υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. -. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Εκπαιδευτική Ενότητα η Μοντελοποίηση υναµικών Συστηµάτων Εφαρµογές Γενικά Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα θα µελετηθούν δύο τυπικές περιπτώσεις απλού ταλαντωτή, για τους οποίους ητείται ο προσδιορισµός των σταθερών ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c. Στην πρώτη περίπτωση χρησιµοποιείται η έννοια του Συντελεστή Μεταδοτικότητας, ο οποίος περιγράφεται και µε γεωµετρικό τρόπο. Στη δεύτερη περίπτωση, εξετάεται η ταλάντωση αβαρούς και άκαµπτης ράβδου, φέρουσας ελατήριο, αποσβεστήρα και ανηρτηµένη µάα. Συνοπτική παρουσίαση θεωρητικών στοιχείων Η έννοια του Συντελεστού Μεταδοτικότητας TR παρουσιάσθηκε στην Εκπαιδευτική Ενότητα 04. Ειδικότερα, είχε αναφερθεί ότι ο εν λόγω συντελεστής σχετίεται µε την κινηµατική διέγερση της βάσης ενός µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c και αποτελεί µία τεχνική διόρθωση του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης H. Ενδιαφέρον παρουσιάει η προσέγγιση του εν λόγω συντελεστή µέσα από τη γεωµετρική ερµηνεία της εξίσωσης ισορροπίας του µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c (βλ. Σχήµα ). αδ Γ () t () t απ ελ απ αδ ελ O ϑ (α) (β) Σχήµα : Τυπικό µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c : (α) ισορροπία δυνάµεων και (γ) γεωµετρική αναπαράσταση δυνάµων Ειδικότερα, στο Σχήµα α απεικονίεται ποιοτικά η ισορροπία δυνάµεων (βλ. Εξ.()): όπου A Ωt t = + + () ελ απ αδ t είναι η εξωτερικώς ασκούµενη δύναµη (διέγερση), δύναµη σε γραµµικό ελατήριο σταθεράς, απ ελ B = x είναι η εµφανιόµενη = cx είναι η εµφανιόµενη δύναµη σε αποσβεστήρα (τύπου ροής Quette) σταθεράς απόσβεσης c και αδ = x είναι η εµφανιόµενη αδρανειακή δύναµη στη µάα. Εάν η εξωτερική δύναµη είναι της µορφής -.3 -
cs t t υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 = Ω, δηλαδή είναι αρµονική δύναµη πλάτους Ω, τότε, στη µόνιµη κατάσταση, ισχύει: και συχνότητας διέγερσης Για την απόκριση του συστήµατος: Το σύστηµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε την ιδιοσυχνότητα του διεγέρτη: cs x t = x t = Ωt ϑ () Για την ταχύτητα του συστήµατος: Υπολογίεται η πρώτη χρονική παράγωγος της απόκρισης και προκύπτει: p d π x ( t) = x p( t) = ( cs( Ωt ϑ) ) =Ω( sin( Ωt ϑ) ) x ( t) =Ω cs Ωt ϑ+ (3) dt Στην Εξ.(3) έχει χρησιµοποιηθεί η τριγωνοµετρική ταυτότητα sin a = cs a+ π. Για την επιτάχυνση του συστήµατος: Υπολογίεται η δεύτερη χρονική παράγωγος της απόκρισης και προκύπτει: d d π π x( t) = xp( t) = ( x p( t) ) = Ω cs Ωt ϑ+ = Ω sin Ωt ϑ+ dt dt cs (4) x t = Ω Ωt ϑ Στην Εξ.(4) έχει χρησιµοποιηθεί η τριγωνοµετρική ταυτότητα sin a+ = cs( a) Με βάση τις Εξ.(,3,4), προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις για τις δυνάµεις, οι οποίες εµφανίονται στο δυναµικό σύστηµα: Για τη δύναµη ελατηρίου ελ cs( ϑ) cs( ϑ) ελ ελ ελ ελ ελ π = x = Ωt = Ωt (5) Εάν η δύναµη ελατηρίου ελ θεωρηθεί ως διάνυσµα µέτρου ελ = και πολικής γωνίας ( t ϑ) Ω, τότε η Εξ.