ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+ } φυσικοί Ζ{-,.,-4,-,-,-1,0,1,,,4,..+ } ακέραιοι Q{Errr!/μ ε Ζ, ν ε Ζ με ν 0} Είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με την μορφή κλάσματος και ονομάζονται ρητοί. Άρρητοι αυτοί που δεν είναι ρητοί. R{Ρητοί+ Άρρητοι} και ονομάζονται πραγματικοί.. Τι είναι απόλυτη τιμή αριθμού; Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με - + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.χ α. Τι κάνουμε για να προσθέσουμε δυο ρητούς αριθμούς; Aπάντηση Αν είναι ομόσημοι : Προσθέτω τις απόλυτες τιμές και βάζω το κοινό τους πρόσημο (+4)+(+6) +10 (-4)+(-6) -10 Αν είναι ετερόσημοι: Αφαιρώ τις απόλυτες τιμές και βάζω το πρόσημο του αριθμού με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. (-4)+(+6)+ (+4)+(-6)- 4. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης ρητών αριθμών; Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 4
Aπάντηση α + 0 0 + α α (ουδέτερο στοιχείο) α + β β + α (αντιμεταθετική) α + ( β + γ ) ( α + β) + γ (προσεταιριστική) α+(-α) (-α)+(α)0 (αντίθετος-αντίστροφος) 5. Τι γνωρίζεις για τον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών ; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και Αν είναι ομόσημοι βάζω το πρόσημο + (+4)(+6) +4 (-4)(-6 ) +4 Αν είναι ετερόσημοι βάζω το πρόσημο - (-4)(+6) -4 (+4)(-6) -4 6. Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών α 1 1 α α ( ουδέτερο στοιχείο) α 0 0 α 0 α β β α (αντιμεταθετική). α ( β γ ) (α β ) γ (προσεταιριστική). α ( β +γ ) α β + α γ (επιμεριστική ως προς την πρόσθεση ). α ( β -γ ) α β - α γ (επιμεριστική ως προς την αφαίρεση ). 7. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι: ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι όταν έχουν γινόμενο ίσο με1. π.χ α και Errr!Errr! γιατί (α Errr!1). π.χ και 1 γιατί ( 1 1) Είναι φανερό ότι οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι. Το μηδέν δεν έχει αντίστροφο. 8. Πως υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και i) αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιο βάζω + π.χ (-) (+4) (-) (+5)+80 ii) αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττό βάζω π.χ (-) (-4) (-) (+5) -80 9. Γιατί δεν χρειάζεται να αναφέρουμε κανόνες για την αφαίρεση και την διαίρεση; Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 5
Γιατί α-βα+(-β) π.χ 5-5+(-) και α α:β α. Errr! π.χ 5:5 Γιατί η αφαίρεση είναι η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης και η διαίρεση η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών 1. Τι ορίζεται ως δύναμη ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό; Το γινόμενο α α α α. α α ν α: βάση ν: εκθέτης ν παράγοντες Για ν0 α 0 1. Για ν1 α 1 α. α : λέγεται άλφα στο τετράγωνο. α : λέγεται άλφα στο κύβο.. Με ποιο τρόπο γίνεται ο υπολογισμός του πρόσημου μιας δύναμης; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και (1) αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιο βάζω + Π.χ (-) 4 (-) (-) (-) (-) +16 () αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττό βάζω Π.χ (-) (-) (-) (-) -8. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; α μ α ν α μ+ν 5 5+ 8 α μ : α ν α μ-ν 5 : 5- α ν β ν (α β ) ν 5 5 ( ) 5 6 5 α ν : β ν (α :β ) ν 6 : (6:) (α μ ) ν α μ ν ( ) 6 α -ν 1 5-1 5 Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού 1. Τι είναι τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού; Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x, λέγεται ένας θετικός αριθμός x ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό x. Συμβολίζεται x x Aν x>0 ( x ) x 1 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 6
