X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

Transcript

1 Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, : A όπου A { } e P, διακριτη ( Ω) e e f d, συνεχης Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας συνάρτησης, είναι η ύπαρξη όλων των ροπών µ της εφόσον e!!! µ Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει για όλες τις κατανομές η ροπογεννήτρια συνάρτηση Για παράδειγμα η sude με βαθμούς ελευθερίας, δεν έχει ροπογεννήτρια για κανένα πεπερασμένο Όμως για παίρνουμε την κανονική κατανομή, που όλες τις οι ροπές συγκλίνουν και η αντίστοιχη ροπογεννήτρια υπάρχει Επίσης έχουμε ότι ( ) ( ) e, όπου ( ) ( ) η τάξης παράγωγος ως προς της Η χαρακτηριστική συνάρτηση της τμ πραγματικής μεταβλητής, ϕ : είναι η μιγαδική συνάρτηση μίας ϕ { } i e P, διακριτη i ( Ω) e i e f d, συνεχης Η χαρακτηριστική συνάρτηση πάντα υπάρχει Για παράδειγμα εάν ~ f ( ) Chrcerisic fucio (cf) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

2 ϕ i i, e f d e f d f d Για παράδειγμα, αν και η Cuchy Lorez δεν έχει καμία ροπή, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει η αντίστοιχη ροπογεννήτρια συνάρτηση, η χαρακτηριστική της συνάρτηση υπάρχει Εάν ~ C(,), δηλαδή η ακολουθεί την τυπική Cuchy Lorez έχουμε: f C(, ), ϕ e, π ( + ) Όταν υπάρχει και η αντίστοιχη ροπογεννήτρια συνάρτηση, τότε ισχύουν οι σχέσεις: ϕ ϕ i i O μετασχηματισμός Fourier της πυκνότητας f είναι * ( ) ϕ i i e f d e f d Εάν γνωρίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier της f, μπορούμε να καταλήξουμε πάλι στην f με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier * i i * i f e d e ϕ d e ϕ d π π π Όμως f έτσι παίρνοντας το συζυγές της προηγούμενης ισότητας έχουμε i f e ϕ d π Δηλαδή εάν γνωρίζουμε μόνο την χαρακτηριστική συνάρτηση ( ) μπορούμε να βρούμε την αντίστοιχη πυκνότητα * ϕ της Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, G : A όπου A και Sude wih degree of freedom Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

3 { } P, διακριτη ( Ω) G f d, συνεχης Το πεδίο σύγκλισης A της G είναι γενικά μη κενό εφόσον,, G f d f d f d δηλαδή [,] A Η τάξης παράγωγος ως προς της G ( z ) στο είναι η -- τάξης παραγοντική ροπή γ + Πράγματι η -- τάξης παράγωγος ως προς είναι ( ) ( ) G + G + Παράδειγμα: Εάν για μία κατανομή είναι γνωστές οι 3 πρώτες παραγοντικές ροπές π, π, π3, να υπολογιστούν οι 3 πρώτες ροπές µ, µ, µ 3 ( ) [ ] γ G µ ( ) [ ] γ G µ µ ( 3 ) 3 [ ] γ 3 G 3 + µ 3 3µ + µ από όπου παίρνουμε: µ γ µ γ + γ µ γ + 3 γ + γ γ γ + 3γ + γ Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 3

