Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς έναν παράγοντα) Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο για τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η μέτρηση μιας εξαρτημένης μεταβλητής πραγματοποιείται στα ίδια άτομα: κάτω από διαφορετικές συνθήκες μέτρησης (π.χ. μέτρηση της μέγιστης πρόσληψης οξυγόνου στο επίπεδο της θάλασσας ή σε υψόμετρο) ή σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα (π.χ. πριν και μετά την εφαρμογή κάποιας μεθόδου προπόνησης). Στις περιπτώσεις όπου η μέτρηση διεξάγεται κάτω από δύο μόνο διαφορετικές συνθήκες ή δύο μόνο φορές, τότε για τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών θα πρέπει να εφαρμοστεί το t test για εξαρτημένα δείγματα. Όταν όμως υπάρχουν περισσότερες από δύο συνθήκες μέτρησης ή η μέτρηση διεξάγεται περισσότερες από δύο φορές, τότε θα πρέπει να εφαρμοστεί ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς έναν παράγοντα. Παράδειγμα: Ένας γυμναστής εφαρμόζει ένα πρόγραμμα για την απώλεια βάρους. Για να διαπιστωθεί η επίδραση του προγράμματος γυμναστικής στη μείωση του σωματικού βάρους κατέγραψε το σωματικό βάρος μιας ομάδας εξεταζόμενων «πριν» την εφαρμογή του προγράμματος (εξαρτημένη μεταβλητή: βάρος1) και «μετά» την εφαρμογή του (εξαρτημένη μεταβλητή: βάρος2). Επίσης θέλοντας να διαπιστώσει κατά πόσο διατηρείται το τυχόν μειωμένο σωματικό βάρος, το κατέγραψε και «ένα μήνα μετά» (εξαρτημένη μεταβλητή: βάρος3). Οι τρεις αυτές μεταβλητές αποτελούν «ζευγαρωτές» παρατηρήσεις, εφόσον τα ίδια άτομα μετρήθηκαν σε τρεις διαφορετικές χρονικές στιγμές στο ίδιο τεστ (μέτρηση σωματικού βάρους). Συνεπώς, πρόκειται για έναν επαναλαμβανόμενο παράγοντα (τον παράγοντα: μέτρηση), που έχει τρεις βαθμίδες: «πριν» = βάρος1, «μετά»= βάρος2, «ένα μήνα μετά»= βάρος3. Για να ελεγχθεί κατά πόσο υπάρχει στατιστικά σημαντική επίδραση του παράγοντα «μέτρηση» στο σωματικό βάρος, και για να εντοπιστούν τυχόν στατιστικά σημαντικές 1
διαφορές μεταξύ των τριών χρονικών στιγμών μέτρησης, θα πρέπει να εφαρμοστεί ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς έναν παράγοντα. Διεξαγωγή της ανάλυσης διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς έναν παράγοντα. Από το μενού «Analyze» επιλέγουμε «General Linear Model» και στη συνέχεια «Repeated Measures» (Εικ. 1). Εικ. 1 2
Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι στην επιλογή «Repeated Measures» εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Repeated Measures Def», όπου θα πρέπει να καθοριστεί το όνομα του επαναλαμβανόμενου παράγοντα στο πεδίο Within-Subject Factor Name:, που εξ ορισμού ορίζεται ως factor1, και ο αριθμός των βαθμίδων του συγκεκριμένου παράγοντα (Εικ. 2). Εικ. 2 Εφόσον στο συγκεκριμένο παράδειγμα πρόκειται για τη μέτρηση του σωματικού βάρους σε τρεις διαφορετικές χρονικές στιγμές μέτρησης, θα δώσουμε στον επαναλαμβανόμενο παράγοντα το όνομα «μέτρηση» (πληκτρολογώντας στο πεδίο δεξιά από την επιλογή Within-Subject Factor Name: τη λέξη μέτρηση) και θα ορίσουμε ότι έχει 3 βαθμίδες (πληκτρολογώντας στο πεδίο δεξιά από την επιλογή Number of Levels τον αριθμό 3) (Εικ. 3). Εικ. 3 3
