ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. γ Α. β Α. γ Α4. γ Α5. α. Σ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ ΘΕΜΑ Β Β. β F ελ F ελ Θέση Φυσικού Μήκους A F ελ F ελ Σ m A W W Τ W Τ W Τ Τ W W Στη θέση ισορροπίας για κάθε σύστημα ισχύει ΣF=0: (m +m )g (m +m )g-f 0 (m +m )g () Η θέση ισορροπίας του συστήματος μετά την κοπή του νήματος προκύπτει από τη συνθήκη mg ΣF=0: mg-fελ 0 mg (). Αντίστοιχα για το δεύτερο σύστημα έχουμε: mg ΣF=0 και προκύπτει: mg-f 0 mg (). Επειδή τη στιγμή που κόβουμε το νήμα τα σώματα ξεκινούν σε κάθε περίπτωση την ταλάντωσή τους χωρίς ταχύτητα, οι αρχικές θέσεις ισορροπίας είναι θέσεις πλάτους των ταλαντώσεων που εκτελούν. Άρα: - -
() mg () A Δ Δ (4) και () mg () A Δ Δ (5) όπου Α και Α τα πλάτη ταλάντωσης των Σ και Σ αντίστοιχα. Το πηλίκο της ενέργειας της ταλάντωσης του Σ προς την ενέργεια του Σ είναι: E A E m (4) = = (5) A E E m Β. α Η συχνότητα του διακροτήματος για τις δύο περιπτώσεις δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις: f δ= f-f και f δ = f-f. Εξισώνουμε τις δύο συχνότητες και προκύπτει f-f f-f και προκύπτουν οι εξής περιπτώσεις: f-f f f f f απορρίπτεται διότι f f f-f =-f+f f=f +f f f +f Β. α Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής για την κρούση και έχουμε P αρχ =P τελ θεωρώντας θετική τη φορά κίνησης των σωμάτων Α,Β έχουμε: υ mυ+m υ=(m +4m ) m =m m ΘΕΜΑ Γ m Γ. Από την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Μ βρίσκουμε τη συχνότητα των κυμάτων f=5hz. Εφαρμόζουμε τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής υ=λf λ=0,4m. Η εξίσωση ταλάντωσης του Μ είναι y Μ =0,ημπ(5t-0) και με αντιστοίχηση με την εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Μ t r +r r +r μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων y=aημπ( ) προκύπτει: 0. Το σημείο Μ T λ λ ισαπέχει από τις δύο πηγές άρα η απόσταση ΜΠ =ΜΠ =r =r. r Άρα 0 r ΜΠ 4m λ. d Γ. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή του τη χρονική στιγμή t = 0,5s και το σημείο Μ υ ξεκινά την ταλάντωσή του τη χρονική στιγμή t = r s υ. - -
d d + H εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Ο είναι y (O) =0,ημπ(5t λ ) y (O)=0,ημπ(5t- ) 0,4 y (O) =0,ημπ(5t-,5) Στο χρονικό διάστημα 0 t 0,5s τα δύο σημεία δεν έχουν ξεκινήσει την ταλάντωσή τους και έχουν διαφορά φάσης Δφ=0. Για 0,5 t s :ταλαντώνεται μόνο το σημείο Ο και τα δύο σημεία εμφανίζουν διαφορά φάσης Δφ=φ 0 -φ Μ =π(5t-,5)-0=0πt-,5π Για t s :Δφ= φ 0 -φ Μ =π(5t-,5)-π(5t-0 ) Δφ=7,5π rad. Γ. Έστω μια υπερβολή ενίσχυσης που τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα Π Π στο σημείο Σ το οποίο απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις x και x αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε τη συνθήκη ενίσχυσης για το σημείο αυτό x - x =Νλ (). Επίσης x + x =d (). Από τις () και () προκύπτει: x =0,Ν+0,5 (). Το x παίρνει τιμές 0 x d () 0 0,Ν+0,5,5 N,5. Το Ν παίρνει ακέραιες τιμές οπότε Ν: -, -, 0,,. Άρα υπάρχουν 5 σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος στο ευθύγραμμο τμήμα Π Π. Γ4. Η περίοδος της ταλάντωσης του σημείου Μ είναι Τ= 0,s f. Άρα η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο t για 0,5 t s είναι: y (m) 0, 0,,4,5 t(s) -0, - -
