Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - 5 Κρούσεις Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις -. Σύστημα σωμάτων Εσωτερικές, εξωτερικές δνάμεις Ως σύστημα στη φσική θεωρούμε ένα σύνολο δύο ή περισσοτέρων σωμάτων τα οποία αλληλεπιδρούν. Εσωτερικές δνάμεις ενός σστήματος σωμάτων λέμε τις δνάμεις οι οποίες προέρχονται αποκλειστικά από σώματα τα οποία ανήκον στο σύστημα. Εξωτερικές δνάμεις ενός σστήματος σωμάτων λέμε τις δνάμεις οι οποίες προέρχονται από σώματα τα οποία δεν ανήκον στο σύστημα. Οι δνάμεις ατές αποτελούν το περιβάλλον το σστήματος. Παρατήρηση : Για να χαρακτηρίσομε τις δνάμεις οι οποίες ασκούνται σ ένα σύστημα σωμάτων σαν εξωτερικές ή σαν εσωτερικές, πρέπει να καθορίσομε σαφώς ποια σώματα αποτελούν το σύστημα και ποια το περιβάλλον το. Για παράδειγμα για το σύστημα των δύο σωμάτων Σ Σ τα οποία σνδέονται με νήμα, μόνο οι τάσεις των νημάτων F είναι εσωτερικές δνάμεις. Αν θεωρήσω το σύστημα Σ-Γη εσωτερική δύναμη είναι μόνο ( Σ ) ( Σ ) το βάρος B. Όταν σ ένα σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές δνάμεις ή και να ασκούνται έχον σνισταμένη μηδέν, το σύστημα ονομάζεται μονωμένο.. Ορμή ΣFεξ Από την εμπειρία μας γνωρίζομε ότι ένα τζάμι θα σπάσει, αν το χτπήσει ένα σώμα πο έχει μεγάλη μάζα ή μεγάλη ταχύτητα. Επίσης η σύγκροση δύο ατοκινήτων είναι τόσο περισσότερο καταστρεπτική, όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα τος ή η ταχύτητά τος. Σμπεραίνομε λοιπόν ότι το αποτέλεσμα της σύγκροσης δύο σωμάτων εξαρτάται τόσο από τη μάζα, όσο και από την ταχύτητα τος. Έτσι για να μελετήσομε φαινόμενα ανάλογα μ ατά πο αναφέραμε εισάγομε ένα φσικό διανσματικό μέγεθος, πο ονομάζεται ορμή και Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - το μέτρο της θα δίνεται από το πηλίκο της μάζας το σώματος επί την ταχύτητά το, δηλαδή Η διεύθνση και η φορά της ορμής θα είναι η ίδια με την διεύθνση και τη φορά της ταχύτητας το σώματος. Μονάδα μέτρησης της ορμής είναι το Kgr όπως φαίνεται από s το ορισμό της. Ισοδύναμη μονάδα μέτρησης είναι το Ns. Η ορμή, ως διανσματικό μέγεθος, έχει όλες τις ιδιότητες των διανσμάτων. Έτσι μπορεί να αναλθεί σε άξονες, μεταβάλλεται αν μεταβληθεί τολάχιστον ένα από τα στοιχεία της δηλαδή το μέτρο, η διεύθνση ή η φορά της. y y x x Σχέση κινητικής ενέργειας μέτρο ορμής Η κινητική ενέργεια ενός σνδέεται άμεσα με το μέτρο της ορμής το. Πραγματικά έχομε: K K ( ) K K Σύστημα σωμάτων Όταν έχομε ένα σύστημα σωμάτων με ορμές,, 3 ορμή το σστήματος ολ θα είναι + + +... ολ 3 κ.λ.π., η ολική Προσοχή: Επειδή η ορμή είναι διανσματικό μέγεθος, στην παραπάνω σχέση της ορμές των σωμάτων τις προσθέτομε διανσματικά. Για παράδειγμα έστω ένα σύστημα σωμάτων με μάζες, πο κινούνται με ταχύτητες, και έχον ορμές,. Η ολική ορμή το σστήματος των σωμάτων θα είναι: Κώστας Παρασύρης Φσικός
3 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - α) τα σώματα κινούνται ομόρροπα Επειδή οι ταχύτητες έχον την ίδια κατεύθνση, η ολική ορμή το σστήματος θα είναι (+) ολ + ολ + με κατεύθνση ίδια με τις κατεθύνσεις των σωμάτων. β) τα σώματα κινούνται αντίρροπα Παίρνομε θετική τη φορά προς τα δεξιά, οπότε θα έχομε + - ολ ολ (+) αν ολ >, η κατεύθνση της ολθα είναι προς τα δεξιά αν ολ <, η κατεύθνση της ολθα είναι προς τα αριστερά γ) τα σώματα κινούνται κάθετα μεταξύ τος Για να πολογίσομε την ολ σ ατή την περίπτωση χρησιμοποιούμε το Πθαγόρειο Θεώρημα οπότε θα έχομε ολ + ολ + Η κατεύθνση της ολ πολογίζεται από τη γωνία θ μεταξύ της και. ολ εφθ ολ θ Κώστας Παρασύρης Φσικός
