ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ, ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Πτυχιακή εργασία µε θέµα: «υναµική φυσικών δορυφόρων των πλανητών» Στοιχεία φοιτητή: Ευστάθιος Νατσαρίδης Α.Ε.Μ.:339 Επιβλέπων καθηγητής: κ. Κλεοµένης Τσιγάνης Θεσσαλονίκη 00

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτήν την εργασία, µελετάµε το σύστηµα δορυφόρων του Κρόνου Μίµας- Τηθύς. Επειδή, οι δύο δορυφόροι βρίσκονται παγιδευµένοι σε συντονισµό 4:, ο Μίµας θα εκτελεί τέσσερις περιφορές γύρω από το Κρόνο για κάθε δύο περιφορές της Τηθύς. Για διαφορετικές τιµές των τροχιακών παραµέτρων του συστήµατος, που σχετίζονται µε τις παρατηρήσεις, προσπαθούµε να καταλάβουµε τη συµπεριφορά της κίνησης του (κανονική ή χαοτική). Σε κάθε περίπτωση επιδιώκουµε να προσδιορίσουµε το εύρος µεταβολής της συνοδικής συχνότητας ως συνάρτηση των στοιχείων της τροχιάς. ABSTRACT In this paper, we study the Saturnian satellite system of mimas-tethys. Since, the two satellites are captured in a 4: resonance, Mimas will complete four periods around Saturn, for every two periods of Tethys. For different values of the orbital parameters of the system, that are related with the observations, we try to understand the behaviour of their motion ( regular or chaotic). In any case we aim to determine the width of synodic frequency as function of orbital elements.

......0 60 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ..... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ..... ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΡΥΦΟΡΩΝ ΤΟΥ ΚΡΟΝΟΥ....... 3 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΙΜΑΣ-ΤΗΘΥΣ... ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΙ.... 9 ΧΑΟΣ..7 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΙΜΑΣ-ΤΗΘΥΣ... 3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ.... 54 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.... 55 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β.... 57 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ.... ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.......... 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε...... 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...... 66

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΡΥΦΟΡΩΝ ΤΟΥ ΚΡΟΝΟΥ Ο Κρόνος είναι ο δεύτερος µεγαλύτερος πλανήτης στο ηλιακό µας σύστηµα µε διάµετρο 30000 χιλιόµετρα, και ο έκτος σε απόσταση από τον Ήλιο καθώς απέχει από αυτόν 9.4 AU. Χρειάζεται 9.5 γήινα έτη για να κάνει µια πλήρη περιφορά γύρω από τον Ήλιο και λιγότερο από 0 ώρες για να κάνει µια περιστροφή γύρω από τον άξονα του. Το ελλειψοειδές σχήµα του (η ακτίνα του στον ισηµερινό και τους πόλους είναι αντίστοιχα 0.500 και 08.700 χλµ.) οφείλεται στη µεγάλη ταχύτητα περιστροφής σε συνδυασµό µε την ρευστή του κατάσταση. Το επίπεδο της τροχιάς του, σχηµατίζει γωνία,5 ο µε την εκλειπτική και ο άξονας περιστροφής γωνία 6,7 ο µε τον άξονα του επιπέδου της τροχιάς του. Έτσι, όπως και στη Γη, έχουµε εναλλαγή εποχών κατά τη διάρκεια του έτους του Κρόνου. Εικόνα : Καλλιτεχνική φωτογραφία στην οποία φαίνεται η διαφορά µεγέθους του Κρόνου και της Γης. Ανήκει στους αεριώδεις πλανήτες του Ηλιακού µας συστήµατος. Αποτελείται κυρίως από υδρογόνο (75%) αναµιγµένο µε ήλιο (4%). Η υπόλοιπη σύσταση του είναι: ίχνη νερού, αµµωνία, διοξείδιο του άνθρακα και µεθάνιο. Όλα αυτά τα συστατικά δηµιουργούν µια βαριά δηλητηριώδη ατµόσφαιρα. Στην ανώτερη ατµόσφαιρα του (-90 ο C) διατηρεί ένα στρώµα θυσανοειδών νεφών από παγοκρυστάλλους αµµωνίας µε αποτέλεσµα αυτό που βλέπουµε εµείς ως επιφάνεια του Κρόνου να µην είναι τίποτα άλλο από τα εξωτερικά όρια αυτών των νεφών. Από την ατµόσφαιρα του δε λείπουν οι καταιγίδες οι οποίες κινούνται στα ψηλότερα στρώµατα των νεφών, και οι άνεµοι που κινούνται γύρω από το πλανήτη µε µεγάλη ταχύτητα ( 800 χιλιόµετρα την ώρα στον ισηµερινό). Ο πυρήνας του Κρόνου είναι µικρός, µε διάµετρο περίπου 5.000 χιλιόµετρα και αποτελείται από άλατα, µέταλλα και διάφορα είδη πάγου. Η θερµοκρασία του είναι περίπου 4.000 ο C και πίεση 0 εκατοµµύρια φορές από την ατµοσφαιρική πίεση της Γης. Τέλος, ο άξονας του µαγνητικού πεδίου αυτού του πλανήτη συµπίπτει µε τον άξονα περιστροφής του, κάτι που είναι πολύ σπάνιο. Αυτό που κάνει το Κρόνο ξεχωριστό πλανήτη είναι οι περίφηµοι δακτύλιοι του, που αποτελούνται από παγοκρυστάλλους, σκόνη και βράχους που περιφέρονται γύρω από 3

το πλανήτη και πάνω στο ισηµερινό του επίπεδο. Οι φωτογραφίες των δακτυλίων από τον Voyager αποκάλυψαν ότι αποτελούνται από χιλιάδες διακριτούς µικρούς δακτυλίους, που χωρίζονται περιστασιακά από µεγαλύτερα διάκενα ή διαχωρισµούς, µε τη δοµή τους να ελέγχεται από τη παρουσία µικρών δορυφόρων που βαρυτικά οδηγούν σαν ποιµένες τα παγωµένα σωµατίδια των δακτυλίων σε συγκεκριµένες τροχιές. Υπολογίζεται ότι πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι από δέκα χιλιάδες δακτύλιοι που περικυκλώνουν τον πλανήτη. Η οµορφιά τους όµως εξαρτάται από τη κλίση του επιπέδου τους προς το επίπεδο της τροχιάς της Γης. υστυχώς κάθε 4 ή 5 χρόνια η κλίση µηδενίζεται και οι δακτύλιοι φαίνονται σαν µια λεπτή γραµµή. Αυτό σηµαίνει ότι οι επίγειοι παρατηρητές µπορούν να φωτογραφήσουν το Νότιο Πόλο του Κρόνου και την νότια όψη των δακτυλίων του µόνο κάθε 30 χρόνια. Εικόνα : Η κλίση των δακτυλιδιών για τη περίοδο 00-07 Τα υψηλής ανακλαστικότητας σωµατίδια από παγωµένο νερό που συνθέτουν τους δακτυλίους ξεπερνούν σε λαµπρότητα τα νέφη αµµωνίας που επιστεγάζουν την ατµόσφαιρα του Κρόνου. Τα συστήµατα δακτυλίων των άλλων γιγάντων πλανητών - ίας, Ουρανός και Ποσειδώνας - είναι φτηνές αποµιµήσεις σε σύγκριση µε την αστραφτερή οµορφιά του κοσµήµατος του Κρόνου. Οι δακτύλιοι του ία είναι θαµποί και ασαφείς, του Ουρανού και του Ποσειδώνα εντελώς σκοτεινοί, από τα λιγότερο ανακλαστικά αντικείµενα που γνωρίζουµε στο ηλιακό µας σύστηµα. Αν οποιοδήποτε από τα άλλα συστήµατα δακτυλίων περιέβαλλε τον Κρόνο, είτε θα φαινόταν οριακά ή δε θα φαινόταν καθόλου, κατά την παρατήρηση µε ένα οπτικό τηλεσκόπιο από τη Γη. Αθροίζοντας όλους αυτούς τους παράγοντες, συν το γεγονός ότι οι δακτύλιοι του Κρόνου απλά έχουν µεγαλύτερη µάζα, µπορούµε να κατανοήσουµε το γιατί οι τελευταίοι ξεχωρίζουν ως θέαµα. Παρ' όλο που τα διαστηµόπλοια έχουν αποκαλύψει εκατοντάδες αναγνωρίσιµους δακτυλίους στη συνολική δακτυλιοειδή δοµή που περιζώνει τον Κρόνο, µόνο τρία τµήµατα διακρίνονται οπτικά µε ένα τηλεσκόπιο από τη Γη: οι δακτύλιοι Α, Β και C. Ο δακτύλιος Α, η εξώτερη ζώνη, και ο δακτύλιος Β, το πιο ευρύ και λαµπρό τµήµα, φαίνονται και οι δύο µε ευκολία µέσα από οποιοδήποτε τηλεσκόπιο. Το εξωτερικό χείλος του δακτυλίου Α σταθεροποιείται από το φεγγάρι που έχει το όνοµα Mimas. Ανάµεσα στα σωµατίδια του δακτυλίου και στην περίοδο περιφοράς, του Mimas υπάρχει συντονισµός :3. Χωρίζονται µεταξύ τους από το χώρισµα του Cassini (ανακαλύφθηκε το 675 από τον Giovanni Domenico Cassini), ένα χάσµα περίπου 4

τόσο πλατύ όσο η Βόρεια Αµερική. Το χώρισµα του Cassini φαίνεται το ίδιο σκοτεινό όπως και ο ουρανός γύρω από τον Κρόνο, αλλά στην πραγµατικότητα είναι µια περιοχή µε πιο αραιή συγκέντρωση θραυσµάτων και όχι ένα όντως κενό διάστηµα. Το χώρισµα δηµιουργήθηκε εξαιτίας βαρυτικών διαταραχών από το δορυφόρο του Κρόνου Μίµα. Κοµµάτια ύλης που περιφέρονται σε τροχιά µέσα στο χώρισµα βρίσκονται σε συντονισµό : µε το Μίµα - για κάθε περιφορά του Μίµα αυτά ολοκληρώνουν δύο περιφορές - και µε το χρόνο, µετατοπίζονται από δυνάµεις βαρύτητας προς νέες τροχιές, αφήνοντας ακόµα πιο αραιό τον τοµέα. Τα άλλα χάσµατα, που χωρίζουν τους πολλούς δακτυλίους που κατάφερε να διακρίνει το διαστηµόπλοιο Voyager, δηµιουργήθηκαν από πολύ πιο σύνθετες αλληλεπιδράσεις µε άλλους δορυφόρους, καθώς και µε µεγάλα σώµατα εντός των δακτυλίων. Μέσα στο δακτύλιο A και σε απόσταση 35 χιλιάδων χιλιοµέτρων από το Κρόνο βρίσκεται το χάσµα Encke µε πλάτος 35 χιλιόµετρα. Ανακαλύφθηκε το 888 από τον James Edward Keeler. Πήρε την ονοµασία του προς τιµή του Johann Encke για τις παρατηρήσεις που έκανε στα δαχτυλίδια, αν και ποτέ ο ίδιος δεν παρατήρησε αυτό το χάσµα. Η ύπαρξή του οφείλεται σε έναν µικρό δορυφόρο µε το όνοµα Pan ο οποίος κινείται µέσα σε αυτό. Φωτογραφίες από το διαστηµόπλοιο Cassini δείχνουν ότι υπάρχουν τουλάχιστον τρία µικρότερα δαχτυλίδια µέσα στο χάσµα αυτό. Εκτός από το χάσµα Encke υπάρχει και ακόµα ένα χάσµα µέσα στο δακτύλιο A. Ονοµάζεται χάσµα Keeler και βρίσκεται σε απόσταση 50 χιλιοµέτρων από το εξωτερικό πέρας του δακτυλίου. Έχει µήκος 4 χιλιόµετρα και οφείλεται στο µικρό δορυφόρο Daphnis που κινείται στο εσωτερικό του και το κρατάει καθαρό. Εικόνα 3: Το σύστηµα των δαχτυλιδιών του Κρόνου Ο δακτύλιος C είναι τόσο αµυδρός, ώστε µόνο µε ένα µεγάλο τηλεσκόπιο ξεχωρίζει πλάι στη λαµπρότητα της σφαίρας του Κρόνου. Ανακαλύφθηκε το 850 από τους William και George Bond. Γνωστός και ως κρεπ δακτύλιος (φαίνεται σαν να αποτελείται από πιο σκοτεινά αντικείµενα από ότι οι άλλοι δακτύλιοι), είναι ένας δακτύλιος-φάντασµα που εκτείνεται από το εσωτερικό πέρας του δακτυλίου Β έως τα µέσα της απόστασης προς τον πλανήτη. Το κάθετο πάχος του υπολογίζεται σε 5 µέτρα, η µάζα του περίπου σε. 0 8 κιλά, και το οπτικό βάθος ποικίλλει από 0.05 έως 0.. Το δαχτυλίδι είναι περίπου διαφανές για κάποιον που το παρατηρεί από πάνω ή από κάτω. Στο εσωτερικό του δακτυλίου διακρίνεται το χάσµα µε την ονοµασία Colombo. Και µέσα σε αυτό το χάσµα υπάρχει ένα µικρό δακτυλίδι (µε 5