(5) εκφράει την προβολή της ελ επί οριοντίου άξονα. Για τη δύναµη απόσβεσης απ cs π x c t cs π απ = απ = Ω Ω ϑ+ απ = απ Ωt ϑ+ (6) απ Κατ αντιστοιχία, εάν η δύναµη απόσβεσης απ θεωρηθεί ως διάνυσµα µέτρου c απ = Ω και πολικής γωνίας π Ωt ϑ+, τότε η Εξ.(6) εκφράει την προβολή της απ επί οριοντίου άξονα. Επίσης, παρατηρώντας τις πολικές γωνίες των διανυσµάτων. -.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ελ και απ, προκύπτει ότι το διάνυσµα απ έχει µεγαλύτερη πολική γωνία και είναι κάθετο στο διάνυσµα ελ. Εάν, λοιπόν, το διάνυσµα ελ απεικονισθεί στο Σχήµα β ως, τότε το διάνυσµα απ. το διάνυσµα ( ΟΒ) Για τη δύναµη αδρανείας αδ θα απεικονισθεί ως το διάνυσµα ( ΒΓ ) ( ϑ) cs( ϑ) = = Ω Ω = Ω (7) αδ x αδ cs t αδ αδ t αδ Οµοίως µε τα προηγούµενα, εάν η αδρανειακή δύναµη αδ θεωρηθεί ως διάνυσµα µέτρου αδ = Ω και πολικής γωνίας ( t ϑ) Ω, τότε η Εξ.(7) εκφράει την προβολή της αδ επί οριοντίου άξονα. Επίσης, παρατηρώντας τις πολικές γωνίες των διανυσµάτων ελ και αδ, προκύπτει ότι τα δύο διάνυσµα έχουν την ίδια διεύθυνση (είναι µεταξύ τους παράλληλα). Σχετικά µε τη φορά των εν λόγω διανυσµάτων, παρατηρούµε στην Εξ.(7) την ύπαρξη αρνητικού προσήµου, η φυσική σηµασία του οποίου είναι άµεση: τα διανύσµατα ελ και αδ έχουν αντίθετη φορά. Συνεπώς, στο Σχήµα β, το διάνυσµα αδ. θα απεικονισθεί ως το διάνυσµα ( Γ ) Για την εξωτερική αρµονική δύναµη διέγερσης ( t ) t = Ωt t = t Ω t (8) cs( ) cs( ) t Σε συµφωνία µε τα προηγούµενα, εάν η εξωτερική δύναµη ( t ) θεωρηθεί ως διάνυσµα µέτρου = και πολικής γωνίας ( t) t Ω, τότε η Εξ.(8) εκφράει την προβολή της t επί οριοντίου άξονα. Λόγω της δυναµικής ισορροπίας του συστήµατος (βλ.εξ.()), t θα απεικονισθεί ως το διάνυσµα ( Ο ), δηλαδή ως το αντίθετο του, το οποίο εκφράει την άθροιση των δυνάµεων ελ, και. απ αδ το διάνυσµα διανύσµατος ( Ο) Το δυναµοπολύγωνο του Σχήµατος β είναι ιδιαίτερα χρήσιµο στην εύκολη διατύπωση σχέσεων µεταξύ των εµπλεκοµένων δυνάµεων. Πιο συγκεκριµένα, εφαρµόοντας το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ( ΟΑ ) προκύπτει: ( t) ( ) ( ) ( c ) Ο = ΟΑ + Α = + = Ω + Ω ελ αδ απ = ( Ω ) + ( cω ) = ( Ω ) + ( cω) = ( Ω ) + ( cω) -.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ST= = = Ω + cω Ω + ( cω) = = ST c Ω + Ω ST Ω + ( cω) = = ST ( Ω ) + ( cω) ( ( ) ) ( ( c Ω + ) Ω ) Ω ω = q = ω = = c ST = ST ( ( ) ) (( c )( ) ) ( ) (( c )( ω Ω + Ω Ω + ω ω) Ω) H = ST = H= = ST q + q ST q + ( q) ελ = ελ H= = H= = ( t) = = st q q ST t + ( q ) + ( q) (9) Στην Εξ.(9) ως H συµβολίεται ο Συντελεστής υναµικής Ενίσχυσης. Επιλύοντας την Εξ.(9) ως προς το µέτρο ελ της δύναµης ελατηρίου, προκύπτει: H t ελ = (0) Επίσης, από το δυναµοπολύγωνο του Σχήµατος β, είναι δυνατόν να προκύψει η εξίσωση υπολογισµού της γωνίας ϑ. Πιο συγκεκριµένα, στο ορθογώνιο τρίγωνο ( ΟΑ ) ισχύει: ( Α ) ( ΟΑ) tanϑ = = ελ απ αδ () Εισάγοντας τις Εξ.(5,6,7) στην Εξ.(), προκύπτει: Α cω cω tanϑ = = = ΟΑ Ω ( Ω ) Ω ( Ω ) ( ) = cω cω = = ( Ω ) ( Ω ) ω c Ω c tan ω Ω = ωω q= ω tan ω ω ω ϑ= ϑ= = = ( ω Ω ) ( ω Ω ) ω Ω Ω ω ω -.