Παρουσίαση 11 η : Φασματική ανάλυση στο γήινο πεδίο βαρύτητας Σφαιρικές αρμονικές

Transcript

1 Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Φασματική ανάλυση στο γήινο πεδίο βαρύτητας Σφαιρικές αρμονικές Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

2 Περιεχόμενα του μαθήματος (4) ΕΝΟΤΗΤΑ 4 η Φασματικές μέθοδοι στη Γεωδαισία (ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η ) Εισαγωγή στη μελέτη του πεδίου βαρύτητας (Φυσική Γεωδαισία, αρμονική ανάλυση στη σφαίρα, σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις και γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας, εισαγωγή στις μεθόδους εύρεσης του γεωειδούς) Φασματικές μέθοδοι στη Γεωδαισία (Εφαρμογές μετασχηματισμών Fourier στη Φυσική Γεωδαισία, D, D, 3D FFT σε επίπεδες και σφαιρικές προσεγγίσεις)

3 Βιβλιογραφία ΕΝΟΤΗΤΑ 4 η Hofa-Wellehof B. ad H. Moritz (6): Physical Geodesy. Spriger eds. Αραμπέλος Δ. και Η. Ν. Τζιαβός (7): Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη. Κατσάμπαλος Κ.Ε. και Η.Ν. Τζιαβός (99): Φυσική Γεωδαισία. Εκδόσεις Ζήτη. Colobo O. (98): Nuerical ethods for haroic aalysis o the sphere, Rep. o 3, Departet of Geodetic Scieces, The Ohio State Uiversity. Ανδριτσάνος, Β.Δ. () Βέλτιστος συνδυασμός επίγειων και δορυφορικών δεδομένων με τη χρήση φασματικών μεθόδων για εφαρμογές στη Γεωδαισία και την Ωκεανογραφία. Διδακτορική διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.

4 Βιβλιογραφία Sideris, M.G. (984): Coputatio of gravietric terrai correctios usig fast Fourier trasfor techiques. Msc Thesis, UCSE rep. 7, The Uiversity of Calgary, Alberta, Caada Tziavos, I.N. (993): Nuerical cosideratios of FFT ethods i gravity field odelig. Rep. No 88, Uiversity of Haover, Haover. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 η Hofa-Wellehof B. ad H. Moritz (6): Physical Geodesy. Spriger eds. Bedat J.S. ad A.G. Piersol (986): Rado data Aalysis ad easureets procedures. d ed., Joh Wiley ad Sos eds. Ανδριτσάνος, Β.Δ. () Βέλτιστος συνδυασμός επίγειων και δορυφορικών δεδομένων με τη χρήση φασματικών μεθόδων για εφαρμογές στη Γεωδαισία και την Ωκεανογραφία. Διδακτορική διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.

5 Βιβλιογραφία Αραμπέλος Δ. και Η. Ν. Τζιαβός (7): Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη. Κατσάμπαλος Κ.Ε. και Η.Ν. Τζιαβός (99): Φυσική Γεωδαισία. Εκδόσεις Ζήτη.

6 Περιεχόμενα παρουσίασης Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα Σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις Ανάπτυγμα πραγματικού και κανονικού δυναμικού έλξης σε σφαιρικές αρμονικές Γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας Διαδικασία υπολογισμού Συντελεστές μεταβλητότητας σήματος και σφάλματος συναρτησιακών στο πεδίο βαρύτητας

7 T a + πt πt + acos + bcos + T T πt πt + acos + bsi + T / T / πt πt + a3cos + b3si + T /3 T /3 πt πt + a4cos + b4si f( t) T /4 T /4 + f (t)

8 Αρμονικές συναρτήσεις Αρμονική συνάρτηση σε πεδίο V συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace σε κάθε σημείο του V Κάθε αρμονική συνάρτηση είναι αναλυτική συνεχής στο πεδίο ορισμού της και έχει συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξης ανάπτυξη σε σειρά Η απλούστερη αρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση του αντιστρόφου της απόστασης l ( x ξ ) + ( y η) + ( z ζ ) Είναι αρμονική; (ικανοποιεί την εξίσωση Laplace)

9 Αρμονικές συναρτήσεις Εξίσωση Laplace σε συνάρτηση V + + Z V Y V X V V ( ) l x l l x l x l x ξ + ξ ( ) l y l l y l y l y η η + ( ) l z l l z l z l z ζ ζ + X Z Y O (x,y,z) (ξ,η,ζ) Απόσταση l dv l G dv l G V l v v ρ ρ

10 Υπολογισμοί για το δυναμικό έλξης Διαφορικές εξισώσεις Poisso και Laplace Έχει αποδειχθεί (Παρουσίαση η ) ότι στο χώρο εντός των μαζών ισχύει: Ενώ σε χώρο έξω από τις μάζες όπου ρ (εκτός της συνοριακής επιφάνειας S) ( ) G Z V Y V X V V r ρ 4π Z V Y V X V V Διαφορική εξίσωση Poisso Διαφορική εξίσωση Laplace

