Δειγματοληπτικές κατανομές Κατανομές που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο υποθέσεων στα δείγματα Κανονική κατανομή (z-κατανομή) t-κατανομή Χ κατανομή F-κατανομή Ζητάμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της κατανομής ενός πληθυσμού (π.χ. μ και σ) από τις αντίστοιχες παραμέτρους δειγμάτων που παίρνουμε από τον πληθυσμό (X και S)
Κανονική κατανομή (Gauian ditribution) μ=μέση τιμή σ=τυπική απόκλιση y Ν(μ,σ) x μ-σ μ-σ μ μ+σ μ+σ 68.7% 95.45%
Τυποποιημένη κανονική κατανομή (Standardied Gauian ditribution) If XZ=(X-μ)/σ τότε y Y e Ν(0,) z μ=0 σ= z -σ -σ 0 σ σ 68.7% 95.45%
Standardied Gauian ditribution P(-Z<z<0)=P(0<z<Z) y P(0<z<Z) από τον πίνακα P(z<-Z)=0.5- P(0<z<Z) -Z 0 Z P(z>Z)=0.5-P(0<z<Z) z P(z<Z)=0.5+P(0<z<Z) P(z>-Z)=0.5+P(0<z<Z)
Δεύτερο δεκαδικό ψηφίο του z Standardied Gauian ditribution Τιμή του z με ένα δεκαδικό ψηφίο z z 0 3.. 9 Πιθανότητα p(0<z<z) 0 0.0000 0.0040 0.0080 0.00 0.0359 0. 0.0398 0.0438 0.0478 0.057 0.0754 0. 0.0793 0.083 0.087 0.090 0.4 0.3 0.79 0.7 0.55 0.93 0.57 0.4 0.554 0.59 0.68 0.664 0.879 0.5 0.95 0.950 0.985 0.09 0.4 0.6 0.58 0.9 0.34 0.357 0.549...... 3.9 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Standardied Gauian ditribution Παράδειγμα: Μια παράμετρος ακολουθεί την κανονική κατανομή με μ=0 min και σ=.3 min. Ποια είναι η πιθανότητα μια τιμή να βρίσκεται μεταξύ 8 και 3? P(8<x<3) =? x=8z = (8-0)/.3 = -0.87 x=3z = (3-0)/.3 =.3 P(8<x<3) = P(-0.87<z<.3) = P(-0.87<z<0) + P(0<z<.3) = P(0<z<0.87) +P(0<z<.3) = 0.308 + 0.403 = 0.7
Πίνακας z-κατανομής
t-κατανομή t X x όπου x Όταν το δείγμα είναι μικρό Ν<30 ή όταν δεν γνωρίζουμε το σ του πληθυσμού 0 ν ΒΕ ν ΒΕ Το t a (ν) δηλώνει την κρίσιμη τιμή δεξιά της οποίας είναι το a.00% του εμβαδού κάτω από την γραφική παράσταση t-κατανομήκανονική κατανομή για ν>0 a/ a/ -ta ta
ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (freedom degree) Βαθμοί ελευθερίας (ν): ο αριθμός των ανεξάρτητων μετρήσεων του δείγματος (i.e. Μέγεθος δείγματος) μείον τον αριθμό k των παραμέτρων του πληθυσμού που πρέπει να υπολογιστούν από τις μετρήσεις του δείγματος (π.χ. μέση τιμή, απόκλιση) ν=-k
0.89...658...980.358.67 Ο πίνακας παρέχει τις κρίσιμες τιμές ta της t-κατανομής για διάφορες τιμές στάθμης σημαντικότητας (a) ΒΕ a δίπλευρος 0. 0.0 0.05 0.0 0.0 μονόπλευρος 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 3.078 6.34.706 3.8 63.657.886.90 4.303 6.965 9.95 3.638.353 3.8 4.54 5.84 4.533.3.776 3.747 4.604 5.476.05.57 3.365 4.03 6.440.943.447 3.43 3.707 7.45.895.365.998 3.499 8.397.860.306.896 3.355.....
