Εφαρμογές στην κίνηση Brown

13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε το πρόβλημα της εξόδου από έναν δακτύλιο {x R d : r < x < R}. Η τακτική είναι η ίδια. Πρέπει πρώτα να βρούμε ένα κατάλληλο martingale και μετά να εφαρμόσουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής. Για την εύρεση martingale έχουμε τώρα ένα ακόμα εργαλείο, τον τύπο του Itô. Συνέπεια της τρίτης έκδοσης του τύπου ήταν ότι αν η u είναι αρμονική συνάρτηση στον R d και η B είναι d-διάστατη κίνηση Brown, τότε το (u(b t )) t είναι local martingale. Και αν ξέρουμε για αυτό ότι είναι φραγμένο ή ότι u(b s ) H 2 [, t] για κάθε t, τότε είναι martingale (Πρόταση 4.19 για τον πρώτο ισχυρισμό). Αυτό είναι το σημείο εκκίνησης. 13.1 Αρμονικές συναρτήσεις και το πρόβλημα εξόδου Για να λειτουργήσει το σχέδιο μας, χρειαζόμαστε αρμονική συνάρτηση που να είναι σταθερή σε κάθε σφαιρικό φλοιό {x R d : x = R}, δηλαδή ακτινικά συμμετρική. Ουσιαστικά, για κάθε διάσταση d, υπάρχει μόνο μία τέτοια μη σταθερή αρμονική συνάρτηση. Την ορίζουμε αμέσως. Για κάθε d N με d 2, ορίζουμε τη συνάρτηση u d : R d \{} R με u 2 (x) := log x = log x1 2 + x2 2 αν d = 2, u d (x) := x 2 d = (x1 2 + + (13.1) x2 d )(2 d)/2 αν d 3 για κάθε x = (x 1,..., x d ) R d \{}. Καθεμία από αυτές τις συναρτήσεις είναι αρμονική στο πεδίο ορισμού της. Λήμμα 13.1. Για κάθε d N με d 2, ισχύει για κάθε x R d \{}. u d (x) = Απόδειξη. Αφήνουμε την περίπτωση d = 2 για άσκηση. Υποθέτουμε d 3. Τότε ( u d (x) = 1 d ) (x1 2 x 1 2 + + x2 d ) d/2 2x 1 = (2 d)(x1 2 + + x2 d ) d/2 x 1, 2 u d (x) = (2 d) x d (2 d)( d/2) x (d+2) 2x 2 x1 2 1 = (2 d){ x d dx1 2 x (d+2) } Οι εκφράσεις για τις παραγώγους ως προς τα άλλα x i είναι ανάλογες. Οπότε προσθέτοντας βρίσκουμε u d (x) = (2 d){d x d d x 2 x d 2 } =. Υπενθυμίζουμε ότι οταν θεωρούμε μια κίνηση Brown με B = x R d, μια κίνηση, δηλαδή, που ξεκινάει από το x, χρησιμοποιούμε για την πιθανότητα και τη μέση τιμή ως προς τη B τα σύμβολα P x, E x. 97

98 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Πρόταση 13.2. Εστω d 2 και U R d ανοικτό φραγμένο σύνολο, u C 2 (U) C(U) με u = στο U, και τ U := inf{s : B s U}. Τότε u(x) = E x {u(b τu )} για κάθε x U. Απόδειξη. Εστω R = sup{ x y : x, y U}, όπου για z R d θέτουμε z := max{ z 1, z 2,..., z d }. Ο τ U είναι πεπερασμένος με πιθανότητα 1 γιατί είναι μικρότερος από τον χρόνο που χρειάζεται ώσπου η πρώτη συντεταγμένη της B να βγει από το διάστημα [ R, R] και αυτός είναι πεπερασμένος με βάση την Πρόταση 7.2. Εστω (K n ) n 1 και (g n ) n 1 όπως στην Παράγραφο 12.5. Ο τύπος Itô από την ίδια παράγραφο δίνει ότι με πιθανότητα 1, για κάθε t, ισχύει u(b t τkn ) = u(b ) + u(b s ) dx s + 1 2 Επειδή u =, με χρήση του Λήμματος Γʹ.1, η προηγούμενη σχέση γίνεται u(b t τkn ) = u(x) + Επεκτείνουμε την u στο R d ορίζοντας την ίση με στο U c. Τότε όπου u(b s ) db s = X t := t u(b s ) ds. (13.2) u(b s ) db s. (13.3) (g n u)(b s ) db s = X t τkn (g n u)(b s ) db s για κάθε t. Η (X t ) t είναι συνεχές martingale (γιατί από τις υποθέσεις προκύπτει ότι η (g n u) είναι φραγμένη) και επειδή ο τ Kn είναι χρόνος διακοπής, το Θεώρημα 4.14 δίνει ότι είναι martingale και η (X t τkn ) t. Αρα η μέση του τιμή ισούται με E x (X ) = και έτσι η (13.3) δίνει u(x) = E x {u(b t τkn )}. Τώρα εφαρμόζουμε το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης στο δεξί μέλος της τελευταίας σχέχης παίρνοντας t και έπειτα n. 13.2 Εξοδος από δακτύλιο και επαναληπτικότητα Παίρνουμε την κίνηση Brown B στο R d που ξεκινάει από ένα σημείο x και θεωρούμε δύο σφαίρες (κύκλους αν d = 2) ακτίνας r και R αντίστοιχα, όπου τα r, R ικανοποιούν r < x < R. Η κίνηση θα βγει κάποια στιγμή από τον δακτύλιο {w R d : r < w < R}. Η πιθανότητα η έξοδος να γίνει από το κέλυφος {w : w = r} δίνεται από μια πολύ απλή έκφραση, την οποία θα υπολογίσουμε. Για τα παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό τ a = inf{s : B s = a} όπου a. Είναι δηλαδή ο πρώτος χρόνος που η κίνηση συναντά την περιφέρεια ακτίνας a. Επίσης, καθεμία από τις u d της (13.1) είναι ακτινικά συμμετρική και γράφεται ως u d (x) = f d ( x ) για κάθε x στο πεδίο ορισμού της u d, όπου η f d : (, ) R ορίζεται ως f 2 (r) := log r αν d = 2, f d (r) := r 2 d αν d 3, (13.4) για κάθε r >.

