Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1
Οικονομική Ποσότητα Παραγγελίας (ΟΠΠ): βασικό μοντέλο 1 2 3 4 απόθεμα λ λ Σταθερός ρυθμός ζήτησης λ λ λ 2
ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Υποθέσεις Σταθερός ρυθμός ζήτησης: λ (μονάδες προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Ο χρονικός ορίζοντας του προβλήματος είναι άπειρος Οι ελλείψεις του προϊόντος απαγορεύονται Οι παραγγελίες για την αναπλήρωση του αποθέματος γίνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα που ονομάζονται κύκλοι ή περίοδοι Η αναπλήρωση του αποθέματος γίνεται στιγμιαία Μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας: c ( ανά μονάδα προϊόντος) Σταθερό κόστος παραγγελίας: K ( ανά παραγγελία) Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: I ( ανά επενδυμένο σε απόθεμα ανά μονάδα χρόνου) 3
ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Υπολογισμός Κόστος διατήρησης αποθέματος: h = Ic ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Απόφαση Ποσότητα παραγγελίας: (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία) Αναφορά Harrs, F. W. 1990 (reprnt from 1913). How many parts to make at once. Operatons Research 38 (6) 947 950. 4
ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Απόθεμα λ Υπολογισμός T Χρόνος Μήκος κύκλου ή περιόδου παραγγελίας: TT = (μονάδες λλ χρόνου ανά κύκλο) Συχνότητα παραγγελιών: NN = 1 = λλ (κύκλοι παραγγελίας TT ανά μονάδα χρόνου) 5
ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Βασικό ζήτημα Αντιστάθμιση μεταξύ του σταθερού κόστους παραγγελίας και του κόστους διατήρησης αποθέματος Απόθεμα T T Χρόνος 6
ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς λ Mnmze G ( ) = K + c λ + h μέσο μεταβλητό 2 G() ολικό μέσο κόστος παραγγελίας μέσο σταθερό κόστος παραγγελίας κόστος παραγγελίας μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος K λ/ h /2 cλ * 7
ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Λύση Συνθήκη βελτιστότητας * dg( ) Kλ h : = 0 + = 0 2 d 2 * * 2Kλ * 2K = T = = h λ hλ ( ) = 2 λ + * * G G K h c λ Επισήμανση: K, λ *, h * 8
Παράδειγμα 1 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Ένας χονδρέμπορος ποτών προμηθεύεται μια μπύρα από μια ζυθοποιία. Ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας είναι αμελητέος. Τα μεταφορικά και άλλα πάγια έξοδα διαμορφώνουν το σταθερό κόστος παραγγελίας σε 144 ανά παραγγελία. Το κόστος αγοράς κάθε φιάλης είναι 1,20. Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου είναι 15% ετησίως. Ο χονδρέμπορος πουλάει την μπύρα σε καταστήματα τροφίμων και εστιατόρια με σταθερό ρυθμό ίσο με 72 κιβώτια των 24 φιαλών ανά μήνα. 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 9
Λύση ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: ΙΙ = 0,15 = 0,0125 ανά ανά μήνα 12 Μοναδιαίο κόστος παραγγελίας: cc = 1,20 24 = 28,8 ανά κιβώτιο. Μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος: h = IIII = 0,0125 28,8 = 0,36 ανά κιβώτιο ανά μήνα. ΟΠΠ: = 2KKKK = (2)(144)(72) h 0,36 = 240 κιβώτια ανά παραγγελία. Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = = 240 = 3,3333 μήνες λλ 72 Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος: GG = 2KKKKK + cccc = (2)(144)(72)(0,36) + 28,8 72 = 2160 ανά μήνα Ελάχιστη τιμή πώλησης: ανά φιάλη GG λλ = 2160 72 = 30 ανά κιβώτιο = 30 24 = 1,25 10