Για να αποδεχθούμε τη συγκριμένη καταχώριση κάνουμε αριστερό κλικ στο διακόπτη Add, και εισάγεται στο τρίτο κατά σειρά πεδίο το όνομα του επαναλαμβανόμενου παράγοντα και ο αριθμός των βαθμίδων του [μέτρηση(3)] (Εικ. 4). Εικ. 4 Για να συνεχίσουμε πατούμε τον διακόπτη Define (Εικ. 4) και εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Repeated Measures» (Εικ. 5). Εικ. 5 4
Στο αριστερό πεδίο του πλαισίου διαλόγου «Repeated Measures» (Εικ. 5) εμφανίζονται οι μεταβλητές του αρχείου (βάρος1, βάρος2 και βάρος3). Μαρκάροντας με το ποντίκι τις τρεις αυτές μεταβλητές, που είναι οι τρεις βαθμίδες του επαναλαμβανόμενου παράγοντα και πατώντας το βελάκι τις εισάγουμε στο δεξί πεδίο που έχει τίτλο Within-Subjects Variables (μέτρηση) (Εικ. 6). Εικ. 6 5
Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω στο διακόπτη «Options» (Εικ. 6), εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Repeated Measures: Options» (Εικ. 7) Εικ. 7 6
Εδώ μπορούμε να ενεργοποιήσουμε την επιλογή Descriptive statistics, για να υπολογιστούν διάφορα περιγραφικά στατιστικά, ενώ επίσης μαρκάροντας το όνομα του επαναλαμβανόμενου παράγοντα και εισάγοντας τον στο δεξί πεδίο με τίτλο Display Means for, μπορούμε να ενεργοποιήσουμε την επιλογή Compare main effects και να επιλέξουμε ένα τεστ πολλαπλών συγκρίσεων, όπως π.χ. το Bonferroni, για να εντοπιστεί μεταξύ ποιών βαθμίδων του επαναλαμβανόμενου παράγοντα υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές. Φυσικά θα μπορούσαμε να επιλέξουμε ένα άλλο από τα προσφερόμενα τεστ πολλαπλών συγκρίσεων, όπως το LCD ή το Sidak (Εικ. 8). Εικ. 8 Για να αποδεχθούμε τις συγκεκριμένες επιλογές, κάνουμε αριστερό κλικ πάνω στο διακόπτη «Continue», του πλαισίου διαλόγου «Repeated Measures: Options» (Εικ. 8) και στη συνέχεια για να διεξαχθεί η ανάλυση, στο πλαίσιο διαλόγου «Repeated Measures» (Εικ. 6) κάνουμε αριστερό κλικ πάνω στο διακόπτη «OK». 7
Στο φύλλο των αποτελεσμάτων εμφανίζονται διάφοροι πίνακες. Αρχικά ο πίνακας που μας ενδιαφέρει είναι ο πίνακας με τίτλο «Descriptive Statistics», όπου εμφανίζεται ο μέσος όρος (Mean), η τυπική απόκλιση (Std. Deviation) και το μέγεθος του δείγματος (N) για κάθε μία από τις συνθήκες του επαναλαμβανόμενου παράγοντα: Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N βάρος1 94,50 3,028 10 βάρος2 84,70 2,497 10 βάρος3 83,50 3,308 10 Ο βασικός πίνακας της ανάλυσης είναι ο πίνακας με τίτλο Tests of Within-Subjects Effects, όπου εμφανίζονται, τόσο για τον επαναλαμβανόμενο παράγοντα (μέτρηση), όσο και για το σφάλμα (Error): τα αθροίσματα μέσων τετραγώνων (Sum of Squares), οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας (df), τα μέσα τετράγωνα (Mean Square), τα οποία προκύπτουν από τη διαίρεση των αθροισμάτων τετραγώνων με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας, π.χ. (728.,267)/2= 364.332 η F τιμή, που είναι το πηλίκο του μέσου τετραγώνου της «μέτρησης» προς το μέσο τετράγωνο του σφάλματος (Error), π.