σχήµα ελλειπτικό και σε απόσταση 77,883 χιλιοµέτρων από το Κρόνο) το οποίο είναι φωτεινό αλλά ταυτόχρονα και πολύ λεπτό. Αυτό το δαχτυλίδι έχει την ονοµασία Τιτάνας. Ονοµασία που οφείλεται στο γεγονός ότι βρίσκεται σε συντονισµό µε το φεγγάρι του Κρόνου, Τιτάνα. Ο δακτύλιος D είναι το πλησιέστερο δακτυλίδι στο Κρόνο και είναι πολύ εξασθενηµένο. Το 980, ο Voyager αναγνώρισε µέσα στο δακτύλιο τρία πιο µικρά δακτυλίδια που πήραν την ονοµασία D73, D7 και D68, µε το D68 να είναι το κοντινότερο στο πλανήτη. Σχήµα : Η φωτεινότητα των δακτυλίων σε συνάρτηση µε την απόσταση από το κέντρο του Κρόνου Ο δακτύλιος F, που βρίσκεται τρεισήµισι χιλιάδες χιλιόµετρα έξω από το δακτύλιο Α, ανακαλύφθηκε κατά την αποστολή του Pioneer για τη µελέτη του Κρόνου και των δακτυλιδιών του. Έχει πλάτος τριακοσίων χιλιοµέτρων, πάχος τριών χιλιοµέτρων, και αποτελείται από δέκα τουλάχιστον επιµέρους δακτυλίους. Σε αυτόν διακρίνονται ορισµένοι σχηµατισµοί σαν κόµποι, οι οποίοι µπορεί να είναι είτε συγκεντρώσεις διαφόρων υλικών µέσα στο δακτύλιο είτε µικροί δορυφόροι. Μεταξύ του δακτυλίου F και του δακτυλίου A βρίσκεται το χάσµα Roche. Το χάσµα αυτό βρίσκεται πολύ κοντά στο όριο Roche του Κρόνου. Το όριο αυτό δηλώνει την απόσταση από ένα πλανήτη στην οποία όταν βρεθεί ένα αντικείµενο, λόγω παλιρροιακών δυνάµεων ο πλανήτης θα το διαλύσει. Αυτός είναι και ο λόγος που τα δαχτυλίδια δε µπορούν να ενωθούν και να σχηµατίσουν ένα δορυφόρο. Σε µια πρόσφατη φωτογραφία εµφανίζεται ένα πολύ παράξενο φαινόµενο. Κάτι τεράστιο διαπέρασε το δακτύλιο F, τόσο τεράστιο που άφησε και σκιά. Το αντικείµενο είναι µυστηριώδες για δύο λόγους: α) οι δακτύλιοι είναι τεράστιοι σε µέγεθος, άρα και το αντικείµενο θα πρέπει να ήταν πολύ µεγάλο β) µοιάζει να έχει λαµπερή ουρά, κάτι που δεν καλύπτεται από την εξήγηση ότι παρέσυρε υλικό των δακτυλίων (το υλικό αυτό είναι µικροκρύσταλλοι που βρίσκονται πάρα πολύ µακριά ο ένας από τον άλλο, και φαίνονται ως κάτι ενιαίο µόνο από τεράστια απόσταση. Αν ένα αντικείµενο έπεφτε πάνω τους, θα τους διαπερνούσε χωρίς να σηκώσει ουρά από αυτούς, το πολύ πολύ να διέλυε σε εκείνο το σηµείο τους δακτυλίους εξαιτίας του βαρυτικού πεδίου του.). Η προσεκτική µελέτη έδειξε, ότι αυτή η παραµόρφωση οφείλεται στην χαοτική τροχιά του Προµηθέα, όπου η βαρυτική του ενέργεια "αποσπά" υλικό από τον δακτύλιο, που περιφέρεται και διαταράσσει την οµαλότητα των δαχτυλιδιών ακόµα και σε απόσταση 00 χιλιοµέτρων κάθε 5 ώρες. 6

Εικόνα 4: Η επίδραση του Προµηθέα στο δακτύλιο F Σε απόσταση 0.000 χιλιοµέτρων από το δακτύλιο F βρίσκεται ο δακτύλιος G. Είναι πολύ λεπτός και εξασθενηµένος. Στο εσωτερικό του πέρας διακρίνεται ένα φωτεινό τόξο το οποίο εκτείνεται στο ένα έκτο της περιφέρειας του. Το τόξο αυτό βρίσκεται σε συντονισµό 7:6 µε το δορυφόρο Μίµα. Αποτελείται από σωµατίδια πάγου διαµέτρου µερικών µέτρων. Το πιο πιθανό είναι το τόξο να οφείλεται στα υπολείµµατα ενός µικρού δορυφόρου, διαµέτρου µερικών εκατοντάδων µέτρων. Το τόξο έχει µήκος 50 χιλιοµέτρων ενώ ο δακτύλιος F έχει µήκος 6000 χιλιοµέτρων. Το όλο σύστηµα των δακτυλίων ολοκληρώνεται µε δύο ακόµα δακτυλίδια. Ο δακτύλιος E ξεκινάει από τη τροχιά του δορυφόρου Μίµα και τελειώνει κάπου κοντά στη τροχιά του δορυφόρου Ρέα, ενώ πρόσφατα ανακαλύφθηκε ένας ακόµη του οποίου η κυκλική τροχιά γέρνει 7 µοίρες από την κύρια τροχιά του πλανήτη, ενώ ο όγκος του ξεκινά περίπου 6 εκατοµµύρια χιλιόµετρα µακριά από τον πλανήτη και τελειώνει περί στα εκατοµµύρια χιλιόµετρα. Παράλληλα, η διάµετρος του είναι ίση µε 300 διαµέτρους Κρόνου µαζί.. Εικόνα 5: Ο µεγαλύτερος δακτύλιος του Κρόνου Φυσικά δεν έχει ακόµη διευκρινιστεί ο τρόπος µε τον οποίο δηµιουργήθηκαν τα δαχτυλίδια αυτά. Ίσως, όταν σχηµατίστηκε ο Κρόνος, να άφησε κοντά του, αχρησιµοποίητα υλικά που δεν κατόρθωσαν να συµπτυχθούν σε κάποιον δορυφόρο. 7

Ίσως πάλι, πριν από δισεκατοµµύρια χρόνια, ένας από τους δορυφόρους του Κρόνου να πλησίασε πάρα πολύ κοντά στον πλανήτη, οπότε η βαρυτική δύναµη του Κρόνου τον διέσπασε, σχηµατίζοντας µε αυτό τον τρόπο το σύστηµα των δακτυλίων του. Επίσης δεν αποκλείεται δυο από τα φεγγάρια του Κρόνου να συγκρούστηκαν µεταξύ τους ή ένας γιγαντιαίος κοµήτης να διέλυσε έναν από τους δορυφόρους και στη συνέχεια τα θραύσµατα να εξελίχτηκαν στους δακτυλίους που βλέπουµε σήµερα. Οι βαρυτικές πάντως δυνάµεις των δορυφόρων Προµηθέα και Πανδώρας παίζουν σηµαντικό ρόλο στην όλη δυναµική των δακτυλίων αυτών. Επειδή το όλο αυτό σύστηµα των δακτυλίων δεν είναι καθόλου σταθερό, είναι πιθανόν να «ανανεώνεται» από τη διάλυση κάποιων δορυφόρων του Κρόνου. Σε µερικές εκατοντάδες χιλιάδες χρόνια το σύστηµα των δακτυλίων δεν πρόκειται να υφίστανται καθόλου, αφού τα σώµατα που τους αποτελούν έλκονται σιγά σιγά προς την επιφάνεια του Κρόνου, όπου και θα καταστραφούν. Στον επόµενο πίνακα, καταγράφονται συγκεντρωτικά τα στοιχεία που αφορούν το σύστηµα των δακτυλίων ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΠΛΑΤΟΣ (KM) ΤΟΥ ΚΡΟΝΟΥ (ΚΜ) ΑΚΤΥΛΙΟΣ D,900-74,50 7,500 ΑΚΤΥΛΙΟΣ C 74,658-9,000 7,500 ΑΚΤΥΛΙΟΣ B 9,000-7,580 5,500 ΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ CASSINI 7,580 -,70 4,700 ΑΚΤΥΛΙΟΣ A 70-36,775 4,600 ΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ROCHE 36,775-39,380,600 ΑΚΤΥΛΙΟΣ F 40,80 30-500 ΑΚΤΥΛΙΟΣ ΙΑΝΟΣ- 49,000-54,000 5,000 ΕΠΙΜΗΘΕΑΣ ΑΚΤΥΛΙΟΣ G 70,000-75,000 5,000 ΑΚΤΥΛΙΟΣ Παλλήνη,000-3,500,500 ΑΚΤΥΛΙΟΣ E 8,000-483,000 30,000 Πίνακας : Συγκεντρωτικά τα στοιχεία των δακτυλίων Ο Κρόνος πέρα από το εντυπωσιακό σύστηµα δακτυλίων που τον χαρακτηρίζει, έχει ακόµα µια πρωτιά ανάµεσα στους άλλους πλανήτες του Ηλιακού µας συστήµατος. Είναι ο πλανήτης µε τους περισσότερους δορυφόρους, µε τον αριθµό τους να ξεπερνά τους 60. Ο Τιτάνας είναι ο µεγαλύτερος δορυφόρος του Κρόνου και, µετά τον Γανυµήδη του ία, ο δεύτερος σε µέγεθος δορυφόρος του ηλιακού µας συστήµατος. Πολλοί όµως από τους υπόλοιπους δορυφόρους είναι µικρά σώµατα, µετεωροειδείς ή αστεροειδείς. Οι παρατηρητές χωρίζουν τους δορυφόρους του Κρόνου σε τρεις κατηγορίες: α) στους κανονικούς δορυφόρους β) στους «Τρωικούς δορυφόρους», που είναι πολύ µικρότεροι και, καθώς περιφέρονται στην ίδια τροχιά µε τους κανονικούς, προηγούνται ή έπονται αυτών, και γ) στους «δορυφόρους-ποιµένες» που µε τη βαρυτική τους επίδραση µοιάζουν να «συµµαζεύουν» την έκταση ενός δακτυλίου, όπως ένας ποιµένας κρατάει µαζεµένο το κοπάδι του. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι οι 8

δορυφόροι Προµηθέας και Πανδώρα, που περιορίζουν ανάµεσα τους την έκταση του δακτυλίου F σαν να τον συµµαζεύουν. Στον επόµενο πίνακα καταγράφονται µερικοί από τους δορυφόρους του Κρόνου µαζί µε τα βασικά τους φυσικά χαρακτηριστικά. α/α Αριθ Όνοµα ιάµετρος Απόσταση Περιφορά Ανακάλυψη S8 Πάνας 0 33.583 3ω 48λ 990 S5 Άτλας 38x8 37.670 4ω 7λ 980 3 S6 Προµηθέας 40x74 39.353 4ω 43λ 980 4 S7 Πανδώρα 0x66 4.700 5ω 05λ 980 5 S0 Ιανός 0x60 5.400 6ω 40λ 966 6 S Επιµηθέας 40x00 5.500 6ω 40λ 980 7 S Μίµας 394 85.500 ω 37λ 789 8 S Εγκέλαδος 50 38.000 ηµ 8ω 3λ 789 9 S3 Τηθύς.048 94.700 ηµ ω 5λ 684 0 S4 Καλυψώ 30x6 94.700 ηµ ω 5λ 980 S3 Τελεστώ 5x 94.700 ηµ ω 5λ 980 S4 ιώνη.8 377.400 ηµ 7ω 36λ 684 3 S Ελένη 36x0 377.400 ηµ 7ω 45λ 980 4 S5 Ρέα.58 57.000 4ηµ ω 6λ 67 5 S6 Τιτάνας 5.50..800 5ηµ ω 5λ 655 6 S7 Υπερίων 350x00.48.000 ηµ 6ω 45λ 848 7 S8 Ιαπετός.436 3.56.300 79ηµ 3ω 43λ 67 8 S9 Φοίβη 30x0.95.000 549ηµ 3ω 33λ 898 Πίνακας : Μερικοί από τους δορυφόρους του Κρόνου και τα βασικά τους φυσικά χαρακτηριστικά 9

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΙΜΑΣ - ΤΗΘΥΣ Ο δορυφόρος Μίµας (SI) ανακαλύφθηκε το 789 από τον Ουίλιαµ Χέρσελ. Η τροχιά του είναι σχεδόν κυκλική µε εκκεντρότητα e= 0.0 και βρίσκεται πάνω σχεδόν στο ισηµερινό επίπεδο του Κρόνου κλίση ι=,53. Το όνοµα του το οφείλει στον Μίµα, που σύµφωνα µε την ελληνική µυθολογία ήταν ένας από τους γίγαντες που δολοφονήθηκαν από τον ία, την Αθηνά και τον Άρη, και τον έθαψαν κάτω από το βουνό Ερυθρές, απέναντι από τη Χίο. Ανακάλυψη 789 Μάζα (3.749 3±0.003) 0 9 Kg Κλίση τροχιάς,5 Εκκεντρότητα 0.00 Περίοδος Περιφοράς 0.94 4 ηµέρες Μέση ακτίνα 98.30 ± 0.30 km Μέση ακτίνα τροχιάς 85 50 km Μέση πυκνότητα.47 9 ± 0.005 3 g/cm 3 Ταχύτητα διαφυγής 0.59 km/s Εικόνα 6: Ο Μίµας όπως φωτογραφήθηκε από το Cassini τον Αύγουστο του 005. Κύριο χαρακτηριστικό της επιφάνειας του Μίµα, που αποτελείται περισσότερο από παγωµένο νερό µε ένα µικρό ποσοστό πετρωµάτων, είναι ένας µεγάλος κρατήρας διαµέτρου 30 χιλιοµέτρων. Ο µεγάλος αυτός κρατήρας, που φτάνει το /3 σχεδόν της διαµέτρου του δορυφόρου, ονοµάστηκε Χέρσελ, ενώ τα τείχη του φτάνουν σε ύψος 5 χιλιοµέτρων, αν και ορισµένες περιοχές στον πυθµένα του έχουν βάθος 0 χιλιοµέτρων. Αν το αντικείµενο, που χτύπησε το Μιµα και δηµιούργησε το κρατήρα, ήταν µεγαλύτερο ή κινούνταν µε µεγαλύτερη ταχύτητα, θα είχε διαλύσει το δορυφόρο και στη συνέχεια τα αποµεινάρια της σύγκρουσης είτε θα σχηµάτιζαν ένα καινούριο δαχτυλίδι είτε θα συνενώνονταν σε ένα νέο δορυφόρο. Η Τηθύς είναι ο πέµπτος µεγαλύτερος δορυφόρος του Κρόνου και ανακαλύφθηκε από τον Τζιοβάννι Ντοµένικο Κασσίνι το 684. Ονοµάστηκε Τηθύς από την Τιτανίδα Τηθύς. Επίσης αναφέρεται και µε την ονοµασία Κρόνος III (Saturn III), επειδή είθισται στην Αστρονοµία αντί του ονόµατος του δορυφόρου να χρησιµοποιείται ο αύξων αριθµός εκάστου (κατά σειρά απόστασης από τον πλανήτη). Στην πραγµατικότητα δεν είναι ο τρίτος στη σειρά, αλλά όταν ανακαλύφθηκε ήταν. Η Τηθύς έχει µέση διάµετρο.066 χιλιόµετρα και απέχει από τον πλανήτη Κρόνο 94.69 χλµ. Η Τηθύς είναι ένα ουράνιο σώµα που αποτελείται σχεδόν εξ' ολοκλήρου από πάγο. Στην παγωµένη επιφάνειά της διακρίνονται πολλοί κρατήρες. Ο µεγαλύτερος κρατήρας της βρίσκεται στο δυτικό της ηµισφαίριο, ονοµάζεται Οδυσσέας και έχει διάµετρο 400 χιλιόµετρα. Ένα άλλο εντυπωσιακό χαρακτηριστικό της επιφάνειάς της είναι το «Χάσµα της Ιθάκης», ένα φαράγγι πλάτους εκατό χιλιοµέτρων και βάθους πέντε, που διατρέχει τα 3/4 της περιφέρειας της Τηθύς (περίπου.000 χιλιόµετρα). Εικάζεται ότι σχηµατίστηκε όταν το νερό στο εσωτερικό 0

του δορυφόρου πάγωσε, αυξάνοντας έτσι τον όγκο του και ραγίζοντας την επιφάνεια. Η θερµοκρασία στην επιφάνειά της είναι περίπου -87 o C. Ανακάλυψη 684 Μάζα (6,744±0,003) 0 0 Kg Κλίση τροχιάς, Εκκεντρότητα 0,000 Περίοδος Περιφοράς,88780 ηµέρες Μέση ακτίνα 533 ± 0,7 km Ηµιάξονας τροχιάς 94.69 km Μέση πυκνότητα 0,9735 ± 0,0038 g/cm 3 Ταχύτητα διαφυγής 0,393 km/s Εικόνα 7: Η Τηθύς όπως φωτογραφήθηκε από το Cassini στις Ιουλίου 007 Σε αυτή την εργασία προσπαθούµε να µελετήσουµε τη κίνηση του συστήµατος Μίµας-Τηθύς. Για να το πετύχουµε αυτό µεταβάλουµε τις τροχιακές παραµέτρους του συστήµατος σε µία λογική περιοχή τιµών σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις. Οι παράµετροι αυτοί είναι η κλίση της τροχιάς του Μίµα και η εκκεντρότητα της τροχιάς της Τηθύος. Το σύστηµα συµπεριφέρεται δυναµικά σαν απλό εκκρεµές, και µελετώντας τη συµπεριφορά της συνοδικής συχνότητας ϕɺ επιδιώκουµε να καταλάβουµε ποιες είναι οι κατάλληλες τιµές των παραµέτρων του (εκκεντρότητα της τροχιάς της Τηθύος). Τέλος, επιδιώκουµε να προσδιορίσουµε το εύρος µεταβολής της συνοδικής συχνότητας συναρτήσει των στοιχείων της τροχιάς.