X -κατανομή x ( ) ν ΒΕ ν ΒΕ Το x a (ν) δηλώνει την κρίσιμη τιμή δεξιά της οποίας είναι το a.00% του εμβαδού 0 (-a)x00% ax00% x
Ο πίνακας παρέχει τις κρίσιμες τιμές της X κατανομής για διάφορες τιμές στάθμης σημαντικότητας (a) ΒΕ a 0.995 0.0 0.05 0.0 0.005 0.706 3.84 6.635 7.879 0.00 4.605 5.99 9.0 0.597 3 0.07 6.5 7.85.345.838 4 0.07 7.779 9.488 3.77 4.860 5 0.4 9.36.070 5.086 6.750 6 0.676 0.645.59 6.8 8.548 7 0.989.07 4.067 8.475 0.78 8.344 3.36 5.507 0.090.955.....
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ) Στατιστική διαδικασία που χρησιμοποιεί τα δεδομένα του δείγματος για να εκτιμήσει την αξιοπιστία μιας υπόθεσης που έγινε για τον πληθυσμό H 0 : μηδενική υπόθεση (null hypothei) (hypothei under examination) H : εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothei) (αντίθετο ενδεχόμενο της Η 0 ) Ορίζονται πριν τον έλεγχο στη στάθμη σημαντικότητας a που είναι η μέγιστη πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι
Σφάλματα κατά τον έλεγχο υποθέσεων Σφάλμα τύπου Ι: απορρίπτουμε την Η 0 ενώ είναι αληθής Σφάλμα τύπου ΙΙ: δεχόμαστε την Η 0 ενώ είναι ψευδής Πιθανότητα να έχουμε σφάλμα τύπου Ι= α Πιθανότητα να έχουμε σφάλμα τύπου ΙΙ=β Πραγματική κατάσταση της Η 0 Αληθής Η 0 Ψευδής Η 0 Στατιστική απόφαση Απόρριψη Η 0 Αποδοχή Η 0 Σφάλμα τύπου Ι με πιθανότητα α Σωστή απόφαση με πιθανότητα -α Σωστή απόφαση με πιθανότητα -β Σφάλμα τύπου ΙΙ με πιθανότητα β Παράδειγμα: Όταν α=0.05 ή 5% και απορριφθεί η Η0 τότε είμαστε 95% σίγουροι ότι έχουμε πάρει τη σωστή απόφαση ή Η Η0 απορρίπτεται στη στάθμη σημαντικότητας α=0.05, με πιθανότητα να έχουμε κάνει λάθος 5%
ΟΡΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Στάθμη σημαντικότητας - Significance level (α): αν η Η 0 απορριφθεί ενώ είναι αληθής, τότε η πιθανότητα να κάνουμε λάθος είναι α% (δηλαδή εκφράζει την πιθανότητα μια εκτιμώμενη παράμετρος να μην ανήκει στο διάστημα [-z, z] ) Επίπεδο σημαντικότητας - Confidence level (-α)% : αν η Η 0 απορριφθεί ενώ είναι αληθής, τότε η πιθανότητα να είναι σωστή η απόφαση είναι -a, (δηλαδή εκφράζει την πιθανότητα η εκτιμώμενη παράμετρος να ανήκει στο διάστημα [-z, z] ) -α α/ α/ π.χ. Απορρίπτουμε την Η0 -z μ z Confidence interval Απορρίπτουμε την Η0 α=0.05 (-α)=0.95=95%
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Δίπλευρος έλεγχος (Two ided tet): όταν εξετάζουμε ισότητα (αν μια παράμετρος είναι ίση με έναν αριθμό) περιοχή απόρριψης και στα δύο άκρα της κατανομής a/ -a a/
Μονόπλευρος έλεγχος (One ided tet): όταν εξετάζουμε ανισότητα (μια παράμετρος είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από έναν αριθμό) a -a περιοχή απόρριψης στη μια άκρη της κατανομής a -a