4 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - δ) τα σώματα κινούνται σε διαφορετικές διεθύνσεις, πο σχηματίζον τχαία γωνία φ Για να πολογίσομε την σ ατή την περίπτωση ολ χρησιμοποιούμε τον κανόνα το παραλληλογράμμο οπότε θα έχομε φ φ θ ολ ολ + ολ + + σνφ Η κατεύθνση της ολ πολογίζεται από τη γωνία θ μεταξύ της και ολ. Μεταβολή της ορμής Δ εφθ + ημφ σνφ Επειδή η ορμή είναι διανσματικό μέγεθος θα έχομε μεταβολή της ορμής όταν μεταβάλλεται είτε το μέτρο της είτε η διεύθνσή της είτε η φορά της είτε τατόχρονα κάποια απ τα προηγούμενα. Η μεταβολή της ορμής δίνεται απ τη σχέση Δ - τελ αρχ α) Μεταβολή της ορμής Δ όταν οι αρχ, τελ έχον την ίδια κατεύθνση Επειδή τα διανύσματα αρχ, τελ έχον την ίδια διεύθνση και φορά η διανσματική σχέση Δ - γράφεται αλγεβρικά τελ αρχ ως εξής: Δ + -( + ) Δ τελ αρχ τελ -αρχ (+) αρχ τελ έχοντας εκλέξει σαν θετική φορά προς τα δεξιά. αν Δ>, η κατεύθνση της Δ θα είναι προς τα δεξιά αν Δ<, η κατεύθνση της Δ θα είναι προς τα αριστερά Κώστας Παρασύρης Φσικός
5 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - β) Μεταβολή της ορμής Δ όταν οι αρχ, τελ έχον αντίθετες φορές Στην περίπτωση ατή εκλέγομε πάλι αθαίρετα μια θετική φορά, έστω προς τα δεξιά οπότε η διανσματική σχέση Δ - γράφεται αλγεβρικά ως εξής: Δ - τελ αρχ τελ -( + ) αρχ Δ - τελ -αρχ (+) τελ αρχ Παρατήρηση: Αν εκλέξομε προς τα αριστερά τη θετική φορά τότε θα έχομε: Δ -(- ) + τελ αρχ Το πρόσημο το Δ καθορίζει και τη φορά το. γ) Μεταβολή της ορμής Δ όταν οι τελ αρχ, τελ αρχ είναι κάθετες μεταξύ τος Σχεδιάζομε τα διανύσματα αρχ, τελ με Δ τελ κοινή αρχή. Ισχύει Δ τελ -αρχ. Εδώ αντί να αφαιρέσομε από το τελ το αρχ, προτιμούμε να προσθέσομε στο θ τελ το - αρχ, δηλαδή η σχέση - αρχ αρχ Δ τελ - αρχ γίνεται Δ τελ + (-αρχ) Η πρόσθεση των και - (με τη μέθοδο το παραλ/μο) μας δίνει αρχ το Δ το οποίο έχει μέτρο τελ Δ τελ + αρχ και διεύθνση πο φαίνεται στο σχήμα για την οποία θα ισχύει εφθ τελ αρχ Κώστας Παρασύρης Φσικός
6 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - δ) Μεταβολή της ορμής Δ όταν οι τχαία γωνία φ Η διαδικασία πο ακολοθούμε είναι ακριβώς η ίδια με την περίπτωση πο οι, είναι κάθετες μεταξύ τος. Η αρχ τελ μόνη διαφορά είναι ότι η πρόσθεση των αρχ και - τελ (με τη μέθοδο το παραλ/μο) θα μας δώσει για το Δ μέτρο: αρχ, τελ - αρχ Δ σχηματίζον μεταξύ τος θ φ αρχ τελ Δ τελ + αρχ + τελ αρχ σν(8 ο -φ) Για τη γωνία θ πο προσδιορίζει την διεύθνση της Δ έχομε ημθ τελ Δ ημφ (θεώρημα ημιτόνων στο γραμμοσκιασμένο τρίγωνο) 3. Δύναμη και μεταβολή της ορμής Από τη θεμελιώδη εξίσωση της μηχανικής επειδή Δ α, παίρνομε: Δt ΣF α Δ τελ -αρχ τελ -αρχ τελ -αρχ ΣF ΣF ΣF ΣF Δt Δt Δt Δt ΣF Δ Δt Ο ρθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ανάλογος της σνολικής δύναμης πο εφαρμόζεται σ ατό και η μεταβολή γίνεται κατά τη διεύθνση ατής της δύναμης. Κώστας Παρασύρης Φσικός