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Κατά την κίνηση ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο η κύρια δύναµη που ασκείται στο πλανήτη αυτόν είναι η ελκτική δύναµη του Ήλιου. Μελετώντας το σύστηµα µας ως πρόβληµα δύο σωµάτων, αν υπολογίσουµε τη θέση του πλανήτη κατά µία χρονική στιγµή t τότε ή θέση πού βρίσκουµε δεν συµφωνεί µε τη θέση πού µας δίνουν για την ίδια χρονική στιγµή οι αστρονοµικές παρατηρήσεις. Αυτό συµβαίνει επειδή στην πραγµατικότητα η κίνηση του πλανήτη επηρεάζεται και από τα υπόλοιπα σώµατα του ηλιακού συστήµατος, τα οποία ασκούν και αυτά µε τη σειρά τους ελκτικές δυνάµεις πάνω στο πλανήτη σύµφωνα µε το νόµο της παγκόσµιας έλξης. Οι δυνάµεις αυτές, οι οποίες είναι µικρότερες από τη δύναµη που ασκεί ο Ήλιος, ονοµάζονται παρελκτικές δυνάµεις και οι µεταβολές που οφείλονται σε αυτές καλούνται παρέλξεις. Σχήµα : Τη χρονική στιγµή t=t 0 o πλανήτης P διαγράφει τροχιά C 0. Εξαιτίας των παρελκτικών δυνάµεων η τροχιά του µεταβάλλεται. Λόγω της επίδρασης των παρελκτικών δυνάµεων, η τροχιά του πλανήτη Ρ δεν είναι, τελικά, έλλειψη, όπως προβλέπει ή θεωρία του προβλήµατος των δύο σωµάτων, άλλά µία πολύπλοκη καµπύλη. Ή έλλειψη την όποια θα διέγραφε ο πλανήτης Ρ από µια χρονική στιγµή t και µετά, αν από τη στιγµή αυτήν έπαυαν να επιδρούν επάνω στον πλανήτη αυτόν παρελκτικές δυνάµεις, ονοµάζεται εγγύτατη έλλειψη ή εγγύτατη τροχιά και τα στοιχεία της καλούνται στοιχεία τής εγγύτατης τροχιάς (osculating elements). Αντίθετα, η πραγµατική τροχιά, την οποία διαγράφει, τελικά, ο πλανήτης Ρ λόγω τής επιδράσεως και των παρελκτικών δυνάµεων, ονοµάζεται διαταραγµένη τροχιά. Εάν επιθυµούµε να µελετήσουµε πλήρως τη κίνηση του πλανήτη υπό τη σύγχρονη επίδραση όλων των άλλων σωµάτων πρέπει να τη δούµε ως πρόβληµα των ν σωµάτων. Όπως όµως µας διδάσκει ή Ουράνια Μηχανική, το πρόβληµα των ν σωµάτων, όταν είναι ν > 3, δεν µπορεί να λυθεί πλήρως στη γενική του περίπτωση. Όµως µπορούµε να µελετήσουµε το πρόβληµα των τριών σωµάτων, το οποίο σε αντίθεση µε το πρόβληµα των δύο σωµάτων που λύνεται σχετικά εύκολα, είναι πολύ πιο πολύπλοκό. Μόλις στις αρχές του εικοστού αιώνα κατέστη δυνατόν να λυθεί αφού πρώτα απασχόλησε τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς του κόσµου. Η λύση δόθηκε υπό µορφή τριγωνοµετρικών σειρών. Στη πρώτη λύση του προβλήµατος (Newcomb- 874) αυτές αποκλίνουν ενώ στη δεύτερη (Sundmann-907) συγκλίνουν αλλά πολύ βραδέως.

Έκτος όµως από το γενικό πρόβληµα, έχουν µελετηθεί κατά καιρούς και διάφορες ειδικές περιπτώσεις του προβλήµατος των τριών σωµάτων, πού εµφανίζουν επίσης σηµαντικό ενδιαφέρον για την Κλασσική Ουράνια Μηχανική, και οι οποίες µπορούν να επιλυθούν εύκολα. Η περίπτωση στην οποία η µάζα του ενός σώµατος (Σ) είναι αµελητέα σε σχέση µε τις µάζες των άλλων δύο (Σ και Σ ) καλείται περιορισµένο (resricted) πρόβληµα των τριών σωµάτων. Η αµελητέα µάζα του ενός σώµατος σηµαίνει ότι οι παρελκτικές δυνάµεις που ασκεί το σώµα αυτό στα άλλα δύο µπορούν να θεωρηθούν και αυτές αµελητέες. Τα δύο αυτά σώµατα καλούνται πρωτεύοντα. Εάν το σώµα Σ κινείται επί του επιπέδου των πρωτευόντων σωµάτων, το πρόβληµα καλείται επίπεδο. Εάν τα Σ και Σ κινούνται επί κυκλικών ή ελλειπτικών τροχιών περί το κέντρο µάζας τους έχουµε αντιστοίχως το επίπεδο κυκλικό ή ελλειπτικό περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων. Με µια πρώτη µατιά, το επίπεδο κυκλικό περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων βρίσκει λίγες εφαρµογές µέσα στο ηλιακό σύστηµα. Εξάλλου, οι τροχιές των περισσοτέρων σωµάτων µέσα σε αυτό είναι µη κυκλικές και επιπλέον δεν γίνονται στο ίδιο επίπεδο. Όµως, αποτελεί µια καλή προσέγγιση για ορισµένα συστήµατα και οι απλουστεύσεις που δεχόµαστε µας βοηθούν να κατανοήσουµε ευκολότερα τη συµπεριφορά της κίνησης. Μπορούµε να µελετήσουµε σαν επίπεδο κυκλικό περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων τη κίνηση των φυσικών δορυφόρων γύρω από τον µητρικό τους πλανήτη όταν αυτοί βρίσκονται αρκετά κοντά του. Κάτι τέτοιο συµβαίνει µε τους δορυφόρους του πλανήτη ία.. Επίσης, σαν ένα τέτοιο σύστηµα µπορούµε να θεωρήσουµε τις τροχιές των διαστηµοπλοίων στις διαστηµικές αποστολές προς τη σελήνη. Σχήµα 3: ύο σώµατα (m i και m j ) σε τροχιά γύρω από ένα άλλο σώµα m c. Έστω οι µάζες m i και m j που κινούνται γύρω από τη µάζα m c. Για να µελετήσουµε το σύστηµα µας ας επιλέξουµε τη κεντρική µάζα m c για αρχή των αξόνων. Με R c, R i, R j αναφερόµαστε στα διανύσµατα θέσης των τριών σωµάτων ως προς τo O ενώ µε r i και r j στα διανύσµατα θέσης των σωµάτων m i και m j ως προς τη κεντρική µάζα m c. Είναι r ( ) / i = ri = xi + yi + zi, r ( ) / j = rj = x j + y j + z j ( x x ) ( y y ) ( z z ) r r = + + j i j i j i j i / (3.) 3

Οι εξισώσεις της κίνησης των τριών σωµάτων σύµφωνα µε το νόµο του Νεύτωνα και το νόµο της βαρύτητας είναι r r m R ɺɺ = Gm m + Gm m (3.) i j c c c i 3 c j 3 ri rj r r r m Rɺɺ = Gm m Gm m (3.3) r j i i i i i j 3 i c 3 rj ri i r r r m Rɺɺ = Gm m Gm m (3.4) r i j j j j j i 3 j c 3 ri rj j Τα διανύσµατα της επιτάχυνσης των m i και m j ως προς τη κεντρική µάζα είναι ɺɺ r = R ɺɺ R ɺɺ (3.5) i i c ɺɺ r = R ɺɺ R ɺɺ (3.6) j j c οι οποίες από τις εξισώσεις κίνησης γίνονται r rj ri r i j ɺɺ ri + G ( mc + mi ) = Gm 3 j 3 3 ri r j i j r r (3.7) r j ri r j i j G ( mc m j ) Gm r ɺɺ r + + = 3 i 3 3 rj r i j i r r (3.8) Αυτές γράφονται και ( ) ˆ ˆ ˆ ɺɺ ri = i Ui + Ri = i + j + k ( Ui + Ri ) xi yi zi (3.9) ( ) ˆ ˆ ˆ ɺɺ rj = j U j + R j = i + j + k ( U j + R j ) x j y j z j (3.0) όπου U i ( m + m ) c i = G και r i U j ( mc + m j ) = G (3.) r j Συµπεραίνουµε ότι οι δυνάµεις προέρχονται από δυναµικό. Η συνάρτηση R καλείται παρελκτική συνάρτηση, και αναπαριστά το δυναµικό που εµφανίζεται από την παρουσία και τρίτου σώµατος. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω όταν ένα σώµα µάζας m i περιφέρεται γύρω από µία κεντρική µάζα m c σε ελλειπτική τροχιά τότε το πρόβληµα είναι ολοκληρώσιµο και τα στοιχεία της τροχιάς (α,e,i,ω,ω,ν) του πρώτου σώµατος παραµένουν σταθερά. Αν προσθέσουµε στο σύστηµα µας ένα τρίτο σώµα µάζας m j τότε η αµοιβαία βαρυτική δύναµη µεταξύ των σωµάτων m i και m j έχει σαν αποτέλεσµα τα στοιχεία της τροχιάς του κάθε σώµατος να µεταβάλλονται µε το χρόνο. Αυτές οι µεταβολές των στοιχείων της τροχιάς µπορούν να υπολογιστούν µε 4

τη βοήθεια της κλίσης του δυναµικού διαταραχής, δηλαδή µε τη βοήθεια της παρελκτικής συνάρτησης. Μπορούµε να γράψουµε τη παρελκτική συνάρτηση ως Gm rr Ri = Gm r R j Gm i j = ri rj j i j j 3 r r i j Gm rr i j i 3 ri (3.) (3.3) µε τους πρώτους όρους να ονοµάζονται άµεσοι όροι ενώ οι δεύτεροι όροι καλούνται έµµεσοι και οφείλονται στην επιλογή της αρχής των συντεταγµένων. Οι έµµεσοι όροι δεν θα υπήρχαν αν επιλέγαµε ως αρχή των συντεταγµένων το κέντρο µάζας του συστήµατος (αδρανειακό). Με τη βοήθεια των πολυωνύµων Legendre η παρελκτική συνάρτηση για κάθε σώµα γράφεται µ r R = Pl r l= r l ( cosψ ) µ r r r R = Pl ( cosψ ) + µ cosψ µ cosψ r l= r r r l (3.4) όπου µ = Gm, µ = Gm, rκαι r η απόσταση των δύο σωµάτων από το κεντρικό σώµα, ψ η γωνία που σχηµατίζουν µεταξύ τους τα διανύσµατα θέσης r, r του κάθε σώµατος και P0 ( cosψ ) =, P ( cosψ ) = cos ψ, P ( cosψ ) = ( 3cos ψ ), κτλ. Όπως είπαµε, σε ένα σύστηµα δύο σωµάτων η παρελκτική συνάρτηση (δυναµικό) εµφανίζεται όταν προστεθεί στο σύστηµα ένα ακόµα σώµα. Η εµφάνιση της έχει σαν αποτέλεσµα να µεταβάλλονται τα στοιχεία της τροχιάς των δύο σωµάτων που περιφέρονται γύρω από το κεντρικό. Η παρελκτική συνάρτηση µπορεί να γραφεί συναρτήσει των στοιχείων της τροχιάς, δηλαδή γράφεται j... j6 ( ) R = µ S a, a, e, e, I, I cosϕ (3.5) όπου S συνάρτηση της εκκεντρότητας, του µεγάλου ηµιάξονα και της κλίσης που αντιστοιχούν σε κάθε σώµα και. ϕ = j λ + j λ + j ϖ + j ϖ + j Ω + j Ω (3.6) 3 4 5 6 η γωνία της ταλάντωσης µε τα j i (i=,...6) να είναι ακέραιοι και για αυτούς ισχύει η σχέση 6 j i = 0 (σχέση d alembert) (3.7) ι= Ένα σώµα βρίσκεται σε συντονισµό j j όταν η µεταβολή της γωνίας φ µε το χρόνο είναι µηδέν. ηλαδή όταν 5

( ) ( ) ɺ ϕ = 0 ɺ ϕ = j n + ε + j n + ε + j ϖɺ + j ϖɺ + j Ω ɺ + j Ω ɺ = 0 (3.8) 3 4 5 6 όπου για κάθε δορυφόρο η αντίστοιχη συχνότητα µετάπτωσης της γραµµής των αψίδων ϖɺ, ϖ ɺ και των συνδέσµων Ωɺ, Ωɺ (τάξεως της µάζας τους) είναι πολύ µικρότερες από τη αντίστοιχη µέση κίνηση του n, n. Αν δεν υπήρχαν διαταραχές οι παραπάνω συχνότητες θα ήταν ίσες µε µηδέν. Γνωρίζοντας την παρελκτική συνάρτηση µπορούµε µε τη βοήθεια των εξισώσεων Lagrange να υπολογίσουµε τη µεταβολή των στοιχείων της τροχιάς µε το χρόνο. Οι εξισώσεις αυτές είναι: da R = dt na ε ( e ) ε e ( e ) de e R e R = dt na e na e ϖ dε R R tan I R = + + dt na a na e e na e I dω R = dt na e sin I I dϖ e R tan R = + dt na e e na e I di tan I R R R = dt + na e ε ϖ na e sin I Ω (3.9) (3.0) (3.) (3.) (3.3) (3.4) Ως τώρα θεωρήσαµε όλα τα σώµατα σαν σηµειακές µάζες χωρίς να έχουν φυσικές διαστάσεις. Κάτι τέτοιο όµως δεν ανταποκρίνεται στη πραγµατικότητα. Τα περισσότερα σώµατα στο ηλιακό µας σύστηµα δεν είναι σφαιρικά αλλά πεπλατυσµένα. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα το βαρυτικό πεδίο αυτών των σωµάτων να είναι ασύµµετρο. Για ένα τέτοιο σώµα η ασυµµετρία έχει ως αποτέλεσµα κάθε στοιχείο µάζας του να δέχεται βαρυτική δύναµη διαφορετική από αυτήν που δέχεται το κέντρο µάζας του. Για έναν δορυφόρο που κινείται γύρω από ένα πλανήτη αυτό σηµαίνει ότι η δύναµη που ασκεί στη πλευρά του πλανήτη που κοιτά το δορυφόρο είναι µεγαλύτερη από ότι στην απέναντι πλευρά 6

