ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ Fa ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελ. 5 Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελ. 3. Α3. α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z= + yi. Από υπόθεση ισχύει: z i = + lm(z) ά ρα + y i = + y + y = + y, + y + y = + y + y y+ = + y + y = y y = y y y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η παραβολή με εξίσωση y=. Β. Έστω w = + yi από υπόθεση ισχύει: w w + 3i = i 3w + i ww + 3wi = 3wi + i w + 3i w w + = + y + 3iyi + = + y 6y+ = Παρατηρώ ότι η εξίσωση είναι της γενικής μορφής: + y + A+ By+Γ= με A=, B= 6, Γ = + 6 = 3> Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και 3 ακτίνα ρ= = = Β3. Έστω A(,y ) η εικόνα του z που ανήκει στην παραβολή y= και B(,y ) η εικόνα του w που ανήκει στον κύκλο + y 6y + =. Ισχύει Πρέπει να βρω τα σημεία του επιπέδου που είναι εικόνες των z, w και οι οποίες συμπίπτουν, αφού πρέπει να ισχύει z = w.άρα ζητώ να βρω τα σημεία που είναι κοινά των γεωμετρικών τόπων άρα θα βρω τις λύσεις του συστήματος:

2 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ Fa y= y= y= 6 + y 6y + = = + + = 6 y y= = y y, άρα A, = = = = y=, άρα B, 8 + 6= ( ) = = ή = Β. Αφού Κ(, 3) Α(, ) B(,) τότε KA = ( A K, ya yk) = (, ), KA = + ( ) = KB = ( B K, yb yk) = (, ), KB = ( ) + ( ) = KA KB = (, ) (, ) = ( ) + ( )( ) = + = Άρα KA KB ό AKB οπ τε = 9 δηλ. το ΚΑΒ είναι ορθογώνιο Η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση y = οπότε είναι παράλληλη στον και τέμνει τον yy στο Μ(,) που είναι μέσο του ΑΒ αφού άρα το Μ είναι μέσον του ΑΒ. ΘΕΜΑ Γ A + + B = = = ya + yb + = = = y M Γ. Έστω σημείο Λ τέτοιο ώστε ΚΑΛΒ τετράγωνο τότε M =μέ σονab K + Λ + Λ M = = Λ = Λ = και yk + yλ 3+ yλ 3+ yλ = yλ = Μ=μέ σονκλ ym = = Άρα Λ(, ) που είναι εικόνα του μιγαδικού u = i M

3 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ Fa (t) = 6m / min, t άρα (t) = 6t + c, t () () 6 c = + = = c άρα () (t) 6t, t θεωρ ώ ότι () = Δεδομένης της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, το κινητό Μ και ο παρατηρητής Π βρίσκονται σε οπτική επαφή όταν στο ευθύγραμμο τμήμα ΜΠ μεταξύ των άκρων Μ και Π δεν παρεμβάλλεται σημείο της καμπύλης c. Άρα το τελευταίο σημείο οπτικής επαφής είναι το σημείο Α οπότε η ΠΑ είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Γ. Έστω f() = παραγωγίσιμη στο (, + ) με Η f() =. Cf δέχεται εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο ( ) f() = και εξίσωση A,, > με κλίση y = y= + y= + () Αφού η εφαπτομένη διέρχεται από το Π(,), οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την () άρα = + = = Τότε το A(, ) = Α(, ) Έστω ότι η απομάκρυνση του Μ από το Ο μέχρι να φτάσει στο Α έγινε σε χρόνο t τότε ( t) = όμως από (Γ ) ( t ) = 6t άρα 6t = t = = =,5min 6 Γ3. Ω το χωρίο που διαγράφει η ΠΜ όταν το Μ ξεκινά από το Ο και κινείται μέχρι το σημείο Α. Δημιουργείται από τις κατακόρυφες =, =, από την εφαπτομένη (ε) και την C f (ε) είναι η εφαπτόμενη της Cf στο Α(,) άρα η () γίνεται y = + = + που την ονομάζω g() = y = + 3 f () =, f () = f ()= ( ) = = < για >. Άρα f είναι κοίλη επομένως η εφαπτομένη C g βρίσκεται πάνω από την C f άρα 3