7 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Η πρόταση ατή είναι μια γενικότερη διατύπωση το θεμελιώδος νόμο της μηχανικής. Παρατήρηση : Για να έχω μεταβολή στην ορμή ενός σώματος απαιτείται η άσκηση δύναμης. Παρατήρηση : Αν μας ζητείται ο ρθμός μεταβολής της ορμής σε κάποια θέση (ή κάποια χρονική στιγμή), αρκεί να βρίσκομε την ΣF σ εκείνη τη θέση (ή εκείνη τη στιγμή). Παρατήρηση 3: Η ορμή ενός σώματος μπορεί κάποια στιγμή να είναι μηδέν, ενώ την ίδια στιγμή ο ρθμός μεταβολής της να είναι διάφορος το μηδενός. Παρατήρηση 4: Η τελεταία σχέση πλεονεκτεί σε σχέση με τη θεμελιώδη εξίσωση της μηχανικής (εφαρμόζεται μόνο όταν η μάζα το σώματος παραμένει σταθερή), γιατί μπορεί να εφαρμοστεί και σε περιπτώσεις πο η μάζα μεταβάλλεται, όπως σμβαίνει σε μεγάλες ταχύτητες, της τάξης το,8c και πάνω, όπο c η ταχύτητα το φωτός. Παρατήρηση 5: Απ την τελεταία σχέση παίρνομε: FΔtΔ. Το γινόμενο F Δt εκφράζει ένα διανσματικό μέγεθος πο έχει διαστάσεις ορμής και ονομάζεται ώθηση Ω της δύναμης F κατά τη διάρκεια το χρόνο Δt, δηλαδή: Ω F Δt. Η ώθηση εκφράζει μεταφορά ορμής από το σώμα πο την ασκεί στο σώμα πο τη δέχεται. 4. Η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) Η ολική ορμή ενός μονωμένο σστήματος σωμάτων διατηρείται πάντα σταθερή. ολ(αρχ) ολ(τελ) ( αρχ) + ( αρχ) +... + ( τ ελ) (τ ελ ) +... Η παραπάνω πρόταση αποτελεί την αρχή διατήρησης της ορμής. Παρατήρηση : Η διατήρηση της ορμής είναι μια από τις σποδαιότερες αρχές διατήρησης στη φσική γιατί βρίσκει πολλές εφαρμογές, ανεξάρτητα από το μέγεθος των σωμάτων πο αποτελούν το σύστημα και τη φύση των δνάμεων πο ασκούνται μεταξύ τος. Έτσι π.χ., ενώ η μηχανική ενέργεια διατηρείται μόνον όταν οι δνάμεις το σστήματος είναι σντηρητικές, η ορμή διατηρείται ακόμη και στην περίπτωση μη σντηρητικών δνάμεων. Κώστας Παρασύρης Φσικός
8 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Παρατήρηση : Η γενικότητά της οφείλεται στο γεγονός ότι οι δνάμεις στη φύση εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη. Έτσι, αν ένα σύστημα είναι μονωμένο, θα ισχύει πάντα η διατήρηση της ορμής το, είτε τα σώματα πο το αποτελούν σγκρούονται είτε όχι. Παρατήρηση 3: Αν λόγω εσωτερικών δνάμεων μεταβληθεί η ορμή ενός σώματος το σστήματος τότε θα μεταβληθεί και η ορμή των πολοίπων σωμάτων έτσι ώστε η ολική ορμή να παραμείνει σταθερή. 5. Κρούση Στη μηχανική με τον όρο κρούση εννοούμε τη σύγκροση δύο σωμάτων πο κινούνται το ένα σχετικά με το άλλο. Χαρακτηριστικά κρούσης α) διαρκεί ελάχιστο χρόνο και β) σνοδεύεται με την εμφάνιση μεγάλων δνάμεων (πο έχον σχέση δράσης αντίδρασης) μεταξύ των σωμάτων πο έρχονται σε επαφή. Είδη κρούσης Α. Με κριτήριο τη διεύθνση κίνησης των κέντρων μάζας των σωμάτων i) Κεντρική ή μετωπική: Ονομάζεται η κρούση στην οποία τα διανύσματα των ταχτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων πο σγκρούονται βρίσκονται πάνω στην εθεία πο σνδέει τα κέντρα τος. Αν τα σώματα πο σγκρούονται είναι σφαίρες, τότε οι ταχύτητές τος θα βρίσκονται πάνω στην αρχική εθεία και μετά την κρούση. Επίσης στην κεντρική κρούση δεν μας ενδιαφέρει αν οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση έχον την ίδια ή αντίθετη φορά. Αρκεί να έχον την ίδια διεύθνση. ii) Έκκεντρη: Ονομάζεται η κρούση στην οποία τα διανύσματα των ταχτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων πο σγκρούονται είναι παράλληλα μεταξύ τος. Στην ατομική και πρηνική φσική η έννοια της κρούση επεκτείνεται ώστε να περιλάβει κι άλλα φαινόμενα. Π.