Ανάλυση ευαισθησίας ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο λ * G '( ) = K + h G'( ) = 2Kλh 2 μερικό μέσο κόστος παραγγελίας Έστω ότι επιλέγεται μια τυχαία ποσότητα παραγγελίας * G'( ) 1 = = * + * G'( ) 2 Παράδειγμα: * * * G'( ) 1 2 1 1 = 2 = * + * * = + 2 = 1.25 G'( ) 2 2 2 2 Με λόγια: 100% σφάλμα στην επιλογή του 25% αύξηση στο μερικό μέσο κόστος παραγγελίας Συμπέρασμα: Το κόστος έχει μικρή ευαισθησία στην ποσότητα παραγγελίας και κατ επέκταση σε σφάλματα στην εκτίμηση των παραμέτρων κόστους και του ρυθμού ζήτησης. 11
ΟΠΠ: Περιορισμοί Πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς Έστω ότι mn max ( ) = max mn,, * * constr max mn G() G() G() * mn max * mn max * mn max Εναλλακτικά, έστω ότι T mn T T max ( ) * * Tmn λ Tmax λ constr = max mn, Tmax λ, Tmn λ 12
Παράδειγμα 2 ΟΠΠ: Περιορισμοί Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Επιπλέον: Η ζυθοποιία δεν δέχεται παραγγελίες μικρότερες των 150 κιβωτίων. Η μπύρα δεν είναι παστεριωμένη με αποτέλεσμα να έχει περιορισμένο χρόνο ζωής και ο χονδρέμπορος να μην θέλει να την κρατήσει στο ράφι του περισσότερο από 2,5 μήνες. 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 3. Ποια η αύξηση στο μερικό και ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος που προκαλείται από τους περιορισμούς. 13
Λύση ΟΠΠ: Περιορισμοί mmmmmm = 150 κιβώτια ανά παραγγελία ΤΤ TT mmmmmm = 2,5 μήνες ανά κύκλο mmmmmm = TT mmmmmm λλ = 2,5 72 = 180 κιβώτια ανά παραγγελία cccccccccccc = max mn, mmmmmm, mmmmmm = max mn 240,180, 150 = 180 κιβώτια ανά παραγγελία TT = cccccccccccc λλ GG cccccccccccc = 180 72 = KKKK ανά μήνα cccccccccccc = 2,5 μήνες ανά κύκλο + ccλλ + h cccccccccccc 2 Ελάχιστη τιμή πώλησης: GG cccccccccccc ανά φιάλη λλ = (144)(72) 180 = 2163,6 72 Αύξηση στο μερικό κόστος: GG = 1 GG 2 4,17% Αύξηση στο ολικό κόστος: cccccccccccc + 28,8 72 + (0,36)(180) 2 = 2163,6 = 30,05 ανά κιβώτιο = 30,05 24 = 1,2521 + cccccccccccc = 1 2 GG = 2163,3 GGΓ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής 240 + 180 =1,0417 180 240 2160 = 1,0017 0,17% 14
ΟΠΠ: Χρόνος αναπλήρωσης > 0 Μη-μηδενικός σταθερός χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος τ Ίδιο σαν το βασικό πρότυπο ΟΠΠ μόνο που η παραγγελία δίνεται όταν το απόθεμα κατέλθει στο σημείο αναπαραγγελίας R, όπου λλττ, αν ττ < TT, RR = λ ττ mod TT, αν ττ TT, ττ mod TT = Υπόλοιπο της διαίρεσης ττ: TT Απόθεμα T Απόθεμα T τ mod T R λ τ R λ τ Αποστολή παραγγελίας Χρόνος Αποστολή παραγγελίας Χρόνος 15
ΟΠΠ: Χρόνος αναπλήρωσης > 0 Παράδειγμα 3 Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Να βρεθεί το σημείο αναπαραγγελίας όταν ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας είναι: (α) ½ μήνας και (β) 3½ μήνες. Λύση Ίδια λύση: = 240 κιβώτια ανά παραγγελία και TT = 3,333 μήνες 72ττ, αν ττ < 3,3333, RR = 72 ττ mod 3,3333, αν ττ 3,333, (α) ττ = 1/2: RR = 72 1/2 = 36 κιβώτια (β) ττ = 3,5: RR = 72 3,5 mod3,3333 = 72 0,1666 = 12 κιβώτια 16
ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Υποθέσεις Ίδιες με αυτές του βασικού προτύπου ΟΠΠ με τη διαφορά ότι: Σε περίπτωση έλλειψης προϊόντων οι ζητήσεις ικανοποιούνται με καθυστέρηση (εκκρεμείς παραγγελίες πελατών) Κόστος ανά μονάδα έλλειψης ανά μονάδα χρόνου: b ( ανά μονάδα εκκρεμών παραγγελιών ανά μονάδα χρόνου) Αποφάσεις Ποσότητα παραγγελίας: (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία) Ποσοστό ζητήσεων που ικανοποιούνται άμεσα από το απόθεμα: F 17
ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Απόθεμα/έλλειμμα F (1 F) λ T Χρόνος Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ F (1 F) Mnmze GF (, ) = K + cλ + h F+ b (1 F) F, :0 F 1 2 2 Μόνος περιορισμός: 0 F 1 λ = K + cλ + h + b 2 2 2 2 F (1 F) 18
Λύση ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες, F : * * 2 2 G(, F) Kλ hf + b(1 F) = 0 + = 0 2 2 GF (, ) = 0 hf b(1 F) = 0 F * * * 2 λ + * 2 b K h b K h+ b F = = T = = h+ b h b λ hλ b μέγιστο απόθεμα: F * * = μέγιστο έλλειμμα: (1 F ) b h+ b * * = b (, ) = 2 λ + h + b * * * G G F K h c 2Kλ h h 2Kλ h+ b b 19 λ
ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Οριακές περιπτώσεις bb h: FF 1 και 2KKλλ h = ΟΠΠ bb h: FF 0 και 2KKλλ bb = ΟΠΠ με bb αντί για h 20
ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Παράδειγμα 4 Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Επιπλέον: Σε περίπτωση έλλειψης προϊόντων, οι πελάτες του χονδρέμπορου είναι διατεθειμένοι να παραλάβουν τις παραγγελίες τους με καθυστέρηση. Το μοναδιαίο κόστος ανά μονάδα χρόνου των εκκρεμών παραγγελιών είναι τριπλάσιο από το κόστος διατήρησης αποθέματος. 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας, διατήρησης αποθεμάτων και εκκρεμών παραγγελιών; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας, διατήρησης αποθεμάτων και εκκρεμών παραγγελιών; 21
Λύση ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Μοναδιαίο κόστος έλλειψης: bb = 3h = 3IIII = 3 0,36 = 1,08 ανά κιβώτιο ανά μήνα. Βέλτιστο ποσοστό ζητήσεων που ικανοποιούνται άμεσα από το απόθεμα: FF = bb = 1,08 = 3 = 0,75 h+bb 0,36+1,08 1+3 Βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας: = 2KKKK h 277,128 277 κιβώτια ανά παραγγελία. Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = λλ = 277 72 h+bb = (2)(144)(72) bb 0,36 = 3,8472 μήνες 0,36+1,08 1,08 = Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος: GG, FF = 2KKKKK (2)(144)(72)(0,36) 1,08 0,36+1,08 Ελάχιστη τιμή πώλησης: GG,FF 1,2433 ανά φιάλη λλ bb h+bb + cccc = + 28,8 72 = 2148,4246 ανά μήνα = 2148,4246 72 = 29,8392 ανά κιβώτιο = 29,8392 24 = 22
Υποθέσεις ΟΠΠ: Χαμένες πωλήσεις Ίδιες με αυτές του βασικού προτύπου ΟΠΠ με τη διαφορά ότι: Σε περίπτωση έλλειψης προϊόντων οι ζητήσεις χάνονται (χαμένες πωλήσεις) Κόστος ανά μονάδα έλλειψης : bb LL ( χαμένου κέρδους ανά μονάδα χαμένης πώλησης) Αποφάσεις Ποσότητα παραγγελίας: (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία) Ποσοστό ζητήσεων που ικανοποιούνται άμεσα από το απόθεμα: F 23
ΟΠΠ: Χαμένες πωλήσεις Απόθεμα (1 F)T λ FT T Χρόνος FT=/λ T = /λf N = 1/T = λf/ Πρόβλημα βελτιστοποίησης λf Mnmze GF (, ) = K + cλ+ h F+ bl (1 F) λ F, :0 F 1 2 λ = K + h blλ F + c+ b 2 ( ) L λ 24
Απόθεμα ΟΠΠ: Χαμένες πωλήσεις (1 F)T λ FT T Χρόνος Λύση Συνθήκη FF GG, FF bb LL > 2KKh λλ 1 2KKλλ h 2KKKKh + ccλλ bb LL = 2KKh λλ 0,1 2KKKK h 2KKKKh + ccλλ bb LL < 2KKh λλ 0 αδιάφορο cc + bb LL λλ 25
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Περίπτωση 1: Ενιαία έκπτωση Συνολικό κόστος αγοράς μονάδων, C() = c, όπου C() c0 for b0 < b1 c= c for b < b where c > c > c c2 for b2 1 1 2 0 1 2 c 1 c 2 c 0 b 0 b 1 b 2 26
