Ρομποτικά Συστήματα Ελέγχου: Διαφορική Κινηματική Ανάλυση

Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ρομποτικά Συστήματα Ελέγχου: Διαφορική Κινηματική Ανάλυση Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: (0 77-3687 (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο. E-mail: ktzaf@cs.ntua.gr Web: http://www.softlab.ntua.gr/~ktzaf/ Διαφορική Κινηματική Ανάλυση Ρομποτικών Χειριστών

Διαφορική Κινηματική Ανάλυση Ορθή διαφορική κινηματική ανάλυση Γενικευμένες ταχύτητες αρθρώσεων {q i } Εύρεση ταχύτητας (v, ω (γραμμική/γωνιακή τελικού στοιχείου δράσης ρομπότ Μετασχηματισμός από το χώρο αρθρώσεων στο χώρο δράσης (εργασίας proprioception Ανάστροφη διαφορική κινηματική ανάλυση Ταχύτητα τελικού στοιχείου δράσης (v, ω Εύρεση {q i } Σχεδιασμός δρόμου ρομπότ 3 Διαφορικές κινηματικές ρομποτικές εξισώσεις: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y 0 y l (p x, p y y Ε O Ε q x Ε θ z Ορθό Κινηματικό μοντέλο: ( βαθμοί ελευθερίας: q και q Δεδομένα: «Ταχύτητες» αρθρώσεων q, q Εύρεση: Ταχύτητα (γραμμική/γωνιακή τελικού στοιχείου δράσης [p x,p y, ω z ] Τ O 0 O l q x 0 x p x = l cos(q l cos(q q p y = l sin(q l sin(q q θ z = q q (q,q p x =(dp x /dt = q (l s l s q l s p y = (dp y /dt = q (l c l c q l c ω z = θ z = q q p x p y θ z = (l s l s l s (l c l c l c q q 4

Ορθή διαφορική κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα ( 3 βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y Ε l 3 x Ε O Ε q 3 θ z Κινηματική μοντέλο: Δεδομένα: «Ταχύτητες» αρθρώσεων q, q, q 3 Εύρεση: Ταχύτητα (γραμμική/γωνιακή τελικού στοιχείου δράσης [p x,p y, ω z ] Τ y 0 y y x O 3 l q p x = l c l c l 3 c 3 p y = l s l s l 3 s 3 θ z = q q q 3 O 0 O l q x 0 x p x p y θ z = (l s l s l 3 s 3 (l s l 3 s 3 l 3 s 3 (l c l c l 3 c 3 (l c l 3 c 3 l 3 c q q q 3 (q, q, q 3 5 Διαφορική Κινηματική: Ιακωβιανή Μήτρα Ρομποτικού Χειριστή Έστω: p(q,q,q 3 = [ p x (q,q,q 3,p y (q,q,q 3, θ z (q,q,q 3 ] Τ ϑ p ( q, q, q ϑp ( q, q, q ϑp ( q, q, q dp = dq dq dq x x 3 x 3 x 3 ϑq 3 ϑq ϑq3 ϑ p ( q, q, q ϑp ( q, q, q ϑp ( q, q, q dp = dq dq dq y y 3 y 3 y 3 ϑq 3 ϑq ϑq3 ϑθ ( q, q, q ϑθ ( q, q, q ϑθ ( q, q, q dθ = dq dq dq z z 3 z 3 z 3 ϑq 3 ϑq ϑq3 dp dp = dp dq x y = dθ z όπου dq dq = dq dq 3 και = ϑ p ϑp ϑp ϑq ϑq ϑq ϑp ϑp ϑ p ϑq ϑq ϑq ϑθ ϑθ ϑθ ϑq ϑq ϑq x x x 3 y y z 3 z z z 3 Ιακωβιανή Μήτρα (acobian 6