χ., όταν σωμάτιο α (πρήνας Ηe) κινείται προς ένα άλλο πρήνα, η δύναμη πο ασκείται μεταξύ τος είναι η απωστική ηλεκτρική δύναμη, πο οφείλεται στα θετικά τος φορτία. Το σωμάτιο και ο πρήνας μπορεί να μην έρχονται σε επαφή, αλλά επειδή η μεταξύ τος δύναμη είναι πολύ μεγάλη και διαρκεί για πολύ λίγο χρόνο, εξακολοθούμε να μιλάμε για κρούση όπως και στη μηχανική. Το παραπάνω φαινόμενο ονομάζεται σκέδαση. Κώστας Παρασύρης Φσικός
9 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Στην έκκεντρη κρούση τα σώματα μετά την κρούση κινούνται σε διαφορετικές διεθύνσεις. iii) Πλάγια: Ονομάζεται η κρούση στην οποία τα διανύσματα των ταχτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων πο σγκρούονται δεν έχον την ίδια διεύθνση. Στην πλάγια κρούση, οι ταχύτητες των σωμάτων έχον διαφορετικές διεθύνσεις και μετά την κρούση. Β. Με κριτήριο τη διατήρηση ή όχι της κινητικής ενέργειας το σστήματος i) Ελαστική: Ονομάζεται η κρούση, στην οποία διατηρείται η ολική κινητική ενέργεια το σστήματος των σγκροόμενων σωμάτων. K ολ(αρχ) K ολ(τελ) ii) Ανελαστική: Ονομάζεται η κρούση, στην οποία δεν διατηρείται η ολική κινητική ενέργεια το σστήματος. Ένα μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση. Άρα ισχύον οι σχέσεις: K K + E ολ(αρχ) ολ(τελ) και K > ολ(αρχ) K ολ(τελ) απωλ. Διακρίνεται: Ημιελαστική (τα σώματα αποχωρίζονται μετά την κρούση) Πλαστική ή τελείως ανελαστική (τα σώματα δεν αποχωρίζονται μετά την κρούση, αλλά παραμένον ενωμένα σαν ένα σώμα-σσσωμάτωμα) 6. Κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών Έστω δύο σφαίρες Σ και Σ με μάζες και πο κινούνται πάνω στην ίδια εθεία με ταχύτητες και και σγκρούονται κεντρικά και ελαστικά όπως φαίνεται στο σχήμα. Με δεδομένα τις μάζες και τις ταχύτητες των δύο σφαιρών πριν την κρούση θα πολογίσομε τις ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση και. Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - (+) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) πριν μετά Ορίζομε θετική φορά προς τα δεξιά και έχομε: Αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.): ολ(αρχ) ολ(τελ) ( αρχ) + ( αρχ) + + + () Διατήρηση κινητικής ενέργειας: ( τ ελ) (τ ελ ) K ολ(αρχ) Kολ(τελ) K( αρχ) + K( αρχ) K( τελ) + K( τελ) + + + + () () ( ) ( ) (3) ( ) ( () ) (4) Διαιρούμε τις εξισώσεις (3) και (4) κατά μέλη: (4) (3) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ( ) ) + + (5) () + + (5) + + + + + + + ( + ) + Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - και (6) + + + (7) + + + Παρατήρηση : Οι φορές των ταχτήτων μετά την κρούση είναι ατές πο φαίνονται στο σχήμα. Έτσι αν σε κάποιο πρόβλημα μετά από πράξεις προκύψει αρνητική τιμή για μια ταχύτητα μιας σφαίρας, ατό σημαίνει ότι η σγκεκριμένη σφαίρα μετά την κρούση άλλαξε φορά κίνησης. Παρατήρηση : Από την σχέση (5) προκύπτει ότι: ( - ) Από την τελεταία σχέση φαίνεται ότι κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, οι διαφορές των ταχτήτων πριν και μετά την κρούση είναι αντίθετες. Η διαφορά των ταχτήτων, ονομάζεται σχετική ταχύτητα το σώματος Σ ως προς το σώμα Σ και σμβολίζεται,. Κανονικά ισχύει επειδή η ταχύτητα είναι διανσματικό μέγεθος ότι,. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι μετά την κρούση οι δύο σφαίρες απομακρύνονται με την ίδια κατά μέτρο σχετική ταχύτητα με την οποία πλησίαζαν πριν την κρούση. Παρατήρηση 3: Κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, ισχύει η διατήρηση της κινητικής ενέργειας: K K K + K K + K ολ(αρχ) ολ(τελ) ( αρχ) ( αρχ) ( τελ) ( τελ) K ( τελ) K( αρχ) K( αρχ) K( τελ) K( τελ) K( αρχ) ( K( τελ) K( αρχ) ) ΔΚ () ΔΚ () Δηλαδή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ είναι αντίθετη από τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ. Ειδικές περιπτώσεις α) Οι σφαίρες Σ και Σ έχον ίσες μάζες ( ) Αν στις σχέσεις (6) και (7) βάλομε όπο, + + + + + +, έχομε: Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) πριν μετά Άρα στην περίπτωση της κεντρικής ελαστικής κρούσης δύο σφαιρών πο έχον ίσες μάζες, οι σφαίρες ανταλλάσον ταχύτητες. β) Η δεύτερη σφαίρα (Σ), είναι ακίνητη πριν την κρούση ( ) Αν στις σχέσεις (6) και (7) βάλομε όπο, έχομε: και (8) + (9) + γ) Η δεύτερη σφαίρα (Σ), είναι ακίνητη πριν την κρούση, και οι σφαίρες έχον ίσες μάζες (, ) Αν στις σχέσεις (8) και (9) βάλομε όπο, + +, έχομε: ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) πριν μετά δ) Η δεύτερη σφαίρα (Σ), είναι ακίνητη πριν την κρούση, και έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από τη σφαίρα (Σ)(, << ) << Από τις σχέσεις (8) και (9) έχομε: Κώστας Παρασύρης Φσικός
3 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Κώστας Παρασύρης Φσικός + + + + + + + + Οπότε όταν μια σφαίρα μικρής μάζας σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα πολύ μεγάλης μάζας ανακλάται με ταχύτητα ίδιο μέτρο και αντίθετης φοράς από ατήν πο είχε πριν την κρούση, ενώ το σώμα μεγάλης μάζας εξακολοθεί πρακτικά να παραμένει ακίνητο. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα ατής της περίπτωσης, είναι όταν σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει κάθετα στην επιφάνεια ενός τοίχο ή δαπέδο. ε) Η δεύτερη σφαίρα (Σ), είναι ακίνητη πριν την κρούση, και έχει πολύ μικρότερη μάζα από τη σφαίρα (Σ) (, << ) << Από τις σχέσεις (8) και (9) έχομε: + + + + - Στην ελαστική κρούση με ένα τοίχωμα δεν έχομε για τη σφαίρα μεταβολή στην κινητική της ενέργεια, ενώ έχομε μεταβολή στην ορμή της, γιατί έχομε μεταβολή στο διάνσμα της ταχύτητας. -
4 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - + + + + Οπότε όταν μια σφαίρα μεγάλης μάζας σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα πολύ μικρής μάζας, τότε η σφαίρα μεγάλης μάζας μετά την κρούση σνεχίζει να κινείται σχεδόν με την ίδια ταχύτητα πο είχε πριν την κρούση, ενώ το σώμα μικρής μάζας πο ήταν αρχικά ακίνητο μετά την κρούση κινείται σχεδόν με διπλάσια ταχύτητα από ατήν πο είχε το σώμα μεγάλης μάζας πριν την κρούση. ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) πριν μετά 7. Κεντρική ανελαστική κρούση δύο σωμάτων Έστω δύο σφαίρες Σ και Σ με μάζες και πο κινούνται πάνω στην ίδια εθεία με ταχύτητες και και σγκρούονται κεντρικά και ανελαστικά και αποκτούν μετά την κρούση ταχύτητες και όπως φαίνεται στο σχήμα. (+) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) ( Σ ) πριν μετά Ορίζομε θετική φορά προς τα δεξιά και έχομε: Αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.): ολ(αρχ) ολ(τελ) ( αρχ) + ( αρχ) + ( τ ελ) (τ ελ ) Κώστας Παρασύρης Φσικός