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 tanϑ = q ( q ) () Η φυσική σηµασία της γωνίας ϑ προκύπτει από την ερµηνεία του Σχήµατος β. Ειδικότερα, η γωνία ϑ σχηµατίεται µεταξύ του διανύσµατος της δύναµης ελατηρίου ελ και του διανύσµατος της εξωτερικής δύναµης ( t ). Για ένα γραµµικό ελατήριο, από το νόµο του He ελ = x, προκύπτει ότι η δύναµη ελατηρίου ελ είναι συµφασική της απόκρισης ελ x ελ του ελεύθερου άκρου του ελατηρίου. Σε ένα µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα, η εν λόγω απόκριση ταυτίεται µε την απόκριση του συστήµατος, δηλαδή ισχύει x( t) = x ελ. Με βάση αυτήν την παρατήρηση, η γωνία ϑ του Σχήµατος β εκφράει τη διαφορά φάσης µεταξύ των δυνάµεων ( t ) και ελ, ή, ισοδύναµα, τη διαφορά φάσης µεταξύ της δύναµης διέγερσης ( t ) και της απόκρισης x( t ) του συστήµατος. Ένα ακόµα ενδιαφέρον ήτηµα είναι ο συσχετισµός, στη µόνιµη κατάσταση, του πλάτους της δύναµης διέγερσης και του πλάτους της δύναµης, η οποία µεταφέρεται στην ακίνητη βάση (έδραση) του συστήµατος του Σχήµατος β µέσω του ελατηρίου και του αποσβεστήρα. Πιο συγκεκριµένα, στη µόνιµη κατάσταση, η ακίνητη βάση του συστήµατος καταπονείται από τη συνισταµένη B των δυνάµεων ελατηρίου ελ και αποσβεστήρα απ. Στο Σχήµα β,. Από την εφαρµογή του η εν λόγω συνισταµένη απεικονίεται ως το διάνυσµα ( ΟΓ) Πυθαγορείου θεωρήµατος στο ορθογώνιο τρίγωνο ( ΟΒΓ ) προκύπτει: B t ( Ο ) ( ΟΓ ) + ( ΒΓ ) ( Ο ) + Ω ΟΓ ( ) ( c ) ελ + απ + Ω = = = = = ( ) ( c ) ( ) ( c ) ( c )( ) ST= B = c ( t) + Ω = + Ω ω =, = ω B ω ω ( Ω ω) q= ω = + Ω = + t ST ST Ω H = B ST B = + ( q) = H + ( q) ( t) ST ( TR) (3) Από την Εξ.(3) προκύπτει ότι, στη µόνιµη κατάσταση, το πλάτος καταπονεί την ακίνητη βάση του εξεταοµένου συστήµατος, ισούται µε: B B B της δύναµης, η οποία = t TR = TR (4) -.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Στην Εξ.(4), ο Συντελεστή Μεταδοτικότητας ( TR ) εκφράεται συναρτήσει πλατών δύναµης. Υπενθυµίεται ότι ο ίδιος συντελεστής, στην Εκπαιδευτική Ενότητα 04 (βλ. σελ.4.5, Εξ.(49)), είχε ορισθεί συναρτήσει πλατών µετατόπισης, όταν επιβάλλεται κινηµατική διέγερση στη βάση του µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c. Εφαρµογή #: Προσδιορισµός σταθερών µονοβάθµιου δυναµικού συστήµατος c (Θέµα Εξετάσεων 006) Μία µηχανή µάας = 3000g εδράεται µέσω ενός ελατηρίου σταθεράς και ενός αποσβεστήρα σταθεράς c σε µία σταθερή βάση. Η µηχανή ασκεί στο σύστηµα έδρασης µίας αρµονική δύναµη πλάτους 3000N και συχνότητας ίσης µε την εκάστοτε συχνότητα περιστροφής του άξονά της. Οι κανονικές στροφές λειτουργίας της µηχανής είναι 3000ΣΑΛ. Κατά τη λειτουργία της µηχανής σε διάφορες στροφές διαπιστώθηκε ότι στις 900ΣΑΛ παρατηρείται η µέγιστη τιµή της επιτάχυνσης, ίση µε 5 sec. (t)= cs(ωt) x(t) c Σταθερή βάση Σχήµα : Εξεταόµενη διάταξη Ζητούνται: Α) Ο υπολογισµός των σταθερών και c του συστήµατος. Β) Το πλάτος δύναµης που ασκείται στο ελατήριο και στη βάση της µηχανής στις κανονικές στροφές λειτουργίας. Γ) Ο υπολογισµός νέων σταθερών και c του ελατηρίου και του αποσβεστήρα του συστήµατος έδρασης, ώστε το πλάτος της µέγιστης δύναµης του ελατηρίου να µειωθεί κατά 50% και το πλάτος της δύναµης που ασκείται στη βάση της µηχανής στις κανονικές στροφές λειτουργίας να µειωθεί κατά 5%. Λύση Η εξεταόµενη διάταξη (βλ. Σχήµα ) αποτελεί µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c υπό αρµονική διέγερση πλάτους αντίστοιχη θεωρία. και συχνότητας Ω. Ως εκ τούτου, θα χρησιµοποιηθεί η -.8 -
