Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK SIMETRIAK PERIODIKOTASUNA 8
Espainiar gripea Salamanca, 98. Bi erizainek tanda-aldaketa egin behar zuten; haietako bat nekeak jota zegoen. Tanda amaitu zuen erizaina, Carmen, jarraibideak ematen ari zen sartzera zihoan erizainari. Ez ezazu lotura pertsonalik izan gaioarekin, ez saiatu izena jakiten ere, seguruenik hilik egongo baita egun guti barru. Gripea hondamena eragiten ari zen biztanleen artean. Behatu sintomei eta gaioak oinak urdinak dituela ikusten baduzu ez galdu denborarik eta errezatu haren arimaren alde. Hiru urte geroago, Anaren boluntario-lana amaituta zegoela, azken urteetan gripeak eragindako hildakoen zifra ofizialak irakurtzen ari zen egunkarian. Egunkaria Espainian urtero gripeak hildakoak 9 96 97 98 99 9 9 6.8 7. 7.79 7.. 7.8.87 Begiak busti zitzaizkion bere lagun Carmenez oroitzean. Izan ere, hura izan zen 98. urtean hil zenetako bat. Pandemia horren eraginez mundu osoan eta milioi artean hil omen ziren. Hiriko beste egunkarian, datuak aurkezteko grafiko bat erabili zuten, taula baten ordez. Grafiko hori berregiteko eta interpretatzeko gai al zara? Zer motatako grafikoa erabiliko duzu? 6.... 8. 6... 9 96 97 98 99 9 9 Puntuz osatutako grafikoa erabili dugu eta puntuak elkartu egin ditugu, urte horietan gripeak eragindako heriotzen bilakaera hautemateko.
Funtzioak ARIKETAK Adierazi funtzioak diren ala ez magnitude pare hauen arteko erlazioak eta arrazoitu erantzuna. a) Pertsona baten adina eta altuera. b) Upel baten prezioa eta har dezakeen likido kantitatea. c) Poligono erregular baten aldearen luzera eta poligonoaren perimetroa. d) Azterketa batean lortutako nota eta ikasten pasatutako ordu kopurua. e) Langile kopurua eta lan bat amaitzeko behar duten denbora. a) Ez, altueraren balio batek pisuaren zenbait balio izan baititzake, eta alderantziz. b) Bai, upelaren prezioa likido kantitatearen araberakoa baita. c) Bai, aldearen balio bakoitzari perimetroaren balio bat dagokio. d) Ez du zertan funtzioa izan, gerta baitaiteke azterketa gaizki egitea. e) Bai, langile kopurua handitzean lana amaitzeko behar duten denbora tikitu egingo baita.,, 7 eta 9 zenbakiak emanda, kalkulatu zer zenbaki dagokion edo dagozkion bakoitzari beheko lau erlazioen bidez eta adierazi zer funtzio diren. a) Zenbakiaren bikoitza gehi. c) Zenbakia ber lau. b) Zenbakiari bat batu eta d) Zenbakiaren erro koadroa. emaitza zati egitean. a) + = 8 7 7 + = 6 + = 9 9 + = + 7 + b) = 7 = + 9 + = 9 = c) = 8 7 7 =. = 6 9 9 = 6.6 d) ± 7 ± 7 ± 9 ± 9 =± a), b) eta c) ataletako erlazioak funtzioak dira. Idatzi funtzioak diren bi erlazio eta funtzioak ez diren beste bi. Funtzioak diren erlazioen adibideak: Telefono-dei baten kostua eta iraupena. Internetetik artibo bat behera kargatzeko denbora eta artiboaren tamaina. Funtzioak ez diren erlazioen adibideak: Ikasgela bateko ikasle kopurua eta azterketa bat gainditu dutenen kopurua. Pertsona baten adina eta pisua.