4 Παράδειγμα Να υπολογιστούν οι ροπογεννήτριες της Weibull και της Εκθετικής Η πυκνότητα της Weibull είναι b b Wei (, b) e, > b, και d ( d) u b b b τ/ b τ/ b τ/ b bu u b τ / b u b τ e du u e du, τ Γ + b τ τ b b τ b b b e e, Έτσι η ροπογεννήτρια αναπαρίσταται συμβολικά (δεν ξέρουμε ακόμα για ποία συγκλίνει και εάν συγκλίνει) σαν b / b µ Γ +!! b b / b Θέτουμε u Γ +, τότε από το κριτήριο του λόγου, για την απόλυτη! b σύγκλιση της σειράς u, έχουμε: / b Γ / b u b + + b b Γ b b b u + + Γ + Γ + b b / b / b / b / b b b + + b b / b / b / b Όπου χρησιμοποιήσαμε για τη gmm συνάρτηση την ασυμπτοτική προσέγγιση ( ) Γ + lim, Γ / b Όταν b >, έχουμε, όταν, και η σειρά είναι συγκλίνουσα για / b κάθε πραγματικό Για b <, έχουμε όταν,, και η σειρά είναι u + αποκλίνουσα για κάθε πραγματικό Όταν b έχουμε < < u Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 4

5 Στη ειδική περίπτωση που οικογένεια με παράμετρο Τότε b έχουμε Wei (,) E Γ ( + )!, που είναι η εκθετική που δίνει! µ, < <!! Εναλλακτικά, για να υπολογίσουμε τις ροπές της εκθετικής χωρίς την χρήση της Γ συνάρτησης θα είχαμε: { } e e e e d d d e d Ισχύει λοιπόν η αναδρομική εξίσωση για κάθε! Ανακυκλώνοντας την προηγούμενη σχέση βρίσκουμε ξανά Παράδειγμα Να υπολογιστεί οι η ροπογεννήτρια της Gmm κατανομής Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα ροπές e και στη συνέχεια τις Υπολογίζοντας πρώτα τις ροπές µ και μετά αθροίζοντας τους όρους u! µ για Εάν ~ (, ) G b έχουμε: b b Γ Γ, για b > b ( b ) e e e d e d Θέτοντας u b παίρνουμε: u u b u d b b e u e d, < b Γ b b Γ b ( b ) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 5

6 + b b! b ( + ) ( + ) ( + ) ( + ), που δίνει µ! b b Εμφανώς από το διωνυμικό ανάπτυγμα βλέπουμε ότι < < b b b b b τ τ + τ b e d e d, u b Γ Γ u e d Γ ( + τ) ( + ) ( + τ ) Γ b Γ + τ u + τ b τ τ b b, για <, όταν b µ!! b! b + b! b b b b συγκλίνει για b b < < Η Στη ειδική περίπτωση που G, b E b, που είναι η εκθετική οικογένεια με παράμετρο b Σε αυτήν τη περίπτωση έχουμε: b, < < b b b έχουμε Άσκηση Να υπολογιστεί οι η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της Διωνυμικής κατανομής και στην συνέχεια η ροπογεννήτρια, χρησιμοποιώντας την μεταξύ τους σχέση Χρησιμοποιώντας την ροπογεννήτρια συνάρτηση της Διωνυμικής δείξτε ότι το άθροισμα ανεξάρτητων Beroulli έχει διωνυμική κατανομή Εάν Y ~ (, ) Bi τότε GY y y y y y y y Y y y ( ) ( ) ( + ) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 6

7 Γνωρίζουμε ότι Y GY ( e ) GY Y ( log ) Y Y ( ) G e e+, έτσι παίρνουμε: iid Έστω i ~ Beroulli Bi,, i και τότε i i i e+ i i e e e i i i i ( e ) ( e ) Y + + i Δείξαμε λοιπόν ότι, που δίνει Y d Y, ή ότι ~ Bi(, ) Άσκηση Να δειχθεί ότι: Η κατανομή του αριθμού των ανεξάρτητων δοκιμών Beroulli έως την οστή επιτυχία και του αριθμού Y των αποτυχιών έως την -οστή ~, Y ~ NB, ϑ, όπου ϑ η επιτυχία είναι αντίστοιχα Nb( ϑ ) και πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή Beroulli ενώ για παίρνουμε τις ~ Y ~ Geo ϑ, αντίστοιχες Γεωμετρικές παραμετροποιήσεις geo( ϑ ) και όπου, ϑ Nb, ϑ ϑ ϑ, i Nb(, ϑ) ϑ ( ϑ) ( ) ii geo y+ y iii NB( y, ϑ) ϑ ( ϑ) ( y ) iv Geo( ϑ) NB (, ϑ) ϑ( ϑ) y ( y ) Δείξτε ότι PY { y} y 3 Βρείτε την πιθανογεννήτρια και την ροπογεννήτρια συνάρτηση της Y ~ NB, ϑ id 4 Δείξτε ότι εάν i ~ Geo ϑ, για i τότε ~ NB(, ϑ ) Παραμετροποίηση # των ανεξάρτητων δοκιμών Beroulli έως τη οστή επιτυχία i i, Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 7

