1. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1 1. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Θυμόμαστε ότι: ημχ=ημα χ=kπ+α ή χ=kπ+π-α ημ(-φ) = - ημφ, συν(π/-φ) = ημφ συνχ=συνα χ=kπ+α ή χ=kπ-α συν(-φ) = συνφ, ημ(π/-φ) = συνφ χ=αημ(ωt+φ 0 ), υ=υ max συν(ωt+φ 0 ) με υ max =ωα, α= - α max ημ(ωt+φ 0 ) με α max =ω Α α= - ω.χ, υ= ±ω A χ, ΣF= - D.χ, Τ=π Παράδειγμα υπολογισμού αρχικής φάσης: Αν για t=0, χ=χ 1 τότε χ=αημ(ωt+φ 0 ) χ 1 =Αημωt ημφ 0 = χ φ 0 =... 1 A m D Ερωτήσεις 1.1. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης α=f(χ) για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος αυτού είναι: α) Τ= s β) Τ =π s γ) Τ = π s δ)τ=/π s ε) Τ=π/ s Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε. - -8 8 α(m/s ) χ(m) 1.. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) Για να είναι η επιτάχυνση μηδέν στη θέση ισορροπίας, πρέπει η αρχική φάση της ταλάντωσης να είναι μηδέν. β) Η ταχύτητα στις ακραίες θέσεις είναι μηδέν μόνο για τις ταλαντώσεις που έχουν αρχική φάση φ ο = π/ γ) Τη χρονική στιγμή t = 0 είναι u = umax μόνο αν η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι μηδέν. δ) Υπάρχει θέση όπου η απομάκρυνση και η επιτάχυνση παίρνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες (κατά απόλυτη τιμή) τιμές τους. 1.3. Στην απλή αρμονική ταλάντωση του επόμενου σχήματος, με περίοδο Τ και πλάτος Α, για να πάει το σώμα από τη θέση ισορροπίας Ο (x = 0) στην ακραία θέση Ρ (x = + Α), απαιτείται χρόνος Δt =T/ 4. Ποια από τις επόμενες προτάσεις, που αναφέρονται στην ταλάντωση αυτή είναι σωστή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Για να πάει το σώμα από τη θέση x = 0 στη θέση x=+α απαιτείται χρόνος ίσος με Δt/=Τ/8 β) Για να πάει το σώμα από τη θέση x = +A/ στη θέση -Α Α x=+α, απαιτείται χρόνος ίσος με Δt/=T/8 Α/ γ) Το σώμα διανύει το διάστημα (ΟΓ) σε μικρότερο χρόνο απ' ότι το διάστημα (ΓΡ). Ρ Ο Γ Ρ δ) Το σώμα διανύει το διάστημα (ΓΡ) σε χρόνο μικρότερο από Τ/8. 1.4. Για μια απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης χ = Αημωt ποιες από τις επόμενες σχέσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) u = ωαημωt β) α = - ω Ασυνωt γ) D = mω ημωt δ) ΣF = mα ε) ΣF= -mω Αημωt στ) α = -ω x ζ) ΣF = - Dx η) υ= ±ω A χ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Αρβανιτάκης Διονύσης Φυσικός

Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.5. Για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με τον χρόνο. β) Η δύναμη επαναφοράς είναι της μορφής F = - Dx. γ) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι ανάλογη της περιόδου της. δ) Η κίνηση του σώματος μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση x = αt + β. 1.6. Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Η συνισταμένη των δυνάμεων που α- σκούνται στο σώμα: α) είναι σταθερή, β) είναι ανάλογη της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας, γ) έχει το ίδιο πρόσημο με την απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας, δ) σε κάποια χρονικά διαστήματα έχει το ίδιο πρόσημο με την ταχύτητα του σώματος, ε) έχει φορά πάντα προς τη θέση ισορροπίας, στ) έχει φορά συνέχεια αντίθετη με τη φορά της επιτάχυνσης του σώματος, ζ)είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 1.7. Για μια απλή αρμονική ταλάντωση ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα ονομάζεται και δύναμη επαναφοράς. β) Η σταθερά επαναφοράς D σχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που κάνει ταλάντωση. γ) Η σχέση ΣF = - Dx αποτελεί ικανή συνθήκη για να κάνει το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση. δ) Η σταθερά επαναφοράς εξαρτάται από την αρχική απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. ε) Στη σχέση ΣF = - Dx το αρνητικό πρόσημο εκφράζει το γεγονός ότι η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση έχουν πάντα αντίθετες φορές. στ) Η σταθερά