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Μέσο κόστος παραγγελίας για επίπεδο έκπτωσης jj j Πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς G() G 0 () λ G j( ) = K + λ c j + Ic j, j = 0,1, 2 2 h G ( ) for b < b Mnmze G ( ) = G ( ) for b < b ολικό μέσο κόστος G2( ) for b2 0 0 1 1 1 2 G 1 () G 2 () b 0 b 1 b 2 27
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες G() G 0 () παραγγελίας Λύση ΟΠΠ άνευ περιορισμών για επίπεδο έκπτωσης j: * 2Kλ j =, Ic j = 0,1, 2 Σημείωση: b 3 = j * * j,constr ( j j+ 1) j Δεσμευμένη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας: = max mn, b, b, j = 0,1,2 { } * * * j = arg mn G( ) = G = G ( ) = G ( ) * * * * * * * j j,constr j j,constr j j,constr G 1 () G 2 () b 0 b 1 b 2 28
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Περίπτωση 2: Σταδιακή έκπτωση Συνολικό κόστος αγοράς μονάδων, C(), όπου c1 για 0 < b1 C( ) = cb 1 1+ c2( b1) = ( c1 c2) b1+ c2= a2 + c2 για b1 < b2 cb 1 1+ c2( b2 b1) + c3( b2) = ( c1 c2) b1+ ( c2 c3) b2+ c 3 = a3 + c 3 για b2 < j Για απλούστευση χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό: ( c c ) b, C() j > 0, a1 = 0 a j = 1 1 = 1 c 3 a 3 c 2 a 2 c 1 0 b 1 b 2 29
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Μέσο κόστος παραγγελίας όταν παραγγέλνονται μονάδες, C()/: c1 για 0 < b 1 a 2 C ( ) ( c1 c2) b1 a2 = + c2 = + c2 για b1 < b2 a3 ( c1 c2) b1+ ( c2 c3) b2 a3 + c3 = + c3 για b2 < Ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων λ C ( ) C ( ) G ( ) = K + λ + I 2 αντίστοιχο με το c αντίστοιχο με το c 30
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες G 0 () G() G 1 () G 2 () παραγγελίας b 0 b 1 b 2 λ aj aj Gj( ) = K + λ + cj + I + cj 2 λ Ia j = ( K + aj) + λ cj + Ic j + 2 2 2( K + a ) λ * = j j Ic j 31
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Τελική λύση Το βέλτιστο επίπεδο έκπτωσης jj είναι εκείνο το επίπεδο έκπτωσης jj που δίνει το ελάχιστο GG jj jj για έγκυρη ποσότητα bb jj jj < bb jj+1 { j j j j j 1} = < j * arg mn G ( * ) : b * b + j * * * * * = G = G ( ) = G ( ) * * * j j j 32
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες Παράδειγμα 5 παραγγελίας Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1 εκτός από το κόστος αγοράς ανά φιάλη Η ζυθοποιία που προμηθεύει την μπύρα παρέχει σταδιακή έκπτωση με μοναδιαία τιμή 1,20 ανά φιάλη για τα πρώτα 400 κιβώτια 1,16 ανά φιάλη για τα επόμενα 400 κιβώτια 1,12 ανά φιάλη για τα υπόλοιπα κιβώτια πάνω από 800 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 33
Λύση aa 1 = 0 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας aa 2 = aa 1 + cc 1 cc 2 bb 1 = 28,8 27,84 400 = 384 aa 3 = aa 2 + cc 2 cc 3 bb 2 = 384 + 27,84 26,88 800 = 1152 1 = 2(KK + aa 1 )λλ IIcc 1 = 2 144 + 0 72 0.0125 28,8 = 240 2 = 2(KK + aa 2 )λλ IIcc 2 = (2)(144 + 384)(72) (0.0125)(27,84) = 467,42 3 = 2(KK + aa 3 )λλ IIcc 3 = (2)(144 + 1152)(72) (0.0125)(26,88) = 745,27 1,cccccccccccc = max mn 1, bb 1, bb 0 = max mn 240, 400, 0 = 240 2,cccccccccccc = max mn 2, bb 2, bb 1 = max mn 467,421, 800, 400 = 467,42 3,cccccccccccc = max mn 3, bb 3, bb 2 = max mn 745,271,, 800 = 800 34
ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες Λύση (συνέχεια) παραγγελίας GG 1 1,cccccccccccc = KK + aa 1 λλ 1,cccccccccccc + IIcc 1 2 + cc 1 λλ + IIaa 1 2 = 144 + 0 72 240 + 0,0125 28,8 240 2 + 28,8 72 + 0,0125 0 2 = 2160 GG 2 2,cccccccccccc = KK + aa 2 λλ 2,cccccccccccc + IIcc 2 2 + cc 2 λλ + IIaa 2 2 = 144 + 384 72 467,421 + 0,0125 27,84 467,421 2 + 27,84 72 + 0,0125 384 2 = 2169,54 GG 3 3,cccccccccccc = KK + aa 3 λλ 3,cccccccccccc + IIcc 3 2 + cc 3 λλ + IIaa 3 2 = 144 + 1152 72 800 + 0,0125 26,88 800 2 + 26,88 72 + 0,0125 1152 2 = 2193,6 jj = arg mn GG jj jj=1,2,3 jj,cccccccccccc = arg mn 2160, 2169,54, 2193,6 = 1. 35
Λύση ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας cccccccccccc = jj,cccccccccccc = 1,cccccccccccc = 240. Ίδια λύση με αυτή του αρχικού Προβλήματος 1. GG cccccccccccc = GG jj jj,cccccccccccc Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = cccccccccccc Ελάχιστη τιμή πώλησης: GG cccccccccccc λλ = GG 1 1,cccccccccccc = 2160. λλ = 240 72 = 2160 72 = 3,3333 μήνες = 30 ανά κιβώτιο = 30 24 = 1,25 ανά φιάλη 36
Υποθέσεις ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων n προϊόντα λ, K, c, h : παράμετροι για το προϊόν Περιορισμός προϋπολογισμού ή χωρητικότητας ή άλλο Μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για το προϊόν λ G ( ) = K + c + h =, = 1, 2,, n λ * 2K λ 2 h Ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου G ( 1, 2,, ) = G ( ) n n = 1 37
ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Πρόβλημα δεσμευμένης (με περιορισμούς) βελτιστοποίησης Π.χ. C είναι το ανώτατο όριο του προϋπολογισμού/χωρητικότητας Λύση Περ. 1) n * * * If c C Μη ενεργός περιορισμός,constr = Περ. 2) If n = 1 * * c > C Ενεργός περιορισμός μη εφικτό = 1 Mnmze G(,,, ) subject to c C Σε αυτή την περίπτωση γνωρίζουμε ότι ο περιορισμός είναι δεσμευτικός στη βέλτιστη λύση Πρόβλημα προς επίλυση: Mnmze G(,,, ) υπό τον περιορισμό c = C,,, 1 2,,, 1 2 n n 1 2 n = 1 1 2 n = 1 n n 38
ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με Λύση για την περίπτωση 2 περιορισμό πόρων Εισαγωγή πολλαπλασιαστή Lagrange θ n n Kλ h Mnmze G( 1, 2,, n, θ) = + + θ c C 1, 2,, n, θ = 1 2 = 1 Αναγκαίες συνθήκες βελτιστότητας G K λ h 2K λ = 0, + + θc = 0 =, = 1,2,, n (1) h + c G * 2,constr * 2 2θ = 0 c = C (2) θ = 1 n *,constr ( ) Αριθμητική επίλυση: Δοκιμάζονται διαφορετικές τιμές του θ μέχρι να ισχύουν οι συνθήκες (1) και (2) 39
(1) (2) ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Ειδική περίπτωση: c1 c2 cn c = = = = h h h h 1 2 Σε αυτή την περίπτωση: 2K λ 2K λ 1 1 = = = h 2 c h 1 2 c/ h 1 2 c/ h n * *,constr * * * + θ + θ + θ = m, = 1, 2,, n όπου m= * *,constr * n n * * c,constr C c m C m n = 1 = 1 = = = 1 1+ 2 θ c/ h = 1 C c * 40
Οικονομική Παρτίδα Παραγωγής: ΟΠΠρ με πεπερασμένο ρυθμό παραγωγής 1 2 3 4 5 Σταθερός ρυθμός παραγωγής P P P P Απόθεμα λ λ Σταθερός ρυθμός ζήτησης λ λ λ λ 41
ΟΠΠρ Υποθέσεις Ίδιες με του βασικού προτύπου ΟΠΠ με τη διαφορά ότι: Πεπερασμένος ρυθμός παραγωγής (αναπλήρωσης αποθέματος) P (μονάδες προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) με P > λ Χρόνος προετοιμασίας για την παραγωγή νέας παρτίδας s I Απόθεμα ( ) = ρ max 1 P λ λ /P T=/λ s Χρόνος Μέγιστο απόθεμα: I max = (P λ)/p = (1 λ/p) = (1 ρ), όπου ρ = λ/p συντελεστής απασχόλησης, 1 ρ ποσοστό χρόνου που δεν παράγει η γραμμή 42
ΟΠΠρ Πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς * Οριακή περίπτωση: ( 1 ρ ) λ Mnmze G ( ) = K + cλ + h 2 dg( ) Kλ h(1 ρ) : = 0 + = 0 2 d 2 * * 2 λ * 2 K K = T = = h ( 1 ρ) λ λh( 1 ρ) * * G G ( ) = 2 Kλh(1 ρ) + cλ * 2Kλ 2Kλ lm = lm = = ΟΠΠ! ( 1 ) P P h λ h P 43