. Ποιες είναι οι ιδιότητες των ριζών και πως αποδεικνύονται; a a Για να τις αποδείξουμε υπολογίζουμε το τετράγωνο του κάθε μέλους χωριστά Προσοχή! a +. Ποιες ρίζες πρέπει να γνωρίζετε; 0 0, 81 9, 15, 1 1, 4, 100 10, 65 5 9, 11 11, 16 4, 144 1, 5 5, 6 6, 169 1, 49 7, 196 14, 64 8, 4. Με ποια σειρά εκτελώ τις πράξεις; Δυνάμεις. Πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις. Προσθέσεις αφαιρέσεις. ΕΚΤΟΣ Αν υπάρχουν παρενθέσεις οπότε εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά. 5 1. Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Α. Αλγεβρικές παρατάσεις μονώνυμα 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση ; Αριθμητική παράστασηείναι μία έκφραση που περιέχει μόνο αριθμούς. Παράδειγμα 5+4 4²+6-. Τι είναι αλγεβρική παράσταση ; Τι είναι αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; Αλγεβρική παράσταση είναι μία έκφραση που περιέχει μεταβλητές. Παράδειγμα χ+4ψχ² (1) 4κφ²+6γ-μ () Αριθμητική τιμή είναι ο αριθμός που προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε με αριθμούς τις μεταβλητές της αλγεβρικής παράστασης. για χ και ψ-1 η αλγεβρική παράσταση (1) γίνεται ()+4(-1)()²()+4(-1)44+(-16)-1 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 7
. Ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια; Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα ψ+8χ² 4. Τι είναι μονώνυμο; Από ποια μέρη αποτελείται; Μονώνυμα είναι αλγεβρικές παραστάσεις που σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού π.χ Μονώνυμο : -Errr! α²β³ Συντελεστής Κύριο μέρος 5. Τι είναι βαθμός μονώνυμου; Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. Το μονώνυμο χ ψ είναι: ου βαθμού ως προς χ 1 ου βαθμού ως προς ψ 4 ου βαθμού ως προς χ και ψ 6. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Όμοια μονώνυμα είναι όσα έχουν το ίδιο κύριο μέρος χ²ψ, -10χ²ψ, Errr!χ²ψ 7. Ποια μονώνυμα λέγονται ίσα ; Ισα μονώνυμα είναι όσα έχουν το ίδιο κύριο μέρος και ίδιο συντελεστή χ²ψ, χ²ψ, 8. Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα ; Αντίθετα μονώνυμα είναι όσα έχουν το ίδιο κύριο μέρος και αντίθετο συντελεστή χ²ψ, -χ²ψ, 9. Ποια μονώνυμα λέγονται σταθερά και ποιο μηδενικό; Σταθερα μονώνυμα είναι όλοι οι αριθμοί και είναι μηδενικού βαθμού. Π.χ -5, +4, 100 Μηδενικό μονώνυμο είναι ο αριθμός 0 και δεν έχει βαθμό. Β. Πράξεις με μονώνυμα 1. Πως προσθέτω όμοια μονώνυμα; Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 8
Άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο με το ίδιο κύριο μέρος ενώ έχει συντελεστή ίσο με το άθροισμα των συντελεστών των επιμέρους μονωνύμων. χ y 5-5x y 5 +x y 5 (-5+1)x y 5 -x y 5. Πως πολλαπλασιάζω μονώνυμα; Γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των επιμέρους μονώνυμων και κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη η καθεμία το άθροισμα των εκθετών των αντίστοιχων μονώνυμων. (χ y 5 ) (-x y 4 ω ) -4x 5 y 9 ω. Πως διαιρώ μονώνυμα; Η διαίρεση μονωνύμων όπως και η διαίρεση αριθμών, γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. 5 6 1 10 y χ y 4 ω 5x y 5 y (10χ 5 y 6 ω ) : (5χ y ω ) (10χ 5 y 6 ω ) 1.Πολυώνυμα Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων Α. Αλγεβρικές παρατάσεις μονώνυμα 1. Τι είναι πολυώνυμα; Τι είναι όροι του πολυωνύμου; Πολυώνυμο είναι άθροισμα μονώνυμων που δεν είναι όμοια. π.χ χy+ x y +5x ω 6-6χ 5 ω Όροι του πολυωνύμου είναι καθένα από τα μονώνυμα από τα οποία αποτελείται.. Τι είναι βαθμός πολυωνύμου; Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του π.χ το πολυώνυμο Βχ y+xy -x 4 y +x είναι 4 ου βαθμού ως προς χ είναι ου βαθμού ως προς y είναι 6 ου βαθμού ως προς χ και y.. Πότε δυο πολυώνυμα είναι ίσα ; Όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. 4. Ποια εργασία λέγεται αναγωγή ομοίων όρων; Αναγωγή ομοίων όρων είναι η εργασία κατά την οποία σε ένα πολυώνυμο αντικαθιστούμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους. 5χ²ψ+αβ-7χ²ψ+4αβ Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 9