ERANTZUNAK Adierazi funtzio hauek, enuntziatu banaren bidez. a) = b) = + a) Zenbaki bakoitzari bikoitza ken egokitzen dion funtzioa. b) Zenbaki bakoitzari aurkakoa gehi egokitzen dion funtzioa. 6 Lortu zenbaki bakoitzari hau egokitzen dion funtzioaren adierazpen aljebraikoa: a) hirukoitza. b) berbidura. c) bikoitza gehi. d) erdia. a) = b) = c) = + d) = Zenbaki bakoitzari laurdena gehi egokitzen dion funtzioa dugu: a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Kalkulatu f(8), f( ) eta f(). a) = f() = + 8 b) f(8) = + = f( ) = + = + f() = + = = = 7 Pentsatu adierazpen aljebraiko baten bidez adierazi ezin den funtzio bat. Pertsona baten NAN eta altuera zentimetrotan lotzen dituen funtzioa. 8 Egin funtzio bakoitzaren balio-taula bat, adierazi funtzio bakoitza enuntziatu baten bidez eta egin adierazpen grafikoa. a) = + e) = b) = + f) = + c) = g) = d) = + h) = a) Zenbaki bakoitzari zenbakia bera gehi egokitzen dion funtzioa. = +
Funtzioak b) Zenbaki bakoitzari bikoitza gehi egokitzen diona. 7 = + c) Zenbaki bakoitzari berbidura egokitzen diona. = d) Zenbaki bakoitzari berbidura gehi zenbakia bera egokitzen dion funtzioa. 6 = + e) Zenbaki bakoitzari aurkakoaren hirukoitza ken egokitzen dion funtzioa. 7 = f) Zenbaki bakoitzari berbidura gehi egokitzen dion funtzioa. = + g) Zenbaki bakoitzari laukoitza ken egokitzen dion funtzioa. 8 = h) Zenbaki bakoitzari aurkakoa egokitzen dion funtzioa. =
ERANTZUNAK 9 Puntu bat funtzio baten grafikokoa da haren koordenatuek ekuazioa betetzen badute. = funtziokoak al dira (, ) eta (, )? (, ) = ( ) Funtziokoa da. (, ) Ez da funtziokoa. Sarrera batek,7 balio ditu. Adierazi funtzio hori ekuazio baten, taula baten eta grafiko baten bidez. =,7,7, 7,,,7 =,7 Arrazoitu nolakoak izango liratekeen grafiko hauetako aldagaiak. Lehen grafikoa mailakatua da, aldagaia jarraitua delako, eta aldagaia, diskretua. Bigarren grafikoa diskretua da, puntu isolatuz osatua dagoelako. Altzari-saltzaile batek 8 -ko soldata finkoa jasotzen du, eta -ko komisioa, saldutako altzariko. Marraztu saldutako altzari kopuruaren mendeko irabaziak adierazten dituen grafikoa. Funtzio etena da, altzari kopuruaren aldagaia diskretua delako eta ez jarraitua; izan ere, balio osoak soilik har ditzake. 8 Idatzi grafiko diskretua duen funtzio bat eta grafiko mailakatua duen beste bat. Grafiko diskretua: liga-jardunaldi bateko gol kopurua jardunaldiaren zenbakiarekiko. Grafiko mailakatua: telefono-dei baten kostua iraupenarekiko (minutuka kobratuta).
Funtzioak Aztertu grafikoko funtzioaren jarraitutasuna. Adierazi etenuneak, baldin baditu. Funtzioak bi etenune ditu: = eta = ; bi puntu horietan jauzi bana dago. = + eta = funtzioak emanda: a) Osatu balio-taulak. b) Adierazi funtzioak grafikoki. c) Aztertu jarraitutasuna. = + f() = + funtzioa jarraitua da. = + = = f() = funtzioa jarraitua da. 6 Marraztu funtzio hauen grafikoak. a) Zenbaki arrunt bakoitzari bikoitza ken egokitzen dion funtzioa. b) Zenbaki oso bakoitzari bikoitza ken egokitzen dion funtzioa. c) Zenbaki erreal bakoitzari bikoitza ken egokitzen dion funtzioa. a) b) c) 9 7 9 7 7 9 7 7 7 Aztertu zenbaki erreal bakoitzari zenbakia egokitzen dion funtzioaren jarraitutasuna. Funtzio jarraitua da, arkatza altatu gabe marraz daitekeelako. 6 7
ERANTZUNAK 8 Kalkulatu funtzioaren eremua eta ibiltartea. Er f = [, ] Ib f = [, ] 9 Erreal bakoitzari hirukoitza ken 6 egokitzen dion funtzioa emanda, kalkulatu: a) Adierazpen aljebraikoa. b) Eremua, ibiltartea eta grafikoa. a) = 6 b) Er f = ; Ib f = = 6 Zenbaki erreal bakoitzari alderantzizkoa gehi egokitzen dion funtzioa emanda: a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Kalkulatu eremua eta ibiltartea. c) Zer irudi du zenbakiak? (Gogoratu ezin dela zati egin.) a) = + b) Er f = {}; Ib f = {} c) f() = + =, Adierazi grafikoki zenbaki erreal bakoitzari negatiboa bada eta positiboa bada + egokitzen dion funtzioa. a) Zer irudi du zenbakiak? Eta k? b) Marraztu grafikoa. c) Kalkulatu eremua eta ibiltartea. a) f() = ; f( ) = b) 6 c) Er f = {}, ez delako ez zenbaki positiboa ez negatiboa; Ib f = {, }, bi balio baino ez dituelako hartzen: eta.