11 Υπολογισμοί για το δυναμικό έλξης Διαφορικές εξισώσεις Poisso και Laplace Έξω από τις μάζες το δυναμικό, οι παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης είναι πεπερασμένες και συνεχείς συναρτήσεις Εξίσωση Laplace δυναμικό αρμονική συνάρτηση δυνατότητα ανάπτυξης σε σειρά (σφαιρικές αρμονικές) Μέσα στις μάζες το δυναμικό και οι παράγωγοι πρώτης τάξης (συνιστώσεις ελκτικής δύναμης) είναι συνεχείς. Κάποιες από τις παραγώγους ης τάξης παρουσιάζουν ασυνέχειες (συνάρτηση πυκνότητας) Εξίσωση Poisso Στη συνοριακή επιφάνεια S το δυναμικό και οι παράγωγοι πρώτης τάξης είναι συνεχείς. Οι δεύτερες παράγωγοι παρουσιάζουν ασυνέχεια εξίσωση Poisso

12 Υπολογισμοί για το δυναμικό της βαρύτητας Το φυγοκεντρικό δυναμικό δεν είναι μία αρμονική συνάρτηση αφού Φ Φ X + Φ Y + Φ Z ω Επομένως το συνολικό δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι σε καμία περίπτωση (εντός ή εκτός των μαζών) μία αρμονική συνάρτηση Εντός των μαζών ή πάνω στη συνοριακή επιφάνεια W 4π Gρ + ω Γενικευμένη εξίσωση Poisso Εκτός των μαζών W ω Γενικευμένη εξίσωση Laplace Το δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε σειρά

13 Αρχές ανάπτυξης δυναμικού έλξης σε σειρά Το δυναμικό έλξης είναι αρμονική συνάρτηση (ικανοποίηση εξίσωσης Laplace) εκτός των μαζών Είναι δυνατό να αναπτυχθεί σε σειρά εφαρμογή σε σφαιρική κλίμακα V GM α ( r) + ( C cosλ + S si λ) P ( cosθ ) r r ( ) cosθ P Προσαρτημένες συναρτήσεις Legedre οικογένεια λύσεων της διαφορικής εξίσωσης του Laplace

14 Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical haroics) Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες x r siϑ cosλ y r siϑ si λ z r cosϑ r x + y + z x + y ϑ arcta z y λ arcta x

15 Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Το στοιχειώδες μήκος ds μεταξύ δύο σημείων του χώρου ds dx + dy + dz x x x dx dr + dϑ + dλ r ϑ λ y y y dy dr + dϑ + dλ r ϑ λ z z z dz dr + dϑ + dλ r ϑ λ ds si ϑ dr + r dϑ + r d λ

16 Σφαιρικές αρμονικές Μετασχηματισμός συνάρτησης Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες σχέσεις και διαφορίζοντας ως προς τις σφαιρικές συντεταγμένες προκύπτει η εξίσωση Laplace V V r + V r r + r V ϑ + cot ϑ V r ϑ + r si V ϑ λ Πολλαπλασιάζοντας με r διαχωρίζεται η διαφορική σε δύο τμήματα, ένα που εξαρτάται μόνο από την μεταβλητή r και ένα που εξαρτάται από τα λ, θ. V r V r V V V V + r + + cot ϑ + r ϑ ϑ si ϑ λ Αν πραγματοποιηθεί η αντικατάσταση της V V ( r, ϑ, λ) f ( r) Y ( ϑ, λ)

17 Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης του Laplace (a και b συντελεστές ο υπολογισμός τους περιγράφεται αργότερα) Y ( ϑ, λ) a R ( ϑ, λ) + b S ( ϑ, λ) [ ] Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V V e r ( r, ϑ, λ) [ a ( cosϑ) cos λ + ( cosϑ) si λ] + P bp Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας Οι συναρτήσεις ( ) cosϑ P ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις Legedre πρώτου είδους βαθμού και τάξης (associated Legedre fuctios of the first kid of degree ad order )

18 Οι συναρτήσεις Legedre Κλειστή σχέση υπολογισμού συναρτήσεων Legedre Για μεγάλους βαθμούς ανάπτυξης η εξίσωση γίνεται πολύπλοκη και χρησιμοποιούνται αναδρομικές σχέσεις: ( ) ϑ cos t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j j j t j j j j t t P /!!!! ( ) ( ) / / k k ( ) ( ) ( ) ( ) t P t tp t P +,,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,, / + + t P t P t t t P k ακέραιος

19 Τα πολυώνυμα Legedre Στην ειδική περίπτωση όπου Πολυώνυμα Legedre (Legedre polyoials) επειδή απουσιάζει το από την εξίσωση δεν υπάρχει όρος siθ πολυώνυμα μόνο του t, π.χ., ( ) ( ) ( ) dt t d t P t P! ( ) ϑ cos t ( ) ( ) ( ) ( ) t t t P t t P t t P t P