Μεταχηματισμοί απειροστών περιστροφών Μήτρα απειροστής περιστροφής (dθ x γύρω από τον άξονα x: 0 0 0 0 Rx( dθx = 0 cos( dθx sin( dθx 0 dθx 0 sin( dθ cos( dθ 0 dθ Αντίστοιχα: 0 dθ y Ry( dθ y = 0 0 dθ 0 x x x y dθ 0 z Rz( dθz = dθz 0 0 0 Ισχύει: dθz dθ y R( dθx, dθy, dθz = Rx( dθx Ry( dθy Rz( dθz = dθz dθx dθ dθ και: ( dθz dθz ( dθy dθ y Rd ( θx, dθy, dθz Rd ( θx, dθ y, dθz = ( dθz dθz ( dθx dθx ( dθ dθ ( dθ dθ y y x x = R( dθ dθ, dθ dθ, dθ dθ x x y y y x z z Διάνυσμα απειροστής στροφής dθ dθ = dθ dθ x y z 7 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας ( Έστω: d dp = r dθ v p = E E E ω E το (6x διάνυσμα απειροστής μετατόπισης (μεταφοράς dr E και στροφής dθ E του τελικού στοιχείου δράσης Ε όπου v E, ω E : γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του τελικού στοιχείου δράσης Ε Διαφορικό κινηματικό μοντέλο: p = q όπου q =[q,, q n ] : (nx διάνυσμα των ταχυτήτων των αρθρώσεων =... L L Ln όπου,... L i A i A A A n Ιακωβιανή Μήτρα (6xn : (3x διανύσματα στήλης «συνεισφορά» του q i (ταχύτητα άρθρωσης i στη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του τελικού στοιχείου δράσης v = iq iq iq E L δηλαδή: L L n n ω = iq iq iq E A A A n n 8

Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας ( = b r L i A i b i i, E b i L i b i = A i 0 0,..., i i : για στροφική άρθρωση όπου b i- :o άξονας της άρθρωσης i r i-,e : διάνυσμα Ο i- Ο Ε : για πρισματική άρθρωση = R i- ( q q b όπου: b = [0, 0, ] (στη μεθοδολογία Denavit-Hartenberg r = A ( q q r - A ( q q r όπου: r = [0, 0, 0, ] 0,..., 0 n,..., i, E n i- i άρθρωση i b i- O i- z 0 y 0 O 0 A0( q, q = A0( q A( q A0 ( q,, q = A0 ( q,, q Ai-( q i- i i- i i- i A ( q,, q = A ( q,, q A ( q x 0 b i- r i-,e O E dr Ε 0 0 n- n n n- n n dθ Ε n 9 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Παράδειγμα: Ρομποτικός Βραχίονας 3-R 0 A (q = O Ε l 3 q 3 l z q l q z 3 y3 z x 3 b x O b x O z b 0 O 0 c -s 0 0 s c 0 0 0 0 l 0 0 0 y x c 0 s l s 0 0 0, A (q =, -s 0 c l c 0 0 0 0 0 A (q,q = A (q A (q = 0 0 A 3(q = A (q,q A (q 3 = 3 A 3(q 3 = c 3 0 s 3 l 3 s 3 0 0 0 -s 3 0 c 3 l 3 c 3 0 0 0 c c -s c s l c s s c c s s l s s -s 0 c l l c 0 0 0 c c 3 -s c s 3 c (l s l 3 s 3 s c 3 c s s 3 s (l s l 3 s 3 -s 3 0 c 3 l l c l 3 c 3 0 0 0 0

Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Ρομποτικoύ Βραχίονα 3-R (συνέχεια ( = b 0 0 0 ( l s ( ( c l s 3 3 3 3 r = s l s l s 0, E 3 3 l l c l c b r = s c 0 ( l s 3 3 ( ls ( lc lc c l s = s ls, E 3 3 3 3 b = s c 0 r ( lcs 33 ( lss ( lc =, E 3 3 33 Υπενθύμιση : = b r L i A i i i, E b i : για στροφική άρθρωση i L i b i = A i 0 : για πρισματική άρθρωση Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Ρομποτικoύ Βραχίονα 3-R (συνέχεια ( cl s l s 3 3 sl s l s 3 3 0 = 0 s l s l s c l s l s L b r = 0 0, E 33 = 33 l l c l c 0 3 3 cl s l s 3 3 cl c l c 3 3 s c s l s l s s l c l c = L b r =, E 3 3 = 3 3 0 lc lc ls ls 3 3 3 3 lcs lcc s 3 3 3 3 = c l ss l sc L b r = 3, E 33 = 33 0 lc ls 33 33 0 = 0 A s = c A 0 s = c A 3 0

Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Ρομποτικoύ Βραχίονα 3-R (συνέχεια (3 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 ls ls ls 33 33 0 s s 0 c c 0 0 s ls ls c lc lc lcc cls ls slc lc lsc 3 Αντίστροφη Διαφορική Κινηματική Δεδομένης επιθυμητής ταχύτητας τελικού στοιχείου δράσης (v, ω Εύρεση {q i } (i=,,n v p = E = ( ω q q E : ευθύ διαφορικό κινηματικό μοντέλο Εάν η (q είναι αντιστρέψιμη, δηλαδή: det((q 0, τότε : q = -( q p q : ταχύτητες αρθρώσεων για να επιτύχουμε επιθυμητή ταχύτητα τελικού στοιχείου δράσης Εκφυλισμός διάταξης ρομποτικού βραχίονα. Ιδιόμορφες διατάξεις (singular configurations q για τις οποίες: det((q = 0 Υπάρχει τουλάχιστον μία διεύθυνση κατά την οποία το ρομπότ δεν μπορεί να κινηθεί p 4

Αντίστροφη Διαφορική Κινηματική: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y 0 O 0 y O l q x 0 l (p x, p y y Ε O Ε q x x Ε θ z Ευθύ Κινηματικό μοντέλο: ( βαθμοί ελευθερίας: q και q v x (l s l s l s v y = (l c l c l c (q, q det( (q, q = l l sin(q q q det( (q, q = 0, όταν sin(q =0, δηλαδή όταν : q = 0 ή π (ιδιόμορφες διατάξεις q l c l s v vy x = q ll s ( lc lc ( ls l s - (q, q : αντίστροφο διαφορικό κινηματικό μοντέλο 5 Κινηματικός Έλεγχος Ρομπότ ( p d p d x - e p p q K p x ( q Γ(. q προς ελεγκτή θέσης ρομπότ Αλγόριθμος Αντίστροφου Διαφορικού Κινηματικού Ελέγχου q = ( q ( p d K p e p e K e = 0 p p p 6

Κινηματικός Έλεγχος Ρομπότ ( q(t=0 q(i Υπολογισμός j A j και A 0 j (j=,,n Υπολογισμός Ιακωβιανής ( q Βρόχος διόρθωσης (correction loop p p *( i = A0 n :3,4 - p(i p = p( i p * ( i dt επιθυμητή τροχιά Επίλυση ανάστροφης διαφορικής κινηματικής p = ( q q Εύρεση q q( i = q ( i q ( i dt dt: sampling time q( i, q ( i προς ελεγκτή θέσης ρομπότ i = i Σχήμα ελέγχου επιλυμένης ταχύτητας (Resolved motion-rate control 7 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Εισαγωγή Βασικές αρχές 6 β.ε. για θέση/προσανατολισμό στο χώρο Πλεονάζοντες β.ε. εισάγουν τη δυνατότητα απειρίας εφικτών κινήσεων στις αρθρώσεις για δοσμένη επιθυμητή κίνηση στο τελικό στοιχείο δράσης μηδενικός χώρος ρομποτικών αρθρώσεων (null space πλεονάζοντες β.ε. για ικανοποίηση επιπρόσθετων κινηματικών περιορισμών (βελτιστοίηση κριτηρίων για επιλογή κατάλληλης κίνησης στους πλεονάζοντες β.ε. Παράδειγμα ρομποτικού βραχίονα με πλεονάζοντες β.ε. (DLR lightweight 7dof robot 8

Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική ( N( q R Χώρος αρθρώσεων (joint space n p R m R( p = 0 R(: range space (σύνολο δυνατών ταχυτήτων στο χώρο εργασίας N(: null space (μηδενικός χώρος Χώρος εργασίας (task space q N( q= ( 0 Όταν n>m, και rank(=m (δηλαδή, : πλήρους τάξης τότε έχουμε (n-m πλεονάζοντες (redundant βαθμούς ελευθερίας dimn( = n m dimn( dimr( = n 9 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική ( Βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης για πλεονάζοντα ρομπότ (redundant robots Διαφορική κινηματική εξίσωση: q= p : m x n, rank( = m Ελαχιστοποίηση συνάρτησης κόστους: F( q= (/ q = (/ qq Mέθοδος Lagrange: F' q λ = q q λ ( q p q F'( q, λ = 0 F'( q, λ = 0 λ (, (/ - - min q - λ = 0 q - p= 0 q = λ ( p= q = λ q= p όπου : ψευδοαντίστροφη της Ιακωβιανής = ( (Moore-Penrose pseudoinverse 0

Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική (3 Γενική βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης για πλεονάζοντα ρομπότ (redundant robots Διαφορική κινηματική εξίσωση: q= p Ελαχιστοποίηση συνάρτησης κόστους: F( q= ( ( q k Q ( q k ( Q: symmetric, positive definite n x n, k Rn Mέθοδος Lagrange: F' q λ = ( ( q k Q ( q k λ ( q p q F'( q, λ = 0 F'( q, λ = 0 λ (, - - min ( - Qq k λ = 0 q - p= 0 : m x n, rank( = m q= p ( I k # # Q n Q (I n : μοναδιαία μήτρα nxn N( Q όπου # weighted pseudoinverse of the acobian matrix =Q ( Q # Q Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Μεθοδολογία Διάσπασης Ρομποτικής Εργασίας Διάσπαση σύνθετων ρομποτικών εργασιών σε υποεργασίες με σειρά προτεραιότητας (task-decomposition (π.χ. έλεγχος θέσης ή δύναμης, αποφυγή εμποδίων ή ιδιομορφιών κλπ. Περιγραφή ρομποτικών υποεργασιών με βάση: επιθυμητή τροχιά του ρομπότ στο χώρο εργασίας (ή γενικότερα επιθυμητή «συμπεριφορά», π.χ. μηχανική αντίσταση, κλπ. κριτήρια στο χώρο διάταξης των αρθρώσεων (configuration space βελτιστοποίηση

Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ ( Βασικές Σχέσεις (διάσπαση σε δύο ρομποτικές υπο-εργασίες Έστω q = [q,q,,q n ] : διάταξη των αρθρώσεων (configuration Πρώτη υπο-εργασία: Δεύτερη υπο-εργασία: Περίπτωση : Περίπτωση : p = f (q, p : m x διάνυσμα επιθυμητή τροχιά p d (t p = f (q, p : m x διάνυσμα επιθυμητή τροχιά p d (t Συνάρτηση κριτηρίου: c = V(q μεγιστοποίηση πρόβλημα βελτίστου ελέγχου 3 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ ( Πρώτη υπο-εργασία: p = q ( p = f (q=[f (q f (q... f m (q] Τ ( f / q f / q f / q n όπου: = f / q f / q f / q f / q n = f / q f / q f / q d n m m m q = p I k (, όπου k : τυχαίο διάνυσμα n x Εκτέλεση ης υποεργασίας («εξωτερική κίνηση» N( μηδενικός χώρος («εσωτερικές κινήσεις» = : ψευδοαντίστροφη της μήτρας : m n = I m : n m n 4

Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (3 Δεύτερη υπο-εργασία -η Περίπτωση : p = q (a ( (Τa Θέτουμε: p d ( p = f (q= [f (q f (q... f m (q] Τ όπου: = f / q p p = I k d d n = I (m x n n k= p d p I d n k ( όπου k : τυχαίο διάνυσμα n x Τελικά: q = p p p I k d d d d n η υποεργασία η υποεργασία Σημείωση: χρησιμοποιήθηκε η σχέση υπολείπονες πλεονάζοντες β.ε. I = n (3 5 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (3β = N Απόδειξη: = όπου N = I n Ισχύει N N = N και N = N Πρόταση: Για τις παραπάνω μήτρες ισχύει: In = δηλαδή: = N = = = ( ( (α = = N N N N... (α (β 6

Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (4 Δεύτερη υπο-εργασία / η Περίπτωση (συνέχεια Απλοποιημένη περίπτωση (η υποεργασία εκφρασμένη απ ευθείας ως επιθυμητή κίνηση στο χώρο των ρομποτικών αρθρώσεων Εάν p = q, δηλαδή = I, τότε: = I οπότε: n n = = n I I d d d από τη σχέση (3 η υποεργασία η υποεργασία p d * = d d H d οπότε η (4 π.χ. γράφεται τελικά: d d = n I d H d Τελικά δηλαδή παίρνουμε: q = p In p Αντί για στις σχέσεις (3 και (4, χρησιμοποιείται συχνά η σχέση: p p p p q p p p p (4 (4 7 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (5 Δεύτερη υπο-εργασία -η Περίπτωση : «Συνάρτηση κριτηρίου» c = V(q max (b Τ Έστω: k = k c ξ όπου: ξ = ξ, ξ,, ξ n ξ / j = V q j k c : θετική σταθερά ξ : διάνυσμα κλίσης της συνάρτησης κριτηρίου c=v(q Έχουμε: (gradient vector ξ = [ ( q ] = V( q q d d kc In ( q = p ξ (5 η υποεργασία p d n c = ξ ξ I ξ k ορθογώνια προβολή του k στο Ν( q V η υποεργασία c > 0 c( q 8

Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές Παραδείγματα:. Αποφυγή Εμποδίων (obstacle avoidance. Αποφυγή Ιδιόμορφων Διατάξεων (avoiding singularities 9 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων ( Redundant Robot Manipulators: Avoiding Obstacles y 0 Διάταξη αναφοράς q r για την αποφυγή εμποδίου l q l 3 O Ε 3 p 0 q 3 Επιθυμητή τροχιά - Υποεργασία : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p d (t : p 0 (t=0 p f (t=t f - Υποεργασία : Αποφυγή εμποδίου p d (t = q r O 0 l q εμπόδιο p f x 0 Παράδειγμα: l =, l =, l 3 =0.3 q 0 =[0 0,30 0,0 0 ] p 0 =[x 0,y 0 ] p f =[x 0,0] q r =[45 0,-70 0,0 0 ] (t f = 30

Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων ( - Υποεργασία η (p d : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p 0 (t=0 p f (t=t f Ορθό Γεωμετρικό μοντέλο p x = l c l c l 3 c 3 p y = l s l s l 3 s 3 θ = q q q 3 όπου : c = cos(q c = cos(q q c3 = cos(q q q 3 s = sin(q s = sin(q q Ορθό διαφορικό κινηματικό μοντέλο: (l s l s l 3 s 3 (l s l 3 s 3 l 3 s 3 = (l c l c l 3 c 3 (l c l 3 c 3 l 3 c 3 p x p y = (q,q,q 3 0 s3 = sin(q q q 3 d ( t x p = y 3 tt y, 0 t ( q q q 3 Έστω π.χ. επιθυμητή τροχιά (η υποεργασία: 0 0 - Υποεργασία η: p = q και p d = q r (διάταξη αναφοράς 3 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων (3 Παράδειγμα προσομοίωσης (3 β.ε. τοποθέτηση στο επίπεδο (εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (4 q d = p d ( In Hp d p (k c = 0 (k c = 0 Χωρίς τον έλεγχο πλεοναζόντων β.ε. (H =0 Με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. (H =k c Ι 3

Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών ( Redundant Robot Manipulators: Avoiding Singularities - Υποεργασία η (p d : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p 0 (t=0 p f (t=t f (l s l s l 3 s 3 (l s l 3 s 3 l 3 s 3 = δηλ.: (l c l c l 3 c 3 (l c l 3 c 3 l = 3 c 3 - Υποεργασία η: Μεγιστοποίηση συνάρτησης κριτηρίου c = V(q c = V(q= det : x3 ( : δείκτης ικανότητας χειρισμού (manipulability (μέτρο «απόστασης» από ιδιόμορφες διατάξεις : x και ( det = 0 στις ιδιόμορφες διατάξεις 33 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών ( Επίλυση του προβλήματος αποφυγής ιδιόμορφων διατάξεων με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. Εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (5: όπου: Έχουμε: i j l l l ij j i ij, ql q = l inverse det ( ξ = V/ q = det / q = α d d kc In q = p ξ : θετική σταθερά, και ξ = ξ, ξ,, ξ k c n ξ = V / q όπου α ij : το (i,j στοιχείο του και i : το i-διάνυσμα γραμμής του πίνακα Τ 34

Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (3 Απόδειξη της παραπάνω σχέσης για το ξ l Έστω: = και Β = =[β ij ], οπότε: ij i j β = Είναι: Δ =det( =det(b = β β - β β Δ β β β β = και: β β β β q l ql ql ql ql ij l l j i l l j l i j j όπου: β i = = i q q q q q Παίρνουμε τελικά: ξ l= V/ ql= ( Δ / q Δ l= Δ q l όπου: α = β, α = β, α = β, α = β... i j αij j Δ ij, = ql q l = i 35 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (4 Παράδειγμα προσομοίωσης (3 β.ε. τοποθέτηση στο επίπεδο (εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (5 d d kc = In q p ξ Χωρίς τον έλεγχο πλεοναζόντων β.ε. (k c =0 Με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. (k c =00 36

Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές - Παραδείγματα Αποφυγή εμποδίων σε πραγματικό χρόνο με κινηματικό έλεγχο των πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας του ρομποτικού χειριστή 37 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Συμπεράσματα Πλεονάζοντες β.ε. εισάγουν τη δυνατότητα «απειρίας εφικτών κινήσεων» στις αρθρώσεις για δοσμένη επιθυμητή κίνηση στο τελικό στοιχείο δράσης (μηδενικός χώρος ρομποτικών αρθρώσεων Πλεονάζοντες βαθμοί ελευθερίας «Απειρία» λύσεων για το ανάστροφο κινηματικό πρόβλημα Βελτιστοποίηση Κινηματικός έλεγχος πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας Μεθοδολογία διάσπασης ρομποτικής εργασίας: Διάσπαση σύνθετων ρομποτικών εργασιών σε υπο-εργασίες με σειρά προτεραιότητας (task-decomposition Περιγραφή ρομποτικών υποεργασιών με βάση: επιθυμητή τροχιά ή γενικότερα επιθυμητή «συμπεριφορά» (π.χ. μηχανική αντίσταση του ρομπότ στο χώρο εργασίας (task space κριτήρια στο χώρο διάταξης των αρθρώσεων (configuration space βελτιστοποίηση 38

Ιεραρχική Δομή Ρομποτικών Συστημάτων Ελέγχου Πρόγραμμα Εργασίας c εντολή στόχου Ευφυής Ελεγκτής Σχεδιασμός Τροχιάς p(, i p ( i Αλγόριθμος αντίστροφης κινηματικής σήματα αναφοράς q(, i q ( i b Βρόχοι Ελέγχου a Στοιχεία Δράσης Περιορισμοί Μονάδα Παρεμβολής Αισθητήρια Στοιχεία 39