Σχήµα 4: Η παλιρροιογόνος δύναµη Η επιφάνεια του πλανήτη βρίσκεται σε ισορροπία αν σε κάθε σηµείο της η κεντροµόλος δύναµη που ασκεί ο δορυφόρος είναι ίση µε τη φυγόκεντρη δύναµη. Επειδή κάθε της σηµείο περιφέρεται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα γύρω από το κέντρο µάζας του συστήµατος πλανήτη-δορυφόρου, η φυγόκεντρος δύναµη που δέχεται κάθε σηµείο είναι ίδια. Όµως, η κεντροµόλος δύναµη που δέχεται κάθε σηµείο της είναι διαφορετική επειδή κάθε σηµείο της απέχει διαφορετική απόσταση από το δορυφόρο. Η παλιρροιογόνος δύναµη που δηµιουργείται παραµορφώνει τα δύο αλληλεπιδρώντα σώµατα και ορίζεται ως η διαφορά F Tidal =F-F c (3.5) όπου F η κεντροµόλος δύναµη και F c η φυγόκεντρη δύναµη. Επιπλέον η F c είναι ίση µε τη µέση τιµή της κεντροµόλου δύναµης <F> και ίση µε τη βαρυτική δύναµη που δέχεται το κέντρο µάζας του πλανήτη. ηλαδή F c =<F>=Gm p m s /a. Το συµπέρασµα είναι ότι κάθε σφαιρικός πλανήτης όταν βρίσκεται υπό την βαρυτική επίδραση ενός δορυφόρου θα παραµορφωθεί. Όµως ίση και αντίθετη δύναµη προκαλείται και στο δορυφόρο. Σε ένα πλανήτη που καλύπτεται από ωκεανούς, όπως η Γη, οι παλιρροιογόνες δυνάµεις προκαλούν φαινόµενα παλίρροιας και άµπωτης ενώ σε έναν στεγνό πλανήτη το φαινόµενο συνδέεται µε ηφαιστειογενή δραστηριότητα. Οι παλιρροιογόνες δυνάµεις που δηµιουργεί ο δορυφόρος πάνω στο πλανήτη έχουν σαν αποτέλεσµα να µειώνεται η στροφορµή του πλανήτη και να µεταβάλλεται ο µεγάλος ηµιάξονας της τροχιάς του δορυφόρου µε ρυθµό που δίνεται από τη σχέση 7

/ 3k G 5 m aɺ = RP (3.6) / Q P m p a όπου m p, R p, Q p και k η µάζα, η ακτίνα, η συνάρτηση της παλιρροϊκών απωλειών και K οι αριθµοί Love (είναι µέτρο της παραµόρφωσης του πλανήτη). Αν επιπλέον έχουµε και έναν ακόµη δορυφόρο ( m, a ) που κινείται γύρω από τον ίδιο πλανήτη αλλά σε µεγαλύτερη τροχιά τότε µεταβάλλεται και ο ηµιάξονας του ενός και του άλλου. Όµως, υπάρχει περίπτωση αυτή η µεταβολή να µη γίνεται µε τον ίδιο ρυθµό µε αποτέλεσµα οι δύο δορυφόροι να πλησιάζουν µεταξύ τους. Κάτι τέτοιο συµβαίνει αν ισχύει / aɺ m a = > aɺ m a (3.7) και αντίστοιχα για τη µέση κίνηση d n / n / dt > (3.8) N ɺ = ( ) Όταν οι µεγάλοι ηµιάξονες των δύο δορυφόρων µεταβάλλονται, σύµφωνα µε το τρίτο νόµο του Kepler, µεταβάλλονται και οι περίοδοι περιφοράς των δορυφόρων γύρω από το πλανήτη. Αυτό σηµαίνει ότι οι δύο δορυφόροι µπορεί κάποια στιγµή να βρεθούνε σε συντονισµό., δηλαδή να ισχύει n j = (3.9) n j + k Όταν οι δύο δορυφόροι βρεθούνε σε ένα συντονισµό τότε Nɺ 0και οι τροχιές τους µεταβάλλονται µε τον ίδιο ρυθµό. Ο πλανήτης συνεχίζει να χάνει στροφορµή µε τον ίδιο ρυθµό όπως και πριν το συντονισµό αλλά τώρα βαρυτικές δυνάµεις µεταξύ των δορυφόρων, που οφείλονται στο συντονισµό, έχουν ως αποτέλεσµα τη µεταφορά στροφορµής από τον εσωτερικό στον εξωτερικό δορυφόρο. Έτσι, οι τροχιές τους µεταβάλλονται µαζί διατηρώντας το συντονισµό και συνεχίζει να ισχύει Nɺ 0. 8

ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΙ Το ηλιακό σύστηµα περιέχει αρκετά σώµατα που παρουσιάζουν περιστροφικούς ή τροχιακούς συντονισµούς. Περιστροφικός συντονισµός υφίσταται όταν η περίοδος περιστροφής ενός σώµατος γύρω από τον εαυτό του, Τστρ, και η περίοδος περιφοράς γύρω από ένα άλλο σώµα, Τπερ, έχουν λόγο που µπορεί να εκφραστεί µέσω µικρών ακεραίων. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι η περιστροφή της Σελήνης και η τροχιακή της κίνηση γύρω από τη Γη (Τστρ/Τπερ = /). Αυτός είναι και ο λόγος που η σελήνη έχει στραµµένη σε µας πάντα την ίδια πλευρά. Αντίστοιχα, µε τον όρο τροχιακό συντονισµό εννοούµε το φαινόµενο εκείνο κατά το οποίο οι περίοδοι περιφοράς δύο ή περισσοτέρων σωµάτων γύρω από το ίδιο µητρικό σώµα έχουν λόγω που µπορεί να εκφραστεί µέσω ακεραίων. ηλαδή T T n = (4.) n όπου n, n ακέραιοι αριθµοί. Έτσι, αν έχουµε παραδείγµατος χάριν, µεταξύ δύο σωµάτων, συντονισµό : τότε στον ίδιο χρόνο το ένα σώµα εκτελεί µία περιφορά γύρω από τη κεντρική µάζα, ενώ το άλλο εκτελεί δύο περιφορές. Σχήµα 5: Σχετικές θέσεις ενός σώµατος µάζας m (άσπρος κύκλος) και ενός σώµατος µάζας m (µικρός µαύρος κύκλος) όταν κινούνται γύρω από µία κεντρική µάζα m c (µεγάλος µαύρος κύκλος) και βρίσκονται σε συντονισµό :. Αν είναι Τ η περίοδος περιφοράς του m τότε τα διαγράµµατα παριστάνουν τις χρονικές στιγµές a) t=0 b) t=/4 T c) t=/ Τ d) t=3/4 Τ e) t=τ Ας θεωρήσουµε τώρα τη περίπτωση δύο σωµάτων που κινούνται γύρω από ένα κεντρικό σώµα. Ας υποθέσουµε ότι το σώµα m που διαγράφει την εσωτερική τροχιά (ελλειπτική) έχει αµελητέα µάζα και ότι το σώµα m που διαγράφει την εξωτερική τροχιά κινείται σε κυκλική τροχιά. Υποθέτουµε ότι τα δύο σώµατα κινούνται στο ίδιο επίπεδο και ότι βρίσκονται σε συντονισµό µέσης κίνησης ώστε η σύνοδοι µεταξύ τους να γίνονται πάντα στο ίδιο µήκος (το ίδιο σηµείο). Επιπλέον για το εσωτερικό σώµα το µήκος του περικέντρου του µένει σταθερό. 9

Έστω ότι η σύνοδος των δύο σωµάτων ως προς το κεντρικό γίνεται στο σηµείο Α, κοντά στο περίκεντρο του m. Τα δύο σώµατα, αφού ακολουθούν ελλειπτική και κυκλική τροχιά αντίστοιχα, αποµακρύνονται το ένα από το άλλο στην συνέχεια της πορείας της τροχιάς τους. Αυτό έχει ως συνέπεια τη στιγµή ακριβώς πριν από τη σύνοδο η εφαπτοµενική δύναµη F t να είναι µεγαλύτερη από την εφαπτοµενική δύναµη F t που εµφανίζεται αµέσως µετά τη σύνοδο. Επιπλέον, η µεγαλύτερη εφαπτοµενική δύναµη (F t ) εµφανίζεται για µεγαλύτερο χρονικό διάστηµα από την µικρότερη (F t ). Γνωρίζουµε από τη µελέτη της ελλειπτικής τροχιάς, ότι για ένα σώµα σε ελλειπτική τροχιά προκαλείται µεταβολή στη στροφορµή του µόνο αν ασκείται σε αυτό εφαπτοµενική δύναµη, σύµφωνα και µε το τύπο dl = rt όπου r το µέτρο του dt διανύσµατος θέσεως και T η εφαπτοµενική δύναµη που δέχεται το σώµα. Αντίστοιχα µια µεταβολή του µεγάλου ηµιάξονα α προκαλείται και από την εµφάνιση εφαπτοµενικής δύναµης όπως και από την εµφάνιση ακτινικής δύναµης σύµφωνα µε τη σχέση 3/ da a = Resin f T ( ecos f ) dt + + (4.) µ e ( ) όπου R η ακτινική δύναµη, T η εφαπτοµενική δύναµη,f η αληθής ανωµαλία και e η εκκεντρότητα. Από τη σχέση (4.) βλέπουµε ότι για σύνοδο στο περίκεντρο ή στο απόκεντρο (f=0 και f=80 ) µεταβολή του α συµβαίνει µόνο µε παρουσία εφαπτοµενικής δύναµης. Άρα, η διαφορά της εφαπτοµενικής δύναµης πριν και µετά την σύνοδο θα έχει ως αποτέλεσµα να αυξηθεί η στροφορµή του m (εσωτερική τροχιά) ενώ για το σώµα m που κινείται σε κυκλική τροχιά η στροφορµή παραµένει σταθερή. Ταυτόχρονα όµως θα ελαττωθεί η µέση γωνιακή ταχύτητα. Αυτό σηµαίνει ότι η µεταγενέστεροι σύνοδοι θα συµβούν πιο κοντά στο περίκεντρο. Σχήµα 6: Η σύνοδος ενός σώµατος (εσωτερικό) αµελητέας µάζας µε ελλειπτική τροχιά και ενός σώµατος (εξωτερικό) µε κυκλική τροχιά. Αν η σύνοδος γίνει µετά το περίκεντρο, στο σηµείο Β, θα υπάρχει αντίστοιχα µε την προηγούµενη περίπτωση ελάττωση της στροφορµής και αύξηση της µέσης γωνιακής ταχύτητας. Και πάλι η επόµενοι σύνοδοι θα γίνουν πιο κοντά στο περίκεντρο. Ακόµα και για τη περίπτωση που η σύνοδος γίνεται κοντά στο απόκεντρο (σηµεία C και D) και πάλι θα υπάρχει τάση οι επόµενοι σύνοδοι να γίνονται όλο και πιο κοντά στο περίκεντρο. Αντίστοιχα, αν οι σύνοδοι µεταξύ των δύο σωµάτων γίνεται πάντα στο περίκεντρο ή στο απόκεντρο της τροχιάς του m, η εφαπτοµενική 0

δύναµη F t πριν από τη σύνοδο είναι ίση και αντίθετη από την εφαπτοµενική δύναµη F t που εµφανίζεται αµέσως µετά τη σύνοδο. Ας υποθέσουµε τώρα ότι οι σύνοδοι γίνονται πάντα στο περίκεντρο. Η ακτινική δύναµη που ασκείται από το εξωτερικό σώµα στο εσωτερικό, κατά τη σύνοδο, έχει σαν αποτέλεσµα το εσωτερικό σώµα να επιταχυνθεί και να µετακινηθεί σε τροχιά ελάχιστα µεγαλύτερη από ότι θα ήταν αν δεν είχε υποστεί ταλάντωση µε συνέπεια να φτάσει στο περίκεντρο της τροχιάς του µε καθυστέρηση. Για τη περίπτωση που το σώµα αµελητέας µάζας είναι το εξωτερικό σώµα και εκτελεί ελλειπτική τροχιά οι σύνοδοι θα γίνονται όλο και πιο κοντά στο απόκεντρο της τροχιάς του. Υπάρχουν αρκετές οµοιότητες ανάµεσα στο φαινόµενο του συντονισµού και της κίνησης ενός εκκρεµούς. Αν και µπορούµε να µελετήσουµε τις ιδιότητες του συντονισµού σε ένα πλήθος παραδειγµάτων θα επικεντρωθούµε στην απλούστερη περίπτωση. Έτσι θα θεωρήσουµε το περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων όπου τα δύο σώµατα m και m κινούνται σε συνεπίπεδες τροχιές και επιπλέον το εσωτερικό σώµα m έχει αµελητέα µάζα. Τότε η παρελκτική συνάρτηση σε ανάπτυγµα της σειράς ως προς e µέχρι j 4 βαθµού και για συνεπίπεδη κίνηση είναι: και η γωνία της ταλάντωσης φ είναι Gm ' R = fs, a e + fd a e a ' j4 ( ) ( ) cosϕ (4.3) ϕ = j λ + j λ + j ϖ (4.4) 4 Τώρα, για τη περίπτωση αυτή οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange γίνονται nɺ = j C ne ϕ (4.5) 4 3 j r sin eɺ = j C e ϕ (4.6) j4 4 r sin ϖɺ = C + j C e cosϕ = C + j C G e cosϕ (4,7) j 4 s 4 r s 4 r j4 ɺ ε = Cse + j4 Cre cosϕ = Cse + j4 CrF ( e) cosϕ (4.8) ( ) όπου C = f ( a) r Gm na a d m j4, C = naf ( a), G ( e) = e j4 και F ( e) e s s, mc = (4.9) και για τη γωνία συντονισµού φ είναι ( ) ( ) ( ) ɺ ϕ = j n + ɺ ε + j n + ɺ ε + j ϖɺ + j ϖɺ 3 4 ɺ ϕ = j n + j n + ɺ ε + j ϖɺ (4.0) 4 όπου ε ɺ = 0 αφού το εσωτερικό σώµα έχει αµελητέα µάζα. Επιπλέον, για τη περίπτωση µας, είναι n ɺ = 0και έτσι έχουµε όπου ɺ ( ɺ ɺɺ) ɺɺ ɺɺ ( ɺɺ ) ɺɺ ϕ = j n + j n + ε + j ϖ ϕ = j nɺ + ε + j ɺɺ ϖ (4.) 4 4

