ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Χειμερινό Εξάμηνο Ρόδος, Σεπτέμβριος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθημ α: ΥΓ0000 3 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" Διδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός ΕΡΓΑΣΊΑ ΠΡΟΌΔΟΥ #1 φυλλάδιο 2 από 3 Δίνονται έξη Ομάδες ερωτήσεων και ασκήσεων, οι ακόλουθες: Ομάδα Α: Ερωτήσεις από 1 έως και 3 Ομάδα Δ: Ασκήσεις από 1 εως και 13 Ομάδα Β: Ασκήσεις από 1 έως και 7 Ομαδα Ε: ασκήσεις από 1 εως και 24 Ομάδα Γ: Ερωτήσεις από 1 έως και 12 Ομαδα ΣΤ Ερωτήσεις από 1 εως και 5 Ομαδα Ζ: Ασκήσεις από 1 εως και 12 Παρακαλούμε να απαντήσετε με προσοχή δίνοντας έμφαση σε οσα ακούσατε στις διαλέξεις του μαθήματος, αλλά και σε όσα μπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραμμάτων της προτεινόμενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: ΟΛΟΙ οι φοιτητές ΟΛΕΣ τις Ερωτήσεις. οι φοιτητές με αρτιο αριθμό μητρώου στις αρτια αριθμημένες ασκήσεις των Ομάδων Β, Δ, Ε, και Ζ οι φοιτητές με περιττό αριθμό μητρώου στις περιττα αριθμημένες ασκήσεις των Ομάδων Β, Δ, Ε, και Ζ Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #1 θα πρέπει να παραδοθεί την Δευτέρα 24 Νοεμβρίου 2014 και ώρες 11.00-14.00 στο Εργαστήριο Μαθηματικών. Ρόδος, 22 Οκτωβρίου 2014 1
Για το Εργαστήριο Μαθηματικών, Διδακτικής και Πολυμέσων Eυγένιος Αυγερινός Δημητρα Ρεμουνδου Ελενη Χρυσαφινα 2
ΟΜΑΔΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε λέμε ότι δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα (ταυτά); 2. Ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες της ισότητας μεταξύ των συνόλων; 3. Πότε λέμε ότι δύο σύνολα Γ και Δ δεν είναι ίσα; ΟΜΑΔΑ B ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σημειώσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) {x x είναι ημέρα της εβδομάδος} β) {x x είναι πρωτεύουσα της Ελλάδος} γ) {x x είναι εποχή του έτους} δ) {x x είναι ωραίο ποίημα} ε) {x x είναι ακέραιος της Αριθμητικής διαιρέτης του 24}. 2. Να καθορίσετε με μια χαρακτηριστική ιδιότητα καθένα από τα σύνολα: α) Α = {Ελλάς, Αλβανία, Τουρκία, Βουλγαρία, Γιουγκοσλαβία, Ρουμανία} β) Β = {Ανατολή, Δύση, Βορράς, Νότος} γ) Γ = {11, 13, 15, 17, 19} δ) Δ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. 3. Να εξετάσετε, αν καθεμία από τις παρακάτω ιδιότητες μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον χαρακτηρισμό ενός συνόλου και, σε καταφατική απάντηση, να αναγράψετε τα στοιχεία του: α) x είναι καλός καθηγητής. β) x είναι μήνας με όνομα, που αρχίζει από Ι. γ) x είναι ημέρα της εβδομάδος με όνομα, που αρχίζει από Ε. δ) x είναι νόστιμο γλύκισμα. ε) x είναι ακέραιος αριθμός της Αριθμητικής τέτοιος, ώστε: x x. 4. Δίνεται το σύνολο: Α = {Γιάννης, Πέτρος, Κώστας}. Να εξετάσεις, αν τα γυαλιά του Γιάννη, το σακάκι του Πέτρου και τα παπούτσια του Κώστα ανήκουν ή όχι στο Α.