Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 7: Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις & Αναπτύγματα Συνιστωσών του Πεδίου Βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Itroductio to gravity field Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 13:00 Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος

http://web.auth.gr/e-topo/ http://olimpia.topo.auth.gr/courses/ Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Laplace: 2 2 2 f f f 2 2 2 0 x y z 1. Πολυώνυμα και γενικευμένες συναρτήσεις Legedre 2. Πλήρως κανονικοποιημένα πολυώνυμα και πλήρως κανονικοποιημένες γενικευμένες συναρτήσεις Legedre 3. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές και πλήρως κανονικοποιημένες επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ V = km l km a V( r,, ) 1 C cosm S si m P (cos ) r r 2 m 0 r,, : Μ a οι πολικές συντεταγμένες του σημείου υπολογισμού η μάζα της Γης ο μεγάλος ημιάξονας του ελλειψοειδούς αναφοράς C, S οι συντελεστές του γήινου δυναμικού έλξης P(cos ) οι πλήρως κανονικοποιημένες γενικευμένες συναρτήσεις Legedre

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Κάποια κρίσιμα σημεία: o Οποιαδήποτε συνάρτηση (ορισμένη από τις τιμές επάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας S) είτε είναι αρμονική είτε όχι, μπορεί να αναπτυχθεί σε επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές (δεν αποτελεί όμως λύση των προβλημάτων συνοριακών τιμών) f, a R, b S, f 0 0 m 0 o Μία αρμονική συνάρτηση μπορεί πάντοτε να αναπτυχθεί σε στερεές σφαιρικές αρμονικές χρησιμοποιώντας τις συνοριακές τιμές της που είναι δοσμένες επάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια S (και αποτελεί λύση των προβλημάτων συνοριακών τιμών) 1 R f, ar, bs, r 0 m 0 f 0

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Σχέσεις ορθογωνικότητας επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών 2 2 0 0 0 0 R, R, d 0 sr R, S, d 0 sr 2 0 0 S, S, d 0 s ή r m ή s & r m d si d d sr m & r s Ειδικές περιπτώσεις 2 0 0 R 2 0, d 4 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 R, d S, d 4 m! 2 1 m!

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oκάθε συνάρτηση είτε είναι αρμονική είτε όχι μπορεί να αναπτυχθεί σε επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές f, Y, a R, b S, 0 0 m 0 oγια το δυναμικό της βαρύτητας, οι γραμμικοί συνδυασμοί των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών με r και 1/r (+1), δηλαδή οι στερεές σφαιρικές αρμονικές, αποτελούν λύσεις των συνοριακών προβλημάτων τιμών V r a R, b S, 0 m 0 1 0 m 0 1 V ar, bs, r

ΠΛΗΡΩΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ R, 2 1 R, 0 0 m 0 m! R, 2 2 1 R, m! m! S, 2 2 1 S, m! m 0 Σχέσεις ορθογωνικότητας 1 4 2 2 2 2 0 0 0 0 R, d S, d 1

ΠΛΗΡΩΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ R, P cos cosm S, P cos si Βασικές σχέσεις Αναδρομική σχέση P 2 1 2 1 cos cos P cos m m 1m 2 1 m 1 m 1 P 2 3 m m 2m cos m 1

ΠΛΗΡΩΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Εικόνα 1

ΠΛΗΡΩΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Υπολογίζονται οι τιμές των πρώτων σε βαθμό και τάξη συναρτήσεων P00 1 P10 3cos P11 3si Υπολογίζονται οι τιμές των συναρτήσεων επάνω στην κύρια διαγώνιο (=m) P 2 1 si 2 P 1, 1 Υπολογίζονται οι τιμές των συναρτήσεων επάνω στη δεύτερη διαγώνιο P 2 1cos P, 1 1, 1 Παράδειγμα υπολογισμού Υπολογίζονται οι υπόλοιπες τιμές από την αναδρομική διαδικασία P 2 1 2 1 cos cos P cos m m 1m 2 2 1 m 1 m 1 2 3 m m P 2m cos