και ( ) dg e ɺɺ ϖ = j4 Cr eɺ cosϕ G ( e) ɺ ϕ sinϕ (4.) de ( ) df e ɺɺ ε = Cseeɺ + j4 Cr eɺ cosϕ F ( e) ɺ ϕ sinϕ (4.3) de Η συνεισφορά των εɺɺ και ϖɺɺστην ϕɺɺ µπορεί να παραµεληθεί. Και αυτό επειδή οι όροι C r και C s περιέχουν έναν συντελεστή m / mc που είναι συνήθως µικρή ποσότητα ενώ παρουσία των eɺκαι ϕɺ στις εκφράσεις για τα εɺɺ και ϖɺɺ εισάγει ακόµα έναν συντελεστή m / mc. Με βάση αυτό και την έκφραση για την nɺέχουµε ɺɺ ϕ = ϕ (4.4) j4 3 jcrne sin Αν έχουµε συντονισµό περιττής τάξης τότε η σταθερά C r είναι αρνητική ενώ διαφορετικά είναι θετική. Για περιττής τάξης συντονισµό έχουµε όπου πήραµε ɺɺ = sin 0 (4.5) ϕ ω ϕ j4 ω 0 = 3 jcrne (4.6) δηλαδή η εξίσωση της ϕɺɺ είναι παρόµοια µε αυτήν ενός απλού εκκρεµούς µε σταθερή κίνηση στο φ = 0. Αλλά και για την περίπτωση που έχουµε ζυγό τάξης συντονισµό και πάλι η κίνηση είναι παρόµοια µε αυτήν ενός απλού εκκρεµούς µόνο που τώρα το σταθερό σηµείο βρίσκεται στο φ = π και όχι στο φ = 0. Αξίζει να σηµειωθεί ότι για µικρές τιµές της φ έχουµε ɺɺ ϕ = ωο ϕ και η λύση της περιγράφει απλή αρµονική κίνηση µε περίοδο ανεξάρτητη από το πλάτος. Η λύση της ɺɺ ϕ = ω sinϕ 0 περιγράφεται σαν τη ταλάντωση του φ, µε τη κίνηση να εξαρτάται από την ενέργεια του συστήµατος, καθώς και τις αρχικές συνθήκες. Η ολική ενέργεια του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: E = ɺ ϕ + ωο sin ϕ (4.7) Για διαφορετική τιµή της Ε έχουµε και διαφορετικό είδος κίνησης. Στην παρακάτω εικόνα έχει σχεδιαστεί η δυναµική ενέργεια και τρεις πιθανές τιµές της ενέργειας. Κάθε µια από τις ενέργειες αντιστοιχεί και σε διαφορετική συµπεριφορά της γωνίας φ. Αν Ε > Ε 3, δηλαδή Ε=Ε τότε η κίνηση της φ δεν έχει όρια, δηλαδή το εκκρεµές βρίσκεται σε κίνηση 360 γύρω από το σταθερό του σηµείο. Αν Ε < Ε 3 όπως για Ε=Ε τότε η κίνηση έχει όρια και η γωνία φ ταλαντώνεται. ηλαδή για το εκκρεµές αντιστοιχεί σε κίνηση προς τα πίσω και προς τα µπροστά. Τέλος, αν Ε = Ε 3 τότε η κίνηση γίνεται πάνω στη διαχωριστική καµπύλη που χωρίζει τη κυκλική κίνηση από τη ταλάντωση. ηλαδή το εκκρεµές βρίσκεται στη κατακόρυφη θέση. Όταν η γωνία φ παίρνει τιµές ± π (υπερβολικό σηµείο) το εκκρεµές βρίσκεται σε ασταθές σηµείο ισορροπίας. Ενώ για φ=0 έχουµε ευσταθές σηµείο ισορροπίας.

Σχήµα 7: a)η δυναµική ενέργεια σαν συνάρτηση της γωνίας φ και τρεις πιθανές τιµές τη ενέργειας b) Τρεις τροχιές του εκκρεµούς που αντιστοιχούν στις τρεις τιµές της ολικής ενέργειας που σηµειώνονται στην εικόνα (a) Τέλος ο χρόνος που χρειάζεται η γωνία φ για να µεταβληθεί από φ=0 σε φ=φ ο δίνεται από τη σχέση ϕ o dϕ t = ɺ ϕ ενώ αν ɺ ϕ = 0όταν φ=φ ο τότε η περίοδος της ταλάντωσης µικρού πλάτους είναι 0 (4.8) π lim Τ lib = (4.9) ϕ0 0 ω 0 Ας σκεφτούµε τώρα τη περίπτωση που έχουµε έναν εσωτερικό ( το εσωτερικό σώµα έχει αµελητέα µάζα), j : (j-) συντονισµό πρώτης τάξης. Η γωνία της ταλάντωσης είναι για αυτόν τον συντονισµό φ= jλ + (-j)λ - ϖ (4.0) Αναφερόµαστε σε αυτόν σαν ''συντονισµό e'' επειδή ο όρος f d στην παρελκτική συνάρτηση είναι ανάλογος του e. Αντίστοιχα για εξωτερικό συντονισµό ( το εξωτερικό σώµα έχει αµελητέα µάζα), j : (j-) πρώτης τάξης η γωνία ταλάντωσης ϕ = j λ + j λ ϖ και αναφερόµαστε σε αυτόν σαν ''συντονισµό e '' είναι ( ) επειδή ο όρος f d στην παρελκτική συνάρτηση είναι ανάλογος του e. Ακολουθώντας την ίδια λογική έχουµε τον επόµενο πίνακα. ΕΙ ΟΣ ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟ φ ΟΝΟΜΑΣΙΑ j:(j-) ΠΡΩΤΗ jλ + (-j)λ - ϖ e j:(j-) ΠΡΩΤΗ jλ + (-j)λ - ϖ e j:(j-) ΕΥΤΕΡΗ jλ + (-j)λ - ϖ e j:(j-) ΕΥΤΕΡΗ jλ + (-j)λ - ϖ e j:(j-) ΕΥΤΕΡΗ jλ + (-j)λ Ω I j:(j-) ΕΥΤΕΡΗ jλ + (-j)λ Ω I j:(j-) ΕΥΤΕΡΗ jλ + (-j)λ ϖ -ϖ ee j:(j-) ΕΥΤΕΡΗ jλ + (-j)λ Ω -Ω Ι I Πίνακας 3: Συντονισµοί πρώτης και δεύτερης τάξης 3

Στις περισσότερες περιπτώσεις τροχιακού συντονισµού στο Ηλιακό µας σύστηµα, το µεγαλύτερο από τα δύο σώµατα κινείται σε τροχιά µε µικρή εκκεντρότητα, ενώ η κίνηση του µικρότερου σώµατος χαρακτηρίζεται από τη µεγάλη εκκεντρότητα. Μπορούµε να καταλάβουµε βασικές ιδιότητες στο φαινόµενο του συντονισµού αν προσεγγίσουµε την τροχιά του µεγαλύτερου σώµατος µε κυκλική τροχιά. Ένα παράδειγµα τροχιακού συντονισµού είναι το σύστηµα Ποσειδώνας-Πλούτωνας µε περίοδο περιφοράς Τ ποσ =65 χρόνια και Τ πλουτ =48 χρόνια αντίστοιχα. Αυτό σηµαίνει ότι οι δύο Πλανήτες βρίσκονται σε συντονισµό :3 Στο σχήµα φαίνονται οι τροχιές των δύο Πλανητών, όπως φαίνονται από ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον Ήλιο µε ταχύτητα σχεδόν τη µέση ταχύτητα του Ποσειδώνα. (δηλαδή ο Ήλιος και ο Ποσειδώνας θεωρούνται σε ακινησία και ο Πλούτωνας χρειάζεται 500 χρόνια για µία περιφορά). Σχήµα 8: Ο συντονισµός µεταξύ του Πλούτωνα και του Ποσειδώνα Σε σχέση µε τη τροχιά του Πλούτωνα, ο Ποσειδώνας µπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε σηµείο στο τόξο bac (ταλαντώνεται ανάµεσα στα b και c όπως ένα εκκρεµές). Αν βρίσκεται στο α (η θέση ισορροπίας του Ποσειδώνα) τότε η έλξη της βαρύτητας του πάνω στο Πλούτωνα είναι µηδέν λόγω της συµµετρίας. Αν βρίσκεται στο b, η έλξη της βαρύτητας του θα είναι πιο έντονη στο αριστερό µέρος της τροχιάς του Πλούτωνα. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσµα η περίοδος περιφοράς του Πλούτωνα να αυξηθεί και η αντίστοιχη του Ποσειδώνα να µειωθεί. Ο Ποσειδώνας θα κινηθεί προς τα δεξιά του τόξου bac. Στην ουσία, αν ο Ποσειδώνας βρίσκεται στο β, απωθείται από την κοντινή τροχιά του Πλούτωνα. Αντίστοιχα, αν ο Ποσειδώνας βρίσκεται στο c θα αναγκαστεί σε κίνηση προς τα αριστερά του τόξου bac λόγω της κοντινής τροχιάς του Πλούτωνα. Το πλάτος της ταλάντωσης βρέθηκε 38º ενώ η περίοδος ταλάντωσης βρέθηκε 0.000 έτη. Το διπλό πλάτος της ταλάντωσης είναι 76º. Η ελάχιστη απόσταση των δύο σωµάτων είναι 8 AU. Παρόλο που ένα τµήµα της τροχιάς του Πλούτωνα βρίσκεται στο εσωτερικό αυτής του Ποσειδώνα, οι δύο πλανήτες δε θα συγκρουστούν ποτέ λόγω του συντονισµού :3. Στη ζώνη των αστεροειδών γύρω από τον Ήλιο, ή στους δακτυλίους γύρω από τους εξωτερικούς πλανήτες, οι τροχιακοί συντονισµοί µπορεί να προκαλέσουν έλλειµµα 4

σωµατιδίων. Τα διάκενα Kirkwood στη ζώνη των αστεροειδών βρίσκονται σε αποστάσεις όπου ο λόγος της περιόδου µιας κυκλικής τροχιάς γύρω από τον Ήλιο, προς την τροχιακή περίοδο του ία θα ήταν /3, /5, 3/7, και /.. Σχήµα 9: Ο αριθµός των αστεροειδών συναρτήσει του µεγάλου ηµιάξονα της τροχιάς τους. Οι αστεροειδείς µε το όνοµα Τρωικοί βρίσκονται σε συντονισµό : µε το ία. Ταλαντώνονται γύρω από τα σηµεία Lagrange (L 4 και L 5 ) του ία. Εξαιτίας τόσο της εκκεντρότητας της τροχιάς του ία όσο και των ταλαντώσεων από άλλους πλανήτες η κίνηση των Τρωικών είναι αρκετά πολύπλοκη και υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί περίοδοι ταλάντωσης. Σχήµα 0: Τα σηµεία Lagrange L 4 και L 5 Ένα εµφανές διάκενο στους δακτυλίους τον Κρόνου εµφανίζεται σε απόσταση όπου η περίοδος της αντίστοιχης κυκλικής τροχιάς θα ήταν το / της τροχιακής περιόδου του Μίµα 5

Στον επόµενο πίνακα φαίνονται µερικά παραδείγµατα τροχιακών συντονισµών όπου συµµετέχουν δορυφόροι και πλανήτες. ΜΗΤΡΙΚΟ ΣΩΜΑ ΗΛΙΟΣ ΙΑΣ ΚΡΟΝΟΣ ΟΥΡΑΝΟΣ ΑΡΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΟΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ e i (º) ΠΟΣΕΙ ΩΝΑΣ 0.0087.46 ΠΛΟΥΤΩΝΑΣ 0.47 7. ΙΑΚΕΝΑ KIRKWOOD ΙΑΣ ΠΛΑΤΟΣ (º) 38 ΣΥΝΤ/ΜΟΣ :3 3: 5: 7:3 : ΙΩ ΕΥΡΩΠΗ ΓΑΝΥΜΗ ΗΣ ΤΡΩΙΚΟΙ 0.5 0-0 0-0 : ΜΙΜΑΣ 0.0.5 ΤΗΘΥΣ 0.00. 90 4: ΤΙΤΑΝΑΣ 0.09 0.3 ΥΠΕΡΙΩΝΑΣ 0.04 0.5 9 4:3 ΕΓΚΕΛΑ ΟΣ 0.0045 0 ΙΩΝΗ 0.00 0 4 : ΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ CASSINI : ΜΙΜΑΣ ΜΙΡΑΝΤΑ ΟΥΜΒΡΙΗΛ 3: ΦΟΙΒΟΣ ΕΙΜΟΣ 4: Πίνακας 4: Τροχιακοί συντονισµοί στο Ηλιακό σύστηµα ::4 ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ LAPLACE 6

ΧΑΟΣ Για ένα σύστηµα που γνωρίζουµε την αρχική του κατάσταση (αρχικές συνθήκες) θα περίµενε κάποιος ότι µπορούµε να προβλέψουµε µια µελλοντική του κατάσταση µε τη βοήθεια των εξισώσεων κίνησης. Όµως κάτι τέτοιο δεν είναι πάντα εφικτό εξαιτίας ενός φαινοµένου που ονοµάζεται Χάος. Ο Laplace πίστευε σε ένα ντετερµινιστικό σύµπαν, δηλαδή αφού γνωρίζουµε τους φυσικούς νόµους (χρειάζεται επιπλέον µόνο η γνώση των αρχικών συνθηκών) τότε γνωρίζουµε τα πάντα για το σύστηµα. Όµως ο Poincare µελετώντας το πρόβληµα των τριών σωµάτων διαπίστωσε ότι κάποιες αρχικές συνθήκες µπορεί να οδηγήσουν σε ασυνήθιστες τροχιές και έτσι έβαλε τα θεµέλια για τη µελέτη του Χάους. Ένα σώµα εκτελεί χαοτική κίνηση όταν η τελική του κατάσταση έχει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχική του κατάσταση. Έστω ότι γνωρίζουµε τις αρχικές συνθήκες µιας τροχιάς µε πεπερασµένη ακρίβεια (εµπεριέχουν κάποιο σφάλµα). Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν άπειρες τροχιές πολύ κοντά στην πραγµατική αλλά δεν γνωρίζουµε µε άπειρη ακρίβεια ποια είναι αυτή. ηλαδή, η ακτίνα αβεβαιότητας αυξάνει εκθετικά. Έτσι αν επιχειρήσουµε να προσδιορίσουµε την τροχιά µετά από χρόνο t το σφάλµα στον προσδιορισµό τη θέσης θα ήταν εκθετικά µεγάλο. Σχήµα : ύο κοντινές αρχικές συνθήκες για τη τροχιά ενός σωµατιδίου στη γειτονιά του ία. Το διαφορετικό αποτέλεσµα της καθεµίας είναι εντυπωσιακό. Αν και η λέξη χάος προκαλεί µία σύγχυση από µόνη της πρέπει κανείς να θυµάται ότι στην ίδια αρχική κατάσταση αντιστοιχεί πάντα η ίδια τελική κατάσταση, δηλαδή η κίνηση είναι αιτιοκρατική. εν θα υπάρχει διαχωρισµός κανονικών και χαοτικών τροχιών αν µπορούσαµε να γνωρίζουµε µε άπειρη ακρίβεια την αρχική κατάσταση ενός συστήµατος και αν µπορούσαµε να κάνουµε τους µετέπειτα υπολογισµούς χωρίς να χρειαστεί να κάνουµε στρογγυλοποιήσεις Μπορούµε να πάρουµε ένα ποσοτικό µέτρο της απόκλισης των κοντινών τροχιών µε τη βοήθεια των χαρακτηριστικών εκθετών Lyapounov. Για µια αυθαίρετη αρχική κατάσταση αποδεικνύεται ότι µια µέτρηση της απόκλισης κοντινών τροχιών οδηγεί σε µια εκτίµηση του µεγαλύτερου από αυτούς τους εκθέτες 7