επαναφοράς D έχει ίδιο πρόσημο με το πρόσημο της απομάκρυνσης x. 1.8. Σώμα μάζας m είναι δεμένη στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k και κάνει ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από τη μάζα m του σώματος. β) Η σταθερά επαναφοράς D εξαρτάται από το πλάτος Α της ταλάντωσης. γ) Η δύναμη επαναφοράς είναι κάθε στιγμή ίση με τη δύναμη του ελατηρίου. δ) Η περίοδος Τ της ταλάντωσης έχει σχέση με τη σκληρότητα του ελατηρίου. ε) Η συχνότητα της ταλάντωσης υποδιπλασιάζεται όταν διπλασιάζεται το πλάτος Α της ταλάντωσης. στ) Η θέση ισορροπίας του σώματος είναι η θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. ζ ) Αν το πείραμα γινόταν στο διάστημα, εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε το σώμα δεν θα έκανε απλή αρμονική ταλάντωση. 1.9. Το σώμα μάζας m του σχήματος ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω κατά x και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 3 α) Το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k. β) Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = x 1 + x γ) Η περίοδος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη από την αρχική α- χ 1 πομάκρυνση x. Θ.Ι δ) Σε κάθε θέση η δύναμη επαναφοράς είναι ίση με τη δύναμη του ελατηρίου. ε) Μπορεί να υπάρχει θέση όπου η F ελ = 0, ενώ η δύναμη επαναφοράς να είναι διάφορη από το μηδέν. στ) Τη χρονική στιγμή t = 0 η επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν. ζ) Στη θέση ισορροπίας η επιτάχυνση του σώματος δίνεται από τη σχέση α = kx 1 /m. η) Αν το πείραμα γινόταν στη Σελήνη, η περίοδος της ταλάντωσης θα ήταν ίδια με την περίοδο της ταλάντωσης στη Γη. 1.10. Διαθέτουμε δύο συστήματα Α και Β ελατηρίου μάζας. Η μάζα του συστήματος Α είναι μεγαλύτερη από τη μάζα του συστήματος Β, ενώ το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος Α είναι μικρότερο από το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος Β. Ποιό από τα δύο συστήματα θα εκτελέσει γρηγορότερα μια πλήρη ταλάντωση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ασκήσεις 1.11. Ένα σωματίδιο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η εξίσωση της κίνησης είναι: χ=10ημ0πt (χ σε cm και t σε sec). Να υπολογιστούν: α) η φάση και η αρχική φάση της ταλάντωσης. β) το πλάτος και η συχνότητα της ταλάντωσης. γ) η ταχύτητα και η επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) η απομάκρυνση του σωματιδίου από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t=0,05s. [Απ: f=10hz, χ=10cm] 1.1. Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση χ=5ημ(πt+π) (χ σε m, t σε s ). Να βρείτε: α) την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης, β) την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=1,5s. [Απ: 0m/s, 0π m/s, -5m, 0m/s, 0π m/s ] 1.13. Η σχέση χ=10ημ( π t + π ) δίνει την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο σε 3 4 μια απλή αρμονική ταλάντωση. Να γράψετε τις αντίστοιχες σχέσεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση και στη συνέχεια να κάνετε τις γραφικές τους παραστάσεις. 1.14. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0cm. Αν τη χρονική στιγμή t=0 έχει απομάκρυνση χ= 10 cm και αρνητική ταχύτητα, να υπολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης. [Απ: φ 0 = 3π/4 rad ] 1.15. Ένα σώμα μάζας m=1 Kgr απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α= m και περίοδο Τ=1 sec. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα έχει απομάκρυνση χ= 3 m και αρνητική ταχύτητα. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σώμα. Δίνεται : π =10. [Απ:F=-80ημ(πt+π/3) (SI ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Αρβανιτάκης Διονύσης Φυσικός χ

