Έλεγχοι Χ 2 (Μέρος 1 ο ) 28/4/2017

Transcript

1 Έλεγχοι Χ 2 (Μέρος 1 ο ) 28/4/2017

2 2 Έλεγχοι Χ 2 Οι έλεγχοι που μπορούν να πραγματοποιηθούν είναι οι εξής: 1. Έλεγχος Χ 2 καλής προσαρμογής 2. Έλεγχος Χ 2 ανεξαρτησίας 3. Έλεγχος Χ 2 ομογένειας Αυτό που ελέγχεται και στις τρεις περιπτώσεις Χ 2 ελέγχων είναι η στατιστική σημαντικότητα των αποκλίσεων (διαφορών) μεταξύ των συχνοτήτων που παρατηρήθηκαν στο δείγμα και των αντίστοιχων συχνοτήτων που αναμένονται με βάση τη μηδενική υπόθεση

3 3 Έλεγχος Χ 2 καλής προσαρμογής (1) Έστω ότι μια πειραματική δειγματοληπτική μονάδα μπορεί να ταξινομηθεί ως προς ένα χαρακτηριστικό σε ακριβώς μία από k κατηγορίες r 1, r 2,, r k και έστω p i η πιθανότητα ταξινόμησής της στην κατηγορία r i, i = 1, 2,, k ή αλλιώς, έστω ότι σε μία εκτέλεση μιας πολυωνυμικής δοκιμής εμφανίζεται ακριβώς ένα από k δυνατά αποτελέσματα r 1, r 2,, r k και έστω p i η πιθανότητα εμφάνισης του αποτελέσματος r i, i = 1, 2,, k

4 4 Έλεγχος Χ 2 καλής προσαρμογής (2) Έστω επίσης, ότι n πειραματικές / δειγματοληπτικές μονάδες ταξινομήθηκαν ως προς το χαρακτηριστικό αυτό και οι Ο 1 ταξινομήθηκαν στην κατηγορία r 1, οι Ο 2 στην κατηγορία r 2, και οι Ο k στην κατηγορία r k ή αλλιώς, έστω Ο 1, Ο 2,, Ο k οι παρατηρηθείσες συχνότητες των αποτελεσμάτων r 1, r 2,, r k σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις μιας πολυωνυμικής δοκιμής

5 5 Έλεγχος Χ 2 καλής προσαρμογής (3) Αν p 10, p 20,, p k0 γνωστές πιθανότητες με σk i=1 p i0 = 1, τότε, σε επίπεδο σημαντικότητας α, η μηδενική υπόθεση είναι η H 0 : p 1 = p 10, p 2 = p 20,, p k = p k0 με εναλλακτική την H 1 : p i p i0, για τουλάχιστον ένα i, i = 1,2,,k H H 0 απορρίπτεται αν X 2 = σk i=1 O i E i 2 και εφόσον Ε i = n p i0 5, για κάθε i = 1,2,,k E i 2 χ k 1;a Με Ε 1, Ε 2,, Ε k συμβολίζουμε τις αναμενόμενες συχνότητες των αποτελεσμάτων r 1, r 2,, r k αν θεωρήσουμε ότι η μηδενική υπόθεση Η 0 είναι αληθής

6 6 Έλεγχος Χ 2 καλής προσαρμογής (4) Αν οι υπό τη μηδενική υπόθεση πιθανότητες p 10, p 20,, p k0 δεν είναι γνωστές, εκτιμώνται από τις p i0 (με βάση το δείγμα) και η απορριπτική περιοχή του ελέγχου σε επίπεδο σημαντικότητας α ορίζεται από την ανισότητα k X 2 = i=1 O i E i 2 E i 2 χ k 1 m;a και εφόσον Ε ι = n p i0 5, για κάθε i = 1, 2,, k Με m συμβολίζουμε τον αριθμό των παραμέτρων που πρέπει να εκτιμηθούν για να μπορούν να εκτιμηθούν οι αναμενόμενες συχνότητες

7 7 Παράδειγμα 1 Σύμφωνα με ένα μοντέλο κληρονομικότητας, οι τρεις τύποι απογόνων Α, Β και Γ που προκύπτουν από διασταύρωση ορισμένου είδους πειραματόζωων, πρέπει να βρίσκονται σε αναλογία 9:3:4, αντίστοιχα Σε ένα σχετικό πείραμα, από 64 απογόνους που προέκυψαν, 34 βρέθηκαν να είναι τύπου Α, 10 τύπου Β και 20 τύπου Γ Σε επίπεδο σημαντικότητας 1%, αυτά τα πειραματικά δεδομένα δίνουν άραγε σημαντικές αποδείξεις εναντίον του μοντέλου κληρονομικότητας

8 8 Παράδειγμα 2 (1) Από τα αρχεία της Επιθεώρησης Εργασίας καταγράφηκε ο αριθμός εργατικών ατυχημάτων που συνέβησαν ανά ημέρα στη βιομηχανική ζώνη Α τα έξι περίπου τελευταία χρόνια (1500 εργάσιμες ημέρες) Τα αποτελέσματα αυτής της καταγραφής φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί Αριθμός ατυχημάτων σε μια ημέρα Παρατηρηθείσα συχνότητα

9 9 Παράδειγμα 2 (2) Έστω Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό εργατικών ατυχημάτων που συμβαίνουν σε μια ημέρα στη συγκεκριμένη βιομηχανική ζώνη Μας αναφέρουν ότι οι πιθανότητες που προκύπτουν για τις τιμές της Υ από τα παραπάνω δεδομένα, περιγράφονται πολύ ικανοποιητικά από την κατανομή Poisson με λ=1 Ελέγξτε την υπόθεση αυτή σε επίπεδο σημαντικότητας 5%