5χ²ψ-7χ²ψ+αβ+4αβ -χ²ψ+6αβ 5. Πως προσθέτω και αφαιρώ πολυώνυμα; Μπορώ να προσθέσω και να αφαιρέσω πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Αν Α(x)5x² +x -7 και Αν Β(x)x² +4x + τότε Αν Α(x)+ Β(x) (5x² +x -7)+( x² +4x +) 5x² +x -7+x² +4x +6x² +6x - 5 Αν Α(x)-Β(x) (5x² +x -7)-( x² +4x +) 5x² +x -7-x² -4x -4x² - 1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων 1. Πως πολλαπλασιάζω μονώνυμο με πολυώνυμο; Πολλαπλασιάζω το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν 5x²( x -7x+1)15x 4-5x -5x. Πως πολλαπλασιάζω πολυώνυμο με πολυώνυμο; Πολλαπλασιάζω κάθε όρο του ενός πολυωνύμου κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν (5x²+)( x -7x+1)15x 4-5x -5x+6x -14x+15x 4-5x +6x -19x+ Ανάπτυγμα γινομένου Παρατήρηση : προτιμώ να γραφώ τα αποτελέσματα σε φθίνουσες δυνάμεις του x. 1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 10
1. Ποια σχέση λέγεται ταυτότητα; Ταυτότητα λέγεται η ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει γι όλες τις τιμές της.. Ποιες ταυτότητες γνωρίζεις και πως αυτές αποδεικνύονται; (α+β)²α²+αβ+β² (α-β)²α²-αβ+β² (α+β)(α-β)α²-β² (α+β)³α³+ α²β + αβ²+β³ (α-β)³α³- α²β + αβ²-β³ α +β (α+β) (α -αβ+β ) α -β (α-β) (α +αβ+β ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ (α+β)²(α+β) (α+β)α +αβ+βα+β α²+αβ+β² (α-β)² (α-β) (α-β)α -αβ-βα+β α²-αβ+β² (α+β)(α-β) α -αβ+βα-β α²-β² (α+β)³ (α+β) (α+β) (α²+αβ+β²)(α+β) α + α²β+ α²β+ αβ²+ αβ²+β α³+ α²β + αβ²+β³ (α-β)³ (α-β) (α-β) (α²-αβ+β²)(α-β) α - α²β+-α²β+ αβ²+ αβ²-β α³- α²β + αβ²-β³ (α+β) (α -αβ+β ) α -α β+αβ +βα -αβ +β α +β (α-β) (α +αβ+β ) α +α β+αβ -βα -αβ -β α -β 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 11
1. Τι είναι παραγοντοποίηση ; Με ποιους τρόπους κάνω παραγοντοποίηση; Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία με την οποία δημιουργώ γινόμενα 1. αβ+αγ α(β+γ) κοινός παράγοντας. αx+αψ+βx+βψ α(x+ψ)+β(x+ψ)(x+ψ)(α+β) ομαδοποίηση. α²+αβ+β²(α+β)² α²-αβ+β²(α-β)² ανάπτυγμα τετραγώνων 4. α²-β²(α+β)(α-β) διαφορά τετραγώνων 5. x²+(α+β)x+αβ(x+α)(x+β) τριώνυμο 1.7 Διαίρεση πολυωνύμων 1. Ποια διαίρεση λέγεται Ευκλείδεια. Αν Δ: Διαιρετέος δ:διαιρέτης π: πηλίκο,υ :υπόλοιπο τότε η σχέση Δ δ π +υ με 0 υ<δ λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση. Ισχύει κάτι αντίστοιχο και με τα πολυώνυμα; Φυσικά: Αν Δ(x): Διαιρετέος δ (x):διαιρέτης π(x): πηλίκο,υ (x) :υπόλοιπο τότε ισχύει: Δ(x) δ(x) π(x) +υ (x) με 0 υ(x) <δ(x) λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση. Στην περίπτωση που υ(x)0 τότε το δ(x) παράγοντας του Δ(x) 1.8 Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 1
1. Τι είναι Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; Είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων στην μεγαλύτερη δύναμη. Π.χ το Ε.Κ.Π των χ (χ+y) και χy (x+y) είναι το 6χ y (x+y). Τι είναι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; Είναι το γινόμεν μόνο των κοινών παραγόντων στην μικρότερη δύναμη. Π.χ M.K.Δ των χ (χ+y) και χy (x+y) είναι το χ(x+y) 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 1. Τι είναι κλασματική αλγεβρική παράσταση; Κλασματική αλγεβρική παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση που έχει μεταβλητή στον παρονομαστή.πχ Errr!. Τι κάνουμε για να απλοποιήσουμε μια κλασματική αλγεβρική παράσταση; Παραγοντοποιούμε και τους δυο όρους της Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της x x x( x 1) x Π.χ x 1 ( x 1)( x 1) x 1 1.10Πράξεις ρητών παραστάσεων Α.ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. Ποιους κανόνες πρέπει να θυμάμαι για να κάνω πολλαπλασιασμό και διαίρεση στις ρητές παραστάσεις; α x ( x )x ( x )x π.χ (χ-) x 8 ( x 4) ( x )( x ) x 1 x π.χ x x 4 ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 1)( x )( x ) x ( x )( x x) ( x ) x( x 1) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 1
( x 1)( x ) x 4 x x1 x x 1 π.χ : x y : : y 4x ( x 1) x ( x 1) x y y 4x ( x 1)( x 1) x ( x 1) x y y ( x 1) x x y Β.Πρόσθεση αφαίρεση ρητών παραστάσεων. Ποιους κανόνες πρέπει να θυμάμαι για να κάνω πρόσθεση και αφαίρεση στις ρητές παραστάσεις; Για να προσθέσουμε ομώνυμα κλάσματα + - 5x x 7 5x x 7 7x 7 7( x 1) 7 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. x x x - - - x 6 x ( x ) x ( x ) x 6 x 6 ( x ) - 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 14