13.2 Εξοδος από δακτύλιο και επαναληπτικότητα 99 Σχήμα 13.1: Πήραμε r =.1, R = 1, x =.4, συγκεκριμένα x = (.4/ 2,.4/ 2) και τρέξαμε την κίνηση Brown για χρόνο 1. Σε αυτή την πραγματοποίηση, η κίνηση Brown βγήκε από την εξωτερική περιφέρεια. Πρόταση 13.3. Για < r < R και x R d με r < x < R, ισχύει P x (τ r < τ R ) = f d(r) f d ( x ) f d (R) f d (r). Απόδειξη. Εφαρμόζουμε την Πρόταση 13.2 για το σύνολο G r,r := {x R d : r < x < R} και τη συνάρτηση u d. Ο χρόνος τ εξόδου από το G r,r ισούται με τ r τ R. Αρα f d ( x ) = u d (x) = E x {u d (B τ )} = E x {u d (B τ )1 τr <τ R + u d (B τ )1 τr <τ r } = E x { f d (r)1 τr <τ R + f d (R)1 τr <τ r } = f d (r) P x (τ r < τ R ) + f d (R) P x (τ R < τ r ), απ όπου προκύπτει το ζητούμενο. Για ένα Borel σύνολο A R d θέτουμε T A := inf{s : B s A}, τον πρώτο χρόνο που η κίνηση Brown χτυπάει το A. Επίσης, για x R d και r >, θέτουμε D(x, r) := {y R d : x y r}, την κλειστή σφαίρα με κέντρο x και ακτίνα r, όπου είναι η Ευκλείδεια νόρμα. Πόρισμα 13.4. Εστω B μια d-διάστατη κίνηση Brown, τότε για κάθε r >, x R d με x > r ισχύει 1 αν d = 2, P x (T D(,r) < ) = ( r d 2 x ) < 1 αν d 3. Απόδειξη. Επειδή η κίνηση Brown έχει συνεχή μονοπάτια και ξεκινάει εκτός του D(, r), θα ισχύει T D(,r) = τ r. Πάλι η συνέχεια των μονοπατιών δίνει lim n τ n =. Τότε {τ r < } = n=1 {τ r < τ n }, η ένωση είναι πάνω σε αύξουσα ακολουθία συνόλων και άρα P x (τ r < ) = lim n P x (τ r < τ n ).