Βήματα επεξεργασίας στους ελέγχους υποθέσεων Υπολογισμός της παραμέτρου που θα ελεγχθεί στο δείγμα Ορίζονται η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση Ορίζεται η στάθμη σημαντικότητας α Ορίζεται το είδος του ελέγχου (μονόπλευρος ή δίπλευρος) Ορίζεται η δειγματοληπτική κατανομή που θα χρησιμοποιηθεί Ορίζονται οι βαθμοί ελευθερίας (αν απαιτείται) Υπολογίζονται οι κρίσιμες τιμές από πίνακες Υπολογίζονται οι ζώνες αποδοχής/απόρριψης της Η0 Εξάγεται το τελικό συμπέρασμα
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ t-tet (: ή z-tet): εξετάζουν τη σημαντικότητα της μέσης τιμής χ tet: εξετάζουν τη σημαντικότητα της διασποράς
ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΌΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ H 0 : x (μέση τιμή δείγματος με μέγεθος )=μ (μέση τιμή του πληθυσμού) H : xμ t X Απόρριψη της H 0 x where x Απόρριψη της H 0 Δίπλευρος έλεγχος t a (-) από τον πίνακα της t- κατανομής για διπλό έλεγχο Αν -t a (-)<t< t a (- ) H 0 γίνεται αποδεκτή -ta Αποδοχή της H 0 ta αλλιώς H 0 απορρίπτεται
Παράδειγμα: Η μέση τιμή θερμοκρασίας το Μάϊο σε ένα σταθμό είναι ẋ=3. C και η τυπική απόκλιση S=.87 για =4 μετρήσεις. Να ελεγχθεί αν η μέση τιμή διαφέρει στατιστικά από τη μέση τιμή της θερμοκρασίας της περιοχής τον ίδιο μήνα μ= C Λύση: 0. 586 Δίπλευρος έλεγχος σε x στάθμη σημαντικότητας Η 0 : ẋ=μ Η : ẋ μ α=0.05 x t-tet t. 89 x βε=ν-=4-=3 Απόρριψη Η0 Κρίσιμη τιμή του t από τον πίνακα για ta=.069 -ta ta δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 και 3 βε Επειδή -ta<t<ta η H 0 γίνεται αποδεκτή Αποδοχή Η0 Απόρριψη Η0
Πίνακας t-κατανομής
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ. H 0 : x>μ H : xμ Όπως στο δίπλευρο έλεγχο Απόρριψη της H 0 -ta ta Αποδοχή της H 0. H 0 : x<μ H : xμ Αποδοχή της H 0 Απόρριψη της H 0 Μονόπλευρος έλεγχος t a (-) από τον Πίνακα για μονόπλευρο έλεγχο Αν t> t a (-) H 0 αποδεκτή αλλιώς H 0 απορρίπτεται Αν t<- t a (-) H 0 αποδεκτή αλλιώς H 0 απορρίπτεται
Παράδειγμα: Η μέση τιμή ελάχιστης θερμοκρασίας τον Ιανουάριο σε ένα σταθμό είναι ẋ= -0.6 C και η τυπική απόκλιση S= 0.63 για = μετρήσεις. Να ελεγχθεί αν η μέση τιμή του δείγματος είναι στατιστικά μικρότερη της τιμής 0 C Λύση: x 0. 8 Η 0 : ẋ<0 x c Η : ẋ 0 t-tet t 3. 389 x Μονόπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 βε=ν-=-= Αποδοχή Η 0 Κρίσιμη τιμή του t από τον πίνακα για t a = -.796 -ta μονόπλευρο έλεγχο και α=0.05 και βε Επειδή t < -t a η H 0 γίνεται αποδεκτή Απόρριψη Η 0
Πίνακας t-κατανομής
