Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για κάθε n Z και y ισχύει n k n e iky. (.) D n (y) in(n + )y in y. Απόδειξη. Γράφουµε D n (y) n k n e iky e iny n e iny ei(n+)y e iy e iky e iy (e i(n+ )y e i(n+ )y ) e iy (e iy e iy ) i in(n + )y i in( y ) in(n + )y in y. ei(n+)y e iny e iy Ορισµός.3. Ο n-οστός πυρήνας του Fejér ορίζεται ως (.3) F n (y) n D k (y). n Πρόταση.4. Για κάθε n Z και y ισχύει (.4) F n (y) n ( in ny in y ).
Απόδειξη. Γράφουµε F n (y) n n n in y in(k + )y in y n e i(k+ )y e i(k+ )y n in in y e i y e iky e i y e iky ( in in y e i y e iny e iy + y e iny ) e i e iy e iny + e iny in in y e i y e i y (co ny ) n in y (i) in y co ny n(in y ) ( ) in ny n in y. i Ορισµός.5. Αν f L (), τότε ο n-οστός µέσος του Fejér ορίζεται ως (.5) σ n (f, y) (F n f)(y) n k (f, y). n Ορισµός.6. Μια ακολουθία συναρτήσεων (K n ) n ονοµάζεται καλός πυρήνας αν ισχύουν τα α- κόλουθα : (α) π K n(y)dy για κάθε n N. (ϐ) up K n(y) dy M <. (γ) δ y π K n(y) dy 0 όταν n για κάθε δ > 0. Θεώρηµα.7. Εστω (K n ) n καλός πυρήνας. Τότε : (α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f ισχύει (.6) K n f f 0 όταν n. (ϐ) Για κάθε f L p (), p < ισχύει (.7) K n f f p 0 όταν n.
Απόδειξη. Εστω f συνεχής συνάρτηση και έστω ɛ > 0. Αφού το είναι συµπαγές, η f είναι οµοιόµορφα συνεχής σε αυτό. ηλαδή υπάρχει σταθερά M f > 0 τέτοια ώστε f(x) < M f για κάθε x και υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε (.8) x y < δ f(x) f(y) < ɛ M. Επίσης, υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε για κάθε n n 0 να ισχύει (.9) K n (u)du δ u π ɛ. 4M f Τότε, (K n f)(y) f(y) f(x)k n (y x)dx f(y) K n (y x)dx π π (f(x) f(y))k n (y x)dx π (f(x) f(y))k n (y x)dx π y x <δ + (f(x) f(y))k n (y x)dx π y x δ < ɛ K n (y x) dx + M f K n (y x) dx M π π < ɛ. y x <δ y x δ Άρα K n f f 0 όταν n. Εστω f L p (). Λόγω της πυκνότητας των συνεχών συναρτήσεων, υπάρχει h C() ώστε { (.0) f h p < min Από την ανισότητα του Young για συνελίξεις, έχουµε ɛ 3up n K n, ɛ 3 (.) K n (f h) p K n f h p < ɛ 3. }. Επιπλέον, λόγω του πρώτου σκέλους του ϑεωρήµατος, υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε για κάθε n n 0 να ισχύει K n h h < ɛ 3. Συνεπώς, K n f f p K n f K n h p + K n h h p + h f p < ɛ 3 + K n h h + ɛ 3 < ɛ. Άρα K n f f p 0 όταν n. Η παρακάτω πρόταση µας δείχνει ότι οι πυρήνες του Dirichlet δεν αποτελούν καλό πυρήνα. 3
Πρόταση.8. D n 4 π ln n, και άρα D n όταν n. Απόδειξη. Αφού η D n είναι άρτια και in t > 0 στο (0, π), έχουµε L n π ( in((n + /)t) π 0 in t ) dt t + π in((n + /)t) π 0 t dt A n + B n. ( ) Ο πρώτος όρος είναι ϕραγµένος : αφού η φ(t) in t t είναι ϕραγµένη, έχουµε A n O(). Για τον δεύτερο όρο, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής ( n + ) t παίρνουµε B n π αφού, λόγω της lim 0 + nπ+π/ 0 C n + O(), in, έχουµε in dλ() π nπ π in dλ() + O() (.) π 0 in dλ() O() και nπ+π/ nπ in dλ() π nπ. Μένει λοιπόν να δείξουµε ότι (.3) C n : π Εχουµε nπ π C n π Παρατηρούµε ότι, για κάθε t (0, π), π π in dλ() n (k+)π k kπ n π k π 0 0 4 ln n + O(). π in in(kπ + t) kπ + t n (in t) k dλ() dt kπ + t dt. (.4) (k + )π kπ + t kπ, άρα (.5) n π k n k + k kπ + t n π k. k 4