4 Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.16. Υλικό σημείο μάζας m=10 Κgr κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου είναι χ=0,03ημ(10πt+π/4) ( το t σε sec, το χ σε m). Ζητείται : α) το πλάτος, β) η αρχική φάση, γ) η σταθερά επαναφοράς. δ)τη γραφική παράσταση της συνισταμένης των δυνάμεων με το χρόνο. Δίνεται π =10. [Απ: 0,03 m, π/4, 10 4 Ν/m ] 1.17. Η εξίσωση της επιτάχυνσης υλικού σημείου που εκτελεί Α.Α.Τ. δίνεται από την α = 1000 ημ(10πt+7π/6), τα μεγέθη της μετρούμενα σε μονάδες του S.I. Βρείτε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας. (π 10) [Απ: χ = ημ(10πt+π/6), υ = 10πσυν(10πt+π/6)] 1.18. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Στο διάγραμμα του σχήματος απεικονίζεται γραφικά η μεταβολή της φάσης της ταλάντωσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. φ(rad) π π 1 t(s) 1.19. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση της ταχύτητας του υ- λικού σημείου είναι υ = -4πημπt, όπου το υ είναι σε cm/sec και το t σε sec. Να υπολογίσετε το πλάτος, την περίοδο, την αρχική φάση και τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης. [Απ: 4cm, sec π/rad, 4π cm/sec] 1.0. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι υ=-0,4ημ(t-π/6) ( το t σε sec. το υ σε m/sec). Ζητούνται : α) η αρχική φάση της ταλάντωσης. β)η απομάκρυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t=π/4 sec. [Απ: π/3, 0,1m] 1.1. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=10 cm και συχνότητα f=0,5 Hz. Τη χρονική στιγμή t=0. η απομάκρυνση του σώματος είναι χ=+10 cm.ζητούνται : α) Πόση είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης ; β) Ποια χρονική στιγμή το σώμα έχει για δεύτερη φορά απομάκρυνση χ 1 =-5 cm και θετική φορά κίνησης ; [Απ: φο=π/, t 1 =0/3 sec ] 1.. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α= cm. Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ 0 =π/6. Τη χρονική στιγμή t=13/3 sec, το σώμα διέρχεται για δεύτερη φορά από τη θέση χ= 3 cm, κινούμενο κατά τη θετική φορά. Να προσδιοριστεί η περίοδος της ταλάντωσης. [Απ:Τ=4 sec ] 1.3. Υλικό σημείο εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας, ενώ τη χρονική στιγμή t =1/00sec βρίσκεται για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομά-

Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 5 κρυνση. Αν τη χρονική στιγμή t 1 =1/600sec απέχει από τη θέση ισορροπίας απόσταση χ 1 =5cm, υπολογίστε τη θέση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t 3 =7/00sec. [Απ: -0,1 m, 0, 10 3 π m/sec ]. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Θυμόμαστε ότι: X τελ X αρχ Επί τοις εκατό μεταβολή του μεγέθους Χ : ΔΧ%= 100%. X Αρχή Διατήρησης Ταλαντωτικής Ενέργειας ΑΔΤΕ: Ε ταλ =Κ+U ταλ 1 DΑ = 1 mu + 1 Dx αρχ Ενέργεια ταλάντωσης: Εταλ= 1 DΑ ή Εταλ= 1 mumax Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης: Uταλ= 1 Dx, όπου x η απομάκρυνση από τη Θ.Ι (Θέση Ισορροπίας). Δυναμική ενέργεια ελατηρίου : Uελατ= 1 kx, όπου x η απόσταση από τη Θ.Φ.Μ (Θέση Φυσικού Μήκους) Ερωτήσεις.1. Αν μεταβάλουμε την ενέργεια μιας ταλάντωσης, τότε μεταβάλλεται: α) η περίοδος της Τ, β) η μέγιστη ταχύτητα u max, γ) η σταθερά επαναφοράς D, δ) το πλάτος της Α, ε) η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές;.. Το πλάτος Α μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης εξαρτάται από: α) τη σταθερά D της ταλάντωσης, β) την περίοδο Τ της ταλάντωσης, γ) την ενέργεια της ταλάντωσης, δ) την ενέργεια που δώσαμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε ταλάντωση. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές;.3. Να υπολογίσετε τις ποσότητες U =f(t),k =f(t), E =f(t) απλή αρμονική ταλάντωση και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις..4. Ένα σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ και η απομάκρυνσή του χ από τη θέση ισορροπίας δίνεται κάθε χρονική στιγμή από τη σχέση χ=αημωt. Το διαγράμματα του σχήματος παριστάνει: α) Την κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο β) Την δυναμική ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο γ) Την ενέργεια ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο δ) Την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο Τ/ Τ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Αρβανιτάκης Διονύσης Φυσικός