4 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ Fa g() f() > () E () g() f ()d ( g() f ()) d d d d d Ω = = = + = + = 6 + = + = 3 [ ] ( ) ( ) = 8+ 8= + = = τμ Γ. ( ΠΜ ) = ( ) + ( ) = + + = d(), [,] επειδή το σημείο Μ κινείται από το Ο(,) έως το Α(,) Η d() είναι παραγωγίσιμη με + + d = + + = = Θέτω h() = + οπότε d() = h() + + θα βρω το πρόσημο της h() στο [, ] από το οποίο εξαρτάται το πρόσημο της d() h() = < h() = + = 7 > Άρα h()h() < οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (, ) τέτοιο ώστε h( ρ ) = d (ρ)= h παραγωγίζεται στο (,) με 3 3 h () = ( + ) = + = 3 + > για κάθε (,) h συνεχής στο [,] άρα h στο [,]. h γν. αύξ. < < ρ h() < h(ρ) = Για τα,ρ (,) με Δηλαδή h() < στο (, ρ) άρα d() < στο (, ρ) Για τα, ρ (, ) με h γν. αύξ. ρ < < h() > h(ρ) = Δηλαδή h() > στο (ρ, ) άρα d() > στο (ρ, ) ρ d() + d() Επομένως η d() στο ρ (,) παρουσιάζει ελάχιστο. Όμως (t) = 6t ρ Για t = t έχουμε ελάχιστο στο ρ άρα ρ = 6t t =. 6

5 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ Fa ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R (αφού είναι 3 φορές παραγωγίσιμη) άρα είναι παραγωγίσιμη και στο οπότε η Cf στο σημείο με τετμημένη δέχεται εφαπτομένη με κλίση f() και εξίσωση: y f () = f () y f () = f () Πρέπει να βρω τα f(),f () f() Ισχύει lim = + f () f() Θέτω h() = με lim h() = + f () R () και f() = h() τότε () lim f () = lim h() = lim lim h() = + f () = () [ ] Όμως η f είναι συνεχής στο άρα lim f () = f () = f () (3) (3) υπόθεση () f() f() f() Ισχύει f () = lim = lim = + f() = Άρα f() = και f() = Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης y f() = f () γίνεται y = y= Δ. Η f είναι 3 φορές παραγωγίσιμη στο R δηλαδή η f() είναι παραγωγίσιμη στο R άρα f() συνεχής στο R. Επιπλέον f() στο R άρα η f() διατηρεί πρόσημο στο R. Δηλαδή f() < ή f() > στο R. Υποθέτω ότι f() < στο R Επιπλέον f() συνεχής στο R (αφού f παραγωγίσιμη στο R ) άρα f στο R. Θεωρώ την f και το [,] Η f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (, )., τέτοιο ώστε Άρα ισχύει για την f το Θεώρημα Μέσης Τιμής οπότε υπάρχει ξ f() f() f( ξ ) = f( ξ ) = f() f() () f γν.φθίν. () ξ (,) άρα <ξ f () > f ( ξ) f () > f() f() άτοπο αφού από υπόθεση f () < f() f() Έτσι απέκλεισα ότι f() < στο R. Τελικά f() > στο R, επιπλέον η f είναι συνεχής στο R άρα η f είναι κυρτή στο R. Δ3. Η f είναι κυρτή στο R άρα η Cf βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο εκτός από το σημείο επαφής. Αυτό ισχύει και για την εφαπτομένη στο Ο(,) που είναι η y =. Δηλαδή f() για κάθε R και το = ισχύει μόνο για =. Από υπόθεση g() = f() () οπότε g() = f () = () f() R. για κάθε R f() για κάθε 5 () () R g() g() για κάθε ()

6 Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη, Τηλ Fa Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το g() = Επειδή g() για κάθε R και το «=» ισχύει για = έχω ότι g() > για κάθε άρα και για τα κοντά στο. επιπλέον η g() = f() είναι συνεχής ως πράξη συνεχών άρα limg() = g() = τότε lim =+ (3), g() ημ είναι γνωστό ότι lim = () (3) ημ ημ Άρα lim = lim g() =+ g() () Δ. Ισχύει g() για κάθε R f() για κάθε R άρα και για τα [,] όμως η f() δεν είναι παντού στο [,] άρα ( f () ) d > f ()d d > f ()d > f()d > f()d > Δ5. Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την C g, τον άξονα και τις ευθείες = και = είναι E( Ω ) = g()d (όμως g() στο [,]) Άρα E( Ω ) = g()d = ( f () ) d = f ()d f ()d () = 5 όμως E( Ω ) = e () 5 5 () = () e = f()d f()d e e = + = (3) Αφού η f είναι συνεχής στο R έχει αρχική την που είναι και συνεχής στο R οπότε και στο [,] Θεωρώ την X F() = f (t)d παραγωγίσιμη στο R G() = F() = f(t)dt που ορίζεται και είναι συνεχής στο [,] (3) G() = f(t)dt = e = e < G() = f (t)dt > (από το Δ ) άρα G()G() < οπότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano για την G στο [,] άρα υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε ξ G( ξ ) = f(t)dt = f(t)dt = ξ 6