Για το ερώτηµα (Α): Σε µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c, ισχύει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ω = = ω (5) όπου ω είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, είναι η σταθερά του ελατηρίου και είναι η µάα του συστήµατος. Από την εκφώνηση, δίδεται = 3000g, εποµένως αρκεί να υπολογισθεί το η ιδιοσυχνότητα ω. Σε µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c υπό αρµονική διέγερση, ισχύει για τη µόνιµη κατάσταση: Απόκριση συστήµατος Ταχύτητα συστήµατος Επιτάχυνσης συστήµατος d dt cs( ω ϑ) x t = t (6) d υ( t) = x( t) = cs( Ωt ϑ) = Ω Ωt dt sin (7) d dt ( sin( ϑ) ) cs( ϑ) (8) A t = x t = Ω Ωt =Ω Ωt A =Ω Από την τελευταία εξίσωση, προκύπτει ότι η µέγιστη τιµή του πλάτους A της επιτάχυνσης του συστήµατος εµφανίεται όταν µεγιστοποιείται το πλάτος της απόκρισης του συστήµατος, κάτι που συµβαίνει στο συντονισµό (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03). Συνεπώς, η δήλωση ότι στις 900ΣΑΛ παρατηρείται η µέγιστη τιµή της επιτάχυνσης, για µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c υπό αρµονική διέγερση και θεωρώντας ότι η µέτρηση της επιτάχυνσης πραγµατοποιείται στη µόνιµη κατάσταση λειτουργίας του συστήµατος, σηµαίνει ότι στις 900ΣΑΛ εµφανίεται συντονισµός. Για µικρή τιµή του λόγου απόσβεσης ισχύει: π ω Ω ω 900 ω 94.5rad Σ Ω Σ = ΣΑΛ Ω Σ = 60 sec (9) όπου ο δείκτης Σ υποδηλώνει συντονισµό. Ο συνδυασµός των Εξ.(5,9) δίδει: ( rad ) g sec N = ω = 3000 94.5 =.665 0 7 (0) Από τον ορισµό του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης, στο συντονισµό ισχύει: Ω q= Σ ω Σ H= = H = = ST ( q ) ( q ST + ) () -.9 -
όπου Σ είναι το πλάτος του συντονισµού, υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ST είναι το Ισοδύναµο Στατικό Πλάτος και είναι ο λόγος απόσβεσης. Επιλύοντας την Εξ.(8) ως προς το πλάτος της απόκρισης, στην περίπτωση του συντονισµού θα ισχύει: A t A Σ Σ Σ = = ΩΣ ΩΣ όπου ο δείκτης Σ υποδηλώνει συντονισµό. Επίσης, από τον ορισµό του Ισοδύναµου Στατικού Πλάτους, ισχύει: () ST = (3) Ο συνδυασµός των Εξ.(,,3) δίδει: Σ ST Ω ω ω Σ = = = = = ST Σ A AΣ Σ ΩΣ ω = AΣ (4) Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(4), προκύπτει: 3000 = = = 0. AΣ 3000 5 (5) Παρατήρηση: Προέκυψε ότι ο λόγος απόσβεσης ισούται µε = 0., άρα η παραδοχή ότι Εξ ορισµού, ισχύει: (βλ. Εξ.()) είναι αποδεκτή. Σε διαφορετική περίπτωση, η τιµή του λόγου απόσβεσης υπολογίεται µέσω επαναληπτικής διαδικασίας. c = c c 0. 94.5 3000 Ns c 56550 Ns = ω = = ω (6) Εποµένως, η σταθερά του ελατηρίου είναι είναι c= 56550 Ns. = και η σταθερά απόσβεσης 7.665 0 N Για το ερώτηµα (Β): Σύµφωνα µε την ενότητα Συνοπτική παρουσίαση θεωρητικών στοιχείων, (βλ. Εξ.(0)) και για το εξεταόµενο µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c, το πλάτος ελ της δύναµης, η -.0 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 οποία ασκείται στο ελατήριο, και το πλάτος ( t ) της εξωτερικά ασκούµενης δύναµης, συνδέονται µέσω του Συντελεστή υναµικής Ενίσχυσης ως εξής: H ελ = t = H (7) ελ Επίσης, σύµφωνα µε την ενότητα Συνοπτική παρουσίαση θεωρητικών στοιχείων, (βλ. Εξ.