Η ΑΝΕΠ Η Η Ν Ω Ν Ω ΑΘΗ Α ΑΝIV Ε ε ά ει Ν επ ε β ί 5 (3-9-5) Επώ : Ό α: ΑΝ Ν: ΘΕ ΑΝ Τα π α Chebyshev T ( ) α π ω μ ( ) y y y (,,, ) π [,] Η ω α α α π α μ / d d T ( ) Tm ( ) [ T ( )] Α απ f ( ) 3, [,], α α π α π α Chebyshev: T ( ), T ( ), T ( ), T ( ) 4 3 (5 ) 3 3 ΘΕ ΑΝ Να π α ω aplace u α [, ], α : u(, y) u(, y) u(,) α u(, ) (5 ) ΘΕ ΑΝ3 Να α α όourier F (k) ω α ω μ α) β) f ( ) cos (5 ) (5 )Ν 5 f() 5 ΘΕ ΑΝ4 Να πα α ω π α α μ - - u u y u(,) 3 5 e (5 )
Η ΑΝΕΠ Η Η Ν Ω Ν Ω ΑΘΗ Α ΑΝIV Ε Ν π β ί Ν6 (5-9-6) Επώ : Ό α: ΑέΝ έν: ΘΕ ΑΝ α ω egedre ( ) y y y [,] α [ ( ),,,,3,] έ Να α ω egedre iouville α α α λ Να α απ e α π α π α egedre : P ( ) α P ( ) έ α α π P, P m m Φέ5 ) ΘΕ ΑΝ Να α π α α π α α α α α π κ y y [, ] α α y() α y( ) y ( ) (έ ) Σ α α α απ α α π α f ( ) [, ] Φέ5 ) ΘΕ ΑΝ3 Θ ω α β α π α π ω π a α bέ Η π α (, y, t ) α π ω y b t a π / / y α π α π π α α α π α : (, y) ( a, y) α (,) (, b) έ π πα απ ω π α α y y ω α α (tνί) π α α απ (, y,) ( a / )cos( y/ b) (3έ5 ) ΘΕ ΑΝ3 Να α α Fourier κ h( ) cos ep[ i( y)] dy π α α (έ5 ) ΗΝ αν η Ν α η Ν ί α Ν3Νώ Α ΗΝΕΠ Α
Η Α ΕΠ Η Η Ω Ω ΑΘΗ Α Α IV Ε π µβ ί υ 7 (3-9-7) Επώ υµ : Ό µα: Α : ΘΕ Α A α α υ π µα µ : 4 y + λy µ : y () y ( ) Να µ υ π µα α α χ υ α π υ απ α B υ χ α α α απ υχ υ α αυ υ π µα υ f ( c ), π υ c υχα α µ -µ α α [, ] α : cos + cos (35 ) ΘΕ Α Να φ α µ φ iouville α ω π µα α µ α α α χ υ υ α π α µα µ υ α υ α υ αµ ; a ( ) y + y + (4 λ ) y, y() y (), y () y() + y () b y + ( ) y + ( λ si y ), y() + y (), y() (5 ) Η α η α η ί α 3 ώ Α Η ΕΠ Χ Α
Ε ΘΕ Α a 4 4 y + λy y + λy Η ω α µ φ iouville µ υ υ w ( ) 4 Η αφ αυ ω α µ α υ α α α χ µ φ y ( ) e ρ Επ χ υµ αµ µ υ α υ, απ π µα Sturm-iouville π π α α α π µα χ υ α π α µα µ, α λ χα α π υ υµ α α ρ + 4λ ρ ± i λ ik ik ω λ k, α χ µ φ y ( ) ce + de α α απ α α α α υµ µ α υ µ φ α ω y ( ) Asi( k) + Bcos( k) α α π πα ω y ( ) kacos( k) kbsi( k) π π υ α υ y () χ υµ y() Asi + Bcos B B Ά α y ( ) Asi( k) π υ α υ y ( ) χ υµ cos( k) k ( + ) π,,,,3, α α µ α α µ π µα χ µ α α ( y() y ( ) ) y ( ) Asi( k ) Ά α π,,,, k ( + ) π µ µα α α α π υµ υ α αυ α απ α π υπ χ α χ µ χω π π ω α y ( ) Bcos( ) π υ α µ α π Ά α α χ υµ ( yy, ) wyd ( ) ( ) 4A si ( kd ) 4A cos ( kd ) 4 [ cos(4 )] 4 [ cos(4 )] Ad A + kd A A + kd π 4A A + si(4 k ) 4A A + si[ ( + ) ] 4k 4k 4A A + si( π ( + )) si 4A A A 4k ( yy, ) A A α µ υ Ά α υ α α χ υ µ φ (+ ) π y ( ) si( k ) si,,,3,