8 P { } P{ επιτυχίες στις πρώτες δοκιμές, επιτυχία στην δοκιμή} P({ επιτυχίες στις πρώτες δοκιμές} { επιτυχία στην δοκιμή}) P{ επιτυχίες στις πρώτες δοκιμές} P{ επιτυχία στην δοκιμή} (, ϑ) (, ϑ) Bi Bi ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ + + και έτσι Παραμετροποίηση ( ) ( ) ( ), {,,, } Nb(, ϑ) ϑ ( ϑ) ( ) Y # των αποτυχιών έως τη οστή επιτυχία PY { y} P{ y+ } y+ Nb y + y και έτσι y (, ϑ) ϑ ( ϑ), {,,, } y+, y (, ϑ) ϑ ( ϑ) ( y ) NB y, Οι δύο συναρτήσεις μάζας πιθανότητας για γίνονται geo( ϑ ) και Geo( ϑ ) αντιστοίχως ϑ + ϑ ϑ ϑ Επειδή y y y, και y ( ) ( ( )) y y y + + y y y! y! (! ) ( + ) ( + y ) ( + y! ) y+ (! ) y! (! ), y! παίρνουμε Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 8

9 y+ y y+ y ϑ ( ϑ) ϑ ( ϑ) NB( y, ϑ) y y y σημειώστε ότι θέτοντας y+ παίρνουμε την ταυτότητα ϑ ( ϑ) 3 Η πιθανογεννήτρια της Y ~ NB(, ) ϑ είναι y+ GY y y y ϑ y+ y { ( )} ( ) y y ϑ ϑ y ϑ Y y y NB(, ϑ) ϑ ( ϑ) ϑ ϑ { ( ϑ) } ( ϑ ) Θέτοντας u u e, έχουμε: Y ( u) GY ( e ) u { } για ϑ < < ϑ e ( ϑ ) y y ϑ 4 G ( i ) + + G ( ) i i ϑ G ( ) ( ) i Geo ϑ ϑ ϑ έτσι ( ϑ ) ϑ GY G ~ (, ) i i NB ϑ ( ϑ ) Παράδειγμα ( ~ N µσ, ) Εάν να υπολογιστεί η ροπογεννήτρια συνάρτηση συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ροπογεννήτρια συνάρτηση δείξτε ότι [ ] και [ ] Vr σ i Στη µ (, ) e σ π σ e ( µ σ ) µ d σ π + + σ e µ σ µ σ µ µ σ d σ π σ e e N µσ d µ σ d Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 9

10 ( ( µ σ )) µ ( µ σ ) e d σ π σ e e ( ) µ µ σ µ σ σ σ π σ + + d ( µ σ ) N ( µ σ σ ) d e ( µ + σ / ) e + / +, Έτσι έχουμε e µ + σ ( ) ( ) [ ] ( + ) µ + σ µ µ σ + µ + σ µ µ + σ Vr µ µ µ σ µ σ Άσκηση Να αποδειχτούν οι παρακάτω προτάσεις για χαρακτηριστικές συναρτήσεις: Συμμετρικές γύρω από το μηδέν τυχαίες μεταβλητές έχουν πραγματικές και άρτιες χαρακτηριστικές συναρτήσεις Εάν και Y ανεξάρτητες και ισόνομες τμ, τότε η χαρακτηριστική συνάρτηση της τμ Z Y είναι πραγματική Εάν η είναι συμμετρική γύρω από το μηδέν τμ τότε f f δηλ η πυκνότητα της είναι άρτια ϕ * * i i e f d e f d κάνοντας τον μετασχηματισμό u παίρνουμε: d ή ισοδύναμα * iu iu e f ( u) du e f ( u) du { } ϕ ϕ Im ϕ Η ( ) ϕ είναι και άρτια εφόσον iu * ( ) e f ( u) du ϕ ϕ ϕ Επειδή και Y είναι ταυτοτικά κατανεμημένες, έχουν την ίδια χαρακτηριστική ϕ συνάρτηση, που συμβολίζουμε με Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

