Μ 6 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων Ιωάννης Σταυρακάκης Αντώνης Παναγάκης Bscs o Sochsc Processes clug Mrov Bsc Newor Moelg Perormce vluo Desg Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6 PAR A BASICS O SOCHASIC PROCSS Probbly rom vrbles: Beroull rls; Posso Sochsc Processes: epee cremes; Weer & Posso Processes; sory & ergocy Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ
PAR Β Mrov Processes - Ppers Dscree / Couous me Mrov Processes Mrov Decso Queug moels perormce evluo Ppers o moelg eworg evromes???? Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 3 Merl e-clss Iroucory revew or probbles Sochsc Processes oes. Reerece boo: ``Probbly Rom Processes smo heory or geers H. Sr J. Woos Prece Hll eo 994. 3 chpers o Posso / Mrov processes rom Irouco o Sochsc Processes. Clr Chper o Mrov Decso probbly rom "Irouco o Operos Reserch". Hller G. Leberm Reserch rcles o Newor moelg perormce evluo Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 4
Reserch Ppers - 3 Α.3. Iervl vlbly esmo or proece coecos opcl ewors Α.4. Improveme o LRU cche or he eeco corol o log-lve hgh bwh lows Α.5. ergy-svg by low-power moes ADSL Ε.. A Mrov pproch or bes- chel seleco cogve ro ewors Ε.. r pce scheulg Wreless Mesh Newors Ε.3. A hybr NMCHO sohr vercl hover echque or heerogeeous wreless ewors Ε.4. ergy ece ewor cog-bse MAC or cooperve ARQ wreless ewors Ε.5 Perormce Alyss o O-he-spo Moble D Olog Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5 Reserch Ppers 3 Ε.6. Moelg comprso o ce seleco lgorhms opporusc roug Ε.7. Mrov Ch-bse perormce lyss o mulhop I 8.5.4 wreless ewors Ε.8. hroughpu lyss moble hoc ewors wh recol es Ε.9. Dymc-cos-rewr coeco msso corol or mmzg sysem rewr 4G wreless mulhop relyg Ε.. rus-bse s Auheco or Mulower Wreless Newors Ε.. Coe-peerg Dymcs o Auoomous Cches Coe-cerc Newor Ε.. Ise Pger Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6 3
he pcure c' be splye. RLAIV RQUNC-BASD probbly # epermes whch A occurs P A lm ol # o eperme Commes:. Requres epermeo. s usully e ppromo Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 7 3. Covergece mples h s -> : A P A occurs less & less No h : A P A rol eo o covergece Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 8 4
AIOMAIC DINIION O PROBABILI PROBABILI SPAC Probbly Spce: ΩP Ω: Smple spce : σ-el geere by Ω P: A probbly mesure. I s se uco o ssyg: P A A P P A B P A P B A B A B Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 9 BRNOULLI RIALS Coser smple eperme wh Ω=s Ps=p & P=-p=q Coser ep. epermes: Ω =ΩΩ=ssss possble oucomes Coser ep. epermes: Ω =Ω Ω= possble oucomes... s Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5
Jo Probbly: P P... P P... P ep. epermes Queso: Prob. o successes rls =? A Coser per Π oucome Ω coug successes ss... s s... P P ss... ss... p q hs prob. s he sme or AN per wh successes & - lures B Coser ll possble legme pers. here re:! Cll hem!! Boml coeces... Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ Aswer: P oucome muully sjo hs successes P rls P p q b p Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6
POISSON PROBABILI LAW Moelg lrge umber o smll corbuos Assume -> p-> such h p= =re o success P successes Comme: lm p p b e! I lrge p<< pprome bp e-p p** /! Cummulve rrvls corbue by lrge # o epee sources c be moele s Posso Above plus oher properes o Posso process me goo rc eve geeror moel Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 3 RANDOM VARIABLS RV A mppg rom Ω o he rel umbers ssyg: P C Mesures or RV: PD: p : P PM : P y y or scree - vlue RV Ω A ] R Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 4 7
8 SOM PROPRIS O PD jump hs uless rgh couous s o - ecresg P P P P Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5 AMPL-PD he pcure c' be splye. A o - ecresg A P P Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6
SOM PROPRIS O p - Are= P sce s o - ecresg Are P Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 7 MOR ON RVs Cool & jo PD/p/PM; epecos; momes mome geerg ucos & chrcersc ucos AMPL: Gve B= clcule /B /B ANSWR: / B / B P B P B P B P P Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 8 9