(3,4)) και για το εξεταόµενο µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c, το πλάτος της δύναµης, η οποία ασκείται στη βάση, και το πλάτος ( t ) της εξωτερικά ασκούµενης δύναµης, συνδέονται µέσω του Συντελεστή Μεταδοτικότητας ως εξής H ( ) = t TR = TR = + q (8) B B Ειδικά στον συντονισµό, όπου q, η Εξ.(8) γράφεται ως εξής: Συνεπώς, ισχύουν τα ακόλουθα: ( ) = t TR = TR = H + (9) B Σ Σ B Για το συντονισµό Για το πλάτος της δύναµης που ασκείται στο ελατήριο Από τον ορισµό του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης, προκύπτει: Σ B Ω q= ω Σ Σ Σ H = 5 0. ( q ) H = = H = + ( q) (30) Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(7), προκύπτει: = H = 3000 5 = 5000N (3) ελ Σ Σ ελ Σ Για το πλάτος της δύναµης που ασκείται στο βάση Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(9), προκύπτει: ( ) = H + = 3000 5 + 0. = 5000.04 = 597N (3) B Σ Σ B Σ Για τις κανονικές στροφές λειτουργίας (όπως και προηγουµένως) Σε αυτήν την περίπτωση, η συχνότητα διέγερσης (έστω συχνότητα Ω Λ ) είναι: π Ω 3000 34.6 rad Λ = ΣΑΛ = 60 sec (33) Συνεπώς, θα ισχύει: q Λ ΩΛ 34.6 = = qλ = 3.333 ω 94.5 (34) -. -
H υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Για το πλάτος της δύναµης που ασκείται στο ελατήριο Με αριθµητική αντικατάσταση στον ορισµό του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης, προκύπτει: Λ = = = q + q 3.33 + 0.78 0.443 ( 0. 3.33 + ) H Λ Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(7), προκύπτει: = 0.099 (35) = H = 3000 0.099 = 97N (36) ελ Λ Λ ελ Λ Για το πλάτος της δύναµης που ασκείται στο βάση Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(8), προκύπτει: ( ) = H + q = 3000 0.099 + 0. 3.33 = 3000 0.099.9N B Λ Λ B Λ = 383.35N (37) B Λ Εποµένως, το πλάτος της δύναµης που ασκείται: στο ελατήριο, στο συντονισµό, είναι: 5000N ελ Σ = στο ελατήριο, στις κανονικές στροφές λειτουργίας, είναι: 97N ελ Λ = στη βάση, στο συντονισµό, είναι: 597N = B Σ στη βάση, στις κανονικές στροφές λειτουργίας, είναι: 383.35N = B Λ Για το ερώτηµα (Γ): Από την Εξ.(7), προκύπτει ότι το πλάτος της δύναµης του ελατηρίου, για τις δοθείσες τιµές των σταθερών και c, ισούται µε: ld H ld ελ = (38) Με τις νέες τιµές των σταθερών και c, µεταβάλλεται η τιµή του Συντελεστού υναµικής Ενίσχυσης (βλ. Εξ.(9)): H = ( Ω ) + ( cω) (39) Συνεπώς, µε τις νέες τιµές των σταθερών και c, θα ισχύει: H ελ = (40) -. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Από την εκφώνηση, δίδεται ότι, µε τις νέες τιµές των σταθερών και c, πρέπει το πλάτος της µέγιστης δύναµης του ελατηρίου να µειωθεί κατά 50%. Από την Εξ.(40), έπεται ότι, για σταθερό πλάτος µεγιστοποιείται, όταν η ποσότητα εξωτερικής δύναµης, το πλάτος ελ της δύναµης του ελατηρίου H λάβει τη µέγιστη τιµή της. Αυτό, ωστόσο, συµβαίνει στο συντονισµό, εποµένως η έκφραση το πλάτος της µέγιστης δύναµης του ελατηρίου υποδηλώνει την κατάσταση του συντονισµού. Σχετικά µε τη ητούµενη µείωση, ισχύει: ελ = ld Hld ελ Σ, ελ Σ, ld ελ Σ, = 0.5 = 0.5 H H = 0.5 H Σ, ld Σ, Σ, ld H = 0.5H (4) Σ, Σ, ld Στην Εξ.(4), ο δείκτης Σ αντιστοιχεί στον συντονισµό. Ο συνδυασµός των Εξ.