6 Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.5. Ένα σύστημα σώματος-ελατηρίου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν διπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος και το πλάτος της ταλάντωσης παραμείνει το ίδιο, τότε μεταβάλλεται: α) η ενέργεια της ταλάντωσης, β) η συχνότητα της ταλάντωσης, γ) η σταθερά επαναφοράς, δ) η μέγιστη δύναμη επαναφοράς. Ποια από τις απαντήσεις αυτές είναι σωστή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας..6. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση -Α Α πλάτους Α μεταξύ δύο σημείων Δ και Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; Α / Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δ Ο Μ Γ α) Η επιτάχυνση του σώματος είναι μέγιστη στα σημεία Δ και Β. β) Η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη στο σημείο Ο. γ) Στο σημείο Γ η κινητική ενέργεια ταλάντωσης είναι μικρότερη της δυναμικής. δ) Στο σημείο Μ ισχύει Κ = U. Β.7. Σε κάποια χρονική στιγμή της ταλάντωσης ενός σώματος η κινητική ενέργεια του είναι τριπλάσια από τη δυναμική του ενέργεια. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο ίσο με τα 3 / 4 της μέγιστης ταχύτητας του. β. Η δυναμική ενέργεια ισούται με το 1 / 3 της ολικής ενέργειας του σώματος. γ. το σώμα αποκτά μέγιστη κινητική ενέργεια μετά από χρόνο t = Τ/4. δ. Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι χ = ±Α/..8. Υλικό σημείο εκτελεί Α.Α.Τ πλάτους A. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος (A = A), βρείτε πώς θα μεταβληθούν: Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) Η σταθερά επαναφοράς. β) Η περίοδος. γ) Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης. δ) Η μέγιστη ταχύτητα και ε) η μέγιστη επιτάχυνση..9. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k και k αντίστοιχα, στα ελεύθερα άκρα των οποίων είναι δεμένα δύο ίδια σώματα μάζας m το καθένα. Απομακρύνουμε τα δύο k σώματα από τη θέση ισορροπίας τους προς τα κάτω κατά την ίδια απόσταση και στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα. Οι ταλαντώσεις που θα κάνουν τα δύο σώματα έχουν: α) την ίδια συχνότητα και την ίδια ολική ενέργεια, β) την ίδια ολική ενέργεια αλλά διαφορετικές συχνότητες, γ) το ίδιο πλάτος αλλά διαφορετικές συχνότητες, δ) την ίδια συχνότητα αλλά διαφορετικές μέγιστες ταχύτητες, ε) διαφορετικές συχνότητες και διαφορετικά πλάτη. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας..10. Ένα σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ορισμένη ολική ενέργεια. Να παραστήσετε γραφικά σε κοινό διάγραμμα την κινητική, τη δυναμική και την ολική ενέργεια, k

Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ασκήσεις.11. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν η εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι υ = 4συν(10t-π/6) όπου υ σε m/sec και t σε sec. Τη χρονική στιγμή t=τ/4, να υπολογίσετε: α)την απομάκρυνση του σώματος. β)την ταχύτητα του σώματος. γ) Το λόγο της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή προς τη δυναμική του ενέργεια. [Απ: 0 3 cm, m/s, 1/3 ].1. Σώμα μάζας m=0, kg πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,m και περίοδο Τ=πs.Να βρείτε: α) τη σταθερά επαναφοράς, β) την ενέργεια ταλάντωσης. [Απ: 0,N/m, 4.10 3 j].13. Ένα σώμα πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,m. Αν η μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς είναι F=100N, να βρείτε την ενέργεια της ταλάντωσης. [Απ: 10j].14. Ένα σώμα πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=m.Να βρείτε την απομάκρυνση χ όταν η κινητική ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης. [Απ: m].15. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t=0 η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι χ=+10cm, ενώ η κινητική ενέργεια είναι το 75% της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος είναι α max =6m/s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης. β) Να υπολογίσετε την αρχική φάση. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο..16. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση του χ από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση χ=0, ημ(0πt+φ 0 ) (S.I). α) Για ποιες τιμές της απομάκρυνσης χ η δυναμική του U, είναι ίση με το 50% της ολικής, του ενέργεια Εολ; β) Να βρείτε την τιμή τnς αρχικής φάσης φ 0, αν δίνεται ότι για το t 0 =0 είναι Εκ =3/4 Ε ολ με χ>0και υ<0. [Απ: -0, m, 0, m, 5π/6 ]..17. Αν διπλασιαστεί το πλάτος ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή, κατά πόσο% θα μεταβληθεί: α) η ενέργεια ταλάντωσης; β) η συχνότητα f της ταλάντωσης; γ) η σταθερά επαναφοράς D; [Απ: 300%, 0 %, 0 %] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Αρβανιτάκης Διονύσης Φυσικός

8 Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.18. Ένα σώμα ξεκινά από την ηρεμία με επιτάχυνση μέτρου α=10m/s και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ δύο θέσεων που απέχουν λ=m. Να βρείτε: α) την περίοδο της ταλάντωσης, β) την ταχύτητα του σώματος όταν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι χ=+0,8m. [Απ: π/s,,4m/s].19. Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική φάση φ 0 =0. Στη θέση χ=1 cm το υλικό σημείο έχει ταχύτητα υ= 3 cm/sec και επιτάχυνση α=- 4 cm/sec. Ζητούνται α) η περίοδος της ταλάντωσης, β) το πλάτος της ταλάντωσης. [Απ: Τ=3,14 sec,α= cm ].0. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=6 cm. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα έχει απομάκρυνση χ=+ 3cm και ταχύτητα υ=-15 3 cm/sec. Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας του σώματος. [Απ: x=0,06ημ(5t+5π/6), υ=0,3συν(5t+5π/6) (S.Ι)].1. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση χ = Αημ( ωt +φ 0 ). α) Να υπολογίσετε τις τιμές των μεγεθών Α, ω, φ 0 αν γνωρίζετε ότι η απόσταση των ακραίων θέσεων του υλικού σημείου είναι d = 0, m και για t 0 =0 είναι χ = 0,05 m και υ=- 3 m/s. β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 0 =0 την επιτάχυνση τον υλικού σημείου. γ) Να παραστήσετε γραφικά, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του, τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο υλικό σημείο, αν η μάζα του είναι m=0,1 kg. [Απ:. 0,1 m, 0rad/s, 5π/6, -0 m/ s, ευθεία]... Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=5 cm και κυκλική συχνότητα ω=100 rad/sec. Τη χρονικrί στιγμή t=0 το υλικό σημείο κινείται στον αρνητικό ημιάξονα με ταχύτητα υ=+υ ο /, όπου υ ο το πλάτος της ταχύτητας. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου. [Απ: χ=0,05ημ(100t+5π/3) (S.Ι) ].3. Ένα σώμα με μάζα m= kgr εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στη θέση με α- πομάκρυνση x 1 =+ m το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι u 1 =4m/s ενώ στη θέση x =+ m το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι u =4m/s.Να βρείτε α) τη σταθερά επαναφοράς D β)την περίοδο Τ. γ) την ολική ενέργεια της ταλάντωσης δ) το πλάτος χ 0 της ταλάντωσης..4. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη στιγμή που n απομάκρυνση του υλικού σημείου είναι χ 1 = 60 cm η ταχύτητα του είναι υ 1 =40cm/sec, ενώ τη στιγμή που η απομάκρυνση του είναι χ =80cm η ταχύτητα του γίνεται υ = 30 cm/sec. Να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης. [Απ: 1m, 4πsec].5. Υλικό σημείο μάζας m = 0.1 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α= 0,lm με περίοδο Τ = s. Τη χρονική στιγμή t =0 το υλικό σημείο περνάει από τη θέση χ = 5 3.10-3 m κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση.

Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 9 α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης χ σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Τη χρονική στιγμή t =Τ/4 να βρείτε για το υλικό σημείο ( π = 10 ) i)τη δυναμική του ενέργεια. ii)την κινητική του ενέργεια. ii)το ρυθμό μεταβολής της ορμής του. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση χ του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. [Απ: χ = 0,1 ημ( πt + π/3) (SI), l,5 10 3 j, 3,75 10-3 j, 5.10 - Ν ].6. Υλικό σημείο μάζας m = 0.01 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η ολική του ενέργεια είναι Ε ολ = 3.10 4 j. Η απομάκρυνση χ του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου και η επιτάχυνσή του α συνδέεται με την α- πομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του με τη σχέση α = -16χ (στο SI). α) Να βρείτε την περίοδο και το πλάτος της ταλάνrωσης. β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης χ σε συνάρτηση με το χρόνο, αν για t 0 =0 το υλικό σημείο έχει U = K και κινείται κατά τη θετiκή κατεύθυνση. [Απ: π/ s, 0, m, χ = 0,ημ(4t + π/4), χ = 0,ημ(4t +7π/4), (SI) ].7. Σώμα μάζας m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=πs και πλάτος Α. Προσφέρουμε στο ταλαντούμενο σύστημα ενέργεια Ε εξ =4.10 j, με αποτέλεσμα να έχουμε αύξηση του πλάτους της ταλάντωσης κατά ΔΑ=0,1m. Να βρείτε το αρχικό πλάτος Α της ταλάντωσης. [Απ: 5cm].8. Ένα σώμα μάζας m=1 Kgr εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,4 m. Η αλγεβρική τιμή της ώθησης της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, κατά την μετάβαση του από τη θέση χ=0 στη θέση χ=+ 3 Α είναι Ω=-1 Nsec. Να βρεθούν : α) η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης, β) το παραγόμενο από τη συνισταμένη των δυνάμεων έργο κατά την εν λόγω μετάβαση. Δίνεται ότι Ω=Δp, δηλαδή η ώθηση είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής..9. Υλικό σημείο μάζας m = 0.01kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0, m και περιόδου Τ = π s. α) Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μεταβεί το υλικό σημείο από τη θέση χ 1 =0.1 m στη θέση χ =- 0,1 m, αν δίνεται ότι το υλικό σημείο περνάει από τη θέση χ 1 κινούμενο i)προς τη θετική κατεύθυνση, ii) προς την αρνητική κατεύθυνση. β) Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του υλικού σημείου, όταν περνάει από τις θέσεις χ 1 και χ ; [Απ: π/ s, π/6 s, 4.10-3 Ν, 4.10-3 Ν ].30. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κατά μήκος του άξονα χ χ. Τη χρονική στιγμή t= 0 το υλικό σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 4 cm και η συχνότητα f= Hz. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση χ του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης χ σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Να προσδιορίσετε τη μέγιστη ταχύτητα (κατά μέτρο) του υλικού σημείου και τη χρονική στιγμή t 1 κατά την oποία αυτό θα αποκτήσει αυτήν την ταχύτητα, για πρώτη φορά μέχρι τη χρονική στιγμή t 0 =0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Αρβανιτάκης Διονύσης Φυσικός

10 Κεφάλαιο 1 ο : ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ γ) Να προσδιορίσετε τη μέγιστη επιτάχυνση (κατά μέτρο) του υλικού σημείου και τη χρονική στιγμή t κατά την οποία την αποκτά για πρώτη φορά μετά τη στιγμή t 0 =0. δ) Να υπολογίσετε τη συνολική απόσταση που διάνυσε το υλικό σημείο από τη στιγμή t 0 =0 ως τη στιγμή t=1,5 s. [Απ: χ=4 10 - ημ4πt (SI), 0,16π m/s, 0,5 s, 0,64π m/s, 1/8 s, 0,4 m].31. Υλικό σημείο μάζας m = 10 - kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=0,m.Τη χρονική στιγμή t 0 =0 περνάει από τη θέση χ =0,1 m, κινούμενο κατά τη θετική κατεύθυνση, ενώ τη χρονική στιγμή t 1 = /3 s περνάει από την ίδια θέση κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση χ του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. β) Να γράψετε, για την ταλάντωση που εκτελεί το υλικό σημείο, τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο. i) της απομάκρυνσης χ. ίί) της ταχύτητας υ. iii) της επιτάχυνσης α. γ) Κατά το χρονικό διάστημα της κίνησης από t 0 = 0 μέχρι t = 1/3 s, να βρείτε για τη συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στο υλικό σημείο i) την ώθηση. ii) το έργο (π = 10). Δίνεται ότι Ω=Δp, δηλαδή η ώθηση είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής. [Απ. s, χ = 0.ημ(πt + π/6 ), υ=0,πσυν(πt+ π/6 ), α=-ημ(πτ+π/6), (S.Ι), - 3 π.10 3 Ν.s -15.10 4 J]