10 10 Παράδειγμα 3 Δίνεται ένα τυχαίο δείγμα 28 μετρήσεων της συγκέντρωσης υδραργύρου στο συκώτι αρσενικών δελφινιών (σε microgr/gr) Μπορούμε άραγε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% να ισχυριστούμε ότι το δείγμα αυτό προέρχεται από μια κανονική κατανομή;

11 11 Έλεγχος Χ 2 ανεξαρτησίας (1) Έστω ότι μια πειραματική δειγματοληπτική μονάδα μπορεί να ταξινομηθεί ως προς δύο χαρακτηριστικά Α και Β από τα οποία το Α μπορεί να πάρει r 2 διαφορετικές τιμές (κατηγορίες) Α 1, Α 2,, Α r και το Β μπορεί να πάρει c 2 διαφορετικές τιμές (κατηγορίες) Β 1, Β 2,, Β c Έστω δηλαδή ότι μια πειραματική / δειγματοληπτική μονάδα μπορεί να ταξινομηθεί σε ακριβώς μία από r c διαφορετικές κατηγορίες (Α i, B j ), i =1,2,...,r και j = 1,2,,c

12 12 Έλεγχος Χ 2 ανεξαρτησίας (2) Αν n πειραματικές / δειγματοληπτικές μονάδες ταξινομήθηκαν ως προς τα δύο αυτά χαρακτηριστικά Α και Β και Ο ij από αυτές ταξινομήθηκαν στην κατηγορία (Α i, B j ), ή αλλιώς, αν Ο ij η παρατηρηθείσα συχνότητα της κατηγορίας (Α i, B j ), τότε σε επίπεδο σημαντικότητας α, η μηδενική υπόθεση είναι η H 0 : τα χαρακτηριστικά Α και Β είναι ανεξάρτητα με εναλλακτική την H 1 : τα χαρακτηριστικά Α και Β δεν είναι ανεξάρτητα 2 H H 0 απορρίπτεται αν X 2 O = σ ij E ij 2 i,j χ E r 1 c 1 ;a ij και εφόσον Ε ij 5, για όλα τα i και j Με Ε ij συμβολίζουμε την εκτιμώμενη αναμενόμενη συχνότητα της κατηγορίας (Α i, B j ) αν θεωρήσουμε ότι η μηδενική υπόθεση Η 0 είναι αληθής

13 13 Έλεγχος Χ 2 ανεξαρτησίας (3) Αν p i είναι η πιθανότητα μια πειραματική μονάδα να ταξινομηθεί στην κατηγορία Α i του χαρακτηριστικού Α, q j η πιθανότητα μια πειραματική μονάδα να ταξινομηθεί στην κατηγορία Β j του χαρακτηριστικού Β και p ij η πιθανότητα μια πειραματική μονάδα να ταξινομηθεί στην κατηγορία Α i του χαρακτηριστικού Α και συγχρόνως στην κατηγορία B j του χαρακτηριστικού Β, τότε οι υποθέσεις του ελέγχου ανεξαρτησίας των χαρακτηριστικών Α και Β είναι ως εξής: H 0 : p ij = p i q j, για κάθε i και j με εναλλακτική την H 1 : p ij p i q j, για τουλάχιστον ένα i και j Επίσης πρέπει να ισχύει E ij = n p i q j 5, όπου p i = R i και q n j = C j n (R i είναι η παρατηρηθείσα συχνότητα της κατηγορίας Α i και C j η παρατηρηθείσα συχνότητα της κατηγορίας B j )

14 14 Παράδειγμα 4 (1) Στο πλαίσιο της έρευνας για την πρόληψη της γρίπης, έγινε μια μελέτη για να ελεγχθεί η αποτελεσματικότητα ενός νέου αντιγριπικού εμβολίου το οποίο χορηγείται σε δύο δόσεις Σε 1000 τυχαία επιλεγμένους κατοίκους μιας περιοχής δόθηκε η δυνατότητα να κάνουν το εμβόλιο δωρεάν και εθελοντικά Για κάθε κάτοικο, η ερευνητική ομάδα κατέγραψε πόσες δόσεις του εμβολίου έκανε (καμία, μία ή δύο) και αν αρρώστησε ή όχι από τη γρίπη Τα καταγεγραμμένα αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

15 15 Παράδειγμα 4 (2) Αριθμός δόσεων Ανθεκτικότητα Αρρώστησε Δεν αρρώστησε Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δίνουν αυτά τα δεδομένα σημαντικές αποδείξεις ότι η ανθεκτικότητα των κατοίκων στον ιό της γρίπης εξαρτάται από τον αριθμό των δόσεων αντιγριπικού εμβολίου που έκαναν;

16 16 Παράδειγμα 5 Μια πολιτική παράταξη παρήγγειλε μια δημοσκόπηση για να μπορέσει να ανακαλύψει εάν η εικόνα της είναι η ίδια σε όλα τα οικονομικά στρώματα του πληθυσμού Από τη δημοσίευση προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα Αρνητική εικόνα Θετική εικόνα Χαμηλό εισόδημα Μέσο εισόδημα Υψηλό εισόδημα Είναι η εικόνα της παράταξης, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, ανεξάρτητη από το εισόδημα των πολιτών;