(,4) δίδει: H = 0.5H Σ, Σ, ld = 0.5 ld ld ld = 0.5 = 0.5 (4) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(4) µε την Εξ.(5), προκύπτει: 0. = = 0. (43) 0.5 Παρατήρηση: Ο νέος λόγος απόσβεσης ισούται µε = 0.. Η τιµή αυτή προέκυψε από την παραδοχή ότι (βλ. Εξ.()), η οποία είναι οριακά αποδεκτή. Με παρόµοιο σκεπτικό, αντιµετωπίεται η περίπτωση της δύναµης στη βάση της µηχανής και για κανονικές στροφές λειτουργίας. Επειδή, ητείται µείωση κατά 5%, η Εξ.(8) δίδει: B = TR B 0.5 0.5 Λ, B Λ, ld Λ, Λ, ld = TR = TR ( TR) 0.75( TR) = (44) Λ, Λ, ld Στην Εξ.(44), ο δείκτης Λ αντιστοιχεί στις κανονικές στροφές λειτουργίας της µηχανής. Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(44), προκύπτει (βλ. και Εξ.(37)): ( TR) ( TR) = 0.75 0.099.9 = 0.0959 (45) Λ, Λ, Όµως, από τον ορισµό του Συντελεστή Μεταδοτικότητας ( TR ), ισχύει: ( TR) ( q) ( q + + ) = ( TR) = ( q ) ( q) ( q ) + ( q) + ( q ) ( TR) ( q) ( TR) ( q) ( q ) ( TR) ( q) ( TR) + = + + = 0 4 ( q q )( TR) q ( ) ( TR) + + = 0 ( ) 4 q TR + q TR TR + TR = 0 (46) -.3 -
Εισάγοντας την Εξ.(45) στην Εξ.(46), προκύπτει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 4 q 0.0959 + q 0. 0.0959 0.0959 + 0.0959 = 0 q 9.97 0 0.6 0.99 0.0839 0.99 0 4 3 q + = 9.97 0 0.768 0.99 0 9. 07.64 0 4 3 4 q q = q q = (47) Θέτοντας x = q, η Εξ.(47) γράφεται: Η διακρίνουσα της Εξ.(48) ισούται µε: β Οι ρίες της Εξ.(48) είναι: x 9.x 07.64= 0 (48) 4αγ 9. 4 07.64 800.04 = = = (49) x β± 9.± 800.04 9.± 8.85 x = 3.753, = = = α x < 0 (50) Επειδή είχε τεθεί = 0 0, η αρνητική ρία απορρίπτεται, οπότε προκύπτει: x q x Εξ ορισµού, ο λόγος q ( ω) x = = q q=± (5) 3.753 4.874 = Ω λαµβάνει µόνον µη-µηδενικές τιµές, εποµένως, από την Εξ.(5), προκύπτει ότι, µε τις νέες τιµές των σταθερών και c, ισχύει: Εποµένως, η νέα ιδιοσυχνότητα ω του συστήµατος ισούται µε: q = 4.874 (5) q Ω Ω π = ω = = 3000 ω 64.456 rad = ω 60 4.874 sec q (53) Από την Εξ.(5) και για τη νέα τιµή της σταθεράς του ελατηρίου, προκύπτει: 6 = ω = 3000 64.456 =.464 0 N (54) Τέλος, από την Εξ.(6) και για τη νέα τιµή της σταθεράς απόσβεσης c, προκύπτει: c = c = ω c = 0. 64.456 3000 Ns ω 4 7.735 0 Ns c= (55) -.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Εφαρµογή #: Ταλάντωση αβαρούς και άκαµπτης ράβδου φέρουσας ελατήριο, αποσβεστήρα και ανηρτηµένη µάα. Έστω το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος, το οποίο αποτελείται από την αβαρή ράβδο ( OA ), τη µάα, το ελατήριο σταθεράς και τον αποσβεστήρα σταθεράς c. Η ράβδος είναι αρθρωµένη στη θέση O, η µάα είναι σταθερά συνδεδεµένη επί της ράβδου, το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά συνδεδεµένο µε το ελεύθερο άκρο της ράβδου και ο αποσβεστήρας είναι σταθερά συνδεδεµένος µε τη µάα. Η θέση µηδενικής εκτροπής του συστήµατος από την οριόντια θέση παρουσιάεται στο Σχήµα α, όπου ως L συµβολίεται το µήκος της ράβδου και ως a συµβολίεται η απόσταση του στοιχείου µάα/αποσβεστήρας από τη θέση O. Στο Σχήµα β απεικονίεται το ίδιο σύστηµα σε µία θέση εκτροπής, για µικρή γωνία θ. O α c (α) L A θ α c L (β) x =αθ A x =Lθ Σχήµα : Εξεταόµενη διάταξη: (α) θέση µηδενικής εκτροπής από την οριόντια θέση