1 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Αν d = 2, για r < x < n έχουμε Αν d 3, για r < x < n έχουμε P x (τ r < τ n ) = log n log x log n log r P x (τ r < τ n ) = n2 d x 2 d n 2 d r 2 d n n 1. ( ) d 2 r x αφού lim n n 2 d =. Το προηγούμενο πόρισμα έχει την εξής συνέπεια. Πόρισμα 13.5. Εστω B μια d-διάστατη κίνηση Brown με B = x R d. (α) Αν d = 2, τότε για κάθε ανοιχτό U R 2, με πιθανότητα 1, υπάρχει ακολουθία χρόνων (t n ) n 1 με lim n t n = και B tn U για κάθε n 1. (β) Αν d 3, τότε lim t B t = με πιθανότητα 1. Απόδειξη. (α) Αρκεί να δείξουμε τον ισχυρισμό για U = D(, r) όπου r > δεδομένο γιατί, για οποιαδήποτε άλλη σφαίρα D(x, r), η B t D(x, r) αν και μόνο αν W t D(, r) όπου W t := B t x είναι κίνηση Brown με W = x x. Θέτουμε t 1 = inf{s > : B s = r/2}, σ k+1 = inf{s > t k+1 : B s = r + 1} για κάθε k N, t k+1 = inf{s > σ k : B s = r/2} για κάθε k N, k 1. Εφαρμόζοντας την ισχυρή ιδιότητα Markov (Θεώρημα 6.1) και το Πόρισμα 13.4, είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι με πιθανότητα 1 όλοι οι χρόνοι σ k, t k είναι πεπερασμένοι και lim k t k =. Βέβαια B tk U για κάθε k 1. (β) Για κάθε n 1, θέτουμε τ n := inf{s : B s = n 3 } και A n := { B t > n για κάθε t τ n }. Ο τ n είναι χρόνος διακοπής και με πιθανότητα 1 είναι πεπερασμένος. Εφαρμόζοντας την ισχυρή ιδιότητα Markov για τον τ n υπολογίζουμε ( n ) d 2 P x (A c n) = E x E x (1 A c n F τn ) = E x {P Bτn (A c 1 n)} = E x {P Bτn (T D(,n) < )} = = n 3 n. 2(d 2) Αρα n 1 P x (A c n) < και το συμπέρασμα έπεται από το πρώτο Λήμμα Borel-Cantelli. Με την ορολογία της γενικής θεωρίας των στοχαστικών ανελίξεων, το προηγούμενο πόρισμα λέει ότι η κίνηση Brown είναι επαναληπτική για d = 2 και παροδική για d 3. Το Πόρισμα 13.4 λέει ότι η διδιάστατη κίνηση Brown επισκέπτεται με πιθανότητα 1 οποιαδήποτε περιοχή του. Επισκέπτεται άραγε το το ίδιο; Η απάντηση είναι όχι και το αποδεικνύουμε αμέσως. Πόρισμα 13.6. Για d 2, η d-διάστατη κίνηση Brown ικανοποιεί για κάθε x R d \{}. P x (υπάρχει t με B t = ) = P x (T {} < ) = Απόδειξη. Επειδή η B ξεκινάει από το x, για κάθε n 1 φυσικό με 1/n < x, έχουμε τ 1/n < τ, άρα για R > x ισχύει P x (τ < τ R ) P x (τ 1/n < τ R ). Με χρήση της Πρότασης 13.3 παίρνουμε ότι η τελευταία ποσότητα τείνει στο για n (απλώς παρατηρούμε ότι lim n f d (1/n) = για κάθε d 2). Αρα P x (τ < τ R ) = για κάθε R > x. Ομοια όπως πιο πάνω, αυτό δίνει ότι P x (τ < ) = lim R P x (τ < τ R ) =.

13.2 Εξοδος από δακτύλιο και επαναληπτικότητα 11 Η συμπεριφορά της μονοδιάστατης κίνησης Brown είναι πιο εύκολο να μελετηθεί. Χτυπάει κάθε πραγματικό αριθμό για οσοδήποτε μεγάλους χρόνους θέλουμε (προκύπτει από την Πρόταση 5.15). Δηλαδή είναι η «πιο επαναληπτική» από όλες τις κινήσεις Brown. Παράδειγμα 13.7 (Ενα local martingale που δεν είναι martingale). Εστω B = (B (1), B (2) ) μια διδιάστατη κίνηση Brown με B και η συνάρτηση f (x) := (1/2) log(x1 2 + x2 2 ) που ορίζεται στο U := R2 \{}. Γράφουμε x = (x 1, x 2 ) και x = x1 2 + x2 2. Η f έχει f x i (x) = 2 f x 2 1 x i x1 2 +, i = 1, 2. x2 2 (x) = x2 2 x2 1 (x1 2 +, 2 f (x) = x2 1 x2 2 x2 2 )2 x2 2 (x1 2 + x2 2 )2 και ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος 12.15. Αρα για την ανέλιξη X t := f (B t ) έχουμε dx t = B(1) t B t 2 db(1) t = B(1) t B t 2 db(1) t + B(2) t B t 2 db(2) t + 1 (B (2) t ) 2 (B (1) t ) 2 dt + 1 (B (1) t ) 2 (B (2) t ) 2 dt 2 B t 4 2 B t 4 + B(2) t B t 2 db(2) t για κάθε t < τ U. Ομως το τ U = λόγω του Πορισματος 13.6. Επειδή λοιπόν η X t είναι ένα στοχαστικό ολοκλήρωμα ως προς την κίνηση Brown, έπεται από την Πρόταση 11.4 ότι είναι local martingale. Αποδεικνύεται με χρήση του θεωρήματος σύγκλισης των martingales ότι η X δεν είναι martingale. Επίσης, αποδεικνύεται ότι αν η B είναι d-διάστατη κίνηση Brown με B, τότε η X t = B t 2 d είναι local martingale (Ασκηση) αλλά όχι martingale.