11 * i( Y) i iy i iy * Z e e e e e ϕ ϕ ϕ ϕ Άσκηση Δίνεται ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση της τμ είναι ϕ, βρεθεί η πυκνότητα της τμ f e d π, αντικαθιστώντας έχουμε: Γνωρίζουμε ότι i ϕ ( ) ( ) { } i i i f + e e d e d e d π π + ( ) i ( + i) e e π i i + + π i + i C(,) π + Άσκηση Δίνεται ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση της τμ είναι ϕ ( ) e ( iα β ), Να βρεθεί η πυκνότητα της τμ β [Απάντηση: f C( αβ, ) ] π β + α e Να Άσκηση Δίνονται ανεξάρτητες τμ,,, πραγματικοί αριθμοί,,, και ότι Y + + Δείξτε ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση της Y είναι ϕy i ϕ i i Εάν,, είναι και ισόνομες, με χαρακτηριστική συνάρτηση, τότε ϕy ϕ ( ) e( i ) e( i ) ϕ Y i i i i i i e( i ) i i i ϕ i i i Προφανές από την Παράδειγμα (ΕΚΤΟΣ) Να βρεθεί η χαρακτηριστική συνάρτηση της τυπικής Cuchy Lorez κατανομής ϕ και Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

12 f C,, π Έστω ~ C (,) τότε iz Θέτουμε ( + z ) ( + ) iz e g z ; e f z, z και υπολογίζουμε το μιγαδικό π ολοκλήρωμα της g( z ; ) ως προς z πάνω στη C + iz iz iz e e e g ( z; ) dz dz dz dz πi z i πi z+ i πi z i C C C C Θέτοντας g( z ; ) iz e z i έχουμε g zdz g zdz i s g z z i ( ; ) ( ; ) π Re { ( ; ); } πi C πi ( z i) g( z) e C + + lim ; lim e iz z i z i Επειδή C + AB BA θα έχουμε: ( ; ) ( ; ) + ( ; ) ( ; ) ( ; ) + C AB BA z BA Όμως g z dz g z dz g z dz g z dz e g z dz dz g z; dz g z; dz, z + BA BA BA Όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

13 ( ϑ + ϑ ) ( ( ϑ) ) ( ( ϑ) ) ( z ( ϑ )) ( ) e iz e i z cos isi e z si e i z cos e si ϑ π ( ϑ) ( ϑ) zsi( ϑ) iϑ z re BA si z si e Έτσι έχουμε g ( z; ) dz m dz π m, z + z + BA z BA BA z Επειδή όμως z BA z έχουμε z ( z + ) z + + z z + z + z π g ( z; ) dz, BA Παίρνοντας λοιπόν το όριο της εξίσωσης ( ; ) ( ; ) έχουμε ότι g z dz e g z dz z όταν BA g z; dz e, z Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία υπολογισμού του μιγαδικού ολοκληρώματος g z ; ως προς z πάνω στη C της iz iz iz e e e g ( z; ) dz dz dz dz πi z i πi z+ i πi z+ i C C C C Θέτοντας g( z ; ) iz e + z + i έχουμε g zdz g zdz i s g z z i ( ; ) ( ; ) π Re { ( ; ); } πi C πi ( z i) g( z) e C + + lim + ; lim e iz + z i z i Επειδή C BA AB θα έχουμε: ( ; ) ( ; ) + ( ; ) ( ; ) ( ; ) g z dz g z dz g z dz g z dz e g z dz C BA AB z AB Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 3