20 Τα πολυώνυμα Legedre Αναδρομική σχέση υπολογισμού των πολυωνύμων Legedre P ( t) P ( t) + tp ( t)

21 Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Όταν οι προσαρτημένες συναρτήσεις Legedre πολλαπλασιαστούν με τους όρους cosλ και siλ προκύπτουν οι επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Οι αρμονικές είναι πολυώνυμα ως προς το t βαθμού μηδενικές τιμές (ρίζες) στο διάστημα ϑ π Αλλάζουν το πρόσημό τους φορές ανεξάρτητες του λ Αρμονικές ζώνης (zoal haroics)

22 Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Οι συναρτήσεις Legedre βαθμού και τάξης αλλάζουν το πρόσημό τους φορές στο διάστημα ϑ π Οι όροι cosλ και siλ έχουν μηδενικές τιμές (ρίζες αλλάζουν το πρόσημό τους) στο διάστημα λ π Χωρίζουν τη σφαίρα σε τραπέζια θετικών και αρνητικών τιμών εναλλάξ Τραπεζοειδείς αρμονικές (tesseral haroics)

23 Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Οι συναρτήσεις Legedre βαθμού και τάξης δεν αλλάζουν το πρόσημό στο διάστημα ϑ π Οι όροι cosλ και siλ έχουν μηδενικές τιμές (ρίζες αλλάζουν το πρόσημό τους) στο διάστημα λ π Χωρίζουν τη σφαίρα σε τομείς θετικών και αρνητικών τιμών εναλλάξ Αρμονικές τομέων (sectorial haroics)

24 Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

25 Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές 6, 6, 6 6, 4

26 Ανάπτυγμα αρμονικής συνάρτησης Συνάρτηση στην επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να αναλυθεί σε επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές της μορφής: f ( ϑ, λ) Y ( ϑ, λ) a R ( ϑ, λ) + b S ( ϑ, λ) [ ] R S ( ϑ, λ) P ( ϑ) cos cos ( ϑ, λ) P ( cosϑ) si λ λ Ο προσδιορισμός των σταθερών συντελεστών α και b είναι δυνατός αν ισχύουν ειδικές σχέσεις μεταξύ των R και S συναρτήσεων που ονομάζονται σχέσεις ορθογωνικότητας (orthogoality relatios) ολοκληρωματικές σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων στη μοναδιαία σφαίρα

27 Σχέσεις ορθογωνικότητας Το ολοκλήρωμα ως προς τη μοναδιαία σφαίρα του γινομένου οποιουδήποτε συνδυασμού των συναρτήσεων είναι ίσο με μηδέν σ σ σ R S R ( ϑ, λ) R ( ϑ, λ) sr ( ϑ, λ) S ( ϑ, λ) sr ( ϑ, λ) S ( ϑ, λ) sr dσ dσ dσ s r r s σ π λ ϑ dσ si ϑdϑdλ π Το γινόμενο δύο ίδιων συναρτήσεων ισούται: σ σ [ R ( ϑ, λ) ] 4π dσ + [ R ( ϑ, λ) ] dσ [ S ( ϑ, λ) ] σ dσ π + ( + ) ( )!!

28 Υπολογισμός συντελεστών Οι συντελεστές α και b υπολογίζονται με πολλαπλασιασμό της εξίσωσης της συνάρτησης με R και S a + f ( ϑ, λ) P ( cosϑ) dσ 4π σ a b + π + π ( ) ( + ) ( ) ( + )!!!! σ σ f f ( ϑ, λ) R ( ϑ, λ) ( ϑ, λ) S ( ϑ, λ) dσ dσ

29 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Οι προηγούμενες σχέσεις δεν είναι εύχρηστες διαφορετικές σχέσεις για τον υπολογισμό των συντελεστών αναλόγως της τάξης ( ή ) Τροποποίηση σε πλήρως κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές (fully oralized spherical haroics) R R S ( ϑ λ) R ( ϑ, λ) + P ( cosϑ), ( ) ( ) ( ) ( )! ϑ, λ R, ϑ λ + ( + )! ( ) ( ) ( ) ( )! ϑ, λ S ϑ, λ + ( + )! +,

30 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Στην περίπτωση αυτή οι σχέσεις ορθογωνικότητας 4π σ 4π [ ] dσ [ R ( ϑ, λ) ] dσ S ( ϑ, λ) σ Η κανονικοποίηση νοείται ως αναγωγή των συναρτήσεων στην επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας Οι συντελεστές υπολογίζονται τώρα ανεξάρτητα της τιμής του a b 4π 4π σ σ f f ( ϑ, λ) R ( ϑ, λ) ( ϑ, λ) S ( ϑ, λ) dσ dσ