Τα δύο αθροίσµατα n k k+ και n k k είναι ln n+o(). Αφού π 0 (.6) C n 4 ln n + O() π και η απόδειξη είναι πλήρης. Πρόταση.9. Οι πυρήνες του Fejér αποτελούν καλό πυρήνα. in t dt, καταλήγουµε στην Απόδειξη. Η πρώτη ιδιότητα έπεται άµεσα από τον ορισµό. Η δεύτερη έπεται από την πρώτη και από το γεγονός ότι F n (y) 0 για κάθε y. Μένει να αποδειχθεί η τρίτη ιδιότητα. Εχουµε F n (y) dy ( ) in ny δ y π n δ y π in y dy n δ y π in y dy n δ y π (y/) dy 8 ( n δ ) 0 π όταν n. Πορίσµατα της παραπάνω πρότασης αποτελούν τα ακόλουθα δύο γνωστά αποτελέσµατα Πρόταση.0. Τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα είναι πυκνά στον L p (). Απόδειξη. Το σ n (f) F n f είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο για κάθε n N. Αφού η (F n ) n αποτελεί καλό πυρήνα, F n f f p 0 όταν n. Πόρισµα. (Λήµµα Riemann-Lebegue). Εστω f L p (). Τότε lim f(n) 0. n Απόδειξη. Εστω ɛ > 0. Υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p τέτοιο ώστε f p < ɛ και έστω k ο ϐαθµός του. Τότε p(n) 0 για κάθε n > k, άρα για κάθε n > k, (.7) f(n) f(n) p(n) (f p)(n) f p < ɛ και το Ϲητούµενο έπεται. Σύγκλιση στον L Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο χώρος L εφοδιασµένος µε το εσωτερικό γινόµενο (.) f, g f(x)g(x)dx π αποτελεί χώρο Hilbert, ενώ το σύνολο {e n : n Z}, όπου e n (x) e inx για κάθε x, είναι ορθοκανονικό (και µάλιστα ορθοκανονική ϐάση αφού τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα είναι πυκνά στον L ()). 5
Θεώρηµα.. Εστω f L (). Τότε f n (f) 0 καθώς n. Απόδειξη. Εστω ɛ > 0. Υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p ώστε f p < ɛ και έστω n 0 ο ϐαθµός του. Παρατηρούµε ότι (.) n (f) n f, e k e k k n και άρα, αν S n είναι το σύνολο των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ϐαθµού το πολύ n, (.3) f n (f) dit(f, S n ) (αφού το S n αποτελεί γραµµικό υπόχωρο διάστασης n + < και άρα κλειστό γραµµικό υπόχωρο του L ()). Για n n 0 έχουµε S n S n0, άρα (.4) f n (f) dit(f, S n ) dit(f, S n0 ) f p < ɛ και η απόδειξη ολοκληρώνεται. Ακόµα ένα όµορφο αποτέλεσµα στον L (), απόρροια των ιδιοτήτων του ως χώρου µε εσωτερικό γινόµενο, είναι το ακόλουθο : Θεώρηµα. (ταυτότητα του Pareval). Για κάθε f L (), (.5) f n Z f(n). Απόδειξη. Το σύνολο {e n : n Z} αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του L (), άρα (.6) f n Z f, e n, δηλαδή (.7) f n Z f(n), που είναι το Ϲητούµενο. 3 Σύγκλιση στον L p Η γενική µελέτη της σύγκλισης σε χώρους L p δεν είναι τόσο απλή διότι δεν υπάρχει η δοµή χώρου Hilbert. Ξεκινάµε από το ακόλουθο απλό αποτέλεσµα : Θεώρηµα 3.. Εστω p <. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α) f n (f) p 0 για κάθε f L p () όταν n. (ϐ) up n p <, όπου n p η νόρµα του τελεστή n : L p () L p (). 6