και (β) θέσης εκτροπής για µικρή γωνία θ. Ζητούνται: Α) Οι εξισώσεις κίνησης του συστήµατος, η φυσική ιδιοσυχνότητα καθώς και η συχνότητα αποσβενόµενης ταλάντωσης του συστήµατος. Β) Η τιµή του µήκους L ώστε το σύστηµα οριακά να ταλαντώνεται (ισοδύναµα, οριακά να µην ταλαντώνεται). Λύση Για το Ερώτηµα Α: Για την εύρεση των εξισώσεων κίνησης, είναι δυνατή η χρήση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange. Πιο συγκεκριµένα, ισχύει: Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στη µάα, ισούται µε: T = x (56) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία αποθηκεύεται στο ελατήριο σταθεράς, ισούται µε: -.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 U x = (57) Η ισχύς P C, η οποία διαχέεται στον αποσβεστήρα σταθεράς c, ισούται µε: PC = cx (58) Επειδή δεν ασκείται εξωτερική δύναµη στο σύστηµα, η ισχύς P t του συστήµατος, λόγω άσκησης εξωτερικής διέγερσης, είναι µηδενική: P = 0 (59) t Σχετικά µε τους Βαθµούς Ελευθερίας του συστήµατος, διαπιστώνουµε ότι στους προαναεφερθέντες ενεργειακούς όρους εµφανίονται δύο κινηµατικές µεταβλητές: η κατακόρυφη µετατόπιση x και η κατακόρυφη µετατόπιση x. Ωστόσο, θεωρώντας ότι η ράβδος είναι άκαµπτη και ότι η εκτροπή της από την οριόντια θέση αντιστοιχεί σε µικρή γωνία θ, έπεται ότι ισχύει: x = aθ και x = Lθ (60) Από την Εξ.(60), προκύπτει ότι οι κινηµατικές µεταβλητές x και x είναι δυνατόν να εκφρασθούν συναρτήσει της ελεύθερης µεταβλητής θ (γωνία στροφής). Υπενθυµίεται ότι τα µήκη a και L θεωρούνται δεδοµένα και σταθερά. Συνεπώς, η ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή του συστήµατος είναι η γωνία θ (µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c ). Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(56,56,60), προκύπτει: L= T U (6) L= T U = x x = a L ( θ) ( θ) (6) Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange, για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή θ, είναι (βλ. Εκπαιδευτικές Ενότητες 0, 07): L L PC Pt + = t θ θ θ θ (63) Εισάγοντας τις Εξ.(58,59,60,6) στην Εξ.(63), προκύπτει: ( aθ) ( Lθ) ( aθ) ( Lθ) + c( aθ) = 0 t θ θ θ (64) Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(64), καταλήγουµε στην ακόλουθη έκφραση: -.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 a θ Lθ a θ Lθ + ca θ = 0 t θ θ θ t a θ Lθ c a θ 0 a θ Lθ ca θ 0 + = + + = L θ 0 Η Εξ.(65), συναρτήσει της µεταβλητής x, γράφεται ως εξής: θ + c θ+ = a (65) x x = aθ θ= a x x x θ L L L θ+ c θ+ = 0 + c + = 0 x + cx + x = 0 a a a a a a x + cx + x = (66) ισ 0 όπου ισ είναι η ισοδύναµη σταθερά του ελατηρίου. Επίσης, η Εξ.(65), συναρτήσει της µεταβλητής x, γράφεται ως εξής: x x = Lθ θ= L x x x θ L L L θ+ c θ+ = 0 + c + = 0 x + cx + x = 0 a L L a L a x + cx + x = (67) ισ 0 ισ ισ Οι ίδιες εκφράσεις προκύπτουν εάν, αντί της Ενεργειακής Αρχής Lagrange, χρησιµοποιηθεί η ισορροπία ροπών. Πιο συγκεκριµένα, για τη στατική ισορροπία του συστήµατος και λαµβάνοντας τις ροπές ως προς τη θέση O, ισχύει: M = 0 Lελ + aαπ = 0 Lx+ acx = 0 (68) ιευκρινίεται ότι για τη δύναµη ελατηρίου ελ και αποσβεστήρα απ, από το Σχήµα, προκύπτει ότι αυτές είναι της ίδιας διεύθυνσης και φοράς, καθώς και οι δύο αντιτίθενται στην εκτροπή της ράβδου από την οριόντια θέση. Εισάγοντας την Εξ.