31 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Σύμφωνα με τα προηγούμενα οι κανονικοποιημένες συναρτήσεις Πλήρως κανονικοποιημένες συναρτήσεις Legedre ( ) ( ) ( ) ( ) λ ϑ ϑ λ λ ϑ ϑ λ P S P R si cos, cos cos, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),!!!!!!,!!!! / t j j j j t t P t j j j j t P t P k j j j k j j j ( ) ( ) / / k k k ακέραιος

32 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Εκτός από κλειστές εκφράσεις υπολογισμού υπάρχουν και αναδρομικές σχέσεις αρχικές τιμές συνδέονται με τις τιμές ανώτερου βαθμού τάξης P ( t) ( )( + ) ( )( + ) ( + )( + )( ) ( 3)( + )( ) ( t), > tp,, + P Χρησιμοποιούνται οι αρχικές τιμές P, P 3si ϑ P, P 3cosϑ 5si ϑcosϑ P P, 5 ( 3cos ϑ ) 5si ϑ

33 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Παραδείγματα πλήρως κανονικοποιημένων συναρτήσεων Legedre

34 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών 4

35 Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

36 Σφαιρική αρμονική ανάλυση δυναμικού έλξης Το πραγματικό γήινο δυναμικό έλξης Είναι μία αρμονική συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace εκτός των μαζών Ισχύει γιατί το αντίστροφο της απόστασης μεταξύ του έλκοντος σημείου και του ελκόμενου είναι αρμονική συνάρτηση (βλ. αρχικές διαφάνειες) ρ V dv l G V + + Z V Y V X V V dv l G dv l G V l v v ρ ρ

37 Ανάπτυξη αντιστρόφου απόστασης Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων P και Ρ σε σφαιρικές συντεταγμένες l r + r rr cosψ cosϑ cosϑ cosψ + si ϑ si ϑ cos ( λ λ )

38 Ανάπτυξη αντιστρόφου απόστασης Θεωρώντας r > r l r au + a rr cosψ + r r a r r u cosψ au + a a P ( u) P ( u) + ap( u) + a P ( u) + l r au + a r r P ψ + ( cos )

39 Ανάπτυξη αντιστρόφου απόστασης Αν το cosψ αντικατασταθεί από τις σφαιρικές συντεταγμένες των σημείων (θ, λ) P ( cosψ) P ( cosϑ ) P ( cosϑ ) ( )! [ R ( ϑ λ ) ( ϑ λ ) + ( ϑ λ ) ( ϑ λ )] R S S,,, ( + )! +, Αντικαθιστώντας στη σχέση του αντιστρόφου της απόστασης και μετασχηματίζοντας στην περίπτωση των πλήρως κανονικοποιημένων σφαιρικών αρμονικών l R + ( ϑ, λ ) ( ) ( ϑ λ ) S, r ϑ λ + ( ϑ λ ) + R,, r + S r r

40 Ανάπτυξη γήινου δυναμικού έλξης Ξεκινώντας από τη γνωστή σχέση του δυναμικού έλξης της Γης V G d l G ρ dv l Και αντικαθιστώντας το αντίστροφο της απόστασης με την ανάπτυξή του σε σφαιρικές αρμονικές l R + ( ϑ, λ ) ( ) ( ϑ λ ) S, r ϑ λ + ( ϑ λ ) + R,, r + S r Λαμβάνουμε την έκφραση του γήινου δυναμικού έλξης σε σφαιρικές αρμονικές r V A R ( ϑ, λ ) S ( ϑ λ ), + B + + r r A B G + G + r r R S ( ϑ, λ ) ( ϑ, λ ) d d

41 Ανάπτυξη γήινου δυναμικού έλξης Κατανόηση αρχικών όρων σειράς Για η σειρά του δυναμικού δίνει το δυναμικό της γήινης μάζας M, η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στο κέντρο της γήινης σφαίρα V A Αντί για την ακτίνα της μοναδιαίας σφαίρας (/r) εισάγεται ως σταθερά ο ημιάξονας του ελλειψοειδούς α και γίνει η παραδοχή ότι η αρχή του χρησιμοποιούμενου συστήματος συντεταγμένων συμπίπτει με το κέντρο μάζας της γης μπορεί να παραλειφθεί και ο όρος R r S r + B GM r Σύμφωνα με τις παραπάνω παραδοχές (μάζα γης μάζα ελλειψοειδούς και σύστημα αναφοράς στο γεώκεντρο) η άθροιση των απείρων όρων ξεκινά από