: : / B / B P / B P P / B P P B B P Noe: Gve co. PD mus rech = P> s srbue o vlues o by cresg he orgl mss by /P Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 9 AMPL: memoryless propery o epoel RV e ce c c c Coser h uro o clls s ep QUSION: Gve h cll s sll o us er o.e. clcule he probbly wll sll be o er s me us.e. A=P>+s > Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ
ANSWR: A P s P P s P c e e h s : P s c cs e e e s P e s cs P he hsory cor.e.lrey o or us oes o ler he resul c c s Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ SQUNCS O RVs SOM K QUSIONS: Wh s he behvor o s -> or s very lrge? Wh s >> >> o Σ = >> >> >> >>? USUL IN: Deermg behvor sey-se.e. -> ; lso s esece or o Delg wh verges o lrge umber o smples Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ
SNSS O CONVRGNC O ω->ω verywhere e.: hols or ll ω Ω b Almos verywhere or wh probbly.e./wp: oes o hol ONL or ll ω A wh PA= c I Probbly: lm -> P ω-ω ε= ε> Me Squre M.S.: lm -> ω-ω = e I srbuo: lm -> = ; po o couy Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 3 COMPARISON O SNSS O CONVRGNC.e./wp e prob s MS Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 4
COMPARISON O SNSS O CONVRGNC AML/APPLICAION: LAW O LARG NUMBRS: Avergg WLLN : SLLN : ep. RVs S S S re... prob; coul be use o esme he me o uow RV S ep.... wh ; S prob. we Lw o Lrge Numbers - WLLN or b S.e.Srog Lw o ; he ; he Lrge Numbers - SLLN Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5 AMPL: Proo o WLLN or... RVs Usg Chebyshev s equly or =S / : Vr A P Vr S Vr S Vr hus : A S prob. ucorrele Vr Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6 3
4 AMPL/APPLICAION: CNRAL LIMI HORM ormlzg hols lwys... PD Norml coos geerl uer ; RVs; ep. N Vr Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 7 COMMN ON CL o hol loo or lo o RVs wh goo vrbly : or orml chrcersc uco o...... ep. ep. z z j w w w w w w w e w e w w Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 8
oly m w re el s vrce e RVs hve vrce res hve lmos zero w z z... w CL co hol... e Sme coclusos me om s well: m w 3 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 9 z z Alervely he bove vrce requreme c be se s: SOCHASIC PROCSSS Prob spce P A mppg I s sochsc process e se e.g. me scree or couous s RV or y e Ierpreo : I s colleco o RVs ee o commo prob spce ; I Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 3 5
Ierpreo : I s mppg Ω co me ucos se o rel umbers or e s RV cse o RV smple ph or relzo Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 3 Ierpreo : I s mppg cos meucosse o rel umberscse o RV or e rel umber or e ω s RV relzo ω= or e ω s eermsc e uco 3 3 or e s RV ssoce wh Osclloscope vew reeze mge -> Smple ph Bloc scree ecep sl Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 3 6
7 DSCRIPION O A SOCH PROCSS Auocovrce : Auocorrelo : Me :...... Jo PD : * * l l R l l K l R l l C be cle by: g vge o specl srucure o some processes ep. cremes Mrov ec. Sory rgocy Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 33 PROCSS WIH INDPNDN INCRMNS N N N N S I S S I S p S p S y y y y y y y y y N N N N N ep. o... Le o WSS wp... mple : BINOMIAL COUNING PROCSS...... wh ep. cremes : he or re ep....... ll Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 34
Sory Src Sese Sory SSS :...... Neher prob behvor o ech or erepeeces chge wh WeSeseSory WSS: cos K l K Noe: l s o WSS s lsoo SSS boh me covrcere me-sh vr Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 35 s Le w H WINR PROCSS Le w : w s where w w p w p... w s s rom sequece whch creses by or ecreses by ech sep.rom wl Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 36 8
9 H WINR PROCSS 3 4 Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 37 eger / / # # Pr : prob. RV wh s e or / / / r r p p r r P r P r lures successes r P p p r r s s Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 38
w wp wp W u W W W c be obe rom hose o he PM momes o h s. be he pecewse cos verso o Le Clerly / / h s. be he pecewse cos verso o Le Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 39 Deo o Weer Process he Weer process or Weer-Levy or Brow moo s he process whose srbuo s he lmg srbuo o s ->; he jump sze δ goes o zero s well s couous se couous me sochsc process. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 4