Απόδειξη. (α) (ϐ) Λόγω της σύγκλισης, για κάθε f L p () ισχύει (3.) f n (f) p < M f για κάποιο M f > 0 και για κάθε n N. Άρα, (3.) n (f) p f n (f) p + f p < M f + f p. Από την αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος έπεται ότι υπάρχει M > 0 ώστε n p < M <. (ϐ) (α) Εστω τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p ώστε f p p < ɛ και έστω n 0 ο ϐαθµός του. Για n n 0 έχουµε n (p) p, άρα f n (f) p f p + n (p) n (f) p f p p + n (p) n (f) p f p p ( n p + ) < ɛ(up( n p + ), άρα f n (f) p 0 όταν n. Ορισµός 3.. Για ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο f ορίζουµε τον µετασχηµατισµό Hilbert ως εξής : (3.3) H(f, x) k Z ikx ign(k) f(k)e Οι ακόλουθοι τελεστές ϑα µας είναι επίσης χρήσιµοι για τον χειρισµό του µετασχηµατισµού Hilbert. (3.4) (3.5) P + (f, x) P (f, x) f(n)e ikx k k f(n)e ikx Ορίζουµε επίσης τους τελεστές (3.6) + n (f, x) και n (3.7) A(f, x) P + (f, x) + f(0) f(k)e ikx Πρόταση 3.3. Εστω < p <. Τα εξής είναι ισοδύναµα : () H p <. () P + p <. (3) A p <. (4) up + n p <. f(n)e ikx. 7
(5) up n p <. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι P + (f) (f + ih(f) f(0)). Αφού f(0) f f p, η P + είναι ϕραγµένη αν και µόνο αν η H είναι ϕραγµένη και άρα () () Κατά προφανή τρόπο () (3). Για την (4) (3) γράφουµε Για την (3) (4) παρατηρούµε ότι A(f) p lim n + n (f) p lim inf n + n (f) p + n (f, x) A(f, x) up + n p f p. kn+ f(k)e ikx A(f, x) e i(n+)x f(n + + k)e ikx, άρα + n (f, x) A(f, x) e i(n+)x A(g, x), όπου g(x) f(x)e i(n+)x. Άρα και το Ϲητούµενο έπεται. up + n (f) p A p f p + A p g p A p f p Για την (4) (5) Εστω h(x) f(x)e inx. Τότε, (3.8) n n n f(k)e ikx e inx f(k n)e ikx e inx ĝ(k)e ikx. k n Άρα n (f) p + n (g) p και αφού f p g p έπεται ότι n p + n p. Από τα παραπάνω έπεται το εξής : Πόρισµα 3.4. Εστω < p <. Τότε η n (f) συγκλίνει στην f ως προς την L p νόρµα για κάθε f L p () αν και µόνο αν H p <. Άρα για την L p σύγκλιση µένει να αποδείξουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα : 8
Θεώρηµα 3.5. Εστω < p <. Τότε υπάρχει µια σταθερά A p έτσι ώστε (3.9) H(f) p A p f p για όλα τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα f. Ετσι η H επεκτείνεται σε έναν ϕραγµένο τελεστή από τον L p () στον L p (). Κατά συνέπεια η n (f) συγκλίνει στην f ως προς την L p νόρµα για κάθε f L p (). Εδώ ϑα χρησιµοποιηθεί το ϑεώρηµα παρεµβολής των Riez-horin: Θεώρηµα 3.6. Εστω p, p, q, q. Εστω γραµµικός τελεστής ο οποίος είναι ϕραγµένος από τον L p στον L q και ϕραγµένος από τον L p στον L q. Θέτουµε A Lp L q και B Lp L q. Τότε για κάθε 0 a (3.0) f qa A a B a f pa όπου p a a p + a p και q a a q + a q. Πίσω στο προς απόδειξη ϑεώρηµα. Απόδειξη. Εστω f µη µηδενικό πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο µε f(0) 0. Τότε ως γνωστόν f( n) f(n) για κάθε n Z. Ετσι έχουµε : H(f, x) i k>0 f(k)e ikx + i k<0 f(k)e ikx k>0( i f(k)e ikx ) + ( i f(k)e ikx ) Re( k>0 i f(k)e ikx ), και άρα η H(f) είναι επίσης πραγµατική. Αφού f(0) 0, προκύπτει ότι (3.) (f + ih(f))(x) ( + i( gn(k))) f(k)e ikx f(k)e ikx. k Z k>0 Ετσι, η (f + ih(f)) k έχει µόνο ϑετικές συχνότητες για κάθε k ϕυσικό, οπότε (3.) (f + ih(f)) k 0. Αναπτύσσοντας την ταυτότητα, (3.3) k j0 ( ) k i j (H(f)) j f k j 0. j Παίρνοντας πραγµατικό µέρος στο παραπάνω, έχουµε ότι (3.4) k ( ) k ( ) j (H(f)) j f k j 0. j j0 9
Κατά συνέπεια, H(f) k k (H(f)) k π k ( ) k ( )k ( ) j (H(f)) j f k j π j k j0 ( k j j0 ) (H(f)) j f k j. Για κάθε j, λόγω της ανισότητας Holder µε συντελεστές k j και (3.5) H(f) j f k j H(f) j k f k j k j k j εποµένως, (3.6) H(f) k k Εάν ϑέσουµε k j0 (3.7) R H(f) k f k, τότε διαιρώντας την παραπάνω σχέση µε f k k προκύπτει k k j, έχουµε : ( ) k H(f) j k j f k j k. k ( ) k (3.8) R k R j. j Θεωρούµε το πολυώνυµο k ( ) k (3.9) P (x) x k x j. j Εφ όσον το P έχει άρτιο ϐαθµό, ισχύει ότι j0 j0 (3.0) lim P (x) +. x Άρα υπάρχει σταθερά C k τέτοια, ώστε (3.) P (x) 0 x C k. Αυτό σηµαίνει ότι R C k και εποµένως H(f) j k f k j k, (3.) H(f) k C k f k 0
για όλα τα πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα µε f(0) 0. Εστω ότι f(0) 0. Τότε επειδή ο µετασχηµατισµός Hilbert µιας σταθερής συνάρτησης είναι ίσος µε 0 έχουµε : (3.3) H(f) k H(f f(0)) k C k f f(0) k C k f k. Εστω ότι η f είναι τυχαίο τριγωνοµετρικό πολυώνυµο και έστω f(x) n k n a ke ikx. Τότε, f(x) + i n k n ( a k + a k Re(a 0 ) + ( Im(a 0 ) + e ikx + n k n a k a k e ikx ) n Re(a k + a k ) co(kx) k ) n Re(a k a k ) in(kx). k ηλαδή, f R + iq όπου R, Q πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα. Χρησιµοποιώντας το προηγούµενο αποτέλεσµα και τριγωνική ανισότητα, (3.4) H(f) k H(R) k + ih(q) k C k ( R k + Q k ) 4C k f k. Άρα υπάρχει µια σταθερά A p τέτοια ώστε (3.5) H(f) p A p f p για όλα τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα f και για p k όπου k N. Αφού κάθε p είναι σε ένα διάστηµα της µορφής [k, k + ] το ϑεώρηµα παρεµβολής των Riez-horin επεκτείνει το αποτέλεσµα για κάθε p. Αφού τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα είναι πυκνά στον L p () η H επεκτείνεται σε ένα ϕραγµένο τελεστή στον L p (). Για < p < χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ο H είναι αντιερµιτιανός έχουµε ότι αν p τέτοιο ώστε p + p και p τότε (3.6) H(f), g f, H(g) f p H(g) p C p f p g p. Αν η f είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο και g H(f) p H(f) Άρα, (3.7) H(f) p p π g p π H(f) p H(f) τότε g L p () αφού p p ( ) ( H(f) p ) p p p π H(f) p p. H(f) H(f) p H(f) H(f), g C p f p H(f) p p.
Συνεπώς H(f) p C p f p δηλαδή ο H είναι L p ϕραγµένος στο χώρο των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων για < p <. Λόγω της πυκνότητάς τους µπορούµε να επεκτείνουµε τον H σε ένα ϕραγµένο γραµµικό τελεστή στον L p ().