42 Ανάπτυξη γήινου δυναμικού έλξης Προχωρώντας στην αντικατάσταση A C GMa S S B S συνάρτηση GMa όπου C, S ονομάζονται πλήρως κανονικοποιημένοι σφαιρικοί αρμονικοί συντελεστές (fully oralized spherical haroic coefficiets) εξαγόμενα της λύσης των γεωδυναμικών μοντέλων ΠΡΟΣΟΧΗ! συντελεστής Το δυναμικό έλξης της γης σε σφαιρική αρμονική ανάπτυξη η ανάπτυξη γίνεται μέχρι έναν ανώτερο βαθμό ax, που εξαρτάται από τα διαθέσιμα δεδομένα για τον υπολογισμό των αρμονικών συντελεστών V GM a ( r, ϑ, λ) + ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) r r

43 Ανάπτυξη κανονικού δυναμικού έλξης Λόγω συμμετρίας του ελλειψοειδούς μοντέλου, τα αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών για το κανονικό δυναμικό απλοποιούνται Η απλοποίηση οφείλεται στη συμμετρία ως προς τον άξονα περιστροφής και το ισημερινό επίπεδο εμφανίζονται μόνο άρτιες αρμονικές ζώνης ( ) ( ) ϑ + ϑ cos, P J r a r GM r V ( ) ( )( ) e J e J ( ) f f J f f f f f J f f f f J (Αρμονικός) Συντελεστής δυναμικής μορφής ( ) GM f a ω 3

44 Ανάπτυξη κανονικού δυναμικού έλξης Στις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιούνται οι συντελεστές μέχρι το βαθμό 6 γιατί οι ανώτεροι δεν έχουν καμία συνεισφορά στα αποτελέσματα. Π.χ., για το ΕΕΠ του γεωδαιτικού συστήματος GRS8: J J J J Οι κανονικοποιημένοι συντελεστές του κανονικού δυναμικού έλξης: C ΕΕΠ J + π.χ. C ΕΕΠ J 5 άρτιος

45 Ανάπτυξη διαταρακτικού δυναμικού έλξης Σε αντιστοιχία με το πραγματικό και το κανονικό δυναμικό έλξης, το διαταρακτικό δυναμικό μπορεί να αναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές T W U V + Φ ( V + Φ) V V Οι συντελεστές του διαταρακτικού δυναμικού υπολογίζονται από τη διαφορά των συντελεστών του δυναμικού έλξης μείον τους συντελεστές ζώνης του κανονικού δυναμικού ΕΕΠ C C C S S T GM a ( r,, λ) ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) ϑ r r

46 Ανάπτυξη ανωμαλιών βαρύτητας Σύμφωνα με τα προηγούμενα (βλ. Παρουσίαση η ) ισχύει: E h r γ γ h r γ γ h r GM r 3 T g T r r Θεμελιώδης εξίσωση Φυσικής Γεωδαισίας Διαφορίζοντας την αρμονική ανάπτυξη του διαταρακτικού δυναμικού: T r r a r + ( + ) T ( ϑ, λ)

47 Ανάπτυξη ανωμαλιών βαρύτητας Αντικαθιστώντας: GM a ( r, ϑ, λ) ( ) ( C cosλ + S si λ) P ( ϑ) g Συνοπτική μορφή: cos r r g a r + ( r, ϑ, λ) g ( r, ϑ, λ) Σχέση ανάμεσα στις σφαιρικές αρμονικές Τ και Δg g,, r ( ϑ λ) T ( ϑ λ)

48 Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς Ξεκινώντας από τη σχέση του Brus (σύνδεση διαταρακτικού δυναμικού και αποχής γεωειδούς) Ν Τ/γ N GM a ( r,, λ) ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) ϑ rγ r Γνωρίζοντας τους αρμονικούς συντελεστές είναι δυνατός ο υπολογισμός αποχών του γεωειδούς από παγκόσμια γεωδυναμικά μοντέλα (global geopotetial odels)

49 Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς 3 7

50 Ανάπτυξη απόκλισης κατακορύφου Εξισώσεις σύνδεσης διαταρακτικού δυναμικού και συνιστωσών απόκλισης της κατακορύφου ξ γr T ϕ T η γr cosϕ λ ϑ ϕ ϑ o 9 ϕ GM r γ a r ξ ( r, ϑ, λ) ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) ϑ GM a ( r, ϑ, λ) ( C cosλ + S si λ) P ( ϑ) η cos r γ cosϕ r

51 Η σφαιρική προσέγγιση Οι προηγούμενες εξισώσεις αναφέρονται στο ΕΕΠ, χρησιμοποιούνται όμως σφαιρικές συντεταγμένες σφαιρική προσέγγιση Η σφαιρική προσέγγιση έχει νόημα μόνο στον υπολογισμό μικρών αριθμητικών ποσοτήτων (Τ, Δg, N, ξ, η) Οι τιμές αυτές υπολογίζονται με ακρίβεια στο ΕΕΠ και στη συνέχεια προβάλλονται στην επιφάνεια της σφαίρας (σφαιρικές συντεταγμένες) R 637k GM γ 98Gal R E h r γ γ h r γ γ h R GM r 3 γ R

