Παραδείγματα Συστημάτων αυτοματισμού με ανάδραση.

Παραδείγματα Συστημάτων αυτοματισμού με ανάδραση. Θα δούμε στη συνέχεια παραδείγματα συστημάτων αυτοματισμού με ανάδραση, δηλαδή σερβομηχανισμών. Θα περιγράψουμε τον αυτοματισμό και θα προσπαθήσουμε να εξάγουμε το μπλόκ διάγραμμα και τις συναρτήσεις μεταφοράς του σερβομηχανισμού. Παράδειγμα : Έλεγχος θερμοκρασίας σε εναλλάκτη θερμότητας. Vτ Vε - -Vσ Ενισχυτής ρεύματος Ηλεκτρική Αντίσταση Ηλεκτρομαγνητική Βαλβίδα ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΘΕΡΜΑΝΣΗΣ Ηλεκτρικό αισθητήριο θερμοκρασίας -Va - Vθ Σχήμα 4.3 : Σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας με ανάδραση Στο σχήμα 4.3 έχουμε το σκαρίφημα του αυτοματισμού. Έχουμε μια δεξαμενή στην οποία ζεσταίνουμε νερό, μέσω μιας «σερμπαντίνας» ζεστού νερού (εναλλάκτης θερμότητας). Από τη δεξαμενή αυτή τροφοδοτούμε ζεστό νερό σε μια παραγωγική διαδικασία και επομένως υπάρχουν διαταραχές στη θερμοκρασία. Για να υλοποιήσουμε τον αυτοματισμό έχουμε ένα αισθητήριο θερμοκρασίας το οποίο λειτουργεί ηλεκτρικά και μας δίνει ένα σήμα τάσης Vθ ανάλογο με τη θερμοκρασία. Ενισχύουμε το σήμα Vθ και το αναστρέφουμε στον τελεστικό ενισχυτή και έτσι λαμβάνουμε το σήμα Va. Στον αθροιστή με τον τελεστικό ενισχυτή έχουμε την αφαίρεση του σήματος Va από το σήμα επιθυμητής τιμής Vε και λαμβάνουμε το σήμα σφάλματος Vσ=Vε-Vθ. Το σήμα σφάλματος συνδέεται δε μια ηλεκτρομαγνητική βαλβίδα. Στο σχήμα φαίνεται το σχηματικό διάγραμμα της ηλεκτρομαγνητικής βαλβίδας. Έχουμε ένα ηλεκτρολογικό μέρος τα οποίο αποτελείται από έναν ηλεκτρομαγνήτη και ένα μηχανολογικό μέρος που είναι μία μάζα, ένα ελατήριο και ένας αποσβεστήρας. Η ηλεκτρομαγνητική βαλβίδα πρέπει να συνδεθεί με τέτοιο τρόπο ώστε η μείωση του σήματος σφάλματος Vσ να κλίνει την βαλβίδα. Αυτό διότι η λειτουργία του αυτοματισμού έχει ως εξής: Όταν αυξάνεται η θερμοκρασία της Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 79

δεξαμενής το σήμα ανάδρασης Va αυξάνει αναλόγως, οπότε το σήμα σφάλματος Vσ μειώνεται. Η μείωση του Vσ πρέπει να κλίσει τη βαλβίδα αναλόγως. Προσοχή: Αν συνδέσουμε την βαλβίδα «ανάποδα» δηλαδή η μείωση του σφάλματος να ανοίγει την βαλβίδα, στο σύστημα θα έχουμε θετική ανάδραση η οποία θα οδηγήσει το σύστημα σε αστάθεια. Αυτό γίνεται κατανοητό διαισθητικά, αφού το άνοιγμα της βαλβίδας θα οδηγεί σε περαιτέρω αύξηση της θερμοκρασίας και αυτό σε επιπλέον άνοιγμα της βαλβίδας κλπ. Το σχήμα που περιγράψαμε πολύ σχηματικά στο παράδειγμα αυτό απέχει αρκετά από το να το κατασκευάσουμε στην πράξη η να το μελετήσουμε σε πραγματικόπρακτικό επίπεδο. Ας δούμε τα σημαντικότερα σημεία που θα μας απασχολούσαν στην πράξη:. Το σημαντικότερο πρόβλημα είναι να προσαρμόσουμε τα ηλεκτρικά σήματα από άποψη επιπέδου διακυμάνσεων και ας ξεκινήσουμε από το αισθητήριο. Στο αισθητήριο θα πρέπει να δούμε από τα στοιχεία του κατασκευαστή ποιες είναι οι διακυμάνσεις της εισόδου και της εξόδου του. Ας υποθέσουμε ότι οι διακυμάνσεις αυτές δίνονται από την χαρακτηριστική του σχήματος Ηλεκτρική τάση DC Volt 4 0 50 90 Θερμοκρασία oc Σχήμα 4.4 : Χαρακτηριστική αισθητηρίου θερμοκρασίας Βλέπουμε ότι το αισθητήριο εργάζεται στην περιοχή τάσεων (0 4 volt) για μεταβολές θερμοκρασίας (50 90 βαθμούς Κελσίου). Άρα το σύστημα όπως φαίνεται στο σχήμα 4.3 δεν μπορεί να δουλέψει αφού ένας τελεστικός έχει κόρο τάσης στα 6 ή 5 Volt. Το ίδιο πρόβλημα υπάρχει και στο σημείο της ηλεκτρομαγνητική βαλβίδας, θα πρέπει να Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 80

