ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

Transcript

1 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α. Τι ονοµάζεται γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy ; 3. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; 5. α. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x1 A ; β. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο x1 A ;.... 1

2 6. Αν Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής lim f ( x) = l και l im g( x) = l, όπου l, l είναι πραγµατικοί αριθµοί, να συµπληρώσετε τις ισότητες : l im( f ( x) + g( x) ) = l im( kf ( x) ) im( f ( x) g( x) )... l = lim( f ( x) ) ν = f ( x) = ( ) l im g x im x x l ν 0 = f ( x) = Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής ; 8. Να συµπληρώσετε τα κενά : l imηµx =..., l imεφx =..., x l im e =..., l imσυνx =... l imσφx =... liml nx = Έστω f µια συνάρτηση και ένα σηµείο A( x 0, f ( x 0 )) της γραφικής της παράστασης Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της 2 C f στο Α ; Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ; Τι ονοµάζεται ρυθµός µεταβολής του y= f ( x) ως προς το x, όταν x= x ; C f.

3 12. Τι ονοµάζεται (πρώτη) παράγωγος µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το Α ; 3 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Αν η συνάρτηση θέσης x(t) ενός κινητού είναι παραγωγίσιµη, ποια είναι η ταχύτητα του υ(t) και ποια η επιτάχυνσή του α(t) κάθε χρονική στιγµή t; Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f ( x) = c είναι 0, δηλαδή ότι ( c ) = Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f ( x) = x είναι 1, δηλαδή ότι ( x ) = 1.

4 4 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f ( x) = x είναι 2x, δηλαδή ότι ( x ) = 2x Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο Α, τότε και η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιµη στο Α και ισχύει ( f ( x) + g( x) ) = f ( x) + g ( x).

5 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 18. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο Α, τότε και η συνάρτηση cf είναι παραγωγίσιµη στο Α και ισχύει ( ) cf ( x) = cf ( x). 5

6 6 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής

7 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 2 :Στατιστική 1. Τι ονοµάζεται πληθυσµός, δείγµα και πότε ένα δείγµα θα ονοµάζεται αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού; 2. Τι ονοµάζονται στη στατιστική µεταβλητές και τι τιµές της µεταβλητής; Ποιες µεταβλητές ονοµάζονται α. ποσοτικές και σε ποιες υποκατηγορίες χωρίζονται; β. ποιοτικές ή κατηγορικές;. 7

8 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 4. Έστω x 1 < x 2 < < xκ, κ ν οι διαφορετικές τιµές µιας µεταβλητής Χ, ενός δείγµατος µεγέθους v. Α. α) Τι ονοµάζουµε (απόλυτη) συχνότητα (ν i ) της τιµής xi. β) Τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα (fi ) της τιµής xi. γ) Τι ονοµάζουµε αθροιστική συχνότητα (N i ) της τιµής xi (για ποσοτικές µεταβλητές ). δ) Τι ονοµάζουµε αθροιστική σχετική συχνότητα (F i ) της τιµής xi..... Β. Συµπληρώστε τα κενά : α) ν 1 + ν νκ = β) N 1 =.. και F 1 =.. γ).. = N i - N i -1 i = 2, 3,, κ. δ).. = F i - F i -1, i = 2, 3,, κ. ε) N κ =.. και F κ =.. 5. Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες : i. 0 fi 1 για i =1, 2,..., κ ii. f 1 + f fκ = 1 8

9 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 6. Τι ονοµάζεται κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων µίας µεταβλητής µε τιµές x 1, x 2, x κ ; 7. Πότε χρησιµοποιείται το ραβδόγραµµα ; 8. Πότε χρησιµοποιείται το διάγραµµα συχνοτήτων ; 9. Τι ονοµάζουµε πολύγωνο συχνοτήτων ενός διαγράµµατος συχνοτήτων ; Πότε χρησιµοποιείται το κυκλικό διάγραµµα ; 11. Με τι είναι ίσο το τόξο α i κυκλικού τόξου που αντιστοιχεί στην τιµή xi ; 12. Τι είναι το σηµειόγραµµα ; 13. Τι είναι το χρονόγραµµα ή χρονολογικό διάγραµµα ; Τι ονοµάζουµε οµαδοποίηση ;... 9

10 15. Τι ονοµάζουµε κλάση ; Τι ονοµάζουµε κεντρική τιµή, τι πλάτος και τι συχνότητα µίας κλάσης ; 10 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής α. Τι είναι το ιστόγραµµα συχνοτήτων/σχετικών συχνοτήτων ; β. Τι είναι το πολύγωνο συχνοτήτων/σχετικών συχνοτήτων ; 17. α. Τι είναι το ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων/αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ; β. Τι είναι το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων/αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ; 18. Ποια είναι η αριθµητική τιµή του εµβαδού του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα; 19. Τι ονοµάζεται καµπύλη συχνοτήτων ; 20. Ποια κατανοµή λέγεται οµοιόµορφη και ποια είναι η καµπύλη συχνοτήτων της ;

11 21. Ποια κατανοµή λέγεται κανονική και ποια η καµπύλη συχνοτήτων της ; 11 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 22. Ποια κατανοµή λέγεται ασύµµετρη; Ποια είναι τα είδη ασυµµετρίας ; 23. Τι ονοµάζουµε µέτρα θέσης ; 24. Τι ονοµάζουµε διάµεσο (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων. ;. 25. Πως ορίζεται η µέση τιµή µίας ποσοτικής µεταβλητής Χ, σε ένα δείγµα τιµών t 1, t 2,..., t ν µεγέθους ν ; 26. Πως εκφράζεται η µέση τιµή µίας ποσοτικής µεταβλητής Χ, σε ένα δείγµα τιµών x 1, x 2,, xκ µεγέθους ν, µε αντίστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, νκ ; 27. Τι ονοµάζουµε σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο των τιµών x 1, x 2,, xν µε συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας) w 1, w 2,, wν ;