5 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - + + Διατήρηση ενέργειας: K ολ(αρχ) K ολ(τελ) + E K + K K + K + E απώλ. ( αρχ) ( αρχ) ( τελ) ( τελ) απώλ. + + + Εαπωλ. 8. Κεντρική πλαστική κρούση δύο σφαιρών Έστω δύο σφαίρες Σ και Σ με μάζες και πο κινούνται πάνω στην ίδια εθεία με ταχύτητες και και σγκρούονται κεντρικά και πλαστικά όπως φαίνεται στο σχήμα. Με δεδομένα τις μάζες και τις ταχύτητες των δύο σφαιρών πριν την κρούση θα πολογίσομε την ταχύτητα το σσσωματώματος μετά την κρούση V. (+) V ( Σ ) ( Σ ) ( ) Σ, + πριν μετά Ορίζομε θετική φορά προς τα δεξιά και έχομε: Αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.): ολ(αρχ) ολ(τελ) ( αρχ) + ( αρχ) + (+ ) V,( τελ) V + + Απώλεια κινητικής ενέργειας πο μετατρέπεται σε θερμότητα Από τη διατήρηση της ενέργειας έχομε: Κώστας Παρασύρης Φσικός
6 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - K ολ(αρχ) Kολ(τελ) + Eαπωλ. E απωλ. K K () ολ(αρχ) ολ(τελ) Οπότε στην περίπτωσή μας έχομε: E απωλ. () ( + ) + ( + )V + ( + ) ( + ) + ( + + ) + + + ( + ) (+ )- ( + ) + + - ( + ) + ( + ) ) + ( ( + ) E απωλ. ( ) ( + ) Παρατήρηση : Όταν το δεύτερο σώμα είναι ακίνητο πριν την κρούση ( ), τότε η ταχύτητα το σσσωματώματος μετά την κρούση είναι: V + Παρατήρηση : Αν τα σώματα πριν την κρούση κινούνται σε αντίθετες κατεθύνσεις, τότε η κατεύθνση το σσσωματώματος θα είναι προς την κατεύθνση το σώματος πο είχε την μεγαλύτερη ορμή πριν την κρούση. Παρατήρηση 3: Αν τα σώματα πριν την κρούση κινούνται σε αντίθετες κατεθύνσεις και έχον ίσες κατά μέτρο ορμές, τότε το σσσωμάτωμα μετά την κρούση θα μείνει ακίνητο. 9. Μη μετωπική ελαστική κρούση Έστω σφαίρα Σ μάζας πο κινείται με ταχύτητα και σγκρούεται ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ μάζας. Η κρούση δεν είναι μετωπική. Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων όπο ο άξονας x έχει την κατεύθνση της κίνησης της σφαίρας Σ πριν την κρούση. Μετά την κρούση η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα πο σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα x και η σφαίρα Σ έχει ταχύτητα πο σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα x. Κώστας Παρασύρης Φσικός
7 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - y θ θ x πριν (+) (+) μετά Αρχή διατήρησης της ορμής στον άξονα x (Α.Δ.Ο.): ολ(αρχ)x ολ(τελ)x + x x + σνθ σνθ Αρχή διατήρησης της ορμής στον άξονα y (Α.Δ.Ο.): ολ(αρχ)y ολ(τελ)y y y ηµθ ηµθ Διατήρηση της κινητικής ενέργειας: K ολ(αρχ) K ολ(τελ) + + Κώστας Παρασύρης Φσικός
8 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Πλάγια ελαστική κρούση με τοίχο (ειδική περίπτωση) Έστω σφαίρα μάζας πο κινείται με ταχύτητα και προσκρούει πλάγια και ελαστικά σε ακίνητο τοίχο όπως φαίνεται στο σχήμα. Αναλύομε τις ταχύτητες πριν και μετά την κρούση σε δύο κάθετες σνιστώσες. y x θ θ θ y θ x Η κάθετη σνιστώσα της ταχύτητας όπως γνωρίζομε θα αλλάξει φορά αλλά θα διατηρήσει το μέτρο της, άρα x x Αν ποθέσομε ότι ο τοίχος είναι λείος οπότε δεν ασκούνται δνάμεις