προσαρμόσουμε τις μεταβολές του σήματος σφάλματος (Vσ) στις μεταβολές της βαλβίδας που μας δίνει ο κατασκευαστής.. Το δεύτερο πρόβλημα είναι το θέμα της ισχύος των σημάτων. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η περίπτωση της ηλεκτρομαγνητικής βαλβίδας. Η ηλεκτρομαγνητική βαλβίδα απαιτεί εκτός από τις διακυμάνσεις τάσης και ικανή τιμή ηλεκτρικού ρεύματος για να λειτουργήσει. Επομένως αυτό που στο σχήμα αναφέρεται σαν ενισχυτής ρεύματος είναι απαραίτητο εξάρτημα για την υλοποίηση του αυτοματισμού. Το ίδιο βέβαια μπορεί να ισχύει και στην περίπτωση του αισθητηρίου. 3. Το θέμα των μη γραμμικοτήτων των διάφορων συσκευών και συστημάτων είναι το επόμενο σοβαρό πρόβλημα, και θα πρέπει με προσοχή να γίνουν οι προσεγγίσεις και οι γραμμικοποιήσεις. Για όλα αυτά τα προβλήματα θα συζητήσουμε σε επόμενες παραγράφους, όπου θα μελετήσουμε και πρακτικά κάποιους αυτοματισμούς. Στη συνέχεια θα κάνουμε το μπλόκ διάγραμμα του παραπάνω συστήματος και θα υπολογίσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς, έστω στο «θεωρητικό» επίπεδο που παρουσιάζουμε το παράδειγμα. Στο σχήμα δίνουμε το μπλόκ διάγραμμα. Τελεστικός αθροιστής Vσ=Ve-Va Ενισχυτής ρεύματος Η/Μ Βαλβίδα Κυρίως Συστήμα Vε - -Vσ I F f θ Hε(s) Hh(s) Hb(s) Η(S) -Va - Va / Vθ G(s) Τελεστικός ενισχυτής Αισθητήριο Σχήμα 4.5 : Μπλόκ διάγραμμα του συστήματος του σχήματος 4.3 Προσοχή: Τα μπλόκ με συνάρτηση μεταφοράς τοποθετούνται για να παραστήσουμε την αναστροφή που κάνουν οι τελεστικοί ενισχυτές. Στη συνέχεια ας δούμε τον υπολογισμό των συναρτήσεων μεταφοράς. Ας ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση μεταφοράς του κυρίως συστήματος.. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 8

Στην συνέχεια ας δούμε τον ενισχυτή ρεύματος. Ο ενισχυτής ρεύματος έχει σαν είσοδο την τάση Vσ και σαν έξοδο λαμβάνουμε μια τάση Vε η οποία όμως δίνει ικανό ρεύμα για να διεγείρει την ηλεκτρομαγνητική βαλβίδα. Αν θεωρήσουμε ότι ο ενισχυτής είναι γραμμικός τότε η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι πραγματικός αριθμός και ας υποθέσουμε ότι είναι: V () s H() s K V () s Η ηλεκτρομαγνητική βαλβίδα αποτελείται από ένα ηλεκτρολογικό μέρος και ένα μηχανολογικό. Στο ηλεκτρολογικό μέρος έχουμε ηλεκτρική αντίσταση και έναν ηλεκτρομαγνήτη. Ο ηλεκτρομαγνήτης από ηλεκτρολογική άποψη εμφανίζει αυτεπαγωγή. Άρα στο ηλεκτρολογικό κύκλωμα έχουμε: V ( s) I( s)( s). Αν θεωρήσουμε ότι η δύναμη που αναπτύσσεται στον ηλεκτρομαγνήτη είναι γραμμική και ανάλογη του ρεύματος με τη σχέση: F( s) K I ( s) και επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του ηλεκτρολογικού μέρους είναι: F( s) F( s) K V( s) I( s)( s) V( s) ( s) H h( s) K V () s s Το μηχανολογικό μέρος της βαλβίδας είναι ένα ελατήριο με μάζα Μ, συντελεστή ελαστικότητας Κ και συντελεστή του αποσβεστήρα Β και επομένως η συνάρτηση μεταφοράς είναι: H () b s Ms Bs K Στο αισθητήριο θερμοκρασίας θεωρούμε επίσης τη σχέση γραμμική και άρα έχουμε: G() s Ka Παράδειγμα : Έλεγχος τάσης νήματος σε διαδικασία υφαντουργίας Σε μια διαδικασία παραγωγής νήματος σε κάποιο σημείο της παραγωγικής διαδικασίας, πρέπει η τάση του νήματος δηλαδή η δύναμη με την οποία αυτό έλκεται, να είναι σταθερή έτσι ώστε το νήμα πρώτον να μην κοπεί, αλλά κυρίως για να έχει σταθερό πάχος το τελικό προϊόν. Στο σκαρίφημα του σχήματος φαίνεται ποια είναι η αρχή του αυτοματισμού ο οποίος επιτηρεί συνεχώς την τάση και φροντίζει να την κρατάει σταθερή. Το μεσαίο «ράουλο» είναι δεμένο με ελατήριο το οποίο αντισταθμίζει τη δύναμη τάσεων του νήματος. Το ελατήριο συνδέεται με τον πυρήνα ενός ηλεκτρομαγνήτη. Αν η τάση του νήματος αυξηθεί τότε στον ηλεκτρομαγνήτη πρέπει να αναπτυχθεί ρεύμα που να δημιουργήσει δύναμη η οποία θα εξουδετερώσει αυτή την αλλαγή επαναφέροντας το ελατήριο στην θέση ισορροπίας Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 8