} 5. Δίνεται το σύνολο: Α= {3 + 5, 3 5, 33, 55} Και οι προτάσεις: 3 Α, 8 Α, 5 Α, 3 Α, 33 Α, 55 Α. Ποιες απ αυτές είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; 6. Αν Α = {α, β, γ}, Β = {1, 2}, Γ = { {α}, {β}, {γ} }, Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; {1} Β, 2 Β, α Γ, {β} Γ, γ Γ, {α} Α, {γ} Γ, {1} Β. 7. Δίνεται το σύνολο: Α = {1, 2, {2}, {1, 2}, 3, {3, 4, 5} }. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; {2} Α, 2 Α, {3, 4} Α, {3} Α, 3 Α, {1, 2} Α, {1, {2} } Α, Α, {3, 4, 5} Α. ΟΜΑΔΑ Γ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε λέμε ότι ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο είτε μέρος ενός συνόλου Β; 2. Πότε λέμε ότι ένα σύνολο Α δεν είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β; Δώστε παράδειγμα. Πόσες διαφορετικές περιπτώσεις μπορείτε να διακρίνετε; 3
3. Πότε λέμε ότι ένα σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Β; 4. Ποιες είναι οι ιδιότητες του εγκλεισμού; 5. Τι ονομάζουμε δυναμοσύνολο ενός συνόλου; 6. Ποιος είναι ο πληθικός ενός δυναμοσυνόλου ενός συνόλου Α με 4 στοιχεία; 7. Τι ονομάζουμε στα Μαθηματικά σταθερά και τι μεταβλητή; 8. Ποιες είναι οι ιδιότητες της ισότητος; 9. Τι ονομάζουμε προτασιακό τύπο μιας μεταβλητής; 10.Τι ονομάζουμε σύνολο αναφοράς της μεταβλητής x ενός προτασιακού τύπου p(x); 11.Τι ονομάζουμε αληθοσύνολο ενός προτασιακού τύπου p(x); 12.Τι ονομάζουμε αντιπαράδειγμα και τι μέθοδο αντιπαραδείγματος; Δώστε ένα παράδειγμα. ΟΜΑΔΑ Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σύμφωνα με το παρακάτω σύνθετο διάγραμμα των συνόλων Α και Β να διατυπώσετε, για κάθε σημειωμένο στοιχείο, την κατάλληλη πρόταση, που εκφράζει με το σύμβολο ή την σχέση του στοιχείου προς το καθένα από τα σύνολα Α και Β. Π.χ. ξ Α, ξ Β. Α β c γ δ θ ε ζ η ξ Β 2. Δίνονται τα δύο σύνολα: Α = {x x είναι γράμμα της λέξεως «anna»}. Β = {x x είναι γράμμα της λέξεως «banana»}. Να παραστήσετε με διάγραμμα τα δύο σύνολα και να τα συγκρίνετε από την άποψη της σχέσεως εγκλεισμού. 3. Να παραστήσετε με ένα σύνθετο διάγραμμα τα σύνολα: Α = { x x είναι ακέραιος της Αριθμητικής, διαιρέτης του 24} Β = { x x είναι ακέραιος της Αριθμητικής, διαιρέτης του 16} Και να διατυπώσετε με το σύμβολο ή την πρόταση, που εκφράζει την σχέση κάθε στοιχείου προς το καθένα από τα σύνολα Α και Β. Ποια από τις προτάσεις: Α Β, Α Β αληθεύει; 4. Να παραστήσετε με σύνθετο διάγραμμα τα σύνολα: Α = {x x είναι ακέραιος της Αριθμητικής, πολλαπλάσιο του 12} = { x x Ν ο, διαιρετός δια 12} Β = { x x είναι ακέραιος της Αριθμητικής, πολλαπλάσιο του 4} = { x x Ν ο, διαιρετός δια 4}. Στο διάγραμμα να σημειωθούν εν όλω 10 στοιχεία μέσα στις αντίστοιχες περιοχές. Γιατί δεν μπορούμε να σημειώσουμε όλα ανεξαιρέτως τα στοιχεία των συνόλων Α και Β; 5. Από τις παρακάτω προτάσεις να σχεδιάσετε ένα σύνθετο διάγραμμα των συνόλων Α και Β: α Α και α Β, β Α και β Β, γ Α και γ Β, δ Α και δ Β, 4