. Σχήµα : Έστω δύο τροχιές που απέχουν απόσταση d 0 τη χρονική στιγµή t 0 και απόσταση d τη χρονική στιγµή t. Για να είναι η κίνηση χαοτική πρέπει να ισχύει η σχέση ( ) d = d expγ t t 0 0 όπου γ είναι ο µέγιστος χαρακτηριστικός εκθέτης Lyapounov. Θα πρέπει γ>0 γιατί διαφορετικά οι δύο τροχιές θα πλησιάζουν η µία την άλλη καθώς ο χρόνος θα αυξάνεται. Το γ υπολογίζεται από τη σχέση ( d d ) ln / γ = lim t t t Αναφέραµε πριν ότι το φαινόµενο του συντονισµού συµπεριφέρεται όπως το απλό εκκρεµές. Αν σε αυτό το µοντέλο προσθέσουµε όρους µικρής περιόδου θα έχουµε την εµφάνιση του Χάους. Το Χάος, για αυτό το σύστηµα, σχετίζεται µε κίνηση κοντά στη διαχωριστική καµπύλη. Τροχιές µέσα από τη διαχωριστική καµπύλη και κοντά στα κέντρα των νησίδων είναι περιοδικές. Οι χαοτικές τροχιές είναι κατά κύριο λόγο απρόβλεπτες, αν και προέρχονται από ντετερµινιστικά συστήµατα. 0 0 Σχήµα 3: Χαοτική κίνηση πάνω στη διαχωριστική καµπύλη για ένα διαταραγµένο εκκρεµές Ας δούµε όµως τι συµβαίνει στη διαχωριστική καµπύλη όταν έχουµε την εµφάνιση του χάους. Μια χαοτική τροχιά αποτελείται από ένα πλήθος σηµείων που είναι ακατάστατα διασπαρµένα αλλά έχουν τη τάση να εµφανίζονται περισσότερο συγκεντρωµένα κοντά στο υπερβολικό σηµείο ισορροπίας. Όλά τα σηµεία µιας χαοτικής τροχιάς προέρχονται από µία και µόνο αρχική συνθήκη. 8

Μπορούµε να χωρίσουµε τη διαχωριστική καµπύλη σε δύο τµήµατα που ονοµάζουµε ευσταθείς και ασταθείς ιδιοκατευθύνσεις του υπερβολικού σηµείου ισορροπίας (Η + και Η - αντίστοιχα). Το τµήµα Η + υποδεικνύει κίνηση προς το ασταθές σηµείο ενώ το τµήµα Η - κίνηση µακριά από αυτό. Σύµφωνα µε ένα θεώρηµα των Grossman και Hartman ξέρουµε ότι τόσο το υπερβολικό σηµείο όσο και τα δύο τµήµατα της διαχωριστικής καµπύλης εξακολουθούν να υπάρχουν ακόµα και όταν εµφανίζεται χάος. Όµως τα δύο τµήµατα παύουν να ενώνονται οµαλά και τέµνονται για πρώτη φορά στο σηµείο Q 0 το οποίο ονοµάζεται οµοκλινικό. Υπάρχουν και άλλα τέτοια σηµεία τοµής Q k και Q -k όπου k=,,3 που αντιστοιχούν στη θετική και αρνητική φορά του χρόνου αντίστοιχα. Τα σηµεία αυτά έχουν ως σηµείο συσσώρευσης το υπερβολικό σηµείο ισορροπίας. Μεταξύ δύο τέτοιων σηµείων δηµιουργούνται επιφάνειες Α k και A -k οι οποίες διατηρούν το µέγεθος τους. Τα σηµεία αυτά πλησιάζουν όλο και περισσότερο µεταξύ τους τόσο για τη θετική όσο και για την αρνητική φορά του χρόνου και για να διατηρήσουν οι επιφάνειες το µέγεθος τους θα πρέπει οι τροχιές να προβούν σε ταλαντώσεις εκθετικά αυξανόµενου πλάτους και να τµήσουν επανειληµµένα η µία την άλλη δηµιουργώντας ένα πλέγµα που γίνεται όλο και πιο περίπλοκο καθώς πλησιάζουµε το σηµείο ισορροπίας. Ας θεωρήσουµε κίνηση πάνω στο τµήµα Η -. Η κίνηση είναι οµαλή µέχρι το σηµείο Q 0 και στη συνέχεια ταλαντώνεται όλο και πιο έντονα και καθώς πλησιάζουµε το σηµείο ισορροπίας η ταλάντωση γίνεται παράλληλα µε την αρχή της καµπύλης Η -. Αντίστοιχα το ίδιο συµβαίνει και για κίνηση πάνω στο τµήµα Η +. Τέλος, τα ίδια πράγµατα συµβαίνουν στη διαχωριστική καµπύλη και αριστερά του σηµείου ισορροπίας µε της ταλαντώσεις να γίνονται πιο έντονες καθώς πλησιάζουν το σηµείο ισορροπίας από αριστερά. Έτσι, η εικόνα κοντά στο υπερβολικό σηµείο γίνεται αρκετά περίπλοκή. Σχήµα 4: Οι ευσταθείς και ασταθείς ιδιοκατευθύνσεις του υπερβολικού σηµείου ισορροπίας και η συµπεριφορά τους στη περίπτωση της χαοτικής κίνησης 9

Ο σηµαντικότερος τρόπος µε τον οποίο δηµιουργούνται µεγάλες περιοχές χάους σε Χαµιλτονιανά συστήµατα είναι αυτός της σύγκρουσης συντονισµών. Κάθε συντονισµός φέρει και τη δική του χαοτική περιοχή και µια µεταβολή στη τιµή της ολικής ενέργειας ή στις παραµέτρους του συστήµατος έχει σαν αποτέλεσµα οι συντονισµοί να κινηθούν στο χώρο των φάσεων. Για µια κρίσιµη τιµή της ενέργειας του συστήµατος δύο συντονισµοί είναι επόµενο να συγκρουστούν. Αυτό θα οδηγήσει τις αντίστοιχες χαοτικές τους περιοχές να ενωθούν µε συνέπεια η χαοτική περιοχή να αυξηθεί σηµαντικά στο σηµείο εκείνο του χώρου των φάσεων. Σύµφωνα µε το κριτήριο του Chirikov µία ντετερµινιστικά τροχιά θα αρχίσει να κινείται µεταξύ δύο µη γραµµικών συντονισµών µε τρόπο χαοτικό και απρόβλεπτο όταν αυτοί οι συντονισµοί επικαλύπτονται. Αυτό συµβαίνει όταν η παράµετρος της ταλάντωσης γίνει µεγαλύτερη από όπου K η παράµετρος της ταλάντωσης και S η παράµετρος της επικάλυψης συντονισµών που δίνεται από το λόγο του εύρους της συχνότητας ω r του αδιατάραχου συντονισµού ( στην ουσία είναι ανάλογο της τετραγωνικής ρίζας του πλάτους της ταλάντωσης του αντίστοιχου εκκρεµούς) µε την διαφορά της συχνότητας d µεταξύ δύο αδιατάραχων συντονισµών. Σχήµα 5: Tο κριτήριο chirikov 30

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΙΜΑΣ-ΤΗΘΥΣ Ο Μίµας και η Τηθύς βρίσκονται σε τροχιακό συντονισµό 4: µε το Κρόνο. Αν περιοριστούµε σε ανάπτυγµα ης τάξης (ως προς τα e,i) της παρελκτικής συνάρτησης, τότε για έναν τέτοιο συντονισµό υπάρχουν έξι πρωτεύοντες παρελκτικοί όροι σύµφωνα µε τον κανόνα του d alambert. Αυτές φαίνονται παρακάτω. Αυτές φαίνονται παρακάτω ΠΑΡΕΛΚΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ <R> = f e cos(4λ λ ϖ ) ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ e <R> = f e e cos(4λ λ ϖ ϖ ) ee <R> 3 = f e cos(4λ λ ϖ ) 3 <R> 4 = f i cos(4λ λ Ω ) 4 <R> 5 = f 5 i i cos(4λ λ Ω Ω ) ii <R> 6 = f i cos(4λ λ Ω ) 6 Πίνακας 5: Οι έξι πιθανές παρελκτικές συναρτήσεις του συντονισµού 4: και οι αντίστοιχες ονοµασίες τους e i i Αυτή τη στιγµή το σύστηµα βρίσκεται στον i i συντονισµό µε φάση ϕ = λ 4λ + Ω + Ω (6.) όπου ο δείκτης αναφέρεται στον εσωτερικό δορυφόρο (Μίµας) και ο δείκτης στο εξωτερικό δορυφόρο (Τηθύς). Σύµφωνα µε τους S.Champenois και A.Vienne (999b), πριν συλληφθεί σε αυτό το συντονισµό το σύστηµα ήταν εγκλωβισµένο στο συντονισµό i από τον οποίο ξέφυγαν µετά από σύντοµο χρονικό διάστηµα. Γενικά, θεωρούµε ότι οι δορυφόροι δεν δηµιουργήθηκαν σε συντονισµό αναγκαστικά, αλλά οδηγούνται αργά στο να εγκλωβιστούν σε κάποιον συντονισµό, λόγω των ισχυρών παλιρροιογόνων δυνάµεων του πλανήτη. Θα δούµε παρακάτω ότι ο συντονισµός συµπεριφέρεται δυναµικά σαν το εκκρεµές. Έτσι η Χαµιλτονιανή του συστήµατος Μίµας-Τηθύς θα αποτελείται από δύο µέρη. Το ένα θα αντιστοιχεί στη χαµιλτονιανή ενός εκκρεµούς, που ταλαντώνεται µε γωνία ϕ = λ 4λ + Ω + Ω ( ταλαντώνεται γύρω από το 0 µε πλάτος 95 και περίοδο περίπου 70yr ), και το άλλο µέρος θα αντιστοιχεί στους διαταραγµένους όρους, δηλαδή θα είναι ένα άθροισµα συνηµίτονων µε διαφορετική φάση. Ανάλογα µε το πρόβληµα που µελετάµε είµαστε σε θέση να απλοποιήσουµε τη Χαµιλτονιανή κρατώντας µόνο τους όρους που ενδιαφέρουν το αντίστοιχο πρόβληµα. Γενικά, ο λόγος των ηµιαξόνων, α, δύο δορυφόρων ενός πλανήτη µεταβάλλεται λόγω παλιρροιογόνων δυνάµεων. Όταν οι δύο δορυφόροι συλληφθούν σε συντονισµό τότε ο λόγος των ηµιαξόνων τους σταµατάει να µεταβάλλεται µονότονα και αρχίζει να λικνίζεται γύρω από τη τιµή a 0 (που αντιστοιχεί σε αυστηρό συντονισµό) µε πλάτος 3

α = 8p p + q y p a m + p + q m f a 3 5/3 ( ) ( ) ( ) /3 0 0 (6.) q q q q 3 4 όπου y = e e γ γ, p,q i, i=, 4, προκύπτουν από τη γωνία ταλάντωσης ( ) ϕ = pλ p + q λ + qϖ + q ϖ + q Ω + q Ω (6.3) 3 4 i j και γ j = sin, j =, και f ( a0 ) είναι συνάρτηση των συντελεστών Laplace και εξαρτάται από τη συγκεκριµένη γωνία ταλάντωσης. Η τιµή α=α 0 αντιστοιχεί σε αυστηρό συντονισµό και πρακτικά είναι η τιµή του α για την οποία η χρονική παράγωγος της (.) είναι µηδέν. Με βάση την (.) µπορούµε να σχεδιάσουµε το διάγραµµα y-α και επειδή υπάρχει γραµµική εξάρτηση µεταξύ του y και του α το εξωτερικό όριο της περιοχής λίκνισης θα σχηµατίζει ένα V. Για να καταλάβουµε αν υπάρχει επικάλυψη µεταξύ των περιοχών λίκνισης κάποιων συγκεκριµένων συντονισµών, θα πρέπει να υπολογίσουµε για κάθε γωνία συντονισµού την τιµή y για συγκεκριµένες τιµές εκκεντρότητας και κλίσης ( e = e a, e = ea, γ = γa γ = γ a ). q q q q 3 4 ηλαδή πρέπει να υπολογίσουµε την τιµή yα = e a ea γa γ a και στη συνέχεια να σχεδιάσουµε στο ίδιο διάγραµµα το λόγο z = y / yaπου αντιστοιχεί σε κάθε συντονισµό σαν συνάρτηση του α. Η γραµµή z= µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να καταλάβουµε αν υπάρχει επικάλυψη µεταξύ διαφορετικών V. Εφαρµόζοντας τα παραπάνω για τους έξι (πρώτης και δεύτερης τάξης) πιθανούς συντονισµούς του συστήµατος Μίµας-Τηθύς, προκύπτει το επόµενο διάγραµµα.. Η απουσία επικάλυψης µεταξύ των περιοχών λίκνισης είναι φανερή. Σχήµα 6: Οι έξι πιθανοί συντονισµοί του συστήµατος Μίµασ-Τηθύς και οι περιοχές λίκνισης τους. Σύµφωνα µε τους S.Champenois και A.Vienne (999b) η δυναµική του συντονισµού ii του συστήµατος Μιµας-Τηθύς επηρεάζεται από τρεις κοντινούς συντονισµούς οι οποίοι έχουν εξάρτηση υψηλής τάξης από τα e,i. Αυτοί οι συντονισµοί και οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι 3