52 Η σφαιρική προσέγγιση Με βάση τις προαναφερθείσες παραδοχές: T GM R ( ) ϑ, λ ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) GM cos R ( ϑ, λ) ( ) ( C cosλ + S si λ) P ( ϑ) g η ξ N ( ) ϑ, λ R ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) ( ϑ, λ) ( C cosλ + S si λ) cosϕ P ( cosϑ) ( ) ϑ, λ ( C cosλ + S si λ) P ( cosϑ) ϑ

53 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών συντελεστών που υπολογίζονται από διάφορες υπηρεσίες και πανεπιστήμια Δίνουν πληροφορίες για τον γήινο πεδίο βαρύτητας σε σφαιρική προσέγγιση και για παραμέτρους που συνδέονται με αυτό, π.χ. γεωειδές, απόκλιση της κατακορύφου, κ.α. Αναπτύσσονται μέχρι ένα μέγιστο βαθμό και τάξη που αντιστοιχεί στη διαθεσιμότητα των δεδομένων που χρησιμοποιούνται, στην ποιότητά τους και στη δυνατότητα επεξεργασίας των υπολογιστικών συστημάτων

54 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά Δεκαετία του 7: Goddard Space Flight Ceter (NASA) Μοντέλα GEM (Goddard Earth Models) Μοντέλα αμιγώς δορυφορικά, αλλά και συνδυασμού με επίγεια δεδομένα Δεδομένα μετρήσεων SLR Satellite Laser Ragig GEM

55 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά Άλλα μοντέλα της ίδιας περιόδου SSE (Sithsoia Stadard Earth) και τα μοντέλα του Γεωδαιτικού ινστιτούτου του Μονάχου (GRIMx) Βαθμός ανάπτυξης < 3 λόγω της χρήσης δορυφορικών δεδομένων και χαμηλής κάλυψης επίγειων δεδομένων

56 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά Δεκαετία 8 Γεωδυναμικά μοντέλα συνδυασμού με επίγεια και δορυφορικά δεδομένων βαθμοί ανάπτυξης από 8 36 Τα βασικότερα μοντέλα αυτής της περιόδου Ohio State Uiversity odels (OSU) δορυφορικά δεδομένα (αλτιμετρικά) μέχρι βαθμό < 3 και χρήση επίγειων δεδομένων για τους βαθμούς > 3 Επίγειες μέσες τιμές βαρύτητας και θαλάσσιες τιμές από αλτιμετρικές μετρήσεις και μετατροπή σε ανωμαλίες Η ανάπτυξη βασίστηκε στα προϋπάρχοντα δορυφορικά μοντέλα GEM OSU8, OSU86C, OSU89, OSU9A(36)

57 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά Διαφορά λύσεων μέσα σε μία δεκαετία ενσωμάτωση νέων επίγειων δεδομένων και εφαρμογών αλτιμετρίας OSU8 OSU9A

58 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά Δεκαετία του 9 έως σήμερα νέες δορυφορικές αποστολές (αλτιμετρικές: TOPEX/POSEIDON, ERS-, ERS- Σημαντικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε σχεδόν για μία δεκαετία ως μοντέλο αναφοράς είναι το EGM96 (Earth Gravitatioal Model 996) NASA/GFC, NIMA, OSU) επίγεια και δορυφορικά δεδομένα πλήρης ανάπτυξη σε βαθμό και τάξη 36 Ακρίβεια προσδιορισμού του γεωειδούς.5 Εφαρμογές επιφάνεια αναφοράς συστημάτων υψομέτρων, θαλάσσια κυκλοφορία, προσδιορισμός δορυφορικών τροχιών, κ.α.

59 EGM96 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά

60 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά Το πλέον σύγχρονο γεωδυναμικό μοντέλο ευρείας χρήσης είναι το EGM8 To EGM8 παρουσιάστηκε από την Natioal Geospatial-Itelligece Agecy (NGA) των ΗΠΑ Είναι πλήρες σε βαθμό ανάπτυξης 9 και τάξη 59 Είναι μοντέλο συνδυασμού και για πρώτη φορά χρησιμοποιούνται δορυφορικά δεδομένα αποστολής παρατήρησης του πεδίου βαρύτητας (GRACE)

61 EGM8 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά

62 Εξέλιξη Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ιστορικά

63 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Όλα τα αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών σχετίζονται με ένα μέγιστο βαθμό ανάπτυξης ax << πλήθος διαθέσιμων δεδομένων Οι τιμές των συναρτησιακών που υπολογίζονται από τα γεωδυναμικά μοντέλα είναι μέσες τιμές αντιπροσωπευτικές επιφάνειας 8 / ax Για τον υπολογισμό των μοντέλων χρησιμοποιούνται δεδομένα (π.χ., ανωμαλίες βαρύτητας επίγειες, εναέριες, δορυφορικές, αλτιμετρικά δεδομένα) που αναφέρονται ως μέσες τιμές σε διαμερίσματα ανάλογα του ax

