Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1
2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί Ένα πείραμα τύχης, κάθε φορά που εκτελείται, μπορεί να έχει διαφορετικό αποτέλεσμα το οποίο δεν μπορεί να προβλεφθεί
3 Γενικές έννοιες (1) Πληθυσμός Πεπερασμένος Άπειρος Δείγμα Μέρος των τιμών/μετρήσεων/παρατηρήσεων Πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό Δειγματοληψία Επιλογή δείγματος Μεροληψία Σφάλματα προς την ίδια κατεύθυνση (συστηματικά σφάλματα)
4 Γενικές έννοιες (2) Τυχαία δειγματοληψία Μπορεί να εξαλείψει τη μεροληψία που οφείλεται σε λάθος επιλογή δείγματος Δεν εξαλείφει τη μεταβλητότητα Μεταβλητότητα δείγματος Οφείλεται στη μεταβλητότητα του πληθυσμού και είναι αναπόφευκτη Δειγματοληπτικά σφάλματα Επιλογή σχεδίου δειγματοληψίας Μέγεθος δείγματος Μεταβλητότητα πληθυσμού
5 Δειγματικός Χώρος (1) Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης ονομάζεται δειγματικός χώρος του πειράματος και συμβολίζεται με Ω ή με S Αν ένα πείραμα τύχης έχει πεπερασμένο πλήθος δυνατών αποτελεσμάτων, έστω ω 1,ω 2,,ω Ν,τότε ο δειγματικός χώρος ισούται με Ω = {ω 1,ω 2,,ω Ν } Κατηγορίες Συνεχής Διακριτός
6 Δειγματικός Χώρος (2) Δειγματικό σημείο Κάθε στοιχείο ενός δειγματικού χώρου, δηλαδή κάθε δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης Ενδεχόμενα Υποσύνολα του συνόλου των δειγματικών σημείων (δηλαδή του δειγματικού χώρου)
7 Ενδεχόμενα Πραγματοποίηση ενδεχομένου Σε μια εκτέλεση ενός πειράματος τύχης, ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται (εμφανίζεται) όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του Απλό ενδεχόμενο Αποτελείται από ένα μόνο δειγματικό σημείο Σύνθετο ενδεχόμενο Αποτελείται από περισσότερα από ένα δειγματικά σημεία
8 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (1) Ω (δειγματικός χώρος) Βέβαιο ενδεχόμενο, πραγματοποιείται πάντα Κενό σύνολο ( ) Δεν πραγματοποιείται ποτέ
9 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (2) Α, Β (ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω) Υποσύνολο (Α Β) Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β Ισότητα (Α=Β) Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β και αντιστρόφως Συμπλήρωμα ή αντίθετο (Α ) Πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιηθεί το Α
10 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (3) Ένωση: Α Β Πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί ή το Α ή το Β ή και τα δύο Τομή: Α Β ή ΑΒ Πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί και το Α και το Β Ξένα ενδεχόμενα Ενδεχόμενα τα οποία δεν έχουν κοινά δειγματικά σημεία (ΑΒ= ) Η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου
11 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (3) Διαφορά: Α Β (ή ΑΒ ) Πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β Συμμετρική διαφορά: Α Δ Β = ΑΒ ΒΑ Πραγματοποιείται όταν πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β Συμπλήρωμα της ένωσης: (Α Β) Πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β Συμπλήρωμα της τομής: (ΑΒ) Πραγματοποιείται όταν από τα Α, Β πραγματοποιηθεί το πολύ ένα
12 Ιδιότητες πράξεων μεταξύ ενδεχομένων (1) Α = Α, Α = Α Α = Α, ΑΑ = Α Α Ω = Ω, ΑΩ = Α Α Α = Ω, ΑΑ = (Α ) = Α Ω =, = Ω
13 Ιδιότητες πράξεων μεταξύ ενδεχομένων (2) Αντιμεταθετική Ιδιότητα Α Β=Β Α ΑΒ=ΒΑ Προσεταιριστική Ιδιότητα Α (Β Γ)=(Α Β) Γ Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ Επιμεριστική Ιδιότητα Α (ΒΓ)=(Α Β)(Α Γ) Α(Β Γ)=(ΑΒ) (ΑΓ)