ψ + ϕ = 3λ 6λ + Ω + ϖ, i e ψ = λ λ + Ω Ω + ϖ, ii e ψ ϕ = λ + λ Ω + ϖ, i e Παρατηρούµε ότι η εκκεντρότητα e του Μίµα δεν εµφανίζεται σε αυτούς τους συντονισµούς, το οποίο εξηγεί το ότι παρά τη µεγάλη τιµή της ( e 0,0 ) δεν επηρεάζει την εξέλιξη του συστήµατος. Επιπλέον, επειδή η µάζα της Τηθύος είναι 7 φορές µεγαλύτερη από αυτή του Μίµα, ο Μίµας ταλαντώνεται πιο έντονα από τη Τηθύ από ότι η Τηθύς από τον Μίµα. Αυτό σηµαίνει ότι ή κλίση της τροχιάς της Τηθύος είναι σχεδόν σταθερή. Οι A.Vienne και L.Duriez υπολόγισαν τις κλίσεις των τροχιών των δύο δορυφόρων µε µεγάλη ακρίβεια ενώ για την εκκεντρότητα της Τηθύος κατέληξαν σε µία τιµή µε πολύ µεγάλο σφάλµα. i =.65 ± 0.0 i =.093 ± 0.003 e = 0.00035 ± 0.00 Καταλήγουµε δηλαδή στο συµπέρασµα ότι η δυναµική εξέλιξή του συστήµατος Μίµασ-Τηθύς επηρεάζεται µόνο από την κλίση της τροχιάς του Μίµα και την εκκεντρότητα της τροχιάς της Τηθύος, η οποία είναι πρακτικά άγνωστη. Για να καταλάβουµε αν υπάρχει επικάλυψη των περιοχών λίκνησης των παραπάνω συντονισµών ( i e, i i e και i e ) µε την περιοχή λίκνησης του συντονισµού i i που βρίσκεται τώρα το σύστηµα Μίµας-Τηθύς ακολουθούµε την ίδια τακτική που ακολουθήσαµε προηγουµένως. Προκύπτει το επόµενο διάγραµµα όπου η επικάλυψη µεταξύ των συντονισµών είναι ξεκάθαρη. Αυτό σηµαίνει ότι για να µελετήσουµε την δυναµική εξέλιξη του συστήµατος Μίµας-Τηθύς πρέπει να πάρουµε υπόψιν µας και αυτούς τους συντονισµούς. Σχήµα 7: H επικάλυψη των περιοχών λίκνησης των συντονισµών i i, i e, i i e και i e 33

Οι τρεις συντονισµοί i e, i i e και i e, µπορούν να γραφτούν και µε τη µορφή όπου 3 ψ + ϕ = ϕ + τ (64) ψ = ϕ + τ (6.5) ψ ϕ = ϕ + τ (6.6) 3 τ = Ω Ω + ϖ (6.7) Η γωνία τ ονοµάζεται γωνία φάσης της ταλάντωσης και είναι προσεγγιστικά µια γραµµική εξάρτηση του χρόνου και δίνεται από τη σχέση τ = Ω ɶ t + τ (6.8) 0 όπου Ω ɶ η συχνότητα της ταλάντωσης και τ 0η αρχική φάση της επιπλέον ταλάντωσης Η Χαµιλτονιανή του συστήµατος είναι H GI ϕ ϕ 3 = F cosϕ + ε cos τ ε cos τ ε 3 cos ϕ τ + + + + (6.9) όπου οι σταθερές ε, ε, ε 3 αντιστοιχούν στους συντονισµούς i e, i i e και i e αντίστοιχα. Το σύστηµα είναι ½ βαθµού ελευθερίας και είναι µη ολοκληρώσιµο. Εάν ένα Χαµιλτονιανό σύστηµα n βαθµών ελευθερίας είναι µη ολοκληρώσιµο σηµαίνεί ότι τα διαδοχικά σηµεία της απεικόνισης δεν περιορίζονται πλέον σε µια οµαλή καµπύλη ή επιφάνεια, και είναι δυνατόν να είναι διασκορπισµένα σε µια ολόκληρη περιοχή του χώρου των φάσεων. Αυτό είναι συνέπεια της ύπαρξης χαοτικής κίνησης στο σύστηµα. Όµως, στα περισσότερα µη ολοκληρώσιµα συστήµατα, υπάρχουν και περιοχές όπου η κίνηση εµφανίζεται ως οργανωµένη, δηλαδή υπάρχουν αναλλοίωτες καµπύλες ή επιφάνειες. ηλαδή, στα συστήµατα αυτά συνήθως συνυπάρχουν η τάξη και το χάος. Στη Χαµιλτονιανή (.) οι παράµετροι G,F,ε,ε,ε 3 δίνονται από τις σχέσεις και για τις οποίες είναι G = (6.0) F = f a σγ γ (6.) ( ) ( a) σγ ( a) ( a) σγ 0 ε = e f (6.) 3 ε = e f σγ γ (6.3) ε = e f (6.4) 3 σ = n am + 48n m (6.5) 34

i γ = sin (6.6) i γ = sin (6.7) a a = a (6.8) όπου nη i µέση κίνηση του δορυφόρου, i, i η κλίση της τροχιάς του Μίµα και της Τηθύς αντίστοιχα, α ο λόγος των µεγάλων ηµιαξόνων και m, m ο λόγος της µάζας του αντίστοιχου δορυφόρου προς τη µάζα του Κρόνου. Οι συναρτήσεις fi ( a ), i = 0,,,3 εκφράζονται µέσω των συντελεστών Laplace (Laplace coefficients) και των παραγώγων τους. Οι παράµετροι και οι τιµές τους φαίνονται στον επόµενο πίνακα ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΤΙΜΗ 4.44 (rad / yr) 3.7 (rad / yr) n n m 8 6.34 0 m 6.06 0 a 0.6306 f 0.6509 f 5.379 f 9.708 f 3 0.9 Πίνακας 6: Οι παράµετροι του συστήµατος και οι αντίστοιχες τιµές τους Οι εξισώσεις κίνησης για το σύστηµα µας είναι H 3 3 I ϕ ϕ = = F sinϕ + ε sin τ + ε sin + τ + ε3 sin ϕ + τ ϕ (6.9) ɺ ϕ = Η = GI Ι (6.0) Για το µη διαταραγµένο εκκρεµές είναι H I = = F sinϕ ϕ (6.) ɺ ϕ = Η = GI Ι (6.) Η διαφορική του εξίσωση ης τάξης προκύπτει ( sin ) ɺɺ ϕ = GIɺ ɺɺ ϕ = G F ϕ ɺɺ ϕ + GF sinϕ = 0 (6.3) 35

Η συχνότητα µικρών ταλαντώσεων δίνεται από τη σχέση ω = FG (6.4) lib δηλαδή εξαρτάται µόνο από τη κλίση της τροχιάς του Μίµα. Για διαφορετικές τιµές της κλίσης προκύπτει το επόµενο διάγραµµα. Σε αυτό έχουν σηµειωθεί οι τιµές της συχνότητας µικρών ταλαντώσεων για τις κλίσεις ι = 0.5 ( η τιµή της κλίσης της τροχιάς του Μίµα όταν το σύστηµα βρέθηκε σε συντονισµό) και ι =.6 της κλίσης της τροχιάς του Μίµα αυτήν την εποχή). ( η τιµή Σχήµα 8: Η συχνότητα µικρών ταλαντώσεων συναρτήσει της κλίσης της τροχιάς του Μίµα Για ι = 0.5 έχουµε ω lib = 0,0595 rad / yr. Αυτή η τιµή αντιστοιχεί σε περίοδο µικρών ταλαντώσεων T = 05,5 yr. Αντίστοιχα για ι =.6 έχουµε ω lib = 0,07 rad / yr και Tlib = 58,63 yr. Από τις εξισώσεις κίνησης του συστήµατος έχουµε Για ι = 0.5 ενώ για ι =.6 lib ɺ ϕ = GI ɺ ϕ = G Ι υπολογίσαµε Ι max = 0, 06936 rad / yr και Ι min = 0, 008376 rad / yr, υπολογίσαµε Ι max = 0, 059 rad / yr και Ι min = 0, 08 rad / yr. 36

Όπως αναφέραµε το σύστηµα Μίµας-Τηθύς βρίσκεται σε συντονισµό 4: (δεύτερης τάξης τύπου i i ) και η δυναµική εξέλιξη του επηρεάζεται µόνο από την κλίση της τροχιάς του Μίµα και την εκκεντρότητα της τροχιάς της Τηθύς. Για τη µελέτη του συστήµατος µας πρέπει να κάνουµε πρώτα ένα βήµα στο οποίο συχνά καταφεύγουν οι ερευνητές µπροστά σε ένα δυσεπίλυτο µαθηµατικό πρόβληµα: θα λύσουµε τις εξισώσεις (6.9), (6.0) αριθµητικά µε τη βοήθεια ενός υπολογιστή και µε τη χρήση της γλώσσας προγραµµατισµού FORTRAN. Συγκεκριµένα θα χρησιµοποιήσουµε µια συνηθισµένη µέθοδο, την Runge-Kutta 4 ης τάξης, για διαφορετικές αρχικές συνθήκες, και θα σηµειώσουµε στο επίπεδο (Ι,φ) τις τοµές των αντίστοιχων τροχιών, κατά τακτά χρονικά διαστήµατα tκ= κπ/ω, δηλαδή την ακολουθία σηµείων S={ x(tk),x(tk) : tκ= kπ/ω, k=0, ±, ±,...} Με αυτό τον τρόπο παίρνουµε µια απεικόνιση S η οποία ονοµάζεται στροβοσκοπική απεικόνιση Poincare (Παράρτηµα Γ). Σύµφωνα µε τους S.Champenois και A.Vienne όταν το σύστηµα εγκλωβίστηκε στο συντονισµό 4: η τιµή της κλίσης του Μίµα ήταν i = 0.5 ενώ τώρα η τιµή της είναι i =.6. Αυτές οι τιµές είναι µια καλή αφετηρία για τη µελέτη του συστήµατος. Έτσι, για τις παραπάνω τιµές της κλίσης του Μίµα και για διαφορετικές τιµές της εκκεντρότητας της τροχιάς της Τηθύς πήραµε τις τοµές Poincare. Οι τιµές των παραµέτρων που χρησιµοποιήσαµε φαίνονται στον επόµενο πίνακα ενώ τo πρόγραµµα που υλοποιεί το παραπάνω πρόβληµα καταγράφεται στο παράρτηµα Ε. Μοντέλο e Ω ɶ ( yr ).6.093 0.00035 π/00.6.093 0.00 π/00 3 0.5.093 0.0005 π/85 4 0.5.093 0.00 π/85 5 0.5.093 0.008 π/85 6 0.5.093 0.009 π/85 Πίνακας 7: Οι τιµές των παραµέτρων για τις τοµές Poincare -6 37

3 4 5 6 Σχήµα 9 : Τοµές Poicare για τα µοντέλα -6 που φαίνονται στο πίνακα Το πρώτο που παρατηρεί κάποιος σε αυτές τις τοµές είναι ότι για την ίδια τιµή της κλίσης i, η χαοτική περιοχή αυξάνεται όσο κατευθυνόµαστε σε µεγαλύτερες τιµές της εκκεντρότητας e. Για µικρές τιµές τις εκκεντρότητας e η χαοτική περιοχή είναι πολύ µικρή, σχεδόν µη παρατηρήσιµη. Αυτό συµβαίνει επειδή για µικρές τιµές τις εκκεντρότητας e (εικόνα και 3) οι όροι ε,ε,ε 3 της συνάρτησης Χάµιλτον έχουν αµελητέα συνεισφορά σε σχέση µε τον όρο F. Σε όλα τα διαγράµµατα φαίνεται ξεκάθαρα το πως η διαχωριστική καµπύλη αντικαθιστάται από τη χαοτική περιοχή. Το επόµενο βήµα είναι να µελετήσουµε τη µεταβολή της χαοτικής περιοχής καθώς µεταβάλλουµε την τιµή της κλίσης i και την τιµή της εκκεντρότητας e. Για να πάρουµε µια σαφή εικόνα για την µεταβολή της χαοτικής περιοχής µε την αλλαγή των παραµέτρων i, e θα παρουσιάσουµε µερικές τοµές Poincare. Στο διάγραµµα παρουσιάζεται το εύρος της κεντρικής χαοτικής περιοχής συναρτήσει της εκκεντρότητας e. Η συνθήκη που ισχύει για αυτό το διάγραµµα είναι ότι η τιµή της ε διατηρείται σταθερή. Αυτό σηµαίνει ότι καθώς αυξάνεται η τιµή της εκκεντρότητας e η τιµή της κλίσης ι µειώνεται. Ο άξονας e παρουσιάζεται σε λογαριθµική κλίµακα. 38

Σχήµα 0: Το εύρος µεταβολής της χαοτικής περιοχής για σταθερή τιµή της παραµέτρου ε Στο παραπάνω διάγραµµα (η εκκεντρότητα ε αυξάνεται ενώ ταυτόχρονα µειώνεται η κλίση ι ) στη παρατηρούµε ότι σχηµατίζονται τέσσερις περιοχές. Στη πρώτη περιοχή η χαοτική περιοχή µειώνεται ενώ στις υπόλοιπες αυξάνεται. Μεταξύ τις δεύτερης περιοχής και της τρίτης υπάρχει ένα απότοµα άλµα. Το ίδιο συµβαίνει και µεταξύ της τρίτης περιοχής µε την τέταρτη. Το λόγο που συµβαίνουν αυτά τα άλµατα τον καταλαβαίνουµε µέσα από τις τοµές Poincare. Στη συνέχεια για κάθε περιοχή παρουσιάζονται δύο τοµές Poicare. Η πρώτη αντιστοιχεί στην αρχή της κάθε περιοχής ενώ η δεύτερη στο τέλος της. 39

3 4 5 6 7 8 Βλέπουµε ότι στο διάγραµµα 4 (τέλος δεύτερης περιοχής) εµφανίζεται ένας επιπλέον συντονισµός µέσα στη χαοτική περιοχή. Η χαοτική περιοχή αυτού του συντονισµού επικαλύπτεται µε την υπόλοιπη χαοτική περιοχή. Όπως αναφέραµε και στο κεφάλαιο που περιγράψαµε το χάος η επικάλυψη συντονισµών δηµιουργούν µεγάλες χαοτικές περιοχές. Στο διάγραµµα 5 (αρχή τρίτης περιοχής) αυτός ο συντονισµός δεν είναι εµφανής µε αποτέλεσµα την απότοµη µείωση του εύρους της χαοτικής περιοχής στο φ=π. Αντίστοιχα, συγκρίνοντας τα διαγράµµατα 6 (τέλος τρίτης περιοχής) και 7 (αρχή τέταρτης περιοχής) βλέπουµε ότι στο διάγραµµα 7 η χαοτική περιοχή του επιπλέον συντονισµού επικαλύπτει την χαοτική περιοχή του πρωταρχικού συντονισµού ενώ στο διάγραµµα 6 η επικάλυψη δεν έχει συµβεί ακόµα. Αποτέλεσµα αυτών είναι η απότοµη αύξηση της χαοτικής περιοχής. Αφού πήραµε µια εικόνα για τον τρόπο που µεταβάλλεται το εύρος της χαοτικής περιοχής θα συνεχίσουµε τη µελέτη µας ακολουθώντας µια άλλη διαδροµή. 40