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ dm V k k du u l u l V ρίζα της εξίσωσης του Laplace dm 1 V k k du u l u l εφαρμογή του τελεστή Δ του Laplace

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Δεδομένου το 1/l είναι αρμονική συνάρτηση, ισχύει 1 l r 2 1 0r 1 P cos cos cos 1 cos 2 si 1 si 2 si 1 2

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oτο 1/l αρμονική συνάρτηση, άρα και το δυναμικό V αρμονική συνάρτηση και επομένως μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά σφαιρικών αρμονικών (για τυχαίο σημείο απόστασης r από το κέντρο της γήινης σφαίρας 1 Y, a 1 0 0 0 m 0 V r,, V R, b S, r r oη αρμονική μηδενικής τάξης (=0) δίνει το δυναμικό της Γήινης μάζας (km), η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στο κέντρο της γήινης σφαίρας km a V r,, 1 R, bs, r 1 r m 0

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oαν επιπλέον θεωρήσουμε ότι το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε είναι γεωκεντρικό τότε οι αρμονικοί όροι πρώτης τάξης (=1) εξαφανίζονται km a V r,, 1 R, bs, r 2 r m 0 oτέλος εάν αντί για τους συντελεστές (a, b ) αντικαταστήσουμε τα τριπλά ολοκληρώματα των γήινων μαζών με τους σφαιρικούς αρμονικούς συντελεστές (C, S ) προκύπτει km a V r,, 1 C cosm S si P cos r 2 r m 0

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oοι σφαιρικοί αρμονικούς συντελεστές (C, S ) υπολογίζονται ως εξής 1 a C0 C P cos dm M r m 0 C S 2 m! r M m! a P cos cosm si dm m 0

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oσε πλήρη αναλογία με τις πλήρως κανονικοποιημένες επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές ορίζονται και οι πλήρως κανονικοποιημένοι σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές C m! S k 2 1 m! C S k 1 m 0 2 m 0 GM a V r,, 1 C cosm S si P cos r 2 r m 0

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ O Εικόνα 2 GM a V r,, 1 C cosm S si P cos r 2 r m 0 oο όρος μηδενικής τάξης (=0) δίνει το δυναμικό της Γήινης μάζας (km), η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στο κέντρο της γήινης σφαίρας και απουσιάζει αφού διαχωρίζεται πλήρως oτο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε είναι γεωκεντρικό οπότε οι αρμονικοί όροι πρώτης τάξης (=1) εξαφανίζονται

ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ O 2 km a V r, 1 J2 P2 cos r 1 r Εικόνα 3 oλόγω της συμμετρίας του ΕΕΠ ως προς τον άξονα περιστροφής μηδενίζονται οι τραπεζοειδείς αρμονικές (δεν υπάρχει τάξη ανάπτυξης m) και το ανάπτυγμα είναι ανεξάρτητο του λ oλόγω της συμμετρίας του ΕΕΠ ως προς το ισημερινό επίπεδο μηδενίζονται οι περιττές αρμονικές ζώνης Υπάρχουν στο ανάπτυγμα μόνο άρτιες αρμονικές ζώνης

ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ J 2 km a V r, 1 J2 P2 cos r 1 r 3e J J 2 1 2 3 e 2 1 2 2 1 1 5 2 C A Ma 2 2 συντελεστής δυναμικής μορφής για =1 2 2 A y z dm M 2 2 C x y dm M Ροπές αδρανείας του ΕΕΠ ως προς τους άξονες x και z αντίστοιχα e E a b a a 2 2 e πρώτη εκκεντρότητα ΕΕΠ Ε πρώτη γραμμική εκκεντρότητα

ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Εκφράσεις για τους πρώτους όρους 2 f m 2 11 J2 f 1 1 f f 3 2 2 7 49 2 4 f f 2 J4 f 1 7f 1 5m 1 f 35 2 2 7 4 21 2 J6 f 6f 5m m 2 a 3 1 km f

ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Τιμές για το ελλειψοειδές του GRS80 J 2 0.108262982131 10 2 J 4 0.2370911200531 10 5 Πολύ μικρές τιμές για αυξανόμενο βαθμό J 6 0.608346498882 10 8 Συνήθως χρησιμοποιούμε συντελεστές μέχρι έκτο βαθμό J 8 0.142681087920 10 10

ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oσε πλήρη αναλογία με την ανάπτυξη του γήινου δυναμικού έλξης σε πλήρως κανονικοποιημένους σφαιρικούς αρμονικούς συντελεστές μπορούμε να εκφράσουμε και το κανονικό δυναμικό έλξης GM a V r,, 1 C cosm S si P cos r 2 r m 0 S 0;, m C 0; m 0, m ό V r,, V r, 2 4 6 GM a a a V r,, 1 C20 P20 C40 P40 C60 P60... r r r r C 0 J 2 1

ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ 1η προσέγγιση η γη προσεγγίζεται με ελλειψοειδές V Φ δυναμικό έλξης του ΕΕΠ φυγοκεντρικό δυναμικό Φ 1 2 x y 2 2 2 δυναμικό κανονικής γης (κανονικής βαρύτητας) κανονικό δυναμικό U= V + Φ

ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 2η προσέγγιση η γη προσεγγίζεται με σφαίρα O O 1 V δυναμικό έλξης του ΕΕΠ 2 Φ φυγοκεντρικό δυναμικό Φ 1 2 x y 2 2 2 δυναμικό βαρύτητας W = V + Φ

ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ o H πραγματική (θεωρητική) ποσότητα μείον ένα κανονικό μέρος (που αποτελεί το μεγαλύτερο τμήμα) και υπολογίζεται από κάποιο μοντέλο Διαταρακτικό δυναμικό Τ Τ = W - U o Το πραγματικό (θεωρητικό) γήινο δυναμικό βαρύτητας μείον ένα κανονικό μέρος (που αποτελεί το μεγαλύτερο τμήμα) και υπολογίζεται από κάποιο μοντέλο (ΕΕΠ)

ΤΟ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ T W U V V V V διαταρακτικό βαρύτητας ΕΕΠ γήινης έλξης φυγόκεντρο κανονικό ΕΕΠ C 0 J 2 1 C C C * 0 0 0 J 2 C 4 20 C40 S * 5 S J 3 km a * *,, cos si cos 2 m 0 T r C m S m P r r

ΤΟ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ km a * *,, cos si cos 2 m 0 T r C m S m P r r Εικόνα 4 N. Seeuw

ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΦΑΙΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ W W W UQ U0 W P 0 Εικόνα 5 σφαιροδυναμική επιφάνεια km a V W 1 C cosm S si P cos r 2m 0 r

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Σε σφαιρική προσέγγιση προκύπτει g P TP 1 Q Q T P h r 1 2 1 2 h r h R 2 2 km G 3 h r r h R Εικόνα 6 g T r 2 T r

ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ T 2 g T r r km a * *,, cos si cos 2 m 0 T r C m S m P r r 1 * * 1 C cosm S si P cos r ra 2 r m 0 T km a 1 a * * 2 cos si cos 2 m 0 2 km T C m S m P r ra r km a * *,, 1 cos si cos 2 2 m 0 g r C m S m P r r

ΆΛΛΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ N dn 1dT - ds ds Εικόνα 7 P 1 T r cos 1 si cos 1 rcos km a * *,, cos si cos 2 m 0 r C m S m P r r P P T 1 cos a * *,, cos si 2 m 0 r C m S m r P cos 1 a * *,, - cos si cos 2 m 0 r C m S m mp cos r

ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Γεωειδές ~ ΕΕΠ ~ Σφαίρα a r R O 2 Εικόνα 8 O 1 Αποχή ΕΕΠ από σφαίρα 1/300 100m N 100m N 0.3m 30, 30 0.1 oο όρος σφαιρική προσέγγιση δεν σημαίνει ότι οι υπολογισμοί κανονικού δυναμικού και κανονικής βαρύτητας γίνονται στη σφαίρα. oτο ΕΕΠ παραμένει επιφάνεια αναφοράς, όπου και γίνονται οι υπολογισμοί. oοι σχέσεις σε σφαιρική προσέγγιση για τα Τ, Δg, Ν, ξ, η, που δίνονται στη συνέχεια, υπολογίζονται στη συνοριακή επιφάνεια του γεωειδούς και στη συνέχεια το γεωειδές προβάλλεται στη σφαίρα f,

ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ km a * *,, cos si cos 2 m 0 T r C m S m P r r km a * *,, 1 cos si cos 2 2 m 0 g r C m S m P r r km a * *,, cos si cos 2 m 0 r C m S m P r r a * *,, cos si 2 m 0 r C m S m r P cos 1 a * *,, - cos si cos 2 m 0 r C m S m mp cos r

ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ C S Μοντέλα συντελεστών σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων Ομάδες συντελεστών του δυναμικού έλξης Smithsoia Stadard Earth SSE Ohio State Uiversity - OSU GSFC (Goddard Space Flight Ceter) / NASA Texas Uiversity USA GeoForschugZetrum / Potsdam / Germay Istitut fur Erdmessug / Haover / Germay NIMA (Natioal Imagig ad Mappig Agecy) / USA NGS (Natioal Geospatial Imagig Service) / USA

ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εικόνα 9

ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εικόνα 10 & EGM2008 2190 CHAMP+GRACE 5 2008 +Δg+Δορ.αλτ.(Δg)

ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ EGM96 oegm96 Earth Geopotetial Model 1996 oπλήρες σε βαθμό και τάξη 360 (xm)=(360x360) oμέσες τιμές ανωμαλιών βαρύτητας Δg 30 x30 Παράμετροι ελλειψοειδούς/συστήματος αναφοράς km 3986004.415x10 8 3 cm sec 2 ω 7292115x10 11 radsec 1 a b 6378136.3 m 6356751.6 m e 2 0.00669439810568 099 1 / f 298.256415 γ eq γ p 978032.758157 983218.707745 mgal mgal

ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ EGM96 Εικόνα 11

ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ EGM96 Εικόνα 12 Lemoie et al. (1997)

ΕΠΙΓΕΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ EGM96 Εικόνα 13 Lemoie et al. (1997)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΕΠΙΓΕΙΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ EGM96 Εικόνα 14 Lemoie et al. (1997)

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ EGM96 Εικόνα 15 Lemoie et al. (1997)

ΣΥΝΤ. ΜΕΤ. & ΣΥΝΤ. ΜΕΤ. ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ EGM96 Εικόνα 16 Lemoie et al. (1997)

ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ EGM2008 oegm08 Earth Geopotetial Model 2008 oπλήρες σε βαθμό και τάξη 2190 (xm)=(2190x2190) oμέσες τιμές ανωμαλιών βαρύτητας Δg 5 x5 Παράμετροι ελλειψοειδούς/συστήματος αναφοράς km 3986004.415x10 8 3 cm sec 2 ω 7292115x10 11 radsec 1 a b 6378136.3 m 6356751.6 m e 2 0.00669439810568 099 1 / f 298.256415 γ eq γ p 978032.758157 983218.707745 mgal mgal

ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ EGM08 12.0% of Lad 42.9% of Lad 45.1% of Lad Pavlis et al. (2008) Εικόνα 17

ΠΗΓΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ EGM08 Εικόνα 18 Pavlis et al. (2008)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΕΠΙΓΕΙΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ EGM08 Εικόνα 19 Pavlis et al. (2008)

ΣΥΝΤ. ΜΕΤ. & ΣΥΝΤ. ΜΕΤ. ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ EGM08 Εικόνα 20 Pavlis et al. (2008)

ΣΥΝΤ. ΜΕΤ. & ΣΥΝΤ. ΜΕΤ. ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ EGM08 10 1 10 0 EGM2008 Sigal ITG-GRACE03S Error (Calibrated) EGM2008_Surf.Grav. Error (Calibrated) EGM2008 Calibrated Error mgal 2 10-1 10-2 10-3 Gravity Aomaly Degree Variaces From Ellipsoidal Harmoic Coefficiets 0 360 720 1080 1440 1800 2160 Degree Εικόνα 21 Pavlis et al. (2008)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ EGM08 Εικόνα 22 Pavlis et al. (2008)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑΣ ξ EGM08 Εικόνα 23 Pavlis et al. (2008)

