Η Διάλογοι Με αφορμή τοποθετήσεις και προβληματισμούς συναδέλφων, ανάρτησα στο δίκτυο συνεργαζόμενων καθηγητών http://ylikonetningcom διάφορες απαντήσεις Υπήρξαν και απαντήσεις που δόθηκαν χωρίς να περάσουν μέσα από το δίκτυο, αλλά με απλά μηνύματα που αντάλλαξα με συναδέλφους Πιστεύοντας ότι και οι αφορμές και οι απαντήσεις αποσαφηνίζουν αρκετά σημεία των φθινουσών ταλαντώσεων, παραθέτουμε κάποιες από αυτές με τα σύμβολά τους προσαρμοσμένα στα σύμβολα αυτού του βιβλίου και σε μερικά σημεία τροποποιημένες ώστε να γίνουν όσο το δυνατόν πιο πλήρεις 1η αφορμή: Κάποια ανάρτηση συναδέλφου σχετικά με τις προσεγγίσεις που μπορούμε να κάνουμε στις ακριβείς σχέσεις των φθινουσών ταλαντώσεων όταν Λ<<ω 0, ώστε οι σχέσεις να γίνουν απλές Απάντηση: Η ευθύνη του σχολικού βιβλίου είναι να είναι βέλτιστο Το παραμικρό λάθος του μπορεί να οδηγήσει σε εκτροχιασμούς Και τότε μερίδιο της ευθύνης μετακυλύεται σε όλο και περισσότερα άτομα Οι προσεγγίσεις είναι πολύ λεπτό θέμα Αφορούν την περιοχή τιμών που θα επιλέξουμε για τις παραμέτρους που ελέγχουν το φαινόμενο και για τα μεγέθη για τα οποία ενδιαφερόμαστε, αφορούν τις ιδιαίτερες σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούνται, τα χρονικά διαστήματα που μας ενδιαφέρουν κατά την εξέλιξη του φαινομένου, την ακρίβεια που επιδιώκουμε κατά τους υπολογισμούς μας Και το κυριότερο, επιβάλλουν να εκτιμήσουμε όσο το δυνατό καλύτερα το εννοιολογικό και φορμαλιστικό κόστος που θα έχουμε, όταν οι προσεγγίσεις μας σε κάποιο φαινόμενο παρακολουθούνται από μαθητές Λυκείου Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα: Υποθέτουμε πώς παρόλο που ξέρουμε ότι στη φθίνουσα ταλάντωση δεν πρέπει να εμπλέξουμε τα παιδιά με εξισώσεις κίνησης, για πολλούς και διαφόρους λόγους, κάποια περίεργη διάθεση για όλο και πιο πολλές και πιο παράξενες ασκήσεις, μας αναγκάζει να τους δώσουμε την παρακάτω άσκηση, όπου φροντίσαμε να ισχύει Λ<<ω 0 και συνεπώς για την κυκλική συχνότητα της φθίνουσας ταλάντωσης ω 1 να ισχύει ω 1 ω 0 Άσκηση Σώμα μάζας m, δεμένο στην άκρη ελατηρίου εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η εξίσωση που δίνει την απομάκρυνσή του από τη θέση x=0 m είναι x 0,8e 10t Να υπολογιστεί το πλάτος ταλάντωσης μετά από 5 ταλαντώσεις Λύση Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,8e και η γωνιακή συχνότητά της ω 1 =10π rad/s Κατά συνέπεια η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ 1 =2π/ω 1 =0,2s Σελίδα 116
Μετά από 5 ταλαντώσεις δηλαδή μετά από t=1s το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι 1ln5 0,8e 0,16m 5 Μερικά σχόλια στην άσκηση: 1ο σχόλιο Είναι θετικό ότι στην εκφώνηση αποφύγαμε να αποκαλέσουμε το x απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας Το αποκαλέσαμε απομάκρυνση από τη θέση x=0 η οποία είναι η θέση αναφοράς ή αλλιώς το ελκτικό κέντρο της κίνησης Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η θέση x=0 δεν είναι ποτέ θέση ισορροπίας 2ο σχόλιο Από την εξίσωση κίνησης x 0,8e 10t προκύπτει ότι η ταχύτητα του σώματος δίνεται από τη σχέση dx tln 0,8 ln5 e 10t 0,8 e 5 10 10t dt Κατά συνέπεια για t=0s Το σώμα βρίσκεται στη θέση x 0 =0,8 m και έχει ταχύτητα υ 0 = 0,8 ln5 m/s Στη λύση όμως αναφέρεται ότι το πλάτος είναι 0,8e Κατά συνέπεια για t=0s Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι Α 0 =0,8m Συνδυάζοντας τα προηγούμενα κάνουμε την εξής διαπίστωση: Για t=0s