Αν το δείγμα προέρχεται από κανονικά κατενεμημένο πληθυσμό με γνωστό σ Z-tet X Z x όπου ή αν >30 x Οπως στο t-tet Αλλά για σταθερό z a Που εξαρτάται μόνο από το a και όχι από τους ΒΕ a=0.0 a=0.05.58.96 (δίπλευρος).33.64 (μονόπλευρος) Δίπλευρος: If -Z a <Z< Z a H 0 αποδεκτή Μονόπλευρος: z > z a or z < -z a αποδεκτή ανάλογα με τη φορά της ανισότητας στο Ho
Πώς προκύπτει η τιμή.96 για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05? a/ a/ P(0 < z < z a ) = 0.5 - a/ = 0.5-0.05/ = 0.475 -Z a Z a Από τον πίνακα της κανονικής κατανομής για P=0.475, z a =.96 a Z a Πώς προκύπτει η τιμή.64 για μονόπλευρο έλεγχο και α=0.05? P(0 < z < z a ) =0.5 a = 0.5-0.05 = 0.45 Από τον πίνακα της κανονικής κατανομής για P=0.45, z a.64
Πίνακας z-κατανομής.64.96
Παράδειγμα: Υποτίθεται ότι ένα συγκεκριμένος αστέρας έχει σήμα έντασης 0, όπως το αντιλαμβάνεται ένα αστεροσκοπείο στη γη. Η ένταση του σήματος ακολουθεί κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=4. Να ελεγχθεί αν το σήμα που έχει μετρηθεί 0 φορές ανεξάρτητα, με μέση ένταση, είναι το ίδιο με το σήμα του συγκεκριμένου αστέρα. Λύση: Δίπλευρος έλεγχος σε x 0.89 στάθμη σημαντικότητας Η 0 : ẋ=μ Η : ẋ μ α=0.05 z-tet x z. 79 x Κρίσιμη τιμή του z για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 Z a =.96 Απόρριψη Η 0 Επειδή -.96<z<.96 η H 0 γίνεται αποδεκτή -ta ta Αποδοχή Η 0 Απόρριψη Η 0
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ H 0 : =σ H : σ Δίπλευρος έλεγχος x (-a/)(-) και x (a/)(-) από τον πίνακα με - ΒΕ x ( ) Αν x (-a/)(-)< X < x (a/)(-)> H 0 αποδεκτή Acceptance of H 0 αλλιώς H 0 απορρίπτεται X (-a/) X a/
Παράδειγμα: Σε ένα δείγμα η τιμή της διακύμανσης είναι =8.4. Να ελεγχθεί αν η διακύμανση αυτή είναι στατιστικά σημαντική ίση με την τιμή διακύμανσης του πληθυσμού σ =4. Το μέγεθος του δείγματος είναι Ν=4. Δίπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας Λύση: α=0.05 και βε=ν-=4-=3 Η 0 : =σ Η : σ x -tet x ( ) Δύο κρίσιμες τιμές του x για δίπλευρο έλεγχο, βε=3 και α=0.05 47.38 x a/ = x 0.05= 38. Επειδή x >x a/ η H 0 απορρίπτεται Απόρριψη Η 0 x -a/ x -a/ = x 0.975=.7 x a/ Αποδοχή Η 0 Απόρριψη Η 0
Πίνακας x -κατανομής α
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ. H 0 : >σ H : σ Μονόπλευρος x (-a)(-) από τον πίνακα με - β.ε Αν X >x (-a)(-)> H 0 είναι αποδεκτή Acceptance of H 0 X (-a). H 0 : <σ H : σ x a(-) από τον πίνακα με - β.ε Acceptance Αν X <x a(-) H 0 είναι αποδεκτή of H 0 X a
Παράδειγμα: Αν η διακύμανση ενός δείγματος μεγέθους είναι =0.3969, να ελεγχθεί αν η διακύμανση αυτή είναι μικρότερη της διακύμανσης του πληθυσμού σ =. Λύση: Η 0 : <σ Η : σ ( ) x -tet x 4. 36 Κρίσιμη τιμή του x για δίπλευρο έλεγχο, βε= και α=0.05 x a = x 0.05= 9.7 Μονόπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 και βε=ν-=-= x a Αποδοχή Η 0 Απόρριψη Η 0 Επειδή x <x a η H 0 γίνεται αποδεκτή.