χ. 364.133/2 = 107.332 και το αντίστοιχο επίπεδο σημαντικότητας (Sig.). Measure: MEASURE_1 Source μέτρηση Error(μέτρηση) Tests of Within-Subjects Effects Type III Sum of Squares Mean Square F Sig. df Sphericity Assumed 728,267 2 364,133 107,332,000 Greenhouse- Geisser 728,267 1,803 403,823 107,332,000 Huynh-Feldt 728,267 2,000 364,133 107,332,000 Lower-bound 728,267 1,000 728,267 107,332,000 Sphericity Assumed 61,067 18 3,393 Greenhouse- Geisser 61,067 16,231 3,762 Huynh-Feldt 61,067 18,000 3,393 Lower-bound 61,067 9,000 6,785 Αν το επίπεδο σημαντικότητας της F τιμής είναι μικρότερο από 0.05, όπως συμβαίνει στη συγκεκριμένη περίπτωση, τότε υπάρχει στατιστικά σημαντική επίδραση του επαναλαμβανόμενου παράγοντα, και κάποιες βαθμίδες του θα διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. 8
Για να εντοπίσουμε μεταξύ ποιών βαθμίδων του επαναλαμβανόμενου παράγοντα υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές, θα πρέπει να ανατρέξουμε στον πίνακα των πολλαπλών συγκρίσεων, με τίτλο Pairwise Comparisons. Measure: MEASURE_1 (I) μέτρηση 1 Pairwise Comparisons 95% Confidence Interval for Mean Difference(a) Difference (J) μέτρηση (I-J) Std. Error Sig.(a) Lower Bound Upper Bound 2 9,800(*),712,000 7,712 11,888 3 11,000(*),943,000 8,234 13,766 2 1-9,800(*),712,000-11,888-7,712 3 1,200,800,504-1,147 3,547 3 1-11,000(*),943,000-13,766-8,234 2-1,200,800,504-3,547 1,147 Based on estimated marginal means * The mean difference is significant at the,05 level. a Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. Στον συγκεκριμένο πίνακα παρουσιάζονται σε ζευγάρια οι διαφορές μεταξύ των βαθμίδων του παράγοντα. Αν το επίπεδο σημαντικότητας (Sig.) μιας ζευγαρωτής σύγκρισης είναι μικρότερο από 0.05, αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ των δύο μετρήσεων. Σ αυτή την περίπτωση, στη στήλη Mean Difference (I-J) εμφανίζεται ένα αστεράκι (*) δεξιά από την τιμή της διαφοράς μεταξύ των μέσων όρων των δύο μετρήσεων. Στο παράδειγμά μας διαπιστώνεται στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης μέτρησης του σωματικού βάρους, καθώς επίσης και μεταξύ της πρώτης και της τρίτης μέτρησης του σωματικού βάρους. Αντίθετα δεν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ της δεύτερης και της τρίτης μέτρησης. 9
Τρόπος συγγραφής των αποτελεσμάτων: Από την εφαρμογή της ανάλυσης διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς έναν παράγοντα διαπιστώθηκε στατιστικά σημαντική επίδραση του παράγοντα «μέτρηση» (F 2, 18 = 107.332; p< 0.05). Από το τεστ πολλαπλών συγκρίσεων Bonferroni διαπιστώθηκαν ωστόσο στατιστικά σημαντικές διαφορές μόνο μεταξύ της πρώτης (94.50 ± 3.028 kg) και της δεύτερης μέτρησης του σωματικού βάρους (84.70 ± 2.497 kg), καθώς και μεταξύ της πρώτης και της τρίτης μέτρησης (83.50 ± 3.308 kg). Αντίθετα δεν διαπιστώθηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ της δεύτερης και της τρίτης μέτρησης του σωματικού βάρους. 10