64 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Ανωμαλίες βαρύτητας και αποχές γεωειδούς (μοντέλο EIGEN-CG3C)

65 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Πηγές δεδομένων για τις σφαιρικές αρμονικές

66 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Η ακρίβεια προσδιορισμού εξαρτάται από την πυκνότητα και την ακρίβεια των χρησιμοποιούμενων δεδομένων Σημαντική η συνεισφορά των δορυφορικών μετρήσεων και των από αέρα μετρήσεων Υψηλής ακρίβειας δεδομένα GRACE και CHAMP ± έως ± c για τους βαθμούς ανάπτυξης έως 7 (~ k μήκη κύματος)

67 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Μεγάλη ώθηση στις διαδικασίες υπολογισμού GOCE (Gravity ad Ocea Circulatio Experiet 9 3) δορυφορική βαθμιδομετρία (satellite gravity gradioetry) Κάλυψη όλης της επιφάνειας της Γης ακρίβειες ± c για βαθμό ανάπτυξης 5 (~8 k μήκος κύματος)

68 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Κάλυψη δυσπρόσιτων περιοχών από αέρα βαρυτημετρία (airbore gravietry) Λύση για μετρήσεις κοντά στις ακτές προβληματικές μετρήσεις δορυφορικής αλτιμετρίας Προβλήματα εξασθένηση σήματος με το ύψος και εξάρτηση από τις συνθήκες πτήσης

69 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Δορυφορικές αλτιμετρικές αποστολές (GEOSAT, ERS -, T/P, JASON, ENVISAT, κ.α.) κάλυψη στις θαλάσσιες περιοχές όπου οι κλασικές μέθοδοι μετρήσεων αποδεικνύονται προβληματικές και χρονοβόρες

70 Τα γεωδυναμικά μοντέλα Διαδικασία υπολογισμού Τράπεζες δεδομένων (Bureau Gravietrique Iteratioale BGI) συλλέγουν δεδομένα μετρήσεων βαρύτητας, τα οποία αξιολογούνται και χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία μέσων τιμών βαρύτητας

71 Τρεις κυρίως διαδικασίες Τα γεωδυναμικά μοντέλα Ο υπολογισμός των συντελεστών των μοντέλων. Μετρήσεις τροχιών τεχνητών δορυφόρων Δορυφορικά γεωδυναμικά μοντέλα χαμηλή ανάλυση γενική περιγραφή του πεδίου σε μεγάλα μήκη κύματος. Επίγεια δεδομένα βαρύτητας αποδίδουν τα τοπικά χαρακτηριστικά των μοντέλων 3. Συνδυασμός επίγειων και δορυφορικών δεδομένων Γεωδυναμικά μοντέλα συνδυασμού υψηλή ανάλυση ανάλογα με την πυκνότητα των επίγειων δεδομένων που χρησιμοποιούνται

72 Υπολογισμός συντελεστών Δορυφορικά δεδομένα Η ανάλυση των τροχιών των δορυφόρων συντελεστές αναπτυγμάτων Διαταραχές στην τροχιά επίδραση του πεδίου βαρύτητας δυναμικές λύσεις GOCE εφαρμογή δορυφορικής βαθμιδομετρίας μετρήσεις βαθμίδων βαρύτητας στο δορυφόρο Αξιόπιστοι συντελεστές χαμηλών συχνοτήτων εξομάλυνση σήματος στο ύψος πτήσης του δορυφόρου GRACE/CHAMP έως 4. GOCE έως 5

73 Υπολογισμός συντελεστών Επίγεια δεδομένα Από δεδομένα βαρύτητας ή παρατηρήσεις αποχών γεωειδούς (αλτιμετρία) με αντιστροφή των σχέσεων προκύπτουν οι συντελεστές των μοντέλων Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ως εξισώσεις παρατήρησης σε συνόρθωση ελαχίστων τετραγώνων ή χρησιμοποιείται ειδική τεχνική ολοκλήρωσης C S 4πGM σ r r a gp ( cosϑ) cosλ dσ si λ Από ανωμαλίες βαρύτητας C S 4πGM σ rγ r a NP ( cosϑ) cosλ dσ si λ Από αποχές γεωειδούς

74 Υπολογισμός συντελεστών Επίγεια δεδομένα Η μέθοδος της συνόρθωσης επιτρέπει το συνδυασμό διαφορετικών δεδομένων για την εκτίμηση των συντελεστών (ανωμαλίες και αποχές) Η μέθοδος της ολοκλήρωσης επιτρέπει τη χρήση μόνο ενός είδους μέτρησης Χρησιμοποιούνται μέσες τιμές αντιπροσωπευτικές των διαμερισμάτων που δημιουργούνται g σ N σ σ σ gdσ Ndσ Εξαρτάται από την κατανομή των δεδομένων και αντιστοιχεί στο μέγιστο βαθμό ανάπτυξης των σφαιρικών αρμονικών ax 8 o θ o Το εύρος του Δσ σε μοίρες