14 Ιδιότητες πράξεων μεταξύ ενδεχομένων (3) Τύποι De Morgan (Α Β) =A B (AB) = Α Β (Α 1 A 2 Α n ) = Α 1 A 2 Α n (Α 1 A 2 Α n ) = Α 1 A 2 Α n
15 Η ένωση Α Β ως ένωση ξένων ενδεχομένων A B = AB B = A BA = AB AB BA A = AB AB B = BA BA
16 Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας (Laplace, 1812) Αν ο Ω είναι πεπερασμένος και όλα τα απλά ενδεχόμενά του είναι ισοπίθανα, τότε P Α = N(A) N(Ω) = πλήθος στοιχείων του Α πλήθος στοιχείων του Ω
17 Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας Richard von Mises, 1919 P A = lim n + n A n όπου n A ο αριθμός εμφανίσεων του ενδεχομένου Α σε n επαναλήψεις του πειράματος
18 Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Kolmogorov, 1933 1. P A 0, ενδεχόμενο Α του Ω 2. P Ω = 1 3. P A 1 A 2 = P A 1 + P A 2 +, για Α 1, Α 2, ξένα ανά δύο ενδεχόμενα
19 Άλλες ιδιότητες των πιθανοτήτων (1) P( ) = 0 P(A) 1 P(A ) = 1 P(A) P(AB ) = P(A) P(AB) Αν Α Β τότε P(A) P(B) Αν Α = {α 1,α 2, }, τότε P(A) = P( a 1 ) + P( a 2 ) +
20 Άλλες ιδιότητες των πιθανοτήτων (2) P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A B) P(A) + P(B), για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β P(A 1 A 2 A n ) P(A 1 )+ P(A 2 ) + + P(A n ) για οποιαδήποτε n ενδεχόμενα A 1, A 2,, A n
21 Παράδειγμα 1 Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Εκφράστε διαγραμματικά τις παρακάτω πράξεις μεταξύ των Α, Β, και Γ 1. Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, και Γ πραγματοποιείται 2. Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β, και Γ 3. Και τα τρία ενδεχόμενα πραγματοποιούνται 4. Πραγματοποιούνται το πολύ 2 από τα Α, Β, και Γ 5. Πραγματοποιείται ακριβώς 1 από τα Α, Β, και Γ 6. Πραγματοποιείται το Α και δεν πραγματοποιούνται τα Β και Γ
22 Παράδειγμα 2 (1) Τα τυχαία πειράματα που αναφέρονται σε τυχερά παιχνίδια συνήθως αποτελούν χαρακτηριστικές περιπτώσεις πειραμάτων με πεπερασμένους δειγματικούς χώρους και ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Μια τέτοια περίπτωση πειράματος τύχης είναι το παιχνίδι της ρουλέτας Ο τροχός της ρουλέτας διαιρείται σε 37 ίσα τόξα που φέρουν τους αριθμούς 0,1,,36 Το μηδέν έχει πράσινο χρώμα και από τους υπόλοιπους 36 αριθμούς, οι 18 έχουν κόκκινο και οι υπόλοιποι 18 μαύρο χρώμα Ο τροχός μπαίνει σε περιστροφική κίνηση και μια μεταλλική μπίλια ρίχνεται μέσα στον τροχό Όταν η μπίλια σταματήσει, παρατηρούμε σε ποιον αριθμό σταμάτησε
23 Παράδειγμα 2 (2) Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; Πόσα και ποια είναι τα δειγματικά του σημεία; Υπολογίστε της πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Α: η μπίλια σταματάει στο 5 ή στο 11 Β: η μπίλια σταματάει σε περιττό αριθμό Γ: η μπίλια σταματάει σε κόκκινο αριθμό
24 Παράδειγμα 3 Από τα 80 κοντέινερ που εκφορτώθηκαν από ένα πλοίο, τα 10 περιέχουν λαθραία τσιγάρα Οι τελωνειακές αρχές επιλέγουν τυχαία 5 από τα 80 κοντέινερ για να ελέγξουν το περιεχόμενό τους Ποια είναι η πιθανότητα 1. Κανένα από τα 5 κοντέινερ που επελέγησαν να μην περιέχει λαθραία τσιγάρα 2. Ακριβώς 3 από τα 5 κοντέινερ που επελέγησαν να περιέχουν λαθραία τσιγάρα Υπόδειξη: Όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί επιλογής p κομματιών μέσα από συνολικά n κομμάτια ισούνται με n p = n! p! n p!
25 Παράδειγμα 4 Δείξτε ότι για οποιαδήποτε τρία ενδεχόμενα Α, Β, Γ του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης ισχύει: P(Α Β Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ)-P(AΒ)-P(AΓ)-P(ΒΓ)+P(AΒΓ) Υπόδειξη: Εφαρμόζουμε 3 φορές τον τύπο P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)