Τάση Τ Συνισταμένη F Vτ Τάση Τ Τάση Τ Ηλεκτρική Αντίσταση Γωνία φ Μάζα Μ T Vε Vσ VΤ Αυτεπαγωγή Vα Ελατήριο Κ Απόσβεση Β V Ενισχυτής Σχήμα 4.6 : Σύστημα ελέγχου της τάσης νήματος Το αντίθετο, αν η τάση του νήματος ελαττωθεί τότε το ρεύμα του ηλεκτρομαγνήτη θα ελαττωθεί τόσο ώστε να επανέλθει και πάλι στο σημείο ισορροπίας. Το αισθητήριο που ανιχνεύει τη θέση του ελατηρίου-ηλεκτρομαγνήτη είναι ένα γραμμικό ποτενσιόμετρο το οποίο μετατρέπει τη θέση σε ηλεκτρική τάση. Με μια συσκευή ενισχυτή η οποία θεωρητικά είναι μια πηγή τάσης που ελέγχεται από το ρεύμα ενισχύει τις μεταβολές τάσης του αισθητηρίου και παράλληλα παίζει το ρόλο του ενισχυτή ισχύος που τροφοδοτεί τον ηλεκτρομαγνήτη. Στον αυτοματισμό του σχήματος το αθροιστικό σημείο προκύπτει από το ηλεκτρικό κύκλωμα όπως το βλέπουμε στο σχήμα όπου από το νόμο των τάσεων έχουμε: V V V a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 83

Vσ=Ve-Vα Ηλεκτρικό Κύκλωμα Ηλεκτρομαγνήτης Κυρίως Συστήμα Vε Hηλ(s) I H(s) F Hελ(s) Χ -Vα GΕ(s) V Gπ(s) X Eνισχυτής Ποτενσιόμετρο Σχήμα 4.7 : Μπλόκ διάγραμμα του συστήματος ελέγχου της τάσης νήματος του σχήματος 4.6 Στο σχήμα 4.7 Δίνουμε το μπλόκ διάγραμμα του παραπάνω αυτοματισμού. Υπολογίζοντας με τη σειρά της συναρτήσεις μεταφοράς έχουμε: Στο ηλεκτρικό κύκλωμα του ηλεκτρομαγνήτη έχουμε: Is ( ) V ( s) I( s)( s) H ( s) V () s s Στον ηλεκτρομαγνήτη έχουμε ότι η αναπτυσσόμενη δύναμη F είναι ανάλογη του ρεύματος που τον διαρρέει και επομένως η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Fs () H () s K Is () Στο ελατήριο έχουμε την μηχανολογική σχέση: X( s) F s Ms X s BsX s KX s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F() s Ms Bs K Ας δούμε τώρα τι γίνεται με το ποτενσιόμετρο και ας υπολογίσουμε την σχέση που υπάρχει μεταξύ της μετατόπισης Χ και της τάσης V. Στο σχήμα 4.8(α) βλέπουμε ότι η τάση στο άκρο του δρομέα του ποτενσιομέτρου είναι: V VT όπου T είναι η συνολική αντίσταση του ποτενσιομέτρου και το μέρος της αντίαστασης που είναι μέσα εκείνη τη στιγμή, πρόκειται για τη σχέση του διαιρέτη τάσης. Αν θεωρήσουμε ότι a είναι το ποσοστό της αντίστασης που είναι μέσα κάθε φορά ο παραπάνω τύπος at γίνεται : V V av T T T Σημειώστε ότι το a είναι μικρότερο του και μεγαλύτερο του μηδέν. T Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 84

Αν βάλουμε μια αντίσταση φορτίου που θα οδηγήσει το ποτενσιόμετρο έχουμε το σχήμα 4.8(β). Αν πάρουμε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin τότε η ισοδύναμη αντίσταση θα είναι η παράλληλη συνδεσμολογία της αντίστασης πάνω και κάτω από at( a) T το δρομέα του ποτενσιομέτρου δηλαδή: o a( a) a ( a) Από το σχήμα 4.8(γ) έχουμε : Vo V Vo Vo o a( a) T T a( a) V avt a( a) T T T T VΤ T V VΤ T V (α) o (β) Vo V (γ) Σχήμα 4.8 : Σχέση μετατόπισης και τάσης Η παραπάνω σχέση είναι μη γραμμική αν όμως θεωρήσουμε ότι T, δηλαδή αν η είναι πολύ μεγαλύτερη της T τότε ο παρανομαστής είναι περίπου, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η σχέση του ποτενσιομέτρου είναι: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 85

V av. H σχέση αυτή πάντως στην πράξη είναι εύκολα να επιτευχθεί οπότε η T σχέση είναι πολύ κοντά στην πράξη. Αν θεωρήσουμε ότι το συνολικό μήκος του γραμμικού ποτενσιομέτρου είναι d και αυτό αντιστοιχεί στη συνολική μετατόπιση του X ελατηρίου-πυρήνα, τότε το ποσοστό a είναι: a και επομένως έχουμε: d V V d T X και επομένως V() s VT G () s X () s d Ο ενισχυτής μετά το ποτεντσιόμετρο θεωρούμε ότι έχει συνάρτηση μεταφοράς: G () s K E E Από το μπλοκ διάγραμμα του σχήματος 4.7 Υπολογίζουμε την ολική συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος ως εξής: H ( ) ( ) ( ) K s H s H s Fs () s Ms Bs K H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V s H s H s G s GE s T K K ( ) ( E s Ms Bs K ) d K ( s)( Ms Bs K) K KVT KE ( s)( Ms Bs K) K VT K E ( s )( Ms Bs K ) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 86

Παράδειγμα 3: Έλεγχος στάθμης σε δεξαμενή υγρών Vτ Vε - Vσ Ενισχυτής ισχύος Ηλεκτρική Αντίσταση Vβ Ι Ηλεκτρομαγνητική Βαλβίδα Ροή q Υψος h Αντίστασση ροής Διατομή Δεξαμενής E q Vh - Vt Σχήμα 4.9 : Σύστημα ελέγχου στάθμης Πρόκειται για αυτοματισμό ελέγχου της στάθμης μιας δεξαμενής. Ο έλεγχος της στάθμης γίνεται με πάρα πολλούς τρόπους από ένα απλό μηχανικό φλοτέρ μέχρι την χρήση αισθητηρίων με υπερήχους και laser. Στο παράδειγμά μας χρησιμοποιούμε αισθητήριο στάθμης το οποίο μετατρέπει την υδροστατική πίεση σε ηλεκτρικό σήμα και ο έλεγχος γίνεται με ηλεκτρικό τρόπο και ηλεκτρομαγνητική βαλβίδα. Για το σύστημα της δεξαμενής με είσοδο την ροή q και έξοδο το ύψος του υγρού h έχουμε ήδη υπολογίσει την συνάρτηση μεταφοράς της δεξαμενής η οποία είναι η εξής: h () s Hs () q ( s) Es Όπου είναι η αντίσταση της ροής και E η διατομή της δεξαμενής. Το αισθητήριο στάθμης που χρησιμοποιούμε είναι ένα ηλεκτρικός μετρητής της υδροστατικής πίεσης. Ως γνωστόν η υδροστατική πίεση στο κάτω μέρος της δεξαμενής είναι: p gh όπου p είναι η πίεση του υγρού στο κάτω μέρος της δεξαμενής είναι η πυκνότητα του υγρού και g είναι η επιτάχυνση τη βαρύτητας. Αν υποθέσουμε ότι ο ηλεκτρικός μετρητής πίεσης μας δίνει γραμμική σχέση πίεσης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 87

και ηλεκτρική τάσης θα έχουμε: Vt K p p K p gh και άρα η συνάρτηση μεταφοράς Vt () s είναι: G() s K ph h () s Στον τελεστικό ενισχυτή έχουμε: Vh () s G () s V () s t Τις συναρτήσεις μεταφοράς μετά το αθροιστικό σημείο τις έχουμε ήδη υπολογίσει το παράδειγμα και είναι: V () s H() s K για τον ενισχυτή ρεύματος V () s Is ( ) V ( s) I( s)( s) H ( s) V () s s ηλεκτροβαλβίδας και X( s) F s Ms X s BsX s KX s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μέρος της ηλεκτροβαλβίδας. για το ηλεκτρικό μέρος της F() s Ms Bs K για το μηχανικό Τελεστικός αθροιστής Vε Vσ=Ve-Vh - Ενισχυτής ρεύματος Η/Μ Βαλβίδα Κυρίως Συστήμα Δεξαμενής -Vσ I q h Hε(s) Hh(s) Hb(s) Η(S) -Vh - Vh / Vt G(s) Τελεστικός ενισχυτής Αισθητήριο Στάθμης Σχήμα 4.30 : Μπλόκ διάγραμμα συστήματος ελέγχου στάθμης Στο σχήμα 4.30 δίνουμε το μπλόκ διάγραμμα του αυτοματισμού και έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 88

H ( s) Hh( s) Hb( s) H ( s) Fs () H ( s) H ( s) H ( s) H ( s) G ( s) G( s) h b K s Ms Bs K s Fs () K Kp s Ms Bs K s K ( s)( Ms Bs K)( s) Fs () K K p ( s)( Ms Bs K)( s) K Fs () s Ms Bs K s K K ( )( )( ) p Ας δούμε στο παρόν σύστημα ελέγχου της στάθμης ποιες είναι οι διαταραχές του συστήματος, έτσι ώστε να τις προσθέσουμε στο μπλόκ διάγραμμα που κατασκευάσαμε. Περίπτωση. Ας επιστρέψουμε στον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς του κυρίως συστήματος. Για τη ροή εισόδου q, ισχύει: q( s) qh( s) q( s), όπου qh είναι η ροή η οποία ανεβάζει το ύψος της δεξαμενής και q είναι η ροή που φεύγει από τη δεξαμενή. Όπως είναι γνωστό για τη ροή που ανεβάζει το ύψος ισχύει: q ( ) ( ) h s Esh s Για τη ροή εξόδου q έχουμε: h() s q () s (). Από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύπτει η συνάρτηση μεταφορά που βρήκαμε παραπάνω : h () s Hs () q ( s) Es Σε αυτούς του υπολογισμούς απλοποιήσαμε την σχέση () θεωρώντας ότι η πίεση στην έξοδο της δεξαμενής είναι μηδέν. Η σχέση ακριβώς είναι: q h ( s) h ( s) όπου h () s είναι η πίεση στην έξοδο. o () s o Αν αλλάξουμε αυτή την πίεση στην έξοδο αυτό αποτελεί μια διαταραχή στο σύστημα. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 89

q s q s q s Esh s o ( ) h( ) ( ) ( ) o o Es h ( s) h ( s) h() s h ( s) ( E s ) h ( s) Esh ( s) q ( s) h ( s) q ( s) h ( s) q ( s) ho ( s) ( ) ( E s ) Η σχέση στην οποία καταλήξαμε αποδίδεται στο μπλοκ διάγραμμα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου : H () s ( E s ) Διαταραχή ho Ηδ(S) Τελεστικός αθροιστής Vε Vσ=Ve-Vh - Ενισχυτής ρεύματος Η/Μ Βαλβίδα Κυρίως Συστήμα Δεξαμενής -Vσ I F q h Hε(s) Hh(s) Hb(s) Η(S) -Vh - Vh / Vt G(s) Σχήμα 4.3 : Μπλόκ διάγραμμα συστήματος ελέγχου στάθμης με διαταραχή την έξοδο από τι δεξαμενή Περίπτωση : Η άλλη περίπτωση διαταραχής είναι να έχουμε μια δεύτερη παροχή η οποία θα ανοίξει κάποια στιγμή και θα γεμίζει την δεξαμενή μαζί με την κύρια παροχή. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: q ( s) q ( s) q ( s) q ( s) 0 h Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 90

Διαταραχή qo Τελεστικός αθροιστής Vε Vσ=Ve-Vh - Ενισχυτής ρεύματος Η/Μ Βαλβίδα Κυρίως Συστήμα Δεξαμενής -Vσ I F q h Hε(s) Hh(s) Hb(s) Η(S) qq0 -Vh - Vh / Vt G(s) Σχήμα 4.3 : Μπλόκ διάγραμμα συστήματος ελέγχου στάθμης με διαταραχή την είσοδο στη δεξαμενή Παράδειγμα 4: Η απλή δεξαμενή με φλοτέρ (το καζανάκι της τουαλέτας) Ροή q= Kq.hσ Επιθητή στάθμη Υψος hε Φλοτέρ hσ=hε-h Ύψος στάθμης h Διατομή Δεξαμενής Ε Σχήμα 4.3 : Σύστημα ελέγχου στάθμης (καζανάκι) Ας προσπαθήσουμε να αναλύσουμε τον αυτοματισμό με ανάδραση που έχουμε στο απλό καζανάκι της τουαλέτας. Κατ αρχήν η δεξαμενή στην προκειμένη περίπτωση δεν έχει ροή εξόδου στο νερό. Το άδειασμα στο καζανάκι είναι μια διαταραχή στον αυτοματισμό, όπως θα δούμε. Ας υπολογίσουμε κατ αρχήν τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος που έχει είσοδο την ροή q και έξοδο το ύψος της στάθμης h. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 9

Η ροή q δημιουργεί την αύξηση του ύψους της στάθμης και επομένως έχουμε: hs ( ) q( s) Esh( s) H ( s) q() s Es Για λόγους γραμμικότητας επιλέγουμε «καζανάκι» όπου το φλοτέρ είναι κατακόρυφο. Σημείο μηδέν για τη στάθμη θεωρούμε τον πυθμένα της δεξαμενής. Αν υποθέσουμε ότι ρυθμίζουμε την ανώτατη στάθμη h τότε στην βάνα εισαγωγής η ροή εισαγωγής είναι ανάλογη της διαφοράς h h. Κάνουμε αυτή την υπόθεση για να γραμμικοποιήσουμε το σύστημα, πράγμα όμως το οποίο είναι πολύ κοντά στην πραγματικότητα. hε hσ Kq q Η(s) h h Σχήμα 4.33 :Μπλόκ διάγραμμα του συστήματος ελέγχου στάθμης (καζανάκι) Στο σχήμα 4.33 δίνεται το μπλοκ διάγραμμα του συστήματος. Θα προσπαθήσουμε τώρα να αναλύσουμε τι γίνεται κατά το άδειασμα της δεξαμενής. Το άδειασμα μπορούμε να πούμε ότι αποτελεί τη διαταραχή του συστήματος. Το άδειασμα συμβαίνει από τη στιγμή που το προκαλούμε εμείς έως ότου η στάθμη γίνει μηδέν. Κατά τη διάρκεια της εκροής έχουμε: q( s) Esh( s) q ( s) (), όπου q είναι η ροή εξόδου για την οποία όμως ισχύει: hs () q() s όπου είναι η αντίσταση ροής της εξόδου. Άρα αν αντικαταστήσουμε στη σχέση () έχουμε: hs () E s q s Esh s q s h s h s q s E s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αν τη σχέση αυτή τη γράψω διαιρώντας αριθμητή και παρανομαστή με το Es θα έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 9

Ροή q= Kq.hσ Επιθητή στάθμη Υψος hε Φλοτέρ hσ=hε-h Ύψος στάθμης h Αντίστασση ροής Διατομή Δεξαμενής Ε Ροή q Σχήμα 4.34 :Σύστημα ελέγχου στάθμης (καζανάκι) με διαταραχή E s h s q s q s h s Es q s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s E s E s Η σχέση () μας θυμίζει όμως ότι το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς αρνητική ανάδραση το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς () Es έχει σαν και το ολικό σύστημα έχει σαν είσοδο το qs () και έξοδο το hs (). Έτσι μπορούμε να παρουσιάσουμε τη διαταραχή όπως φαίνεται στο σχήμα 4.35 Ο διακόπτης είναι ΟΝ, από τι στιγμή που προκαλούμε την εκροή του νερού έως ότου η στάθμη αποκτήσει ύψος μηδέν. hε hσ Kq q /Es h h / Διαταραχή Σχήμα 4.34 :Μπλόκ διάγραμμα Συστήματος ελέγχου στάθμης (καζανάκι) με διαταραχή Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 93

Παραλλαγή: Κλασσικό φλοτέρ με γωνία. Ροή q Επιθυμιτή ανώτατη στάθμη Θσ Μήκος βραχίονα λ Θε Θε = Γωνία ρίθμησης Επιθυμιτής ανώτατη στάθμη Θ Φλοτέρ Υψος h Ορθογώνιο τρίγωνο Μήκος τόξου μ Κατώτατη στάθμη Αντίστασση ροής Διατομή Δεξαμενής Ε Ροή q Σχήμα 4.35 :Σύστημα ελέγχου στάθμης (καζανάκι) με φλοτέρ περιστροφικό Στο σχήμα 4.35 βλέπουμε ένα κλασσικό φλοτέρ με βραχίονα. Στην περίπτωση αυτή η ροή q είναι ανάλογη με τη γωνία ανοίγματος. Η γωνία είναι η γωνία στην οποία ρυθμίζουμε την επιθυμητή στάθμη. Και επομένως η γωνία είναι το σφάλμα. Όπως φαίνεται και από το σχήμα. Το ερώτημα είναι κατά πόσο η σχέση μετατροπής των γωνιών σε ύψος στάθμης είναι γραμμική. Την γραμμικότητα αυτή μπορούμε μόνο να την προσεγγίσουμε. Βλέποντας το σχήμα το μήκος τόξου που αντιστοιχεί στη γωνία είναι:, ;όπου μ είναι το μήκος του τόξου, και λ 360 είναι το μήκος του βραχίονα. Επειδή συνήθως το μήκος τόξου είναι μικρό δε σχέση με το μήκος περιφέρειας του κύκλου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μήκος τόξου είναι ευθεία γραμμή. Αν ακόμα τραβήξουμε λίγο την προσέγγιση και υποθέσουμε ότι η γεωμετρία επιτρέπει στο ορθογώνια τρίγωνο που δημιουργείται να το θεωρήσουμε ισοσκελές τότε έχουμε για το ύψος στάθμης: K 360 Στο σχήμα 4.36 Βλέπουμε το μπλοκ διάγραμμα. h K όπου: 360 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 94

θε θσ Kq q Η(s) h θ Κθ Σχήμα 4.36 : Μπλόκ διάγραμμα συστήματος ελέγχου στάθμης (καζανάκι) με φλοτέρ περιστροφικό Παράδειγμα 4: Έλεγχος στάθμης σε σύστημα δύο δεξαμενών υγρών Vτ Vε - Ηλεκτρική Αντίσταση Vσ Ηλεκτρομαγνητική Βαλβίδα qb Ροή qa Υψος h Δεξαμενή Αντίστασση ροής Αντίστασση ροής Υψος h h Δεξαμενή Αντίστασση ροής 3 q Ροή Διατομή Δεξαμενής E Ροή q Διατομή Δεξαμενής E Ροή q3 - Σχήμα 4.37 : Σύστημα ελέγχου της στάθμης της δεξαμενής Στο σύστημα του σχήματος 4.37 έχουμε το σύστημα δύο δεξαμενών με τις ροές και εισροές που βλέπουμε και θέλουμε να κάνουμε έλεγχο της στάθμης της δεξαμενής. Τα σύστημα μοιάζει πού με το προηγούμενο παράδειγμα, η διαφορά βρίσκεται στη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος των δύο δεξαμενών. Στο σύστημα των δεξαμενών θα θεωρήσουμε είσοδο την ροή qa και έξοδο την στάθμη h. Αν και έχουμε υπολογίσει αυτή συνάρτηση μεταφοράς θα την υπολογίσουμε εκ νέου. Αν ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις των ροών για τη δεξαμενή έχουμε: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 95