14 ( ; ) ( ; ) g z dz e + g z dz Όμως z AB dz g z; dz g z; dz, z + AB AB AB Όπου στην τελευταία ανισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι ( ϑ ϑ ) ( ( ϑ) ) ( ( ϑ) ) ( + ) ( z ( ϑ )) iϑ π ϑ ( ϑ) ( ϑ) e iz e i z cos isi e z si e i z cos e si zsi( ϑ) z re AB si z si e Έτσι έχουμε g ( z; ) dz m dz π m, z + z + AB z AB BA z Επειδή όμως z AB z έχουμε z ( z + ) z + + z z + z + z π g ( z; ) dz, AB Παίρνοντας λοιπόν το όριο της εξίσωσης ( ; ) + ( ; ) έχουμε ότι Τελικά έχουμε: g z dz e g z dz z όταν AB g z; dz e, z e, g ( z; ) dz e( ) z e, Άσκηση Δείξτε ότι η τυπική Cuchy Lorez κατανομή δεν έχει ροπογεννήτρια Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 4

15 Θέτουμε g f Τότε [ ] όπου g + m{, g} και g m {, g } mi {, g } + f > g f ( > ) g f < f < + g d g d g d d d π + + [ ] (απροσδιόριστο), επειδή d log ( + ) +, u d d du u d d d ( π ) π + π + π d π π drc π + Εναλλακτικά [ ] d lim d lim d, τ π > + π + π τ + + lim log log ( τ), τ > (απροσδιόριστο udefied) π + τ π Πολυδιάστατες ροπογεννήτριες, πιθανογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις Η,, T ή από κοινού ροπογεννήτρια των τμ,,, είναι η πραγματική συνάρτηση στις ροπογεννήτρια συνάρτηση 3 της τμ ( ) πραγματικές μεταβλητές, με 3 ome geerig fucio (mgf), Πιο συγκεκριμένα :,,,, A και Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 5

16 T,, (,, ) e e e,, T ή από κοινού χαρακτηριστική των τμ,,, είναι η μιγαδική συνάρτηση ϕ,, στις πραγματικές μεταβλητές,, Πιο συγκεκριμένα ϕ και Η χαρακτηριστική συνάρτηση 4 της τμ ( ) i i T,, (,, ) e e e( i ) :,, ϕ ϕ Μπορεί να αποδειχθεί ότι η από κοινού χαρακτηριστική συνάρτηση ϕ,,,, ορίζει με μοναδικό τρόπο την από κοινού κατανομή της τμ (,, T ) Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα έχουμε ότι: Οι τμ,, είναι ανεξάρτητες εάν και μόνον εάν η από κοινού χαρακτηριστική συνάρτηση παραγοντοποιείται στις αντίστοιχες περιθώριες χαρακτηριστική συναρτήσεις (,, ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ,, οι τμ και Y έχουν την ίδια κατανομή (είναι ισόνομες) όταν έχουν ίσες χαρακτηριστικές συναρτήσεις 5 ϕ ϕ Y Y F F y Y Όταν υπάρχει η ροπογεννήτρια συνάρτηση, τότε τα προηγούμενα συμπεράσματα μπορούν να εξαχθούν και από την ροπογεννήτρια συνάρτηση d Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση 6 της τμ ( ),, T ή από κοινού πιθανογεννήτρια των τμ,,, είναι πραγματική συνάρτηση G στις πραγματικές μεταβλητές, έτσι ώστε G,,,,, G G :,,,, A όπου A και 4 Chrcerisic fucio (cf) 5 Δηλαδή υπάρχει μια ένα προς ένα και επί σχέση (bijecio) μεταξύ κατανομών και χαρακτηριστικών συναρτήσεων 6 Probbiliy geerig fucio (gf) Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 6