12 12 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 28. Πως εκφράζεται η µέση τιµή µίας ποσοτικής µεταβλητής Χ, σε ένα δείγµα τιµών x1,x2,..., xκ, µεγέθους ν από τις τιµές της µεταβλητής και τις σχετικές συχνότητές τους f 1, f 2,, fκ ; 29. Τι ονοµάζουµε µέτρα διασποράς ; 30. Τι ονοµάζεται εύρος ή κύµανση (R) µιας κατανοµής ; Πως ορίζεται το εύρος για οµαδοποιηµένα δεδοµένα(κλάσεις) ; 31. Να απoδείξετε ότι ο αριθµητικός µέσος των αποκλίσεων των τιµών t1, t2,..., tv ενός δείγµατος από τη µέση τιµή του x, είναι ίσος µε το µηδέν Τι ονοµάζεται διακύµανση ή διασπορά (s²) µιας κατανοµής (σε ένα δείγµα τιµών t1, t2,..., tv µεγέθους ν);

13 33. Τι ονοµάζεται τυπική απόκλιση (s) µιας κατανοµής ; 13 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Τι ονοµάζουµε µέτρα ασυµµετρίας ; 35. Αν η µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s, να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται στο διάστηµα : i) ( x s, x + s) ii) ( x 2s, x + 2s) iii) ( x 3s, x + 3s) Ποιο είναι κατά προσέγγιση το εύρος R µίας κανονικής κατανοµής ; 37. Πως ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας CV ; Πότε ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές ;

14 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 39. Πως συγκρίνονται ως προς την οµοιογένεια δύο δείγµατα Α, Β µε βάση τους συντελεστές µεταβολής ; 40. Οι παρατηρήσεις xi, i= 1, 2,..., ν, έχουν µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s x. α) Αν y = x + c, i= 1,..., ν, τοτε : y =... και s =... i i y β) Αν y = cx i= 1,..., ν, τοτε : y =... και s =... i i y γ) Αν y = α x + β, i= 1,..., ν, τοτε : y =... και s =... i i y 14

15 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 3 :Πιθανότητες 1. Τι ονοµάζεται πείραµα τύχης ; Πότε ονοµάζεται αιτιοκρατικό ; Τι ονοµάζεται δειγµατικός χώρος Ω ενός πειράµατος τύχης ; 3. Τι ονοµάζεται απλό και τι σύνθετο ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης ; Πότε λέµε ότι ένα ενδεχόµενο Α ενός πειράµατος τύχης πραγµατοποιείται ή συµβαίνει σε µια συγκεκριµένη εκτέλεση του πειράµατος ; 5. Τι ονοµάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγµατοποίησή ενός ενδεχοµένου; 6. Ποιο είναι το βέβαιο και ποιο το αδύνατο ενδεχόµενο ; 15

16 7. Τι ονοµάζεται ένωση δύο ενδεχοµένων Α και Β; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 8. Τι ονοµάζεται τοµή δύο ενδεχοµένων Α και Β ; 9. Τι ονοµάζεται συµπληρωµατικό ενός ενδεχοµένου Α; 10. Τι ονοµάζεται διαφορά ενός ενδεχοµένου Β από ένα ενδεχόµενο Α; 11. Πότε δύο ενδεχόµενα Α και Β λέγονται ασυµβίβαστα ή ξένα µεταξύ τους ή αµοιβαίως αποκλειόµενα ; 12. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε το κατάλληλο ενδεχόµενο. i. { δεν πραγµατοποιείται το Α } =... ii. { πραγµατοποιείται το Α ήτο Β } =... iii. { πραγµατοποιείται το Α και το Β } =... iv. { πραγµατοποιείταιµόνο το Α } =... v. { δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α, Β } =... vi. { δεν πραγµατοποιείται το Α και Β } =... vii. { πραγµατοποιείταιµόνοένα από τα Α, Β } = Να γράψετε µε τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόµενο που παριστάνει το σκιασµένο εµβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράµµατα Venn. 16

17 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 14. Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχοµένου Α ; Έστω Ω = { ω 1, ω 2,, ω λ }δειγµατικός χώρος και τα απλά ενδεχόµενα {ω 1 },{ω 2 },,{ω λ } τα οποία πραγµατοποιούνται κ 1, κ 2,, κ λ φορές αντίστοιχα σε ν εκτελέσεις του πειράµατος µε σχετικές συχνότητες f 1, f 2,, f λ. Να αποδείξετε ότι i. 0 f 1, i= 1, 2,..., λ ii. f 1 + f f λ = 1. i 16. Τι ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών ; 17. Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας

18 18 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Να αποδείξετε ότι Ρ( Ω ) = 1, Ρ( ) = 0, 0 Ρ( Α) Να δώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ισχύει Ρ(Α Β) =Ρ (Α) + Ρ(Β) (Απλός Προσθετικός Νόµος)

19 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 21. Να αποδείξετε ότι για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ισχύει Ρ (Α ) = 1 Ρ (Α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ισχύει: Ρ(Α Β) =Ρ (Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (1 ος Προσθετικός Νόµος) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β µε Α Β, ισχύει Ρ(Α) Ρ(Β)

20 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 24. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ισχύει Ρ(Α Β) =Ρ(Α) Ρ(Α Β)