ε Α και ε Β, ζ Β και ζ Β, η Α και η Β, θ Α και θ Β. 6. Δίνονται τα σύνολα: Α = {x x είναι νησί της Ελλάδος}, Β = {x x είναι νησί της Μεσογείου} Γ = {x x είναι νησί της Δωδεκανήσου}. Να σχηματίσετε το αντίστοιχο σύνθετο διάγραμμα αναγράφοντας και τα ονόματα έξι εν όλο στοιχείων. Ποια ιδιότητα του εγκλεισμού μπορεί να ερμηνεύσει αυτό το διάγραμμα: 7. Δίνονται τα σύνολα: Δ = {x x είναι Διόσκουρος} και Θ = {Κάστωρ, Πολυδεύκης}. Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο διάγραμμα, αφού πρώτα συγκρίνετε τα δύο σύνολα. 8. Δίνονται τα σύνολα: Α = {x x είναι παραλληλόγραμμο} και Β = {x x είναι ρόμβος}. Να συνδέσετε τα δύο αυτά σύνολα με το κατάλληλο σύμβολο εγκλεισμού και να τα παραστήσετε με ένα σύνθετο διάγραμμα. Αν Γ = {x x είναι τετράγωνο}, Τότε ποια είναι η σχέση του Α και του Β προς το Γ; 9. Στις παρακάτω δυάδες όρων να αντικαταστήσετε το ερωτηματικό με το κατάλληλο σύμβολο = ή ; α) Τρίπολη; Πρωτεύουσα του νομού Μεσσηνίας. β) Κομοτηνή; Πρωτεύουσα του νομού Ροδόπης. γ) {x x γράμμα της λέξεως πύλη}; {x x γράμμα της λέξεως λύπη}. δ) {πύλη}; {λύπη}, ε) πύλη; λύπη. 10.Να επιλύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όπου x ΙΝ και να εκφράσετε την επίλυση μ ε την ισότητα δύο συνόλων. x 5 = 20 x + 3 = 7 x + 2x = x + 3x + 1 x 1 = x + x + 2 5 3 = x + x + 5 11.Ποιο υποσύνολο y του συνόλου: Γ = {x x είναι γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου} ορίζουν οι σχέσεις: {α, β} y {β, α}; Ποια υποσύνολα y του συνόλου Ν ο ορίζουν οι σχέσεις: {3, 5} y {1, 3, 5, 7}; Ποια σύνολα y ορίζει η σχέση y {α}, όπου {α} δοσμένο μονομελές σύνολο; 12.Ας ονομάσουμε p 1, p 2, p 3 τις ακόλουθες τρείς προτάσεις: p 1 = ο Πέτρος είναι μόνιμος κάτοικος Αθηνών p 2 = ο Πέτρος είναι μόνιμος κάτοικος Αττικής p 3 = ο Πέτρος είναι μόνιμος κάτοικος Ελλάδος. Ποιες από τις παρακάτω είναι αληθείς; p 1 p 2, p 2 p 3, p 1 p 3, p 2 p 1, p 3 p 1, p 3 p 2, p 2 p 1, p 3 p 2, p 3 p 1, p 1 p 2, p 1 p 3, p 3 p 2 13.Ας ονομάσουμε q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x) τους παρακάτω προτασιακούς τύπους: q 1 (x) = x είναι άρτιος ακέραιος, q 2 (x) = x είναι διαιρετός δια 2 q 3 (x) = x είναι πολλαπλάσιο του 2, με σύνολο αναφοράς το σύνολο Ν ο. Ποιες από τις ακόλουθες συνεπαγωγές αληθεύουν για κάθε τιμή της μεταβλητής x Ν ο ; 5
