε δεδοµμένη γωνιακή ταχύτητα ω(t) ως προς το R : [x,y,z] 4 Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] βλέπει µμε την πάροδο του χρόνου την ορθοκανονική βάση e1 (t), e 2 (t), e 3 (t) του ενσωµματωµμένου στο στερεό σώµμα συστήµματος αναφοράς R : [ x, y, z ] να περιστρέφεται στο χώρο και παρα- γωγίζοντας µμε τον δικό του τελεστή παραγώγισης διαπιστώνει ότι : d R d R e 1 (t) e 2 (t) d R e 3 (t) = a 1 (t) e 1 (t) + a 2 (t) e 2 (t) + a 3 (t) e 3 (t) = b 1 (t) e 1 (t) + b 2 (t) e 2 (t) + b 3 (t) e 3 (t) = c 1 (t) e 1 (t) + c 2 (t) e 2 (t) + c 3 (t) e 3 (t) d R d R e 1 (t) e 2 (t) d R e 3 (t) = 0 e 1 (t) + ω 3 (t) e 2 (t) ω 2 (t) e 3 (t) = ω 3 (t) e 1 (t) + 0 e 2 (t) + ω 1 (t) e 3 (t) = ω 2 (t) e 1 (t) ω 1 (t) e 2 (t) + 0 e 3 (t) Με απλούς συνδυαστικούς υπολογισµμούς προσδιορίζονται οι σχέσεις των συντελεστών που υπεισέρχονται στην αρχική ανάλυση και εισάγοντας νέους συµμβολισµμούς προκύπτει η τελική έκφραση των χρονικών παραγώγων της περιστρεφόµμενης βάσης: ω 1 (t) := b 3 (t) = c 2 (t), ω 2 (t) := c 1 (t) = a 3 (t), ω 3 (t) := a 2 (t) = b 1 (t) Το συµμπέρασµμα αυτής της υπολογιστικής διαδικασίας συνοψίζεται ως εξής: d R e i (t) = ω(t) e i (t), i = 1,2,3 64

Στο διάνυσµμα της γωνιακής ταχύτητας του στερεού προσαρτάται ο τελεστής γωνιακής ταχύτητας: έτσι ώστε: 0 ω 3 (t) ω 2 (t) L ω (t) = ω 3 (t) 0 ω 1 (t) ω 2 (t) ω 1 (t) 0 L ω (t) ξ = ω(t) ξ, ξ 3 Ο ανάστροφος πίνακας του τελεστή γωνιακής ταχύτητας είναι ο θεµμελιώδης πίνακας της εξίσωσης: X(t) = L ω (t)x(t) και θέτοντας X(t) = T S(t) προκύπτει: S(t) = L ω (t)s(t) Συνεπώς, αν είναι γνωστή η γωνιακή ταχύτητα του στερεού σώµματος, µμε δεδοµμένη την αρχική του τοπο- θέτηση στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z], ο τελεστής περιστροφής θα δοθεί από τη λύση της εξίσωσης: 5 S(t) = S(t)L ω (t), S(0) = I 3 Ο τελεστής περιστροφής υποδεικνύει κάθε χρονική στιγµμή τη θέση κάθε σηµμείου του στερεού σώµματος και την ταχύτητά του στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] : R i (t) = S(t) R i (0), R i (t) = S(t) R i (0), και επιπλέον θα υποδείξει κάθε χρονική στιγµμή το στιγµμιαίο άξονα περιστροφής του στερεού σώµματος: 6 ξ(t) = S(t) ω(t) Παράδειγμα Ο τελεστής περιστροφής των στερεών στην περίπτωση σταθερής γωνιακής ταχύτητας Αν ένα στερεό σώµμα, ακολουθώντας την κίνηση του αδρανειακού του κέντρου στον ευκλείδειο χώρο, στρέφεται στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] µμε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = ( ω 1,ω 2,ω 3 ), θεωρώντας τον τελεστή: προκύπτει ο τελεστής περιστροφής ως εξής: L ω = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 S(t) = S(t)L ω T S(t) = L ω T S(t) S(t) = e L ω t S(t) = e L ω t Άρα, στο σύστηµμα R : [x,y,z], η θέση και η ταχύτητα κάθε σηµμείου του στερεού υπολογίζονται κάθε στιγµμή ως εξής: R i (t) = e L ω t R i (0), R i (t) = e L ω t L ω R i (0) = e L ω