(60) στην Εξ.(68), προκύπτει: L Lθ + ac a θ = 0 Lθ + a c θ = 0 a c θ+ Lθ = 0 (69) Για τη δυναµική ισορροπία του συστήµατος, σύµφωνα µε την Αρχή D Alebert, στην Εξ.(60), δηλαδή στην εξίσωση της στατικής ισορροπίας του συστήµατος, πρέπει να προστεθούν ένας δυναµικό όρος σχετικά µε την περιστροφική κίνηση των στοιχείων του συστήαµτος και ένας δυναµικός όρος σχετικά µε τη ροπή των δυνάµεων αδρανείας, οι οποίες εµφανίονται στο σύστηµα. Ειδικότερα: Για την περιστροφική κίνηση -.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Το µοναδικό στοιχείο αδρανείας του εξεταοµένου συστήµατος είναι η µάα, η οποία, επειδή είναι σταθερά συνδεδεµένη στη ράβδο, εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση. Συνεπώς, στην Εξ.(69) δεν προστίθεται δυναµικός όρος σχετικά µε περιστροφική κίνηση. Για τις ροπές των δυνάµεων αδρανείας Στη µάα, δηλαδή στο µοναδικό στοιχείο αδρανείας του εξεταοµένου συστήµατος, ασκείται αδρανειακή δύναµη ίση µε: Για µικρές γωνίες θ, ισχύει x αδ = x (70) = aθ (βλ. Σχήµα ). Στην Εξ.(69) έχουν ληφθεί ροπές ως προς το σηµείο O. Κατ αντιστοιχία, υπολογίεται η ροπή της αδρανειακής δύναµης ως προς το ίδιο σηµείο, η οποία ισούται µε: Ο δυναµικός όρος T = a = ax = aa = a (7) αδ θ θ T της Εξ.(7) θα προστεθεί στην Εξ.(69). Το πρόσηµο του όρου προκύπτει άµεσα από το Σχήµα. Καθώς µετακινείται το άκρο A της ράβδου προς τα άνω, η µάα κινείται προς τα άνω, άρα η επιτάχυνση έχει φορά προς τα άνω. Σύµφωνα µε την αρχή D Alebert, η φορά της αδρανειακής δύναµης, η οποία θα χρησιµοποιηθεί, είναι αντίθετη από τη φορά της επιτάχυνση, άρα η δύναµη αδ έχει φορά προς τα κάτω. Την ίδια φορά έχουν και οι δυνάµεις ελατηρίου ελ και αποσβεστήρα απ, οι οποίες τείνουν να αναιρέσουν την κίνηση της ράβδου. Με βάση τα στοιχεία αυτά, η εξίσωση της δυναµικής ισορροπίας του σώµατος είναι: L θ + θ+ θ = 0 θ + θ+ θ = 0 (7) a ca L c a Η Εξ.(7) είναι ίδια µε την Εξ.(65), όπως, άλλωστε ήταν αναµενόµενο. T Σχετικά µε την ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, από την Εξ.(66), προκύπτει: ισ L L ω = ω ω = = a a (73) Επίσης, από τον ορισµό του λόγου απόσβεσης, ισχύει: c ω Εισάγοντας την Εξ.(73) στην Εξ.(74), προκύπτει: = (74) c c = = ω L a c a c a c L L L = = = a (75) -.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Η συχνότητα αποσβενόµενης ταλάντωσης ισούται µε (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 03): Ο συνδυασµός των Εξ.(73,75,76) δίδει: ω ω n = (76) L n a c L ω ω ca = n = a L a L (77) Για το Ερώτηµα Β: Από την Εξ.(65), προκύπτει ότι το εξεταόµενο σύστηµα είναι ένα µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα c. Για τέτοια συστήµατα, η οριακή κατάσταση µεταξύ ταλάντωσης και µηταλάντωσης αντιστοιχεί στην κρίσιµη ταλάντωση, η οποία χαρακτηρίεται από µοναδιαίο λόγο απόσβεσης (βλ Εκπαιδευτική Ενότητα 03). Συνεπώς, ισχύει: Από την Εξ.(75) και για µοναδιαίο λόγο απόσβεσης, προκύπτει: = (78) = a c a c a L c = = = = L L L c a c L= a (79) Συνεπώς, η κρίσιµη απόσβεση του εξεταοµένου συστήµατος εµφανίεται για µήκος ράβδου c ίσο µε L= a. -.9 -