75 Υπολογισμός συντελεστών Συνδυασμός δορυφορικών και επίγειων δεδομένων Πλεονέκτημα ακριβείς συντελεστές χαμηλού βαθμού (δορυφορικά) και υψηλού βαθμού (επίγεια) Μειονέκτημα Υψηλές απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ και χρόνο Εκατοντάδες χιλιάδες παρατηρήσεις με δεκάδες χιλιάδες αγνώστους Για βαθμό ανάπτυξης 8 οι άγνωστοι στους πίνακες των κανονικών εξισώσεων είναι 3436 N r ( + ) ax

76 Υπολογισμός συντελεστών Συνδυασμός δορυφορικών και επίγειων δεδομένων Παράδειγμα συντελεστών γεωδυναμικού μοντέλου EGM8

77 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Ποια είναι η ακρίβεια των συντελεστών των μοντέλων και κατ επέκταση η ακρίβεια των υπολογιζόμενων συναρτησιακών του πεδίου βαρύτητας; Η ακρίβεια της προσέγγισης των παραμέτρων του πεδίου εξαρτάται από:. Την ακρίβεια των δεδομένων που χρησιμοποιούνται. Τη διακριτική τους ικανότητα (πυκνότητα δεδομένων) 3. Την καταλληλότητα του μοντέλου για την εκτίμηση των παραμέτρων

78 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας (σήματος και σφάλματος) Εκτίμηση της ακρίβειας προσέγγισης μίας συνιστώσας του πεδίου από τις ακρίβειες των συντελεστών ανά βαθμό ανάπτυξης είναι δυνατή με τη χρήση της στατιστικής ποσότητας της μεταβλητότητας Χρησιμοποιούνται οι συντελεστές μεταβλητότητας (aoaly degree variaces) και οι συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος (error degree variace) περιγράφουν τη στατιστική συμπεριφορά του σήματος και του θορύβου για κάθε συναρτησιακό που προκύπτει από τους συντελεστές Αποτελούν περιγραφή της φασματικής συμπεριφορά τους ισχύς του σήματος ή του θορύβου ανά βαθμό ανάπτυξης

79 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας διαταρακτικού δυναμικού και ανωμαλιών Οι συντελεστές μεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναμικού ορίζονται ως οι μέσες τιμές των τετραγώνων των όρων του αναπτύγματος Οι συντελεστές μεταβλητότητας των ανωμαλιών της βαρύτητας συνδέονται σύμφωνα με τις εξισώσεις σύνδεσης ανωμαλιών και διαταρακτικού δυναμικού Αντιστοίχως για τα υψόμετρα του γεωειδούς και την απόκλιση της κατακορύφου ( ) { } ( ) + γ σ S C R T M T T ( ) { } ( ) ( ) ( ) + γ σ S C T R g M g c ( ) ( ) ( ) g c R N c γ ( ) ( ) ( ) ( ) g c c + γ θ

80 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος Αν αντί των συντελεστών του γεωδυναμικού μοντέλου χρησιμοποιηθούν τα σφάλματα των συντελεστών, τότε προκύπτουν οι συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος (error degree variaces) c c c Οι συντελεστές μεταβλητότητας και οι συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος υπολογίζονται είτε για ένα συγκεκριμένο βαθμό, είτε αθροιστικά μέχρι ένα βαθμό αποδίδουν την ακρίβεια των υπολογιζόμενων παραμέτρων από το μοντέλο ( ε ) ( ) γ ( σ C + σ S ) g ( ε ) N ( ε ) R γ γ ( ) ( + ) ( ) c θ c ( ε ) g ( ε ) g

81 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Στην περίπτωση σύγκρισης μοντέλων με διαφορετικά ΕΕΠ αναφοράς αναφορά στην επιφάνεια σφαίρας R αλλαγή κλίμακας για συγκρίσιμα αποτελέσματα ( ) ( ) + σ S C R a R GM T ( ) ( ) + σ σ ε σ T S C R a R GM ( ) ( ) ( ) + S C R a R GM g c ( ) ( ) ( ) + σ σ ε g S C R a R GM c ( ) ( ) + γ S C R a a GM N c ( ) ( ) + σ σ γ ε N S C R a a GM c

82 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Συντελεστές μεταβλητότητας υψομέτρων γεωειδούς (συνεχείς γραμμές) και σφαλμάτων (διακεκομμένες γραμμές)

83 Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου Αθροιστικό σφάλμα υψομέτρων του γεωειδούς

84 Ανακεφαλαίωση Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα και σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις Αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών στο πεδίο βαρύτητας Γεωδυναμικά μοντέλα βαρύτητας Ακρίβειες παραμέτρων πεδίου συντελεστές μεταβλητότητας σήματος και σφάλματος