Πίνακας x -κατανομής α
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΩΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ t ample, d ample, H 0 : = H : Δίπλευρος έλεγχος F > F> Υπολογίζεται η κρίσιμη τιμή F a στη στάθμη σημαντικότητας α για ΒΕ - (αριθμητής) και - (παρονομαστής) από τον πίνακα της F κατανομής Αν F <F a=0.05 H 0 αποδεκτή. Διαφορετικά απορρίπτεται. Ισχύουν και τα παρακάτω: Αν F 0.05 <F <F 0.0 H 0 πιθανόν να ισχύει Αν F >F 0.0 Η 0 απορρίπτεται
F-κατανομή ΒΕ αριθμητή= ΒΕ=... a() 0.0 0.05 0.0 0.0. a() 0.05 0.05 0.0 0.005 6 648 4050 600. 8.5 38.5 98.5 99 3 0. 7.4 34. 55.6. 4 7.7.. 3.3 5 6.6 0 6.3.8. 6 5.99 8.8 3.7 8.6..... ΒΕ παρανομαστή
Παράδειγμα: Από δύο πληθυσμούς μιας μεταβλητής, κανονικά κατανεμημένους, έχει ληφθεί ένα δείγμα από το καθένα. Αν τα δείγματα είναι ανεξάρτητα και έχουν διακυμάνσεις =.79 και (Ν =) και =.48 (Ν =8) να ελεγχθεί αν οι διακυμάνσεις είναι στατιστικά ίσες. Αν ναι, να υπολογιστεί η διακύμανση των πληθυσμών σ από τους οποίους προέρχονται. Δίπλευρος έλεγχος σε Λύση: Η 0 : = Η : στάθμη σημαντικότητας F-tet Επειδή > α=0.05 F.09 βε (αριθμητή)=ν -=-=0 βε (παρανομαστή)=8-=7 Υπολογίζεται η κρίσιμη τιμή του Fa για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 F a = F 0.05= 4.76 Επειδή F<F 0.05 η H 0 γίνεται αποδεκτή. ( ) ( ) S ().79 (8 ).48.66 8
δίπλευρος έλεγχος Πίνακας F-κατανομής βε αριθμητή βε παρανομαστή
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ H 0 : > H : F > F> Μονόπλευρος έλεγχος για α=0.05 F 0.05 βε= -(αριθμητής) Αν F >F 0.05 Η 0 γίνεται αποδεκτή βε= - (παρονομαστής) από τον πίνακα της F κατανομής
Παράδειγμα: Δύο δείγματα είναι ανεξάρτητα και προέρχονται από κανονικά κατανεμημένους πληθυσμούς με μέγεθος Ν =5 Ν =3. Εχουν τυπικές αποκλίσεις =5.3 και =7.94. Να ελεγχθεί αν η τυπική απόκλιση του ενός δείγματος είναι στατιστικά μεγαλύτερη από αυτή του δεύτερου δείγματος. Λύση: F-tet F Η 0 : > Η :.36 Κρίσιμη τιμή του Fa για μονόπλευρο έλεγχο και α=0.05 Επειδή > F a = F 0.05=.94 Επειδή F>F 0.05 η H 0 γίνεται αποδεκτή. Μονόπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 βε (αριθμητή)=ν -=3-=30 βε (παρανομαστή)=ν -=5-=4
ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ t ample x,, d ample x,, H 0 : x =x H : x x. Οταν οι διακυμάνσεις είναι στατιστικά ίσες τότε: t ( x ). ( ). x ( ) -t a t a t a (Ν+Ν-) από τον Πίνακα για δίπλευρο έλεγχο - t a <t< t a Acceptance of H 0
Παράδειγμα: Για δύο ανεξάρτητα δείγματα ισχύει: ẋ =4.07, =343.099 και Ν =30 και ẋ = 76.6, =5458.46, Ν =0. α ελεγχθεί αν οι μέσες τιμές της εξεταζόμενης μεταβλητής διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. Λύση: Έλεγχος διακυμάνσεων F-tet Η 0 : = Η : Επειδή < F.737 Κρίσιμη τιμή του Fa για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 Επειδή F<F 0.05 η H 0 γίνεται αποδεκτή. Οι διακυμάνσεις είναι ίσες. Δίπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 βε (αριθμητή)=ν -=0-=9 βε (παρανομαστή)=ν -=30-=9 F a = F 0.05=.3
Έλεγχος μέσων τιμών t-tet Η 0 : ẋ = ẋ Η : ẋ ẋ Δίπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 t ( ) x x ( ) S ( βε=ν +Ν -=30+0-=48 ).88 Επειδή -ta<t<ta η H 0 γίνεται αποδεκτή. Συνεπώς τα δείγματα έχουν στατιστικά ίσες τιμές, άρα προέρχονται από πληθυσμούς με ίσες μέσες τιμές Κρίσιμη τιμή του t από τον πίνακα για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 και 48 βε ta=.0 Τα δείγματα μπορούν να ενωθούν σε ένα δείγμα του οποίου η μέση τιμή είναι: x x x 55.8
ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ H 0 : x =x H : x x. Οταν οι διακυμάνσεις δεν είναι στατιστικά ίσες τότε: t* x x * όπου * Οι τιμές των t (Ν-) και t (-) υπολογίζονται από τον Πίνακα για δίπλευρο έλεγχο -t* a t* a - t* a <t*< t* a Acceptance of H 0 ta * t t
Παράδειγμα: Για δύο ανεξάρτητα δείγματα ισχύει: ẋ =7., =0 και Ν =7 και ẋ = 98., =660. και Ν =3. α ελεγχθεί αν οι μέσες τιμές της εξεταζόμενης μεταβλητής διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. Λύση: Έλεγχος διακυμάνσεων F-tet Η 0 : = Η : Επειδή < F 3.5 Δίπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 βε (αριθμητή)=ν -=3-= βε (παρανομαστή)=ν -=7-=6 Κρίσιμη τιμή του Fa για δίπλευρο έλεγχο F a = F 0.05=.4 και F a = F 0.0=.9 Επειδή F>F 0.05 και F>F 0.0 η H 0 απορρίπτεται. Οι διακυμάνσεις είναι άνισες.