ΟΠΠρ Πώς εμπλέκεται ο χρόνος προετοιμασίας s? Ο χρόνος κύκλου T πρέπει να αρκετά μεγάλος για να χωράει το s s s T s s P + λ λ χρόνος λ P + 1 λ = 1 ρ P χρόνος κύκλου χρόνος παραγωγής = Εναλλακτικά: προετοιμασίας max(, ) * * constr mn Tλ T + s T + s = Tρ + s P P s T s T T 1 ρ ( 1 ρ ) mn T = max( T, T ) * * constr mn mn 44
ΟΠΠρ Τι γίνεται αν υπάρχει μέγιστη χωρητικότητα αποθήκευσης I max? mn I max /(1 ρ) max ( ) = max mn,, * * constr max mn Ανάλυση ευαισθησίας Πανομοιότυπη με αυτή του προτύπου ΟΠΠ: Το κόστος έχει μικρή ευαισθησία στην παρτίδα παραγωγής = = + G'( ) 2 * G'( ) 1 * * G'( T) 1 T T = = + * * G'( T ) 2 T T * 45
Παράδειγμα 6 ΟΠΠρ O χονδρέμπορος του προβλήματος 1 σκέφτεται να παράγει ο ίδιος την μπύρα με εξοπλισμό που θα λειτουργεί 20 ημέρες ανά μήνα και έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Η δυναμικότητα παραγωγής είναι 6000 φιάλες ανά μήνα. Το κόστος προετοιμασίας για κάθε νέα παρτίδα παραγωγής ανέρχεται σε 64 ανά παρτίδα παραγωγής και ο χρόνος προετοιμασίας σε 2 ημέρες. Το κόστος παραγωγής κάθε φιάλης είναι 0,6. Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου παραμένει 15% ετησίως. Ο ρυθμός της ζήτησης παραμένει σταθερός και ίσος με 72 κιβώτια των 24 φιαλών ανά μήνα. 46
Παράδειγμα 6 (συνέχεια) ΟΠΠρ 1. Τι μέγεθος παρτίδας σε κιβώτια πρέπει να παράγει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το ολικό μέσο κόστος παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων; 3. Ο εξοπλισμός για την παραγωγή της μπύρας κοστίζει στον χονδρέμπορο 90.000 πέραν της επιδότησης. Μετά από πόσο διάστημα θα αποσβέσει την επένδυση στον εξοπλισμό ο χονδρέμπορος; 47
Λύση ΟΠΠρ Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: ΙΙ = 0,15 = 0,0125 ανά ανά μήνα 12 Μοναδιαίο κόστος παραγωγής: cc = 0,6 24 = 14,4 ανά κιβώτιο. Μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος: h = IIII = 0,0125 14,4 = 0,18 ανά κιβώτιο ανά μήνα. Ρυθμός παραγωγής: PP = 6000 24 = 250 κιβώτια ανά μήνα Συντελεστής απασχόλησης: ρρ = λλ PP = 72 250 = 0,288 ΟΠΠρ: = παρτίδα. 2KKKK = (2)(64)(72) h(1 ρρ) 0,18(1 0,288) = 268,1606 268 κιβώτια ανά 48
Λύση (συνέχεια) ΟΠΠρ Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = λλ = 268 72 Χρόνος προετοιμασίας: ss = 2 20 = 0,1 μήνες = 3,722 μήνες Ελάχιστος χρόνος κύκλου: TT mmmmmm = ss = 0,1 = 0,1404 μήνες 1 ρρ 1 0,288 TT cccccccccccc = max(tt, TT mn ) = max 3,722, 0,1404 = TT = 3,722 μήνες Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος: GG = 2KKKKK(1 ρρ) + cccc = (2)(64)(72)(0,18)(1 0,288) + 14,4 72 = 1071,1675 ανά μήνα Ελάχιστη τιμή πώλησης: 14,8772 24 GG λλ = 1071,1675 72 = 0,6199 0,62 ανά φιάλη = 14,8773 ανά κιβώτιο = 49
Λύση (συνέχεια) ΟΠΠρ Ο χονδρέμπορος παράγοντας ο ίδιος τη μπύρα κερδίζει 2160 1071,1675 = 1088,8325 ανά μήνα. Συνεπώς ο εξοπλισμός θα «βγάλει τα χρήματά του» σε 82,6573 μήνες = 82,6573 12 = 6,888 έτη! 90000 1088,8325 = 50