b Η υ f ( c ) α απ α ω υ α ω µ υ * (+ ) π c ( y, f ) wy ( ) ( fd ) ( ) 4 si cd 4 c (+ ) π si d (+ ) (+ ) (+ ) π π π si d cos cos (+ ) π (+ ) π ωµα ( + ) π α * (+ ) π c ( y, f ) wy ( ) ( fd ) ( ) 4 si cd 4 c (+ ) π 4c si d ( ) + π π : f ( ) c cy ( ) c + π si (+ ) π 4 ( ) 4 c ( + ) π ( + ) si π
ΘΕ Α ( ) y + y + (4 λ ) y, y() y (), y () y() + y () Η µ φ iouville α py + py + ( λw u) y µ υ ( ) ω α µ φ iouville µ w ( ) 4, u ( ) µ υ α µ α χω y() y () y() y() y () y() + y () y () y () p() det( S) p() Ά α µπ µ α π µ µ α α α χ π α µα µ y + ( ) y + ( λ si y ), y() + y (), y() Έχ υ α π α µα µ α χ αµ α µ φ iouville α χ υµ y ( ) y + (si y ) λy ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) si a b w c b d a µ ( ) e e a ( ) d d d d l + + c µ ( ) e e ee ee l+ + c l c c µ ( ) µ ( ) e α α µ p ( ) a ( ) ( ) e e p ( ) b ( ) µ ( ) ( ) e e w ( ) µ ( ) e si u ( ) c ( ) µ ( ) e
Η Α ΕΠ Η Η Ω Ω ΑΘΗ Α Α IV Επ π υχ ω α Φ β υα υ 8 (6--8) ΘΕ Α A α α υ π µα µ 6 y + λy µ y () y ( ) Να φ µ φ iouville α α υ α π α µα µ υ α υ α υ αµ ; Να υπ µ υ π µα α υ α π υ απ α B Να α απ υ υ α αυ υ π µα υ f ( ) µ [, ] α + cos cos Η α η α η α 3 ώ Α Η ΕΠ Χ Α
a 6 6 y + λy y + λy Η α µ φ iouville µ υ υ w ( ) 6 Η αφ αυ α µ α υ α α α µ φ y ( ) e ρ Επ υµ αµ µ υ α υ, απ π µα Sturm-iouville π π α α α π µα υ α π α µα µ, α λ α α π υ υµ α α ρ + 6λ ρ ± i4 λ ik 4 ik 4 Α λ k, α µ φ y ( ) ce + de α α απ α α α α υµ µ α υ µ φ α y ( ) Asi(4 k) + Bcos(4 k) α α π πα y ( ) 4kAcos(4 k) 4kBsi(4 k) Απ π υ α υ y () υµ y () Ak 4 cos Bk 4 si Ak 4 A Ά α y ( ) Bcos(4 k) α y ( ) 4kB si(4 k) Απ υ α υ y ( ) υµ si(4 k) 4 k π,,,,3, α α µ α α µ π µα µ α α ( y() y ( ) ) y ( ) Bcos(4 k ) Ά α π,,,, k 4 π µ µα α α α π υµ υ α αυ α απ α Θα µ αφ π π α α α υµ π π α π α k α y ( ) B Θα υµ α µ υ ( yy, ) wyd ( ) ( ) 6Bd 6B ( yy, ) 6B B 4 Γ α π π π υ α πα α υπ µα µα π υ α φ α υµ + ( yy, ) wyd ( ) ( ) 6B cos (4 kd ) 8 B [ cos(8 kd )] π 8B + si(8 k ) 8B + si( ) 8B 8k 8k α µ υ ( yy, ) 8B B 8 Ά α υ α α υ µ φ y ( ) 4 π y ( ) cos(4 k ) cos,,,3, 8 8