Έλεγχος μέσων τιμών t-tet Δίπλευρος έλεγχος σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 Η 0 : ẋ = ẋ Η : ẋ ẋ t* x x.76 ta * Επειδή t* a >t* η H 0 απορρίπτεται Τα δείγματα δεν έχουν στατιστικά ίσες τιμές Κρίσιμη τιμή του t και t από τον πίνακα για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 t Για βε=ν -=3-= t =.074 Για βε=ν -=7-=6 t =.056 t.07
ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΜΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ t ample x,κ, Κ=,...Ν d ample x,κ, Κ=,...Ν d K =X,K -X,K H 0 : d=0 H : d 0 όπου d ( x k x k K K ) t d k d d -t a t a όπου - t Acceptance a <t< t a of H 0 t a (Ν-) από τον Πίνακα για δίπλευρο έλεγχο d k ( d k d) ( )
Παράδειγμα: Σε μια ομάδα υπερτασικών ατόμων Ν=5 χορηγείται κάποιο φάρμακο. Μετρήθηκε η αρτηριακή τους πίεση πριν και μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. Να ελεγχθεί αν οι μέσες τιμές των δύο δειγμάτων είναι στατιστικά ίσες Πριν 7. 6.5 4.8 6 4.9 4. 4 5.3 5. 6. 3.8 4. Μετά 6.8 7. 7 9. 5. 4 3.6 4.4 5.7 4.9.6 8.8 4.7 3.8 5.6 Λύση: Τα δείγματα δεν είναι ανεξάρτητα. Ελεγχος κατά ζεύγη. Μετά- Πριν (d k ) -0.3 0.6. 3. 0.3-0..6 0.4 0.4-0..6.7 0.9-0.3 3.6 H 0 : d=0 (μη στατιστικά σημαντική διαφορά) H : d 0 (στατιστικά σημαντική διαφορά)
d ( x k x k K K ) d k d t k ( d k d) ( ) d d 3.5 0.338 βε=ν-=5-=4 Κρίσιμη τιμή του t από τον πίνακα για δίπλευρο έλεγχο και α=0.05 και 4 βε ta=.45 Επειδή t > ta η H 0 απορρίπτεται Τα δείγματα δεν έχουν στατιστικά ίσες τιμές
Παράδειγμα: Στον επόμενο πίνακα φαίνονται τα βάρη 8 ανθρώπων πριν σταματήσουν το κάπνισμα και πέντε βδομάδες αφού σταμάτησαν το κάπνισμα. Να ελεγχθεί σε α=0.05 αν το βάρος του καπνιστή που σταματά το κάπνισμα αυξάνει. Πριν 74 88 75 58 65 64 60 66 Μετά 77 90 74 6 66 68 6 64 Λύση: Τα δείγματα δεν είναι ανεξάρτητα. Ελεγχος κατά ζεύγη. Μετά- Πριν (d k ) 3-3 4 - H 0 : d>0 (αυξάνει το βάρος μετά το κόψιμο του καπνίσματος) H : d 0
d ( xk xk) dk.5 K K d t k ( d k d) ( ) d d.05.07 βε=ν-=8-=7 Κρίσιμη τιμή του t από τον πίνακα για μονόπλευρο έλεγχο και α=0.05 και 7 βε ta=.895 Επειδή t > ta η H 0 ισχύει Άρα στηρίζεται στατιστικά η άποψη ότι το βάρος του καπνιστή μετά το κόψιμο του τσιγάρου αυξάνει