ΟΠΠρ Ευρετικός κανόνας επιλογής του T με τη μέθοδο των «δυνάμεων του 2» Υπόθεση: Ο χρόνος κύκλου περιορίζεται T να είναι ένα πολλαπλάσιο, που μπορεί να εκφραστεί ως μία δύναμη του δύο, μιας βασική χρονικής περιόδου, δηλαδή, T H = 2 k, για κάποιο k = 0, 1, 2, Ποια δύναμη k να επιλέξουμε? Κανόνας: k 1 * k k : 2 2 2 2 2 k T < T H = T * 1 2 k k 1 2 k k 2 2 2 2 1 Πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η αύξηση του κόστους? Στη χειρότερη περίπτωση: 2 k+ T H Συμπέρασμα: k k 1 * k 1 G'( TH ) 1 2 2 2 1 2 2 Αν T = 2 2 = 1, 06 * + = + = k 1 k G'( T ) 2 2 2 2 2 2 2 G'( T ) 1 2 2 2 1 1 2 G'( T ) 2 2 2 2 2 2 1 k k * k H Αν T = 2 2 = 1, 06 * + = + = k k Χρησιμοποιώντας το καλύτερο T H θα οδηγήσει σε αύξηση του κόστους G το πολύ 6% σε σχέση με το αν χρησιμοποιείτο το T*! 51
Γιατί ο κανόνας της δύναμης ενός ακεραίου είναι καλή ιδέα; Γιατί επιτρέπει τον καλύτερο δυνατό συγχρονισμό / αποσυγχρονισμό παραγγελιών / παραγωγής διαφορετικών προϊόντων (ή διαφορετικών σταδίων) Π.χ., Δύναμη του 3: Παράδειγμα (τρία προϊόντα: Α, Β, Γ) Α: kk = 1 TT Α = 3 1 = 3 BB: kk = 2 TT Β = 3 2 = 9 Γ: kk = 3 TT Γ = 3 3 = 27 Συγχρονισμός Αποσυγχρονισμός kk 0 1 2 3 3 kk 1 3 9 27 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Α Β Γ t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Α Β Γ 52
Πρόβλημα Οικονομικού Προγραμματισμού Παρτίδας (ΠΟΠΠρ) 1 2 3 P 1 P 2 λ 1 λ 3 λ 2 λ 1 λ 2 λ 3 Σταθερός ρυθμός ζήτησης λλ λ 1 λ 3 λ 2 53
ΠΟΠΠρ Υποθέσεις Ίδιες με του ΟΠΠρ με τη διαφορά ότι: n προϊόντα λ, K, c, h, s : παράμετροι του προϊόντος Κυκλικός προγραμματισμός: Όλα τα προϊόντα πρέπει να παραχθούν από την ίδια γραμμή παραγωγής με κυκλικό τρόπο Απλός κύκλος: Κάθε προϊόν παράγεται μόνο μία φορά σε κάθε κύκλο Μοτίβο κύκλου: (1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 ) Υπολογισμός Συντελεστής απασχόλησης για το προϊόν : ρ = λ /P 54
ΠΟΠΠρ Απόθεμα T T T Χρόνος Ισχυρή αλληλεξάρτηση των προϊόντων: Πρέπει όλα να έχουν τον ίδιο χρόνο κύκλου T Αν καθοριστεί το T, τα μεγέθη παρτίδας παραγωγής μπορούν να υπολογισθούν: = λ T 55
ΠΟΠΠρ Ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για το προϊόν Συνολικό ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα προϊόντα n G ( 1, 2,, n) = G( ) Πρόβλημα,,, 1 2 λ G( ) = K + cλ + h 1 2 ( 1 ρ ) Mnmze G (,,, ) subject to = λ T, = 1,2,, n n Λύση Αντικατάσταση του από το λ T και μορφοποίηση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης ως προς το T = 1 2 n 56
ΠΟΠΠρ ΝΕΟ συνολικό ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα προϊόντα λ Mnmze G( T) = G ( ) = K + c + h T n n T λ = 1 = 1 λt ( 1 ρ ) 1 λ = + + T ( 1 ρ ) n n n K T h c = 1 = 1 2 = 1 A = + BT + C (ίδια μορφή με αυτή του προτύπου ΟΠΠ) T Βέλτιστη λύση = 1 n ( 1 ρ ) λ 2 λt 2 K * = 1 * * T = = λt, = 1, 2,, n n λh 57
ΠΟΠΠρ Πώς εμπλέκονται οι χρόνοι προετοιμασίας s? Ο κοινός χρόνος κύκλου T πρέπει να αρκετά μεγάλος για να χωράει όλα τα s λ T T + s T + s = T + s = T + s n n n n n ρ ρ = 1 P = 1 P = 1 = 1 = 1 s = 1 T = T n 1 ρ n = 1 mn T = max( T, T ) = λ T * * * * constr mn,constr constr 58
Πιο πολύπλοκοι κύκλοι ΠΟΠΠρ Υπόθεση Κάθε προϊόν παράγεται m φορές σε κάθε κύκλο λ T m = = = 1 λ m λt T m Ίδια προσέγγιση με αυτή της περίπτωσης του απλού κύκλου (mm = 1, = 1,, nn) Αντικατάσταση του από το λ T/m και μορφοποίηση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης ως προς το T 59
ΠΟΠΠρ ΝΕΟ συνολικό ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα προϊόντα λ m Mnmze G( T) = G ( ) = K + cλ + h T λ T Βέλτιστη λύση n n T = 1 = 1 ( 1 ρ ) 1 λ = + + T n ( 1 ρ ) n n n Km T h c = 1 = 1 2m = 1 * = 1 * n λ( 1 ρ) h = 1 m λt 2m 2 m K * λt T = =, = 1, 2,, n m λ 60