t ( ω R i (0)) 5 Ένας απλός υπολογισµμός υποδεικνύει ότι: d ( S(t) T S(t) ) = S(t) T S(t) + S(t) T S(t) = ( S(t)L ω (t)) T S(t) + S(t) ( T L ω (t) T S(t) ) = S(t)L ω (t) T S(t) S(t)L ω (t) T S(t) = 0 και από τον κλασικό τύπο Liouville προκύπτει: 6 Στο σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] ισχύει: T άρα S(0) = I 3 S(t) S(t) = I 3 S(t) O (3) t dets(t) = det T S(t) = e Tr( L ω (s))ds 0 = e 0 = 1 S(t) SO(3) R i (t) = S(t) R i (0) R i (t) = S(t) R i (0) = S(t)L ω (t) R i (0) = S(t) ω(t) R i (0) ( )= S(t) ω(t) S(t) R i (0) 65

Στην περίπτωση αυτή, της σταθερής γωνιακής ταχύτητας, υπάρχει κατάλληλη βάση του ευκλείδειου χώρου, η βάση Jordan, στην οποία ο πίνακας του τελεστή γωνιακής ταχύτητας διατυπώνεται ως εξής: Πράγµματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυµμο είναι: 0 ω 0 L ω = ω 0 0 0 0 0 2 2 det( L ω r λ I 3 ) =λ ( λ + ω ) και προκύπτουν οι ιδιοτιµμές 0 και ±i ω και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµματα: ω = ( ω 1,ω 2,ω 3 ), υ = ζ + iζ = ω 1 ω 3, ω 2 ω 3, ω 2 2 ( 1 ω 2 ) + i ω ( ω 2, ω 1,0), υ = ζ iζ = ω 1 ω 3, ω 2 ω 3, ω 2 2 ( 1 ω 2 ) i ω ( ω 2, ω 1,0) Θεωρώντας τον πίνακα µμετάβασης P = ζ, ζ, ω, προκύπτει η κανονική µμορφή Jordan: L ω = P 1 L ω P Αναλύοντας το διάνυσµμα αρχικής θέσης R i (0) στη βάση Jordan: προσδιορίζεται στη βάση αυτή το διάνυσµμα θέσης: R i (t) = S(t) R i (0) = e L ω t a iζ + biζ + ciω R i (0) = a iζ + biζ + ciω ( ) = (a i ζ + bi r ζ )cos ω t + (a iζ biζ)sin ω t + ciω Άρα, κάθε σηµμείο του στερεού σώµματος, ακολουθώντας την κίνηση του αδρανειακού κέντρου στον ευκλείδειο χώρο, περιφέρεται γύρω από τον άξονα του διανύσµματος ω µμε γωνιακή ταχύτητα σταθερού µμέτρου ω ΑΣΚΗΣΗ Εξετάστε αν οι επόµμενες περιπτώσεις εµμπίπτουν σε αυτή την ανάλυση και δώστε το συµμπέρασµμα σας Σε κάθε µμία από αυτές τις περιπτώσεις, δείξτε ότι κάθε σηµμείο του στερεού, ακολουθώντας την κίνηση του αδρανειακού κέντρου στον ευκλείδειο χώρο, διαγράφει κυκλική τροχιά γύρω από σταθερό άξονα στο σύστηµμα R : [x,y,z] (i) o Θέμα μελέτης : Γωνίες Euler ω = 0,0,1 ( ), (ii) ω = 1,1,1 ( ), (iii) ω = ( 0,0,2t) Η µμετάβαση από το σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] στο σύστηµμα αναφοράς R : [ x, y, z ] εκτελείται κάθε στιγµμή µμε τρεις διαδοχικές στροφές που ορίζονται από τις γωνίες Euler: 1 η στροφή γύρω από τον z- άξονα κατά γωνία φ [0,2π], 2 η στροφή γύρω από τη νέα θέση του x- άξονα κατά γωνία θ [0,π], 3 η στροφή γύρω από τη νέα θέση του z- άξονα κατά γωνία ψ [0,2π] Οι τρεις διαδοχικές στροφές που ορίζονται από τις γωνίες Euler Οι τρεις αυτές στροφές εκφράζονται αντίστοιχα στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου ως εξής: cosφ sinφ 0 S z (φ)= sinφ cosφ 0 0 0 1 1 0 0 S x (θ)= 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ cosψ sinψ 0 S z (ψ)= sinψ cosψ 0 0 0 1 Από τη σύνθεση τους προκύπτει ο µμετασχηµματισµμός στροφής που ορίζει τη µμετάβαση από το σύστηµμα αναφοράς R : [x,y,z] στο ενσωµματωµμένο σύστηµμα αναφοράς R : [ x, y, z ] του στερεού σώµματος: cosφcosψ cosφsinθsin ψ sinφcosψ + cosφcosθsin ψ sinθsin ψ S (φ,θ,ψ ) = S ψ S θ S φ = cosφsin ψ sinφcosθcosψ sinφsin ψ + cosφcosθcosψ sinθcosψ sinφsinθ cosφsinθ cosθ 66

Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού εκφράζεται µμε τις γωνίες Euler αντίστοιχα στα δύο συστήµματα αναφοράς ως εξής: ω(t) = θ cosφ + ψ sinθ sinφ θ sinφ ψ sinθ cosφ ψ cosθ+ φ R ω(t)= φ sinθ sinψ + θ cosψ φ sinθ cosψ θ sinψ φ cosθ+ ψ ΑΣΚΗΣΗ Πώς εκφράζεται ο µμετασχηµματισµμός στροφής που ορίζει τη µμετάβαση µμεταξύ των συστηµμάτων αναφοράς του σχήµματος; R Η κατανομή μάζας του στερεού και η επίπτωση στην αδρανειακή του συμπεριφορά Ένα στερεό σώµμα, ως σύνολο υλικών σηµμείων τα οποία διατηρούν σταθερές τις µμεταξύ τους αποστάσεις κατά την κίνησή τους στον ευκλείδειο χώρο, είτε αποτελείται από διακριτές σηµμειακές µμάζες, είτε χαρα- κτηρίζεται από συνεχή κατανοµμή µμάζας που καταλαµμβάνει έναν όγκο στον ευκλείδειο χώρο Όταν πρόκειται για συνεχή κατανοµμή µμάζας, συµμβολίζοντας Δm την ενυπάρχουσα µμάζα στο στοιχειώδη όγκο Δv, ορίζεται η πυκνότητα του στερεού ως εξής: Από τη διαφορική σχέση: Δm ρ = Lim Δv 0 Δv dm = ρ dv υπολογίζεται η συνολική µμάζα του στερεού σώµματος: m = dm = ρ(x, y,z)dv = ρ(x, y,z) dxdydz Το αδρανειακό κέντρο ή κέντρο µμάζας ενός στερεού σώµματος 7 συνεχούς κατανοµμής µμάζας εντοπίζεται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς µμε τις συντεταγµμένες: x o = 1 m y o = 1 m z o = 1 m xdm = 1 m ydm = 1 m zdm = 1 m x ρ(x,y,z) dxdydz, y ρ(x,y,z) dxdydz, z ρ(x,y,z) dxdydz 7 Αν το στερεό σώµμα αποτελείται από διακριτές σηµμειακές µμάζες τότε το αδρανειακό του κέντρο εντοπίζεται, όπως για κάθε σύστηµμα σηµμειακών µμαζών, θεωρώντας τα αντίστοιχα διανύσµματα θέσης ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου: R(t) = 1 m m R i i (t), m = m i Η σταθερότητα των αποστάσεων των σηµμειακών µμαζών κατά την κίνησή τους στο χώρο εκφράζεται, κάθε χρονική στιγµμή, ως εξής: R i (t) R j (t) = R i (0) R j (0), i, j = 1,, Θεωρώντας τα διανύσµματα θέσης ως προς το αδρανειακό κέντρο του στερεού σώµματος διαπιστώνουµμε ότι: άρα R i (t) = R i (t) R(t), i = 1,,, R i (t) = R i (0), i, j = 1,,, m R i (t) = 0 και m i i R i (t) = 0 67

Στα οµμογενή στερεά σώµματα, δηλαδή σταθερής πυκνότητας µμάζας, προκύπτει: x o = 1 x dxdydz v, y o = 1 v y dxdydz, z o = 1 v z dxdydz, v= dx dydz Η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώµματος ως προς µμια ευθεία του ευκλείδειου χώρου δηλώνει την αδρανειακή του αντίσταση σε οποιαδήποτε µμεταβολή της γωνιακής του ταχύτητας κατά την περιστροφή του γύρω από αυτή την ευθεία Αν ξ (x, y,z) είναι η απόσταση του σηµμείου µμε συντεταγµμένες (x, y,z) του στερεού σώµματος από τη ευθεία ξ, η αδρανειακή ροπή ως προς αυτή την ευθεία