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑΣ η EGM08 Εικόνα 24 Pavlis et al. (2008)

ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ EGM96 Εικόνα 25

ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ EIGEN3p Εικόνα 26

ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ GGM01S Εικόνα 27

ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ EGM2008 Εικόνα 28

ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ EGM96 Εικόνα 29

ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ EIGEN3p Εικόνα 30

ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ GGM01S Εικόνα 31

ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ EGM2008 Εικόνα 32

ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΑΠΌ ΤΑ ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εικόνα 33 www.gfz-potsdam.de

Η ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΗ CHAMP ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ CHAMP - CHAllegig Mii-satellite Payload Εικόνα 34 Δορυφορικές λύσεις για γεωδυναμικό μέχρι το βαθμό 60-80

Η ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΗ CHAMP ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Εικόνα 35

Η ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΗ GRACE ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ GRACE - Gravity Recovery ad Climate Experimets Εικόνα 36 Βαθμιδομετρία και πεδίο βαρύτητας

Η ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΗ GRACE ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Εικόνα 37

Η ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΗ GOCE ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ GOCE - Gravity ad Ocea Circulatio Explorer Εικόνα 38 Κατακόρυφες βαθμίδες του πεδίο βαρύτητας

Η ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΗ GOCE ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Εικόνα 39

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Εικόνα 40

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ o μετρήσεις τροχιών τεχνητών δορυφόρων o επίγεια δεδομένα βαρύτητας o συνδυασμό επίγειων και δορυφορικών δεδομένων Το σύνολο των δεδομένων επίγειων και δορυφορικών μετατρέπεται σε ανωμαλίες βαρύτητας (σημειακές ή μέσες), οι οποίες θεωρούνται αντιπροσωπευτικές ενός γεωγραφικού διαμερίσματος που ορίζεται από μεσημβρινούς και παραλλήλους.

ΠΡΑΚΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ C r r S 4 GM 1 a * 2 1 * gp (si ) cosm si d C S * * 4 1 GM r cosm r NP(si ) d a si oμέσες Τιμές 1 x 1 για ολόκληρη τη γη (πλέγμα μεσημβρινών και παραλλήλων, 180x360=64800 τιμές) 64800 2 C 1 gk r r S 4 k 1 GM ( o) 1 a P (si ) cosm si d oο βαθμός και η τάξη του αναπτύγματος των συντελεστών εξαρτώνται από τη διακριτική ικανότητα των διαθέσιμων δεδομένων oη ακρίβεια των συντελεστών εξαρτάται από την ακρίβεια των δεδομένων

ΠΡΑΚΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ συντελεστής εξομάλυνσης Pellie 0 cot 0/2 P 1 1 0 είναι η ακτίνα ενός κύκλου εμβαδού ίσου (προσεγγιστικά) με το εμβαδό τετραγώνου πλευράς si 0 si 4 Το εύρος Δσ των διαμερισμάτων μέσων τιμών εξαρτάται από την κατανομή των δεδομένων και αντιστοιχεί στο μέγιστο βαθμό ανάπτυξης του μοντέλου max max 180 o

ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΠΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ C S N, g,, o Ακρίβεια δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των συντελεστών του γεωδυναμικού μοντέλου o Διακριτική ικανότητα (πυκνότητα) δεδομένων o Καταλληλότητα (adequacy) του γεωδυναμικού μοντέλου για τον προσδιορισμό των συνιστωσών του πεδίου βαρτύτητας

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΑΠΟΚΟΠΗΣ NYQUIST ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΝΠΤΥΞΗΣ max 180 o o Για max =360 είναι o Για max =2160 είναι 0.5 5 ή ~55 km ή ~10 km Από τη φασματική ανάλυση διακριτών σημάτων προκύπτει ότι μπορώ να αναπαραστήσω το πεδίο βαρύτητας μέχρι μήκος κύματος ίσο με 2 Αριθμός συντελεστών γεωδυναμικού μοντέλου N 2 ( ax 1) 1, 360 130320 συντελεστές C, S, 1800 3243600 συντελεστές C, S