q 1 (x) q 2 (x), q 1 (x) q 3 (x), q 2 (x) q 3 (x) q 2 (x) q 1 (x), q 3 (x) q 1 (x), q 3 (x) q 2 (x) q 1 (x) q 2 (x), q 1 (x) q 3 (x), q 2 (x) q 3 (x) q 2 (x) q 1 (x), q 3 (x) q 1 (x), q 3 (x) q 2 (x) ΟΜΑΔΑ Ε ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν Α, Β, Γ είναι οποιαδήποτε σύνολα, τότε ποιες από τις παρακάτω συνεπαγωγές είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς; 1) (Α Β Β Γ) Α Γ 2) (Α Β Γ Α) Γ Β 3) (Α Β Β = Γ) Α Γ 5) (Α Β Α Γ) Β = Γ 6) (Α = Β Γ Β) Γ Α 7) (Α Β Γ Β) Α Γ 8) Α Β Α 4) (Α Β Β Α) Α = Β Υπόδειξη. Για να απαντήσετε εύκολα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαγράμματα Venn. 2. Να δικαιολογήσετε τις ισοδυναμίες: 1) Α Α = και 2) (Α Β Β ) Α = Β =. 3. Πόσα είναι τα υποσύνολα ενός 5μελούς συνόλου Α; Πόσα από αυτά τα υποσύνολα είναι τριμελή; Πόσα είναι τα τετραμελή; Πόσα είναι τα διμελή; Έστω Α, Β, Γ μ η κενά υποσύνολα ενός συνόλου αναφοράς: 4. Να αποδείξετε ότι : Α ( Β Α) = Α Β ( Α Β) = Β 6. Να αποδείξετε ότι : ( Α Β) (Α C Β) = Β 8. Να αποδείξετε ότι : ( Α Β) ( Α Β C ) = Α 10. Να αποδείξετε ότι: (Α Β) C = B A c A (A B) = A B A (B A) = Α Β 12. Να απλοποιήσετε την παράσταση: (A B) (A B C ) (A c B) 14. Να αποδείξετε ότι : ( Α Β) ( Β Γ) ( Γ Α)=( Α B) ( Β Γ) ( Γ) 16. Να αποδείξετε ότι : ( Α Γ) ( Β Γ) = ( Α Β) Γ ( Α Γ) ( Β Γ) = ( Α Β) Γ 18. Να αποδείξετε ότι : ( Α Β) Γ = Α ( Β Γ) Α ( Β Γ) = ( Α Β) ( Α Γ) 5. Να αποδείξετε ότι : Α ( Β Γ) = ( Α Β) ( Α Γ) 7. Να αποδείξετε ότι : Α ( Α Β) = Α Β ( Α Β) Γ = ( Α Γ) Β 9. Να αποδείξετε ότι : (Α Β) (Α Γ) C = A B Γ C 11. Να αποδείξετε ότι : Α C (A B) = A C B A C (A B) = A C B 13. Να αποδείξετε ότι: A (B A C ) = A B A (B A C ) = A B 15. Να αποδείξετε ότι : ( Α Β) Γ = ( Α Γ) ( Β Γ) 17. Να αποδείξετε ότι : Α Β = ( Α Β) ( Β Α) ( Α Β) 19. Να αποδείξετε ότι : Α ( Β Γ) = ( Α Β) ( Α Γ) Α ( Β Γ) = ( Α Β) ( Α Γ) 20. Να αποδείξετε τους νόμ ους του De Morgan : (1) (A B Γ C ) = A C B C Γ C 6
(2) (A B Γ) C = A C B C Γ C 21. Δ ίνονται τα σύνολα: Α = { α, β, γ, δ, ε}, Β = { β, δ, ζ, η}, Γ = { α, β, θ, η} Να επαληθεύσετε μ ε αναγραφή των στοιχείων του αριστερού, αντιστοίχως του δεξιού μ έλους, την ισότητα : ( Α Β) ( Β Γ) = ( Α Β) ( Β Γ) Έπειτα να αποδείξετε ότι και γενικώς αληθεύει η προηγούμ ενη ισότητα, δηλαδή για οποιαδήποτε σύνολα Α, Β, Γ, U 22. Να αποδείξετε, μ ε ένα συγκεκριμ ένο παράδειγμ α συνόλων και έπειτα γενικώς, ότι ισχύει η ισότητα: ( Α Β) ( Γ Α) = ( Β Γ) Α 23. Να αποδείξετε, μ ε ένα συγκεκριμ ένο παράδειγμ α συνόλων και έπειτα γενικώς, ότι ισχύει η συνεπαγωγή: Α Γ = ( Α Γ) ( Β Γ) = Α Β Ποια ιδιότητα της αφαιρέσεως στην Αριθμ ητική σας θυμ ίζει το συμπέρασμ α αυτής της συνεπαγωγής: 24. Να αποδείξετε μ ε ένα συγκεκριμ ένο παράδειγμ α συνόλων, ότι ισχύει η