q s q s q s q s q s E sh s q s h ( s) h ( s) a ( ) h( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) Es qa ( s) h ( s) q ( s) h ( s) h ( s) qa ( s) h ( s) q ( s) E s E s E s Για ευκολία αντικαθιστούμε τα μέσα στις παρενθέσεις και έχουμε: h ( s) qa ( s) h ( s) q( s) E s E s E s () h ( s) q ( s) h ( s) q ( s) a Για τη δεξαμενή έχουμε: q s q s q s q s q s E sh s q s h ( s) h ( s) b( ) ( ) h( ) 3( ) b( ) ( ) 3( ) Es qb ( s) h ( s) q3( s) h ( s) h ( s) qb ( s) h ( s) q3( s) Es Es Es Όπως και παραπάνω για ευκολία στις πράξεις έχουμε: h ( s) qb ( s) h ( s) q3( s) Es Es Es h ( s) q ( s) h ( s) q ( s) 3 b 4 3 3 Αντικαθιστούμε το h () s από την () στην εξίσωση () και έχουμε: h ( s) q ( s) q ( s) q ( s) h ( s) q ( s) a 3 b 4 3 3 ( ) h ( s) q ( s) q ( s) q ( s) q ( s) 4 a 3 b 3 3 h ( s) q ( s) q ( s) q ( s) q ( s) 3 3 a b 3 4 4 4 4 Η παραπάνω σχέση οδηγεί στο μπλόκ διάγραμμα του σχήματος 4.38. θα κάνουμε την παραδοχή ότι στο σύστημα έχουμε διαταραχές ως εξής: Ροή εισαγωγής στην δεξαμενή : q b Ροή εξόδου από την δεξαμενή : q Ροή εξόδου από τη δεξαμενή : q Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 96

Επίσης θέτουμε: Ha () s και 4 Ha () s 3 4 q(s) Διαταραχές qb(s) q3(s) Ηa(S) Ηb(S) Ηb(S) qa(s) Είσοδος Ηa(S) Σχήμα 4.38 : Μπλόκ διάγραμμα των δύο δεξαμενών Το υπόλοιπο σύστημα είναι ίδιο με το αυτό του προγηγούνου παραδείγματος και άρα το συνολικό σύστημα φαίνεται στο σχήμα 4.39 q Διαταραχές qb q3 Τελεστικός αθροιστής Vε Vσ=Ve-Vh - -Vσ Ενισχυτής ρεύματος Hε(s) I Η/Μ Βαλβίδα F Hh(s) Hb(s) qa Κυρίως Συστήμα Δεξαμενής Ηa(S) Ηa(S) Ηb(S) Ηb(S) h έξοδος -Vh - Vh / Vt G(s) Σχήμα 4.39 : Μπλόκ διάγραμμα του συστήματος ανάδρασης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 97

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση με ελεγκτή δύο καταστάσεων Στο σχήμα 4.40 έχουμε το σύστημα ενός απλού ηλεκτρικού θερμοσίφωνα που υπάρχει σε κάθε σπίτι. Το σύστημα αυτό αποτελείται από μια θερμαντική αντίσταση η οποία θερμαίνει το νερό της δεξαμενής. Ο έλεγχος γίνεται από ένα διμεταλλικό θερμοστάτη ο οποίο αποτελείται από ένα μεταλλικό στέλεχος το οποίο λαμβάνει την θερμοκρασία. Όταν η θερμοκρασία περάσει το ΑΝΩ ΟΡΙΟ τότε το διμεταλλικό έλασμα ανοίγει και διακόπτει το ρεύμα και επομένως σταματάει η θερμαντική αντίσταση να δίνει θερμότητα. Όταν η θερμοκρασία πέσει κάτω από το ΚΑΤΩ όριο, τότε το διμεταλλικό έλασμα κλείνει το κύκλωμα και η θέρμανση αρχίζει ξανά. ΘΕΡΜΟΣΙΦΩΝΑΣ Θερμική αντίσταση Διμεταλλικός θερμοστάτης παίζει και ρόλο ελεγκτή Ρύθμιση επιθυμητής τιμής AC Πηγή τάσης δικτύο (30 AC) Σχήμα 4.40 : Σύστημα ελέγχου θερμοσίφωνα με διμεταλλικό έλασμα Το πρώτο που πρέπει να παρατηρήσουμε είναι ότι το σύστημα αυτό δεν μοιάζει με όσα ήδη έχουμε περιγράψει. Το σύστημα του διμεταλλικού ελάσματος δεν είναι αναλογικό αλλά λαμβάνει δύο μόνο τιμές, ΑΝΩ ΟΡΙΟ και ΚΑΤΩ ΟΡΙΟ. Το όλο σύστημα ανάδρασης επομένως γίνεται μη γραμμικό. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να εξάγουμε το μπλόκ διάγραμμα του συστήματος αυτού και να δούμε πως θα προσεγγίσουμε αυτή τη μη γραμμικότητα. Όπως έχουμε ήδη δει στην προηγούμενη παράγραφο έχουμε: dq( t) d( t) d( t) C q() t C, όπου Qt () είναι το ποσό την θερμότητας που dt dt dt Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 98