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ () T M T T 2 2 () T R G C S 2 2 2 2 0 c ( g) ( 1) G C S 2 2 2 2 0 2 R 1 c( N) c ( ) 2 2 g G ( 1) 1 ( 1) c( ) c ( ) 2 2 g G ( 1) RMS m 2 c

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ o Εκτίμηση ακρίβειας στον υπολογισμό μιας συνιστώσας του πεδίου βαρύτητας, που υπολογίζεται από ένα γεωδυναμικό μοντέλο c ( ) ( 1) G C S 2 2 2 2 g 0 c 2 R 1 ( ) c ( ) G ( 1) N 2 2 g c 1 ( 1) ( ) c ( ) G ( 1) 2 2 g RMS m 2 c () Σφάλμα αποκοπής στα Ν ~ 64 max [m]

ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΤΟΥ EGM96 ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Συνιστώσα για = Μονάδες RMS c 36 70 120 180 360 Ν 30.5 30.5 30.6 30.6 30.6 m Δg 15.9 19.4 23.6 27.1 31.1 mgal θ(ξ, η) 3.8 4.3 4.9 5.5 6.1 arcsec

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΤΟΥ EGM96 ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Συνιστώσα για = Μονάδες RMS c 36 70 120 180 360 Ν 9.9 19.0 29.0 34.7 42.1 cm Δg 0.4 1.4 3.4 5.6 31.1 mgal θ(ξ, η) 0.1 0.3 0.6 1.0 6.1 arcsec

ΣΗΜΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΤΟΥ EGM96 ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Δg Εικόνα 41

ΣΗΜΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΤΟΥ EGM96 ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ N Εικόνα 42

ΣΗΜΑ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΤΟΥ EGM08 ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Δg Εικόνα 43

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στα πολυώνυμα του Legedre και τις συναρτήσεις Legedre ;; Τα πολυώνυμα εξαρτώνται από το βαθμό, οι συναρτήσεις από βαθμό και τάξη. Ανάλογη είναι η γραφική αναπαράσταση (βλ. σχήμα 7.3 του βιβλίου).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρτια πολυώνυμα Legedre P0 P2 P4 P6 P8 P10 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1-0,2-0,4-0,6-0,8-1 P t j k 0 j 1 2 2 j! t 2 1! j! 2 j! Εικόνα 44 2 j

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Περιττά πολυώνυμα Legedre P1 P3 P5 P7 P9 0,8 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1-0,2-0,4-0,6-0,8-1 P t j k 0 j 1 2 2 j! t 2 1! j! 2 j! Εικόνα 45 2 j

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Legedre 2 m/2 j 1 t m /2 1 2 2 j! P t t 2 j 0 j! j! m 2 j! m 2 j 2 1 m 1 P t tp 1, m t P 2, m t m m 2 m t m 2 P t 2 m 1 P 2 1/2, 1 t P 1, 2 t 1 t m m 1 m m 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εικόνα 46 Εικόνα 47

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε μια ισοδυναμική και μια σφαιροδυναμική επιφάνεια ;; o Το δυναμικό έχει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο της ισοδυναμικής επιφάνειας o Σφαιροδυναμική επιφάνεια είναι η επιφάνεια για την οποία ισχύει η σχέση: U U W Q 0 σφαιροδυναμική επιφάνεια W W W P 0 Εικόνα 48

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γιατί απουσιάζουν οι όροι μηδενικού και πρώτου βαθμού από τα αναπτύγματα των συνιστωσών του πεδίου βαρύτητας σε συντελεστές σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων; km a V r,, 1 C cosm S si P cos r 2 r m 0 o Ο όρος μηδενικής τάξης υπάρχει στο ανάπτυγμα o Ο όρος 1ης τάξης απουσιάζει γιατί: Wo (γεωειδές) Uo (ΕΕΠ) κέντρο γήινης μάζας (σφαιρικής γης) κέντρο συστήματος συντεταγμένων (ΕΕΠ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ km a * *,, cos si cos 2 m 0 T r C m S m P r r?? km T r C m S m P R * *,, cos si cos 2m 0 a = r = R

ΑΣΚΗΣΕΙΣ km a * *,, cos si cos 2 m 0 r C m S m P r r?? * *,, cos si cos 2m 0 N r R C m S m P a = r = R Πολ/ζω και διαιρώ με R..