ισότητα: ( Α Β) Γ = ( Α Γ) ( Β Γ) και έπειτα ότι ισχύει γενικώς, δηλ. για οποιαδήποτε σύνολα Α, Β, Γ, U. Με απ αυτό, μπορούμ ε άραγε να πούμ ε ότι η διμ ελής πράξη της τομ ής είναι επιμ εριστική ως προς την διμ ελή πράξη της διαφοράς; Αριθμ ητική, αντιστοιχεί στην παραπάνω ισότητα; ΟΜΑΔΑ ΣΤ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε ζεύγος; Ποιο είναι το αντίστροφο του ζεύγους (α, β) ταυτοτικού ή όχι; 2. Πότε δύο ζεύγη (α, β) και (γ, δ) λέγονται ίσα; 3. Τι ονομάζουμε καρτεσιανό γινόμενο ενός συνόλου Α επί ένα σύνολο Β; 4. Τι ονομάζουμε διαγώνιο ενός καρτεσιανού γινομένου Α Β ; 5. Πως ορίζεται το καρτεσιανό γινόμενο: Α Β Γ; Αναφέρατε σχετικό παράδειγμα; ΟΜΑΔΑ Ζ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Από τα στοιχεία του συνόλου {1, 2, 3} να σχηματισθούν όλα τα δυνατά ζεύγη. Το ίδιο από τα στοιχεία του συνόλου: {α, β,, 0}. 2. Να συμπληρωθούν τα δεύτερα μέλη των παρακάτω τεσσάρων ισοδυναμιών : (α, β) = (1, 4) (;) (3, β) = (α, 7) (;) (α, 1) = (1, β) (;) (γ, δ) = (2, 2) (;) 3. Να αποδείξετε ότι: (x, y) A A (y, x) A A 4. Ένα σύνολο Α έχει ν στοιχεία. Πόσα στοιχεία έχει το καρτεσιανό γινόμενο A A και πόσα η διαγώνιος του; Πόσα διμελή σύνολα μπορούμε να σχηματίσομε από τα ν στοιχεία του Α; 5. Να αποδείξετε ότι : A Β = A Β (Α = Α και Β = Β ). 6. Να αποδείξετε ότι : A Β = A Γ Β = Γ Α = 7. Από τα σύνολα: Α = {1, 2, 3} και Β = {3, 4} να σχηματισθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: A Β, Β Α, Α 2 = A Α, Β 2 = Β Β, Β 3 = Β Β Β καθώς και τα σύνολα: (A Β) (Β Α) και Α 2 Β 2 Επί πλέον να κατασκευασθούν τα γραφήματα και τα διαγράμματα των τεσσάρων πρώτων συνόλων. 7
8. Από τα σύνολα Α = {α, β, γ}, Β = {γ, δ}, Γ = {δ, ε, ζ} να σχηματισθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα γινόμενα: A (Β Γ), (Α Β) Γ, A (Β Γ), (Α Β) Γ καθώς και τα σύνολα: (A Β) (A Γ), (A Γ) (Β Γ), (Α Β) (A Γ), (A Γ) (Β Γ) Έπειτα με την βοήθεια των εξαγομένων να επαληθευθεί η επιμεριστική ιδιότητα του καρτεσιανού γινομένου ως προς την ένωση και την τομή δύο συνόλων. 9. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι συνεπαγωγές: (1) Α Γ και Β Γ Α Β Γ Γ (2) Α Γ και Β Δ Α Β Γ Δ (3) Α Β Α Β Β Β και Α Α Α Β (4) Α Β Α Α Β Β και Α Γ Β Γ. 10.Δίνονται τα σύνολα: Α = {1, 2, 3}, Β = {1, 2}, Γ = {1, 2, 3, 4} Να σχηματισθούν τα καρτεσιανά γινόμενα: Α Α Α και Α Β Γ. 11. Εστω U ένα συνολο και Α 1, Α 2 U και Β 1, Β 2 U, Χρησιμοποιείστε τα διαγράμματα Venn για να διαπιστώσετε ότι (Α 1 Α 2 ) (Β 1 Β 2 ) = (Α 1 Β 1 ) (Α 2 Β 2 ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι την παραπάνω σχέση γενικά. 12. Να αποδείξετε ότι : αν Α 1 U 1 και Α 2 U 2, τότε: (U 1 U 2 ) (Α 1 Α 2 ) = [(U 1 - Α 1 ) U 2 ] [U 1 (U 2 A 2 )]. 8