b Η υ f ( ) α απ α υ α Γ α α υµ * c ( y, f ) wy ( ) ( fd ) ( ) 4 ( + d ) 3 3 f ( ) cy ( ) + + Γ α α υµ * π 4 π π c ( y, f ) wy ( ) ( fd ) ( ) 4 cos ( + d ) cos d cos d + µα π π cos d si π π Γ α π µα α α µ α z Ά α : π π π π cos d z cos zdz d( z si z) sizdz π π π π π zsiz sizdz sizdz cosz π π π [ cosπ cos ] [( ) ] π π α π : c 3 4 ( ) [( ) ] [( ) ] π π 3 3 o cy π ( ) π f ( ) cy ( ) + ( ) 3 + [( ) ] cos 3 π f ( ) + + [( ) ]cos π 3 4 π f ( ) + cos π,3,5, π
Η Α ΕΠ Η Η Ω Ω ΑΘΗ Α Α IV Ε α π µβ υ 8 (6-9-8) ΘΕ Α A α α υ π µα µ 6 y + λy µ y () y ( ) Να µ υ π µα α α υ α π υ απ α B υ α α α απ υ υ α αυ υ π µα υ f ( c ) ( ) µ µ [, ] α c υ α α α α si cos (35 ) ΘΕ Α α aguerre y + ( ) y λy µ [, ) Να α απ υ υ 5 e α π α π υ υµα aguerre: ( ) α ( ) α υ α π ( ), (!) δ m m (5 ) Η α η α η α 3 ώ Α Η ΕΠ Χ Α
ΘΕ Α a 6 6 y + λy y + λy Η α µ φ iouville µ υ υ w ( ) 6 Η αφ αυ α µ α υ α α α µ φ y ( ) e ρ Επ υµ αµ µ υ α υ, απ π µα Sturm-iouville π π α α α π µα υ α π α µα µ, α λ α α π υ υµ α α ρ + 6λ ρ ± i4 λ ik 4 ik 4 Α λ k, α µ φ y ( ) ce + de α α απ α α α α υµ µ α υ µ φ α y ( ) Asi(4 k) + Bcos(4 k) Απ π υ α υ y () υµ y() Asi + Bcos B Ά α y ( ) Asi(4 k) Απ υ α υ y ( ) υµ si(4 k) 4 k π,,,3, α µ y ( ) Asi(4 k ) Ά α π,,, k 4 π µ µα α α α π υµ υ α αυ α απ α α υπ µα µα π υ α φ α υµ ( y, y ) w( ) y ( ) d 6A si (4 k ) d 8 A [ cos(8 k )] d 8π 8A si(8 k ) 8A si( ) 8A 8k 8k α µ υ ( yy, ) 8A A 8 Ά α υ α α υ µ φ π y ( ) si(4 k ) si,,,3, 8 8 b Η υ f ( c ) ( ) α απ α υ α f ( ) cy ( ) * π c ( y, f ) wy ( ) ( fd ) ( ) 6 si c ( d ) 8 8c π 8c π π si ( d ) si d si d µα π si d cos [ cos( ) cos ] ( ) π π π π π
π Γ α π µα α α µ α z Ά α : π π π π si d z si zdz d( z cos z) coszdz π π π π π zcosz coszdz ( π cos( π) ) si z ( π( ) ) π π π ( ) π α 8c π π c ( y, f ) si d si d 8c 8c ( ) + ( ) π π π ΘΕ Α a ( ) b, ( ) ( ) µ ( ) e e e e A e e Ae a w ( ) µ ( ) e b d d ( ) d a lc + l 5 ( ) c ( ) f e c ( f, ) (, ) Ά α ( f, ) c f w fd ee d * 5 (, ) ( ) ( ) ( ) (, ) 6 ( f, ) * 5 c (, f) w ( ) ( fd ) ( ) e ( e ) d (, ) 6 6 ( ) 6 e + e d ( ) e e ( e ) 6e 6 lim ( ) lim lim lim 6 6 6 c 5 6 + 6 36 5 5 f ( e ) cc + + 6 36