ΘΕΜΑ Δ Δ. F 0 m A g N N α γων T T Mg T a T a m g F m g F m A g m g Για να ισορροπεί το σώμα μάζας m πρέπει: ΣF=0 T =W T =0N Για να ισορροπεί το σώμα μάζας m πρέπει: ΣF=0 F =W F =0N Για να ισορροπεί το σώμα μάζας m πρέπει: ' ΣF=0 T -W F T =0N Για να ισορροπεί η τροχαλία πρέπει: Στ (Ο ) =0 Τ' R- Τ' R=0 Τ' = Τ' Τ = Τ και ΣF=0 Ν-Μg-T' - T' =0 N= Ν' =80N Για να ισορροπεί το σύστημα αβαρής ράβδος m A m Γ πρέπει: Στ (Ο) =0 m A gd+ d-ν' d=0 0+60-80=0 0=0 οπότε αποδεικνύεται ότι το σύστημα αβαρής ράβδος m A, m Γ ισορροπεί. Δ. Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας του συστήματος αβαρής ράβδος m A m Γ : Ι= m A 4d +m Γ d =0g m Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης για το σύστημα αβαρής ράβδος m A m Γ : Στ (Ο) =Ια γων m Α gdημ0 ο + dημ0 ο =Ια γων α γων =4rad/s - 4 -
Δ. Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας μεταξύ των δύο θέσεων που μετακινείται η ράβδος διότι οι δυνάμεις που παράγουν έργο είναι οι συντηρητικές δυνάμεις W A και W Γ. U β =0 Επιλέγουμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής βαρυτικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από την αρχική θέση της ράβδου και έχουμε: Κ αρχ +U αρχ =Κ τελ + U τελ 0= Iω mγgd-m Agd ω =4rad/s. Για την κρούση της m A με την m 4 εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής, διότι για το σύστημα αβαρής ράβδος - m A - m Γ - m 4 ισχύει Στ εξ(ο) =0: 4 L πριν=lμετά Ιω (I+m44d )ω ω rad/s. 8 Η γραμμική ταχύτητα του σημείου Α είναι υ A =ω d υa m/s. Δ4. Όταν κόψουμε το νήμα που συνδέει μεταξύ τους τα m και m, το σώμα m αρχίζει να κατεβαίνει και η τροχαλία να περιστρέφεται αριστερόστροφα. Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της μεταφορικής κίνησης για τα σώματα m και m και της στροφικής κίνησης για τη τροχαλία θεωρώντας ως θετική τη φορά της κίνησης των σωμάτων και της περιστροφής της τροχαλίας: ΣF=m a W -T =m a () * * ΣF=m a T W =m a () * * Επειδή το σχοινί που συνδέει τα σώματα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια της τροχαλίας, η κοινή επιτάχυνση των σωμάτων m και m είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας: a =a = dυ a = a = d(ωr) =α γων R () dt dt () a Στ= αγων T* R-T* R= MR T* -T* Ma (4) R Αθροίζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (), () και (4) προκύπτει: M mg-mg=a(m +m + ) a m/s (5) Από τις σχέσεις () και (5) υπολογίζουμε Τ * =6Ν και από () και (5) υπολογίζουμε Τ * =Ν. Η τροχαλία δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση άρα ισορροπεί μεταφορικά και: ΣF=0 Ν * -Μg-T' * -T ' * =0 Ν * =Ν ' * =68N. Εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας για τη ράβδο: Στ (Ο) =0 mgd+ d-ν * d=0 mg+60-68=0 m=0,4g - 5 -
F* m mg N * N * T * Mg T * T * T * m g m g m A g m g Σημείωση: Με τον αστερίσκο στο ερώτημα Δ4. υποδηλώνεται η αλλαγή των μέτρων των δυνάμεων μετά την κοπή του νάηματος που συνδέει τα σώματα m και m. Επιμέλεια Ξ. Στεργιάδης Μ. Κοκολίνας Τ. Μαριάτος - 6 -