στον άξονα y, η παράλληλη στον τοίχο σνιστώσα της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται άρα y y Οπότε το μέτρο της ταχύτητας μετά την κρούση θα είναι: x y + πο σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις γίνεται δηλαδή θα ισχύει x + y Άρα το μέτρο της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται. Σημείωση : Η τελεταία σχέση αποδεικνύεται και από τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας αφού η κρούση είναι ελαστική. K ολ(αρχ) K ολ(τελ) Κώστας Παρασύρης Φσικός
9 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Για τις γωνίες θ και θ ισχύον: y ημθ y ημθ ημθ θ θ y ημθ Δηλαδή η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - Για τις ασκήσεις. Η αρχή διατήρησης της ορμής εφαρμόζεται όταν το σύστημα των σωμάτων είναι ή μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο. Ατό σμβαίνει όταν ΣFεξ ή ΣF εξ αμελητέα σε σχέση με τις εσωτερικές δνάμεις και Δt δηλαδή το φαινόμενο διαρκεί πολύ λίγο χρόνο (π.χ. έκρηξη, κρούση).. Για την κρούση πρέπει να γνωρίζομε τα εξής: α) το φαινόμενο της κρούσης αρχίζει και τελειώνει στην ίδια θέση β) όταν εφαρμόζομε την Α.Δ.Ο., ολ(αρχ) είναι η αρχική ορμή λίγο πριν την κρούση και ολ(τελ) είναι η ολική ορμή λίγο μετά την κρούση. 3. Για την εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής όταν οι ταχύτητες (ή οι ορμές) των σωμάτων το σστήματος έχον πριν και μετά το φαινόμενο την ίδια διεύθνση τότε η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει και αλγεβρικά, δηλαδή:. Για να ολ(αρχ) ολ(τελ) ολ(αρχ) ολ ( τελ) γράψομε σωστά τη σχέση α) καθορίζομε αθαίρετα πάνω στην κοινή διεύθνση μια θετική φορά και β) βάζομε το πρόσημο (+) στις γνωστές ταχύτητες (ή ορμές) πο έχον θετική φορά και το πρόσημο (-) σ ατές πο έχον αρνητική φορά. Όταν δε ξέρομε τη φορά μιας ταχύτητας πο ζητείται, τότε ποθέτομε πως έχει θετική φορά και βάζομε το πρόσημο (+). Αν από τη λύση της εξίσωσης η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας (ή της ορμής) προκύψει θετική, τότε θα έχει πράγματι θετική φορά. Αν προκύψει αρνητική, τότε η ταχύτητα (ή η ορμή) θα έχει αρνητική φορά. 4. Στην ελαστική κρούση η φράση η κινητική ενέργεια διατηρείται είναι ισοδύναμη με τη φράση η μηχανική ενέργεια διατηρείται. 5. Όταν η κρούση δύο σφαιρών Σ και Σ είναι κεντρική και ελαστική, τότε: Η ορμή το σστήματος των δύο σφαιρών διατηρείται. Η ορμή κάθε σφαίρας μεταβάλλεται. Η κινητική ενέργεια το σστήματος των δύο σφαιρών διατηρείται. Η κινητική ενέργεια κάθε σφαίρας μεταβάλλεται. Ισχύει η σχέση: - ). ( ΔΚ() ΔΚ. Ισχύει η σχέση: () Ισχύει η σχέση: ΔP() ΔP() Η ορμή πο μεταφέρεται από τη σφαίρα Σ στη σφαίρα Σ είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ. Η κινητική ενέργεια πο μεταφέρεται από τη σφαίρα Σ στη σφαίρα Σ είναι ίση με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ. Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - 6. Όταν η κρούση δύο σωμάτων Σ και Σ είναι κεντρική και πλαστική, τότε: Η ορμή το σστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται. Η κινητική ενέργεια το σστήματος των δύο σωμάτων δεν διατηρείται. Τα σώματα μετά την κρούση κινούνται μαζί (σσσωμάτωμα). Η ενέργεια πο μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση είναι: E K K απωλ. ολ(αρχ) ολ(τελ) Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας το σστήματος πο μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση είναι: Eαπωλ. α % ή Κ ολ(αρχ.) Κολ(αρχ.) Κολ(τελ.) α % ή Κ ολ(αρχ.) Κ α ολ(τελ.) % Κ ολ(αρχ.) 7. Όταν η κρούση δύο σφαιρών Σ και Σ είναι πλάγια, τότε τα διανύσματα των ταχτήτων πριν και μετά την κρούση έχον διαφορετικές διεθύνσεις. Σε ένα πρόβλημα πλάγιας κρούσης: α) Σχεδιάζομε τα διανύσματα των ταχτήτων πριν και μετά την κρούση. β) Αναλύομε τα διανύσματα των ταχτήτων σε δύο κάθετος άξονες x και y. Η επιλογή γίνεται έτσι ώστε να χρειάζεται ανάλση σε άξονες οι λιγότερες δνατές ταχύτητες. γ) Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής σε κάθε άξονα χωριστά: ολ(αρχ)x ολ(τελ)x ολ(αρχ)y ολ(τελ)y δ) Αν η κρούση είναι ελαστική, τότε εφαρμόζομε και τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας. 8. Αναγνώριση το είδος μιας κρούσης. α) Αν διατηρείται η κινητική ενέργεια, η κρούση είναι ελαστική ενώ σε αντίθετη περίπτωση η κρούση είναι ανελαστική. β) Αν μετά τη κρούση τα σώματα κινούνται μαζί προκύπτοντας σσσωμάτωμα, η κρούση είναι πλαστική. γ) Αν για τις ταχύτητες πριν και μετά την κρούση ισχύει η σχέση - ), τότε η κρούση είναι ελαστική. ( δ) Σε κρούση κατά την οποία βλήμα διαπερνά σώμα και εξέρχεται από ατό, η κρούση θα είναι ανελαστική. Κώστας Παρασύρης Φσικός
Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - 9. Αν στη διάρκεια μιας κρούσης, κάποιο εξωτερικό αίτιο ασκήσει σημαντική δύναμη στο σύστημα, τότε η Α.Δ.Ο. δε θα ισχύει σ ατήν την κατεύθνση. M V M + πριν μετά Όπως φαίνεται στο παράδειγμα η Α.Δ.Ο. εφαρμόζεται μόνο στην οριζόντια διεύθνση.. Σε ασκήσεις όπο σώμα είναι κρεμασμένο από νήμα, όταν εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε. μεταξύ δύο θέσεων, το έργο της τάσης το νήματος θα είναι πάντα μηδέν, αφού η τάση είναι σνεχώς κάθετη στη μετατόπιση. ( A) Ο Τ T W (Α Γ) WT(Γ Α) W ( Γ ). Σε ασκήσεις όπο σώμα είναι κρεμασμένο από νήμα, όταν μας ζητάνε να πολογίσομε την τάση το νήματος, διακρίνομε τις εξής περιπτώσεις: α) Νήμα κατακόρφο και σώμα ακίνητο Ο Τ ΣF T -W T W T g W Κώστας Παρασύρης Φσικός
3 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις - β) Νήμα κατακόρφο και σώμα κινείται l Ο Τ ΣF F K T -W l Τ g + l W γ) Νήμα ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία με την κατακόρφο Τ φ Ο ΣF y T -Wy T Wy T g σνφ W x W y φ W δ) Νήμα κινείται και σχηματίζει γωνία με την κατακόρφο Τ φ Ο ΣF y F K T -W y l Τ g σνφ + l W x W y φ W Κώστας Παρασύρης Φσικός
4 Φσική Γ Λκείο θετικής & τεχνολογικής κατεύθνσης Κρούσεις -. Σε ασκήσεις κρούσης σώματος με σώμα το οποίο είναι δεμένο στην άκρη ελατηρίο πο ζητείται η μέγιστη σσπείρωση το ελατηρίο, δολεύομε με την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Η κινητική ενέργεια το σώματος μετά την κρούση γίνεται τελικά δναμική ενέργεια το ελατηρίο. Κ Μ Κ Δl ax Μ E ολ(αρχ.) Εολ(τελ.) Κσωμ. Uελατ. ΚΔlax M Παρατήρηση: Αν μεταξύ σώματος και επιπέδο πάρχει τριβή, τότε ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας το σώματος θα γίνεται θερμότητα μέσω το έργο της τριβής. E ολ(αρχ.) Εολ(τελ.) Κσωμ. Uελατ. +. Q τρ M ΚΔl ax + μmgδlax Κώστας Παρασύρης Φσικός