προσδίδεται στο νερό και () t η διαφορά θερμοκρασία τελική μείον την αρχική. Αν θεωρήσουμε σαν θερμοκρασία αναφοράς την αρχική θερμοκρασία, τότε το () t μας δίνει τη θερμοκρασία του νερού. Το C που ονομάσαμε θερμοχωρητικότητα είναι όπως έχουμε πει ειδική θερμότητα του νερού επί την Μάζα. Στην ηλεκτρική αντίσταση, έχουμε σταθερό ρεύμα από το δίκτυο. Αν υποθέσουμε ότι όλη η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική τότε το dq() t dt παριστάνει την ηλεκτρική ισχύ. Βέβαια στην πράξη πρέπει να δούμε ποιες είναι οι μονάδες και να κάνουμε τις αντίστοιχες προσαρμογές. Σύμφωνα με αυτά μπορούμε τον παραπάνω τύπο να τον γράψουμε: dq ( t ) ( ) () d P t C t όπου το Pt () είναι η ηλεκτρική dt dt ισχύς. Αν πάμε στο πεδίο του aplace έχουμε: P( s) Cs ( t) και άρα έχουμε συνάρτηση μεταφοράς: ( t) H () s. P() s Cs Ο θερμοστάτη όπως είπαμε και πριν δουλεύει ως εξής: Όταν η θερμοκρασία περάσει το ΑΝΩ ΟΡΙΟ τότε έχουμε την πλήρη ισχύ στο σύστημα. Όταν πέσει κάτω από το ΚΑΤΩ ΟΡΙΟ τότε έχουμε μηδενική ισχύ. Στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σύστημα με μια μη γραμμικότητα. Στο σύστημα αυτό στην είσοδο του έχουμε αναλογικό σήμα, στην έξοδο όμως μόνο δύο τιμές. Η χαρακτηριστική μεταφοράς ενός τέτοιου συστήματος με δύο όρια δίνεται στο σχήμα 4.4 και ονομάζεται χαρακτηριστική ρελέ. εξοδος ΠΛΗΡΗΣ ΙΣΧΥΣ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΙΣΧΥΣ είσοδος ΚΑΤΩ ΟΡΙΟ ΑΝΩ ΟΡΙΟ Σχήμα 4.4 : Μη γραμμική χαρακτηριστική μεταφοράς τύπου ρελέ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 99

Το μπλόκ διάγραμμα στο οποίο καταλήγουμε δίνεται στο σχήμα 4.4 Είσοδος επιθυμητή Θερμοκρασία θε(s) P(s) Ηθ(s) Εξοδος θ(s) Σχήμα 4.4 : Μπλόκ διάγραμμα του απλού θερμοσίφωνα Η επιθυμητή θερμοκρασία στο σύστημα ρυθμίζεται μηχανικά από το θερμοστάτη, ρυθμίζοντας με μια «βίδα» την απόσταση του διμεταλλικού ελάσματος. Βέβαια εμείς ρυθμίζουμε το ΑΝΩ ΟΡΙΟ, το κάτω όριο υπάρχει από τη φύση του συστήματος του θερμοστάτη και μπορούμε μόνο κατά προσέγγιση η με μετρήσεις να το βρούμε. Το τι επίπτωση επιφέρει στο σύστημα η μη γραμμικότητα θα το δούμε στην επόμενη παράγραφο, όταν θα προσομοιώσουμε τα συστήματα στο Matlab. Σύστημα του θερμοσίφωνα με αναλογικό σύστημα ελέγχου Στο σχήμα 4.43 δίνεται ένα σύστημα ελέγχου της θερμοκρασία του θερμοσίφωνα με αναλογικό τρόπο έτσι ώστε να δούμε πως αυτό μπορεί να γίνει. Κατ αρχήν θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πλέον ένα αισθητήριο θερμοκρασία το οποίο ας υποθέσουμε ότι θα μας δίδει μια τάση ανάλογη με τη θερμοκρασία. Η αναλογική ρύθμιση της ισχύος της ηλεκτρικής αντίστασης μπορεί να γίνει με τη χρήση ενός θυρίστορ. Το σήμα σφάλματος το οποίο προκύπτει από έναν τελεστικό ενισχυτή θα πρέπει να ελέγξει την παλμογεννήτρια η οποία καθορίζει την έναυση του θυρίστορ και επομένως την ισχύ η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα. Το μπλόκ διάγραμμα του αναλογικού συστήματος φαίνεται στο σχήμα 4.44. Θα πρέπει στο σύστημα αυτό να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του αισθητηρίου την οποία ονομάζουμε: H () a s. Επίσης θα πρέπει να υπολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος που περιλαμβάνει το θυρίστορ και την παλμογεννήτρια και την οποία ονομάζουμε: H () s th Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 300

ΘΕΡΜΟΣΙΦΩΝΑΣ Θερμική αντίσταση Αναλογικό αισθητήριο θερμοκρασίας Θυρίστορ AC Πηγή τάσης δικτύο (30 AC) Vτ - Vε Ελεγχόμενη απο τάση παλμοσειρά Σχήμα 4.43 : Σύστημα αναλογικού ελέγχου της θερμοκρασίας σε θερμοσίφωνα, Είσοδος επιθυμητή Θερμοκρασία Vε(s) Vε(s)-Vθ(s) Hth(s) P(s) Ηθ(s) Εξοδος θ(s) Vθ(s) Ha(s) Σχήμα 4.44 : Μλόκ διάγραμμα για το σύστημα αναλογικού ελέγχου της θερμοκρασίας σε θερμοσίφωνα, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 30

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι (Θεωρία και Εργαστήριο) Γιώργος Σούλτης 30