Vr Vr or Suppose h vsh s -. he lm S so h he vrce oes o Vr Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 4 r * * * * * * Weer Ανάλυση και process Μοντελοποίηση moels Δικτύων - Ιωάννης he Σταυρακάκης choc / Αντώνης moo Παναγάκης o gs - ΕΚΠΑmolecules. 4
Noe: s he sum o... RVs w Cerl Lm heorem lmg process s creses woul be Guss he sme woul be epece or he Weer process s ->. e Vr oce h s o SSS sce chges wh me Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 43 he Weer process s emple o Guss process sce ll h -orer p s re Guss. hs c be see uvely s ollows: Le sce s s. By coserg he e umber o... RVs he CL we hve: y; s s s bewee s pplyg e s y s s s Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 44
3 Usg he p or he creme Δ he epee creme propery o he Weer process we c erve he h -orer ps show hey re Guss. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 45 Covrce or uocorrelo uco: m hus ] [ ] [ * * * s s K s s s s s s s s s K s Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 46
MAN SQUAR CALCULUS & RGODICI CALCULUS: Dee lms egrls & ervves or SPs RGODICI: Coo uer whch me verges=esemble over Ω verges Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 47 Me Squre Couy A SP s couous N & S coo : R R R Noe : N & S coo or WSS s couous R SP : R R couous Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 48 4
5 Me Squre Dervve. ess SP : N &S coo or WSS Noe : ess N &S coo : Coo : R R Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 49 Momes o he Dervve SP s epece or SP wh ep. cremes ep. sce Guss whe ucorrele.e. s m ' ' u R u R R R R Weer SP - mple Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5
6 Me Squre Iegrl ess N & S coo : umber vlue o R.V. Noe : R b b b b b eermsc sgl Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5 b b b b K K R ] [ : SP WSS mple or or Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 5
mple or K A A zero me whe SP s lso Guss he A A s Weer : Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 53 RGODICI s SP smple ph/relzo me Averges A o ucos o re possble semble Averges re ypclly o possble bu eee Queso : Aswer :? A es ergoc some sese. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 54 7
Deos : mples: or or A lm A verge o over ll wh he correspog probbly s weghs lm A? A R? Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 55 IMPORANOBSRVAION A ee or some sory or o be POSSIBL o be ergoc mus be sory me sh vr o cer ee Argume :Sce As ep.o me A he mus lso be ep.o me cos Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 56 8
IMPORANOBSRVAION B ee or some regulry or o be POSSIBL o be ergoc mus be regulr.e. me verges be ep.o Argume :Sce s ep.o ω A he A mus lso be ep.o cos A Comme o ee or regulry : or y shoul behve over me le y oher so h s NO eble by me verge or y shoul ehb over me ll s o behvor wh he proper "requecy & uro"s or y so h he me verge becomes equvle o esemble verge Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 57 DINIION : s ergoc : I s sory o some ee cos b I s c Coss regulr A A cos A re equl c s me & A operors re erchgeble - ub's heorem AMPL : semble Averge: semble Averge: A or P 4 or me sh - vr o regulr o ergoc. Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 58 9
De : Proo : M.S. RGODICI IN H MAN A N & S coo : lm * A K m.s. * ** A ** K Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 59 A mples: K he ** s ergoc he me K b K & K he s ergoc he me Proo : ** K K : K K K 4 rbrrly smll s Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6 3
3 M.S. RGODICI IN H AUOCORRLAION ** or SP.. : quvle.. * * K m s A m s R A N & S coo : : De Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6 M.S. RGODICI IN DISRIBUION o o be equl uvely epee or shoul be sympoclly epee or.e. shoul vsh o s mples h ** *** ] [ ] [ where ** oherwse Ie uco : * I I I I I A K I I I K K I I A I Noe : N & S coo : : De Ανάλυση και Μοντελοποίηση Δικτύων - Ιωάννης Σταυρακάκης / Αντώνης Παναγάκης - ΕΚΠΑ 6