17 Το πεδίο σύγκλισης A της G ( ) είναι γενικά μη κενό, γιατί [ ],,,, Για να το δούμε ας υποθέσουμε ότι [ ],,,, τότε: (,, ),, G f d d,,,, (,, ),, f d d f,, d d < Εφαρμογή Δείξτε ότι η συνθήκη,,,,,, για κάθε ( ) συνθήκη Θα το δείξουμε για Αρκεί να δείξουμε ότι l l Y, s, Y s Y Y Πράγματι l l sy sy Y, ( s, ) e e! l l! l l l sy s l Y l l!! l l!!, A είναι ισοδύναμη με την, για κάθε l, εάν ισχύει ότι σχέση δίνει: l l για κάθε Y Y l,, η προηγούμενη Y, ( s, ) l l l l s Y s Y l!!! l! l l l l sy sy e e Y ( s)! l! l Παρατήρηση: Δύο τμ και Y είναι ανεξάρτητες εάν και μόνον εάν l l Y Y για κάθε ( l, ) Αυτός είναι ο λόγος που γενικά Y Y ) δεν είναι γραμμικά ασυσχέτιστες τμ και Y (δηλαδή [ ] [ ] [ ] γενικά και ανεξάρτητες Άσκηση Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 7

18 Εάν η Y ακολουθεί την λογαριθμοκανονική (logorml disribuio) κατανομή Y e ~ LN µσ, ~ N µσ, Να βρεθούν οι ροπές, η μέση τιμή και η όπου διασπορά της Y / Y e e µ + σ όπου κατανομής [ Y] e µ + σ /, και [ ] µ + σ µ + σ / µ + σ Vr Y e e e σ e η ροπογεννήτρια της κανονικής Τα επόμενα έως το τέλος του PDF είναι εκτός Τι πληροφορία μα δίνουν οι ροπογεννήτριες συναρτήσεις για την κατανομή? Εάν η ροπογεννήτρια συνάρτηση είναι πεπερασμένη στα «σωστά σημεία», τότε για κάθε > (όχι αναγκαστικά ακέραιος), οι απόλυτες ροπές < θα είναι πεπερασμένες Εμφανώς τότε και f d f d < < εφόσον Πρόταση: Έστω ότι υπάρχουν < Τότε η ροπογεννήτρια είναι πεπερασμένη για κάθε σημείο του διαστήματος,, [ ] Δηλαδή ( ) < για όλα τα [ ] < τέτοια ώστε, ( ) < και Για κάθε [, ] υπάρχει λ [,] τέτοιο ώστε λ ( λ) συνάρτηση g e είναι κυρτή, δηλαδή + Επειδή η g e >, θα έχουμε ότι και Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 8

19 ( λ ( λ) ) λ ( λ) g g + g + g Παίρνοντας μέσες τιμές έχουμε ( λ ( λ) ) λ ( λ) + +, και επειδή ( ) < και ( ) < θα έχουμε και Ορίζουμε το χώρο πυκνοτήτων { f Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν q τότε q < < Θα δείξουμε τώρα ότι εάν και οι ροπές όλων των τάξεων, δηλαδή ότι Θέτουμε mi {, } τότε [, ] ( ± ) < και παρατηρούμε ότι e ( l) < πυκνότητα: <} για q, δηλαδή < < και ( ) <, l l + e για κάθε l,,!! παίρνοντας μέσες τιμές έχουμε l l > + ( )!! <, τότε υπάρχουν < για κάθε,,, ± και από την προηγούμενη πρόταση ( l) l Έτσι < που δίνει l l < < για κάθε l, Δηλαδή < για κάθε Εάν όμως υπάρχουν όλες οι ροπές αυτό δεν μας εγγυάται την ύπαρξη της ροπογεννήτριας σε διάστημα [, ] με < < Παράδειγμα Εάν Y ~ LN (,) (τυπική logorml), δείξτε ότι υπάρχουν όλες οι ροπές, δηλαδή Y <, αλλά Y όταν > ενώ για έχουμε Y ( ) < (δηλαδή Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 9