ορίζεται ως εξής: 8 I ξ = 2 ξ (x,y,z)dm = 2 ξ (x,y,z) ρ(x,y,z) dxdydz Η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώµματος µμάζας m ως προς µμια ευθεία ξ o διερχόµμενη από το αδρανει- ακό του κέντρο και εκείνη ως προς µμια οµμοπαράλληλη ευθεία ξ σε απόσταση, σχετίζονται ως εξής: 9 I ξ = I ξo + m 2 Οι αδρανειακές ροπές ενός στερεού σώµματος συνεχούς κατανοµμής µμάζας ή διακριτών σηµμειακών µμαζών ως προς τους άξονες του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς υπολογίζονται αντίστοιχα ως εξής: I xx = I yy = I zz = (y 2 + z 2 ) ρ(x,y,z) dx dydz (z 2 + x 2 ) ρ(x,y,z) dx dydz (x 2 + y 2 ) ρ(x,y,z) dx dydz I xx = m i (y i 2 + z i 2 ) I yy = m i (z i 2 + x i 2 ) I zz = m i (x i 2 + y i 2 ) Ο τελεστής αδράνειας ενός στερεού σώµματος είναι µμία γραµμµμική απεικόνιση: I: 3 3 η οποία ορίζεται στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου ως εξής: I( e 1 ) = I e1 xx + I e2 xy + I e3 xz, I( e 2 ) = I e1 yx + I e2 yy + I e3 yz, I( e 3 ) = I e1 zx + I e2 zy + I e3 zz, όπου I xx = (y 2 + z 2 ) ρ(x,y,z) dxdydz, I xy = I yx = x y ρ(x,y,z) dxdydz, I yy = (z 2 + x 2 ) ρ(x,y,z) dxdydz, I yz = I zy = yz ρ(x,y,z) dxdydz, I zz = (x 2 + y 2 ) ρ(x,y,z) dxdydz, I zx = I xz = z x ρ(x,y,z) dxdydz 8 Η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώµματος διακριτών σηµμειακών µμαζών ως προς µμια δεδοµμένη ευθεία ξ του ευκλείδειου χώρου, συµμβολίζοντας iξ την απόστασή της από τη σηµμειακή µμάζα m i, i = 1,,, ορίζεται ως εξής: I ξ = m i 2 iξ Αν η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώµματος διακριτών σηµμειακών µμαζών ως προς µμια ευθεία είναι µμηδενική, αυτό σηµμαίνει ότι οι σηµμειακές µμάζες είναι συνευθειακές άρα θα παραµμείνουν συνευθειακές κατά την κίνησή τους στον ευκλείδειο χώρο: m i 2 iξ = 0 iξ = 0, i = 1,, 9 Πρόκειται για το θεώρηµμα παραλλήλων αξόνων, γνωστό ως θεώρημα Steiner, και από εδώ προκύπτει ότι η αδρανειακή ροπή ενός στερεού σώµματος ως προς µμια ευθεία διερχόµμενη από το αδρανειακό του κέντρο είναι πάντα µμικρότερη από την αδρανειακή του ροπή ως προς οποιαδήποτε άλλη παράλληλη ευθεία 68

Όταν πρόκειται για στερεό σώµμα που συγκροτείται από διακριτές σηµμειακές µμάζες: I xx = m i (y 2 i + z 2 i ), I yy = m i (z 2 i + x 2 i ), I zz = m i (x 2 i + y 2 i ), I xy = I yx = m i x i y i, I yz = I zy = m i y i z i, I zx = I xz = m i z i x i Ο πίνακας του τελεστή αδράνειας κάθε στερεού σώµματος είναι συµμµμετρικός: 10 I xx I yx I zx I ( e1, e 2, e = I 3 ) xy I yy I zy I xz I yz I zz Ο τελεστής αδράνειας, όντας συµμµμετρικός, διαθέτει τρεις πραγµματικές ιδιοτιµμές που καλούνται κύριες αδρανειακές ροπές του στερεού σώµματος: 0 I 1 I 2 I 3 Συνεπώς, υπάρχει ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσµμάτων στην οποία ο πίνακάς του αποκτά διαγώνια έκφραση: I 1 0 0 I ( ξ1, ξ 2, ξ = 0 I 3 ) 2 0 0 0 I 3 10 Πρόκειται για το θεώρηµμα θεώρημα Sylvester 69