το σώμα βρίσκεται στο πλάτος του, που είναι 0,8m και κινείται προς τα αρνητικά με ταχύτητα που έχει μέτρο 0,8 ln5 m/s 1,3m/s Επειδή η παραπάνω διαπίστωση είναι καθιερωμένη ως αντίφαση, όχι μόνο στη σκέψη και στη συνείδηση των μαθητών, αλλά και πολλών καθηγητών που δίδαξαν και διδάσκουν ταλαντώσεις, καμιά επίκληση προσέγγισης δε θα μας γλιτώσει από τα μάτια τους Το μέτρο 1,3m/s της ταχύτητας είναι μεγάλο 3ο σχόλιο Από πού προήλθε η αντίφαση; Προφανώς από το γεγονός ότι πήραμε ως πλάτος το 0,8e Μα θα μου πείτε εξασφαλίσαμε Λ<<ω 0 και άρα εξασφαλίσαμε πολύ καλή προσέγγιση στην ακριβή τιμή του πλάτους Ανάλογα βέβαια με την ακρίβεια που επιδιώκουμε, η προσέγγισή μας στην ακριβή τιμή του πλάτους μπορεί να είναι από καλή έως ικανοποιητικότατη Μα το πληρώσαμε με την ταχύτητα Και με τους τριγμούς σε όλους τους ορισμούς που δώσαμε Οι προσεγγίσεις έχουν κόστος Σελίδα 117
Σε μαθητές δεν κάνουμε διδακτικά πειράματα με προσεγγιστικές σχέσεις Αν δεν είναι έτοιμοι να καταλάβουν ποια προσέγγιση επιδιώκουμε και γιατί την επιδιώκουμε, αν δεν είναι έτοιμοι να καταλάβουν την αξία της προσέγγισης στην κάλυψη του φαινομένου, τότε δεν γράφουμε σχέσεις, αλλά περιγράφουμε το φαινόμενο ποιοτικά Δίνοντάς τους μια άχρηστη γι αυτούς προσέγγιση, η οποία μάλιστα, γρήγορα θα έρθει σε σύγκρουση με τους ορισμούς που τους δώσαμε και που προσπαθούν να καταχωρήσουν στο μυαλό τους, χαλάμε τη δόμηση των συλλογισμών τους από το ξεκίνημα κιόλας Με προσεγγιστικές σχέσεις σε ένα δύσκολο θεωρητικά φαινόμενο τα πράγματα θα είναι σκληρά για τους μαθητές Σκληρά και προκαθορισμένα Η ασκησιολογία μας θα τους διαλύσε Σελίδα 118
Έκτο σχόλιο Γιατί στην άσκηση της ανάρτησης Η ευθύνη του σχολικού βιβλίου είναι να είναι βέλτιστο (την οποία επαναλαμβάνουμε παρακάτω), οι προβλέψεις της Φυσικής του Βerkeley δε δίνουν το αναμενόμενο αποτέλεσμα, παρόλο που ισχύει η Λ<<ω 0 (Απάντηση στο τέταρτο ερώτημα του συναδέλφου) Σώμα μάζας m, δεμένο στην άκρη ελατηρίου εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η εξίσωση που δίνει την απομάκρυνσή του από τη θέση x=0 m είναι x 0,8e 10t Να υπολογιστεί το πλάτος ταλάντωσης μετά από 5 ταλαντώσεις Σχόλια: Η ταχύτητα του σώματος δίνεται από τη σχέση dx tln 5 tln 0,8 ln5 e 10t 0,8 e 5 10 10t dt Σελίδα 125
Για το σώμα, βάσει της εξίσωσης κίνησης που μας δίνουν, ισχύουν Αρχική θέση x 0 =0,8m Αρχική ταχύτητα υ 0 =-0,8 ln5 m/s Εκθέτης απόσβεσης Λ=ln5 1,6 s -1 Κυκλική συχνότητα φθ ταλάν ω 1 = 10π rad/s Είναι Λ=ln5 1,6 << ω 1 ω 0 = 10π και επομένως στην άσκηση αυτή ισχύουν x 0 = 0,8m, Λ << ω 1 ω 0, 0= 0 x 0 1 <<d Βάσει όσων προηγήθηκαν α) Μπορούμε να κάνουμε μια καλή προσέγγιση στο πλάτος λέγοντας ότι είναι 0, 8e Το καλή βέβαια το κρίνουν μεταξύ άλλων οι απαιτήσεις ακρίβειας που επιδιώκουμε και οι εννοιολογικές απαιτήσεις του ακροατηρίου μας β) Οι παραπάνω περιορισμοί δε σημαίνουν ότι η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=0s (αρχική ταχύτητα) θα είναι κατ ανάγκη αμελητέα γ) Αν θέλαμε και ταχύτητα κοντά στο μηδέν έπρεπε Λ 0 Κάτι βέβαια που εδώ δεν ισχύει Όφελος: tln 5 Η σχέση 0,8e είναι απλή και με καλή ακρίβεια κοντά στις πραγματικές τιμές του πλάτους, αλλά δεν είναι το πλάτος Κόστος: Οι ταχύτητες θα μαρτυράνε ότι δεν είμαστε στο πλάτος Κάναμε μια καλή προσέγγιση στο πλάτος αλλά, όχι και μια καλή προσέγγιση στις ταχύτητες Αν θέλαμε και τα δυο θα έπρεπε να δουλέψουμε αλλιώς Σελίδα 126