20 δεν υπάρχει διάστημα [, ] [, ] ) με < < τέτοιο ώστε / Y e e < όπου τυπική κανονικής κατανομής e Γενικά εάν Y ( ω) για κάθε ω Ω (ισοδύναμα PY { } της Y συγκλίνει για Πράγματι Y Y Y < e < e Τώρα για > log e Y e y LN y y Y, dy e y y y π e dy < για κάθε Y / η ροπογεννήτρια της ), η ροπογεννήτρια Θέτοντας y u e έχουμε: ( u u e u u Y ) e e ( e du ) e e u du u u u e π π 3 Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που u >, έχουμε e u + u+ u + u και έτσι 6 3 e u u u u * * + u + + u Ζητάμε u τέτοιο ώστε όταν u > u να ισχύει η 6 3 u u u ανισότητα e u + u Αρκεί τότε να ισχύει + u + + u + u 6 * που είναι ισοδύναμο με το να ζητήσουμε u 3 ( ) u Θέτοντας K m, u *, παίρνουμε ότι για > : { } u Y e e u du u π u + u e e u du e du u K u K π π Δηλαδή στην περίπτωση της Logorml κατανομής, η ροπογεννήτρια δεν παράγει τις ροπές, εφόσον για να γίνει αυτό θα πρέπει να υπάρχει σε Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

21 κάποιο διάστημα που να περιέχει το μηδέν Το «παράδοξο» είναι ότι όλες οι ροπές υπάρχουν Η ροπογεννήτρια συνάρτηση είναι πεπερασμένη σε κάποιο ανοικτό διάστημα που περιέχει το μηδέν, εάν και μόνον εάν, η ουρές της κατανομής (he ils of he disribuio) είναι εκθετικά φραγμένες, δηλαδή υπάρχουν θετικοί πραγματικοί b αριθμοί Κ και b, τέτοιοι ώστε, P{ > } Κ e (Ικανό) Αποδεικνύουμε ότι εάν b P{ > } Κ e Εάν τ > με τ (, ), τότε < για κάθε (, ) τ < και τ e P P e e e τ e τ τ τ { > } { > } ( τ ) Εάν τ > με τ (, ), τότε τ < και τ e P P e e e e τ τ τ { < } { > } ( τ ) τ Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο ανισότητες, έχουμε { } τότε και τ τ ( τ + τ ) τ P > e τ + e τ e τ τ + e Κe b Με b τ > και ( τ + τ ) ( τ ) ( τ ) Κ + > e b (Αναγκαίο) Αποδεικνύουμε ότι εάν P{ > } Κ e τότε υπάρχει διάστημα (, ) τέτοιο ώστε για κάθε (, ) να έχουμε > > Κ Έστω >, τότε b Έχουμε P{ } P{ } e { > } + { > } e P e y dy P e y dy y y ( y) log ( y) log + P > dy + e b dy Κ y y < Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

22 b / y dy b +Κ Κ +Κ, εφόσον b y b > b Έχουμε P{ } P{ } e < > Κ Έστω <, τότε { > } + { > } e P e y dy P e y dy y y ( y) log b + P < dy + e log ( y) dy Κ y y b/ b +Κ y dy Κ +Κ, εφόσον b y b > Παρατηρούμε ότι P e b b b { > } Κ +Κ +Κ, > P e b b { < } Κ +Κ, < b Δηλαδή όταν P{ } e Άσκηση > Κ έχουμε +Κ b για < b Δείξτε ότι οι ροπές της τυπικής Cuchy είναι πεπερασμένες για < < d d d π + π + π + π π d d d π < + + π 4 π 4 Αρκεί να δείξουμε ότι π d < + 4 Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις

23 Πράγματι η συνάρτηση g( ) g ( ) log είναι g για < <, εφόσον <, και έτσι για < < έχουμε > >, που δίνει π d d rc rc Σπυρίδων Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙI Ροπογεννήτριες συναρτήσεις 3