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γιατί από την ανάλυση των μετρήσεων των τροχιών των τεχνητών δορυφόρων υπολογίζονται μόνο χαμηλού βαθμού και τάξης συντελεστές αναπτυγμάτων του γεωδυναμικού; o Στο μεγάλο ύψος της δορυφορικής τροχιάς το πεδίο έλξης είναι εξομαλυσμένο και κατά συνέπεια υπολογίζονται αρμονικές στα μεγάλα μήκη κύματος, δηλαδή συντελεστές γεωδυναμικού χαμηλού βαθμού και τάξης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέχρι ποιο βαθμό και τάξη είναι δυνατόν να υπολογιστούν θεωρητικά συντελεστές αναπτυγμάτων του γεωδυναμικού, όταν είναι διαθέσιμες για όλη τη γη μέσες τιμές ανωμαλιών βαρύτητας: o 0 1 x1 0.5 o x0. 5 o max 180 o max =180 max =360

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (5 η σελ. 163) Εικόνα 49

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ km -km km a T r C m S m P r r r E * *,, cos si cos 2 m 0 km a * *,, 1 cos si cos 2 2 m 0 g r C m S m P r r km a * *,, cos si cos 2 m 0 r C m S m P r r N

ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΑΠΌ ΤΟ EGM96 Εικόνα 50

ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ ΑΠΌ ΤΟ EGM96 Εικόνα 51

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνες 1, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 40, 41, 42, 44-51: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (2007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Εικόνες 2, 3, 8: Leica (2000) Leica GPS Basics. Leica Geosystems AG, v1.0. Εικόνα 4: http://www.ui-stuttgart.de/gi/educatio/bsc/19840_12_physikalische_geodaesie/lnerdm.pdf <Τελευταία επίσκεψη: 22.05.2015 > Εικόνες 12-16: F. G. Lemoie, S. C. Keyo, J. K. Factor, R.G. Trimmer, N. K. Pavlis, D. S. Chi, C. M. Cox, S. M. Klosko, S. B. Luthcke, M. H. Torrece, Y. M. Wag, R. G. Williamso, E. C. Pavlis, R. H. Rapp ad T. R. Olso, The Developmet of the Joit NASA GSFC ad NIMA Geopotetial Model EGM96, NASA Goddard Space Flight Ceter, Greebelt, Marylad, 20771 USA, July 1998. Εικόνες 25-32, 35, 37, 39, 43: Βέργος ΓΣ (2006) Μελέτη του πεδίου βαρύτητας και της θαλάσσιας τοπογραφίας στον Ελληνικό χώρο με συνδυασμό επίγειων δεδομένων και δεδομένων των νέων δορυφορικών CHAMP και GRACE. Διδακτορική Διατριβή, Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εικόνες 17-24: Pavlis NK, Holmes SA, Keyo SC, Factor JK (2012) The Developmet ad Evaluatio of the Earth Gravitatioal Model 2008 (EGM2008). J Geophys Res 117(B04406), doi:10.1029/2011jb008916. Εικόνα 33: http://icgem.gfz-potsdam.de/icgem/ <Τελευταία επίσκεψη: 22.05.2015 > Εικόνα 36: http://www.csr.utexas.edu/grace/ <Τελευταία επίσκεψη: 22.05.2015 > Εικόνα 38: http://smsc.ces.fr/icgoce/goce1.jpg. <Τελευταία επίσκεψη: 22.05.2015 > Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας. Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις & Αναπτύγματα Συνιστωσών του Πεδίου Βαρύτητας». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs374/. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommos.org/liceses/by-sa/4.0/ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 16/9/2014

ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης