10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη

Transcript

1 Στατιστική Ι 2 η Διάλεξη 1

2 2 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (1) Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης και P(Β)>0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β δίνεται από τον τύπο: P A B = P AB P B, P B 0

3 3 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (2) Η πιθανότητα P(A B) ονομάζεται εκ των υστέρων πιθανότητα (a posteriori) Η πιθανότητα P(Α) ονομάζεται εκ των προτέρων πιθανότητα (a priori)

4 4 Παράδειγμα 1 ο Το 51% των κατοίκων μιας συγκεκριμένης περιοχής είναι άνδρες και το 49% γυναίκες Από πρόσφατη έρευνα γνωρίζουμε ότι το 4.2% των κατοίκων αυτής της περιοχής πάσχει από αχρωματοψία Επίσης, από την ίδια έρευνα ότι το 4% των κατοίκων της περιοχής αυτής είναι άνδρες που πάσχουν από αχρωματοψία Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο από αυτή την περιοχή και είναι άνδρας, ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει από αχρωματοψία;

5 5 Ιδιότητες της δεσμευμένης πιθανότητας 1. P(A B) 0 2. P(Ω B) = 1 3. P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) + για Α 1, Α 2, ξένα ανά δύο ενδεχόμενα

6 6 Άλλες ιδιότητες της δεσμευμένης πιθανότητας 1. P( B) = 0 2. P(A B) = 1 P(A B) 3. P(ΑΓ Β) = P(A B) P(AΓ B) 4. Αν Γ Α τότε P(Γ Β) P(A B) 5. P(A Γ Β)) = P(A B) + P(Γ Β) P(AΓ Β) 6. Όταν Β Α τότε P(A B) = 1

7 7 Παράδειγμα 2 ο 1. Αν Α, Β είναι δύο ξένα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) > 0 και P(B) > 0 δείξτε ότι P(A B) = P(B A) = 0 2. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Β Α δείξτε ότι P(A B) = 1

8 8 Παράδειγμα 3 ο Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε: 1. Η πιθανότητα να εμφανιστεί το Α αλλά όχι το Β είναι 0,15 2. Η πιθανότητα να εμφανιστεί το Β αλλά όχι το Α είναι 0,1 3. Η πιθανότητα να μην εμφανιστεί ούτε το Α ούτε το Β είναι 0,7 Να υπολογιστεί η P(A B)

9 9 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος P(AB) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B) αν P(A)>0, P(B)>0 (προϋπόθεση για να ορίζονται οι δεσμευμένες πιθανότητες) P(A 1 A 2 A N ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A N A 1 A 2 A N-1 ) αν P(A 1 A 2 A N ) > 0 (προϋπόθεση για να ορίζονται οι δεσμευμένες πιθανότητες)

10 10 Το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας Αν {Β 1, Β 2,, Β Ν } μια διαμέριση του Ω με P(B i ) > 0, i = 1, 2,, N τότε P(Α) = P(A B 1 ) P(B 1 ) + P(A B 2 ) P(B 2 ) + + P(A B N ) P(B Ν )

11 11 Παράδειγμα 4 ο (1) Οι ενήλικες κάτοικοι ( 18 ετών) μιας περιοχής έχουν ταξινομηθεί σε πέντε ηλικιακές ομάδες Στον Πίνακα που ακολουθεί φαίνεται το ποσοστό που κατέχει κάθε ηλικιακή ομάδα στο σύνολο των ενηλίκων Επίσης, φαίνεται το ποσοστό των κατοίκων κάθε ηλικιακής ομάδας που πίνουν τουλάχιστον τρεις καφέδες ημερησίως

12 12 Παράδειγμα 4 ο (2) Ποσοστό κατοίκων με 3 καφέδες (επί της ηλικιακής ομάδας) Ποσοστό που κατέχει η ηλικιακή ομάδα (επί του συνόλου των ενηλίκων) Ηλικιακή ομάδα % 35% 10% 30% 25% 9% 20% 31% 23% 17% Ποια είναι η πιθανότητα ένας ενήλικας αυτής της περιοχής που επιλέγεται τυχαία από το σύνολο των ενηλίκων να πίνει περισσότερους από τρεις καφέδες ημερησίως;

13 13 Ο τύπος του Bayes Αν {Β 1, Β 2,, Β Ν } μια διαμέριση του Ω με P(B i ) > 0, i = 1, 2,, N τότε P B i A = P A B i P B i P A, i = 1,2,, N όπου P(Α) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) + + P(A B N )P(B Ν ) (υπολογίζεται από το θεώρημα ολικής πιθανότητας) Το Α είναι το αποτέλεσμα και τα Β i οι αιτίες

14 14 Παράδειγμα 5 ο Σε ένα θερμοκήπιο έχει εγκατασταθεί σύστημα συναγερμού έκτακτης ανάγκης Σύμφωνα με τις προδιαγραφές του κατασκευαστή, όταν παρουσιαστεί κατάσταση έκτακτης ανάγκης ο συναγερμός χτυπά με πιθανότητα 0,9, ενώ χτυπά και όταν δεν παρουσιάζεται κατάσταση έκτακτης ανάγκης με πιθανότητα 0,01 Επίσης, έχει εκτιμηθεί ότι η πιθανότητα να παρουσιαστεί στο θερμοκήπιο κατάσταση έκτακτης ανάγκης είναι 0,002 Αν ο συναγερμός μόλις χτύπησε, ποια είναι η πιθανότητα να έχει πράγματι παρουσιαστεί κατάσταση έκτακτης ανάγκης;

15 15 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α, Β P(AB) = P(A)P(B) Αν A, B ανεξάρτητα και P(A) > 0, P(B) > 0, τότε P(A B) = P(A) και P(B A) = P(B)

16 16 Εξαρτημένα ενδεχόμενα Α, Β P(AB) P(A)P(B)

17 17 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α, Β, Γ P(AB) = P(A)P(B) P(AΓ) = P(A)P(Γ) P(BΓ) = P(Β)P(Γ) P(ABΓ) = P(A)P(B)P(Γ)

18 18 Ανεξαρτησία και συμπληρωματικά ενδεχόμενα Αν Α, Β ανεξάρτητα τότε είναι ανεξάρτητα και τα ζεύγη: Α και Β : P(AB ) = P(A)P(B ) Α και Β: P(A Β) = P(A )P(Β) Α και Β : P(Α Β ) = P(Α )P(Β )

19 19 Παράδειγμα 6 ο Δύο φοιτητές, οι Α και Β, κάνουν την καλοκαιρινή τους πρακτική άσκηση ως διορθωτές κειμένων σε ένα εκδοτικό οίκο Σύμφωνα με ένα τεστ ικανοτήτων, ο Α εντοπίζει ένα λάθος συλλαβισμού με πιθανότητα 0,65, ενώ ο Β με 0,8 Σε κάθε φοιτητή δόθηκε για έλεγχο ένα κείμενο (το ίδιο) που έχει ένα λάθος συλλαβισμού Ποια είναι η πιθανότητα να μην εντοπιστεί το λάθος;

20 20 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα και ξένα ενδεχόμενα (1) Αν Α, Β ξένα με P(A) > 0 και P(B) > 0 τότε: P(Α Β) = P(ΑΒ) P(B) = 0 P(A) και P(Β Α) = P(ΒA) P(A) = 0 P(B) δηλαδή τα Α, Β είναι εξαρτημένα

21 21 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα και ξένα ενδεχόμενα (2) Αν Α, Β ξένα τότε: P(AB) = 0 και P(A B) = P(A) + P(B) Αν Α, Β ανεξάρτητα τότε: P(AB) = P(Α)P(Β) και P(A B) = P(A) + P(B) P(A)P(B)

22 22 Ανεξάρτητα πειράματα ε 1, ε 2,, ε Ν με δειγματικούς χώρους Ω 1, Ω 2,, Ω Ν, αντίστοιχα (1) Τα πειράματα ε 1, ε 2,, ε Ν είναι ανεξάρτητα αν η έκβαση οποιουδήποτε από αυτά, καθώς και η έκβαση οποιασδήποτε ομάδας από αυτά, δεν επηρεάζει την έκβαση των υπολοίπων

23 23 Ανεξάρτητα πειράματα ε 1, ε 2,, ε Ν με δειγματικούς χώρους Ω 1, Ω 2,, Ω Ν, αντίστοιχα (2) Ισχύει ότι αν Α 1 Ω 1,, Α Ν Ω Ν τότε P(A 1 A 2 A N )=P(A 1 )P(A 2 ) P(A N ) To A 1 A 2 A N πραγματοποιείται όταν κατά την πραγματοποίηση του πειράματος ε 1 πραγματοποιηθεί το Α 1, κλπ.

24 24 Παράδειγμα 7 ο Μια ασφαλιστική εταιρία στο πλαίσιο μιας πιλοτικής μελέτης για τις μελλοντικές υποχρεώσεις της σε αποζημιώσεις ασφαλιστήριων συμβολαίων ζωής, επέλεξε τρεις πελάτες από τους οποίους ένας είναι κάτοικος του λεκανοπεδίου Αττικής, ένα κάτοικος Θεσσαλονίκης και ο τρίτος κάτοικος Ρόδου Σύμφωνα με τις εκτιμήσεις της εταιρίας, η πιθανότητα να ζήσει μέχρι το 2040 ο πρώτος εκτιμάται ίση με 0,6 και αντίστοιχα 0,9 και 0,3 ο δεύτερος και ο τρίτος Ποια είναι η πιθανότητα μέχρι το τέλος του 2039 η εταιρία να πρέπει να πληρώσει αποζημίωση λόγω θανάτου για έναν (ακριβώς) από τους τρεις πελάτες;