Συγκεκριµένα, κάθε φορά για σταθερή τιµή της κλίσης i υπολογίσαµε το εύρος της χαοτικής περιοχής καθώς η τιµή της εκκεντρότητας αυξανόταν. Για τις κλίσεις i = 0.5, i = 0.78 και i =.6 έχουµε το επόµενο διάγραµµα. Σχήµα : Το εύρος µεταβολής της χαοτικής περιοχής. Κάθε χρώµα αντιστοιχεί σε σταθερή τιµή της κλίσης i Σχήµα : Το εύρος µεταβολής της χαοτικής περιοχή σε λογαριθµικούς άξονες Από το διάγραµµα παρατηρούµε ότι επαληθεύεται η διαπίστωση µας από τις τοµές Poincare ότι για µία σταθερή τιµή της κλίσης i της τροχιάς του Μίµα η χαοτική περιοχή αυξάνεται καθώς αυξάνεται η εκκεντρότητα e της τροχιάς της Τηθύς. Το 4

δεύτερο που διαπιστώνει κανείς είναι ότι η µεταβολή Ι της χαοτικής περιοχής φαίνεται να ακολουθεί κάποιον νόµο δύναµης. Αυτό όµως που κεντρίζει τη προσοχή είναι ότι για κάθε κλίση η µεταβολή της κεντρικής περιοχής δεν γίνεται µε οµαλό τρόπο. Έτσι για κάποιες τιµές της εκκεντρότητας παρατηρείται απότοµη αύξηση του εύρους της χαοτικής περιοχής. Για να καταλάβουµε το λόγο που συµβαίνει αυτό το φαινόµενο θα καταφύγουµε στην µελέτη των τοµών Poincare για τις αντίστοιχες κλίσεις και εκκεντρότητες. Για την κλίση i = 0.5 οι κρίσιµες τιµές της εκκεντρότητας είναι e = 0.004 και e = 0.0058 ενώ για την κλίση i = 0.78 κρίσιµες τιµές για το πρώτο σπάσιµο είναι e = 0.00036 και e = 0.000355 ενώ για το δεύτερο σπάσιµο είναι e = 0.0078 και e = 0.00. Οι αντίστοιχες τοµές φαίνονται παρακάτω οι 9 0 4

3 4 Η διαφορά των διαγραµµάτων της αριστερής στήλης µε τα αντίστοιχα της δεξιάς στήλης είναι ότι σε αυτά της δεξιάς στήλης εµφανίζεται ένας επιπλέον συντονισµός να έχει ήδη επικαλυφθεί µερικώς µε τον βασικό, κάτι που αυξάνει το µετρούµενο εύρος. Για την κλίση ι =0,78 βλέπουµε ότι για e =0.000355 (διάγραµµα ) εµφανίζεται ένας επιπλέον συντονισµός. Καθώς αυξάνεται η τιµή ε το κενό µεταξύ των δύο συντονισµών συνεχώς γεµίζει. Αυτό σηµαίνει ότι αυξάνονται οι χαοτικές περιοχές και των δύο συντονισµών. Για την τιµή ε =0.0078 (διάγραµµα 3) βλέπουµε ότι η χαοτικές περιοχές και των δύο συντονισµών έχουν επικαλυφθεί πλήρως. Για τιµή της εκκεντρότητας ε =0.00 βλέπουµε την εµφάνιση ενός καινούριου συντονισµού. Για µεγαλύτερες τιµές της εκκεντρότητας αυξάνεται η χαοτική περιοχή του καινούριου συντονισµού και η χαοτική περιοχή από τους προηγούµενους συντονισµούς ώσπου επικαλύπτονται πλήρως. Πλέον ο διαχωρισµός τους γίνεται δύσκολος. Είδαµε ότι για κάθε κλίση υπάρχουν κάποιες κρίσιµες τιµές της εκκεντρότητας ε που προκαλούν απότοµη µεταβολή του εύρους της χαοτικής περιοχής. Τα σπασίµατα αυτά χωρίζουν τη καµπύλη κάθε κλίσης σε τρεις περιοχές. Οι τρεις περιοχές που δηµιουργούνται αντιστοιχούν σε τιµές της εκκεντρότητας µε εύρος 0.000 e 0.0. Κάθε µία από αυτές τις περιοχές τις µελετήσαµε για τιµές τις κλίσης µε εύρος 0, i. Οι άξονες I,e έχουν µετατραπεί σε λογαριθµικούς αφού φαίνεται από το διάγραµµα ότι η αύξηση του εύρους της χαοτικής περιοχής γίνεται µε κάποιο νόµο δύναµης. Πλέον οι τρεις περιοχές έχουν µετατραπεί σε ευθείες. Έτσι, για κάθε περιοχή κάθε καµπύλης έχουµε πάρει ένα σύνολο ευθειών, κάθε µία που περιγράφεται από τη σχέση ln Ι = a ln e + b (6.5) Για κάθε ευθεία, µε τη βοήθεια των ελαχίστων τετραγώνων, βρήκαµε τη κλίση της α. Για τη πρώτη περιοχή (µέχρι το πρώτο σπάσιµο) οι τιµές των κλίσεων α που βρήκαµε συναρτήσει των αντίστοιχων κλίσεων της τροχιάς εµφανίζεται στο επόµενο διάγραµµα. 43

Σχήµα 3: Η κλίση a των ευθειών της πρώτης περιοχής του σχήµατος συναρτήσει της κλίσης i Σχήµα 4: Η σταθερά b των ευθειών της πρώτης περιοχής του σχήµατος συναρτήσει της κλίσης i Βλέπουµε από το παραπάνω διάγραµµα ότι υπάρχουν τρεις περιοχές για τις οποίες η τιµή της κλίσης α είναι κατά προσέγγιση σταθερή. Για κάθε περιοχή η κλίση της ευθείας είναι a = 0.57, a = 0.345και a = 0.64αντίστοιχα. Οι κρίσιµες τιµές της κλίσης είναι για το πρώτο σπάσιµο i = 0.5 και i = 0.57 ενώ για τη δεύτερο είναι i = 0.99 και i =.06.Για να καταλάβουµε το λόγο που δηµιουργούνται οι τρεις περιοχές θα καταφύγουµε και πάλι στις τοµές Poincare. Είπαµε ότι κάθε ένα από αυτά τα σηµεία αντιστοιχεί σε µία ευθεία, η οποία µε τη σειρά της αποτελείται από 44

σηµεία που αντιστοιχούν σε συγκεκριµένο ζευγάρι ι,ε. Έτσι για τη τιµή της κλίσης i = 0.5 πήραµε για τη πρώτη περιοχή 5 τοµές Poincare και τις συγκρίναµε µε τις αντίστοιχες για τη τιµή της κλίσης i = 0.57. Οι τρεις πρώτες γραµµές αντιστοιχούν σε τρία σηµεία της αντίστοιχης ευθείας. Η τέταρτη γραµµή αντίστοιχη στην αρχή της επόµενης ευθείας. είχνουν δηλαδή το λόγο που έχουµε σπάσιµο για αυτές τις κλίσεις. 5 6 7 8 9 0 45

Συγκρίνοντας τις τοµές της αριστερής στήλης µε τις τοµές της δεξιάς βλέπουµε ότι στις τοµές της δεξιάς στήλης το εύρος τις χαοτικής περιοχής αυξάνεται µε πιο γρήγορο ρυθµό, µε αποτέλεσµα το άλµα της κλίσης α µεταξύ των κλίσεων i = 0.5 και i = 0.57. Από την (6.5) έχουµε. ln Ι = a ln e + b Ι = Ι = a b e e Ke a Έτσι για κάθε περιοχή η µεταβολή του εύρους της χαοτικής περιοχής δίνεται από τη τις σχέσεις 0.57 Ι = Ke i, 0. 0.5 0.345 Ι = Ke i, 0.57 0.99 0.64 Ι = Ke i,.06.97 όπου Κ=Κ(i) συνάρτηση του i. Αντίστοιχα για τις κλίσεις i = 0.99 και i =.06 έχουµε τις επόµενες τοµές. 46

3 4 5 6 7 8 47

9 30 Για τη δεύτερη περιοχή του σχήµατος Σχήµα 5: Η κλίση a των ευθειών της δεύτερης περιοχής του σχήµατος συναρτήσει της κλίσης i 48

Σχήµα 6: Η σταθερά b των ευθειών της δεύτερης περιοχής του σχήµατος συναρτήσει της κλίσης i Παρατηρούµε ότι και στη περίπτωση της δεύτερης ευθείας δηµιουργούνται περιοχές µε σταθερή τιµή της κλίσης α όπως διαπιστώσαµε και για την πρώτη ευθεία. Τώρα έχουµε τρεις περιοχές µε την κλίση α να παίρνει τιµές a = 0.48 για τη πρώτη περιοχή, α = 0. για τη δεύτερη περιοχή και a = 0.38. Οι κρίσιµες τιµές της κλίσης ι είναι ι = 0.50 και ι = 0.57 µεταξύ της πρώτης και της δεύτερης περιοχής ενώ οι κρίσιµες τιµές της κλίσης µεταξύ της δεύτερης και της τρίτης περιοχής είναι ι =.0 και ι =.7 Αντίστοιχα µε τη πρώτη ευθεία έχουµε τις επόµενες σχέσεις και διαγράµµατα 0.48 Ι = Ke i, 0. 0.50 0. Ι = Ke i, 0.57. 0.38 Ι = Ke i,.7.00 49

3 3 33 34 35 36 37 38 50

Για τη τρίτη περιοχή έχουµε τα επόµενα διαγράµµατα Σχήµα 7: Η κλίση a των ευθειών της τρίτης περιοχής του σχήµατος συναρτήσει της κλίσης i Σχήµα 8: Η σταθερά b των ευθειών της τρίτης περιοχής του σχήµατος συναρτήσει της κλίσης i Όπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις έτσι και εδώ παρατηρούµε περιοχές µε σταθερή τιµή της κλίσης α. Σε µια πρώτη προσέγγιση έχουµε δύο περιοχές µε την κλίση α να παίρνει τιµές α = 0.7 για τη πρώτη περιοχή και α = 0.3 για τη δεύτερη περιοχή. Οι κρίσιµες τιµές της κλίσης ι είναι ι = 0.9 και ι = 0.99. Όµως εµφανίζονται κάποια σηµεία µεταξύ των κλίσεων ι = 0.85 και ι =.0 που δεν µπορούµε να πούµε µε βεβαιότητα αν ανήκουν στην µία ή στην άλλη περιοχή. Αυτό 5

συµβαίνει επειδή πλέον µελετάµε το σύστηµα για µεγάλες τιµές τις εκκεντρότητας της τροχιάς της Τηθύος, κάτι που σηµαίνει ότι έχουµε µεγαλύτερη επικάλυψη µεταξύ των συντονισµών i e, i i e, i e µε τον συντονισµό i i. ηλαδή έχουµε πιο έντονη µεταβολή του εύρους της χαοτικής περιοχής µε αποτέλεσµα η τιµή της κλίσης a που υπολογίσαµε για αυτές τις τιµές της κλίσης ι να µην είναι ακριβής. Αντίστοιχα µε τη πρώτη ευθεία έχουµε τις επόµενες σχέσεις 0.7 Ι = Ke i, 0. 0.9 0.3 Ι = Ke i, 0.99.04 Οι τοµές Poincare για τις κρίσιµες τιµές της κλίσης φαίνονται παρακάτω. Στις τοµές της αριστερής στήλης µόλις έχει εµφανιστεί ένας επιπλέον συντονισµός του οποίου η χαοτική περιοχή επικαλύπτεται πλήρως µε αυτήν του πρωταρχικού συντονισµού ενώ στις τοµές της δεξιάς στήλης οι χαοτικές περιοχές των δύο συντονισµών έχουν επικαλυφθεί πλήρως. 39 40 4 4 5

43 44 53

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Είδαµε στη µελέτη αυτή ότι το σύστηµα Μίµας-Τηθύς βρίσκεται στον ii συντονισµό. Όµως, για να µελετήσουµε τη κίνηση του συστήµατος πρέπει να λάβουµε υπόψιν µας και τους συντονισµούς i e, i i e, i e λόγω της επικάλυψης αυτών µε τον συντονισµό i i. ιαπιστώσαµε ότι όσο µεγαλύτερη τιµή δώσουµε στην εκκεντρότητα της τροχιάς της Τηθύος e τόσο µεγαλύτερο είναι το εύρος της χαοτικής περιοχής. Όµως, το µεγάλο σφάλµα στη µέτρηση της πραγµατικής τιµής της εκκεντρότητας της Τηθύος (πρακτικά είναι άγνωστη) µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι δεν µπορούµε να ξέρουµε αν η κίνηση του συστήµατος είναι κανονική ή χαοτική. Επίσης είδαµε ότι το εύρος µεταβολής της συνοδικής συχνότητας µπορεί να πάρει µικρές ή µεγάλες τιµές και συνδέεται µε τις παραµέτρους i, e µε ένα νόµο δύναµης της µορφής a Ι = Ke όπου το K εξαρτάται από τη τιµή της κλίσης ενώ το α, προσεγγιστικά, έχει σταθερή τιµή για συγκεκριµένες περιοχές της τιµής της κλίσης i. 54

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΟΧΙΑΣ Για να προσδιορίσουµε την ακριβή θέση ενός δορυφόρου, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς πρέπει να γνωρίζουµε τα έξι στοιχεία της τροχιάς του (α, e, i, Ω, ω,ν). Ας θεωρήσουµε την ελλειπτική κίνηση ενός δορυφόρου γύρω από ένα πλανήτη (σχήµα ). Τότε το σύστηµα θεωρούµενο ως αδρανειακό είναι γεωκεντρικό µε το επίπεδο x-y να ταυτίζεται µε τον ισηµερινό του Πλανήτη ( γκρι χρώµα) και τον άξονα Ο-z να ταυτίζεται µε τον άξονα περιστροφής του Πλανήτη. Σχήµα Α : Ελλειπτική τροχιά ενός δορυφόρου γύρω από πλανήτη Το σχήµα µιας έλλειψης χαρακτηρίζεται από δύο µεγέθη. Από τον µεγάλο ηµιάξονα της α και από την εκκεντρότητα της, e. Για να καθορίσουµε τον προσανατολισµό της έλλειψης στο χώρο χρειάζεται να γνωρίζουµε τις τιµές τριών γωνιών (i, Ω, ω). Η γωνία που σχηµατίζει το επίπεδο της κίνησης (κίτρινο χρώµα) µε το επίπεδο x-y ονοµάζεται κλίση της τροχιάς, i. Η γωνία που σχηµατίζει ο αναβιβάζων σύνδεσµός (το σηµείο τοµής της έλλειψης µε το επίπεδο x-y, από όπου το σώµα περνά για πρώτη φορά σε Z > 0 ) µε τον άξονα Οx ονοµάζεται µήκος του αναβιβάζοντος συνδέσµου, Ω. Η γωνία του περιγείου, ω, βρίσκεται στο επίπεδο της τροχιάς, και σχηµατίζεται από τη γραµµή των αψίδων (η γραµµή που ενώνει το περίκεντρο µε το απόκεντρο της ελλειπτικής τροχιάς) µε τη γραµµή των συνδέσµων (η γραµµή που ενώνει τον 55