ΠΟΠΠρ Πώς εμπλέκονται οι χρόνοι προετοιμασίας s? Ο κοινός χρόνος κύκλου T πρέπει να αρκετά μεγάλος για να χωράει όλα τα s λt ρt T + s T + s = + s = T + s n n n n n m m m ρ m = 1 P = 1 m P = 1 m = 1 = 1 = 1 T = n n 1 m s = 1 ρ T mn T = max( T, T ) = λ T * * * * constr mn,constr constr 61
ΠΟΠΠρ Πώς να επιλεγούν καλές τιμές των m Χρησιμοποιείται η μέθοδος των «δυνάμεων του 2», δηλαδή τίθεται mm = 2 kk για κάποιο kk 0,1,2, για = 1,, nn Αλγόριθμος για τον υπολογισμό των kk Βήμα 1: Υπολογίζεται ο αδέσμευτος βέλτιστος χρόνος κύκλου κάθε προϊόντος σε απομόνωση και βρίσκεται ο ελάχιστος από αυτούς τους χρόνους TT = 2KK, = 1,, nn h λλ (1 ρρ ) TT εεεεεεεε = mn TT Βήμα 2: Υπολογίζεται η σχετική συχνότητα κάθε προϊόντος σε απομόνωση NN = TT, = 1,, nn TT εεεεεεεε 62
ΠΟΠΠρ Βήμα 3: Στρογγυλοποιείται το NN στην κοντινότερη δύναμη του 2 χρησιμοποιώντας τον κανόνα 2 kk 1 2 NN < 2 kk 2 NN rrrrrrrrrr = 2 kk Παράδειγμα: 1 0 round 0 = 0 : 2 2 = 0.707 < 1.414 = 2 2 = 2 = 1 k N N k N N 0 1 round 1 = 1: 2 2 = 1.413 < 2.828 = 2 2 = 2 = 2 1 2 round 2 = 2 : 2 2 = 2.828 < 5.675 = 2 2 = 2 = 4 k N N Βήμα 4: Βρίσκεται η μεγαλύτερη στρογγυλεμένη συχνότητα NN mmmmmm = max NN rrrrrrrrrr Βήμα 5: Υπολογίζεται το mm mm = NN mmmmmm NN rrrrrrrrrr Βήμα 6: Υπολογίζεται το TT χρησιμοποιώντας τα mm. Το TT θα είναι NN mmmmmm TT εεεεεεεε Βήμα 7: Υπολογίζεται το TT cccccccccccc = max(tt, TT mmmmmm ) Βήμα 8: Υπολογίζονται τα,cccccccccccc = λλ TT cccccccccccc mm και GG(TT cccccccccccc ) 63
round N ELSP Note: To compute n step 3, thnk as follows: * k N = 2, where k s the smallest nteger k such that N < 2 2 round k * The above nequalty can be wrtten as: ( ) ( ) N < 2 2 N 2 < 2 ln N 2 < ln 2 k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ln N 2 < k ln 2 ln N 2 ln 2 < k ( N ) ( ) * k = 1 + ln 2 ln 2 where x floor of x largest nteger x e.g., 4.9 = 4, 4.2 = 4, 4.0 = 4 64
Παράδειγμα 7 ΟΠΠρ O χονδρέμπορος του Προβλήματος 1 σκέφτεται να παράγει ο ίδιος με τον εξοπλισμό του Προβλήματος 6, εκτός από τη μπύρα του Προβλήματος 6, και άλλες 2μπύρες. Οι 3 συνολικά μπύρες έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Μπύρα λλ κιβώτια PP φιάλες KK ανά cc ανά ανά μήνα ανά μήνα παρτίδα φιάλη 1 72 6000 64 0,6 2 2 30 6000 60 0,3 2 3 120 6000 70 1,2 4 ss ημέρες Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου παραμένει 15% ετησίως. 65
Λύση Υπολογισμοί Μπύρα λλ κιβώτια ανά μήνα PP κιβώτια ανά μήνα KK ανά παρτίδα h = IIcc, ρρ = λλ PP, = 1,, nn ΟΠΠρ cc ανά κιβώτιο ss μήνες h ανά κιβώτιο ανά μήνα ρρ ΤΤ μήνες NN kk NN rrrrrrrrrr mm 1 72 250 64 14,4 0,1 0,18 0,288 3,7245 1,4919 1 2 2 2 30 250 60 7,2 0,1 0,09 0,12 7,1067 2,8467 2 4 1 3 120 250 70 28,8 0,2 0,36 0,48 2,4964 1 0 1 4 TT = 2KK h λλ (1 ρρ ), = 1,, nn, TT εεεεεεεε = mn TT NN = NN 2 TT, kk TT = 1 + ln εεεεεεεε ln 2, = 1,, nn NN rrrrrrrrrr = 2 kk, = 1,, nn, NN mmmmmm = maaaa mm = NN mmmmmm NN rrrrrrrrrr, = 1,, nn NN rrrrrrrrrr 66
ΟΠΠρ Λύση (συνέχεια) TT = 2 3 =1 3 =1 mm KK h λλ 1 ρρ mm =8,6169 μήνες TT mmmmmm = 3 =1 TT cccccccccccc mm ss 1 3 =1 ρρ = 9,8214 μήνες = max TT, TT mmmmmm = max 8,6169, 9,8214 = 9,8214 μήνες,cccccccccccc = λλ TT cccccccccccc, = 1,2,3 mm 1,cccccccccccc =359,49 359 2,cccccccccccc =299,579 300 3,cccccccccccc = 299,579 300 ) = 1 GG(TT cccccccccccc μήνα TT cccccccccccc 3 =1 mm KK + TT cccccccccccc 3 =1 h λλ 1 ρρ 2mm 3 + =1 cc λλ = 4817,5701 ανά 67