Funtzioak Adierazi grafikoki funtzio hauek eta kalkulatu ardatzekiko ebakidura-puntuak. a) = 6 b) = + c) = d) = a) ardatzarekiko ebakidura-puntua: = 6 = = (, ) ardatzarekiko ebakidura-puntua: = = 6 = 6 (, 6) = 6 b) ardatzarekiko ebakidura-puntua: = + = = (, ) ardatzarekiko ebakidura-puntua: = = + = (, ) = + c) ardatzarekiko ebakidura-puntua: = = = (, ) ardatzarekiko ebakidura-puntua: = = = = (, ) = d) ardatzarekiko ebakidura-puntuak: = = =± ardatzarekiko ebakidura-puntua: = = = (, ) ( +, ) (, ) = Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak = + 6 funtzioak? ardatzarekiko ebakidura-puntuak: = + 6 = = ± = ± = Ebakidura-puntuak (, ) eta (, ) dira. ardatzarekiko ebakidura-puntua: = = + 6 = 6 (, 6) Adierazi grafikoki =. Zer hautematen da? Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak? = ardatzarekiko zuzen paraleloa da, eta ardatza (, ) puntuan ebakitzen du. 6
ERANTZUNAK 6 Funtzio hau dugu: = =. Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak. ardatzarekiko ebakidura-puntuak: 8 = = Ez du ebazpenik, ez du ebakitzen. ardatzarekiko ebakidura-puntuak: 8 = = Ez dago definituta, ez du ebakitzen. = funtzioak zer puntutan ebakitzen du? Eta = + funtzioak? Eta = funtzioak? Emaitza horiek jakinik, zure ustez, zer puntutan ebakiko du ardatza = 7 funtzioak? ardatzarekiko ebakidura-puntuak: = = = (, ) = = + = (, ) = = = (, ) = 7 funtzioak (, 7) puntuan ebakitzen du ardatza. 7 Zenbat ebakidura-puntu izan ditzake funtzio batek ardatzarekiko? Eta -rekiko? ardatza behin bakarrik ebaki dezake funtzio batek, bestela zenbakiak irudi bat baino gehiago izango lituzke. ardatza infinitu aldiz ebaki dezake. 8 Behatu -7 aldiko patata kilogramoaren prezioari (eurotan). Adierazi datuak grafiko batean, eta aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna. Urtea Prezioa,,6,7 6,9 7,6,7 Gorakorra da (, ) eta (6, 7) tarteetan. Beherakorra da (, 6) tartean.,, 6 7 9 Marraztu funtzio baten grafikoa, jakinik gorakorra dela (, ) eta (6, 8) tarteetan, eta beherakorra, (, 6) eta (8, ) tarteetan. = f() 6 8 7
Funtzioak Taulan, urtearen lehen bost hiletako auto-salmentak ageri dira. Datuak grafikoki adierazi gabe, aztertu funtzioaren gorakortasuna eta beherakortasuna. Hila Salm. E. F.87 M.69 A.6 M. Beherakorra da taulan adierazitako eremu osoan (urtarriletik maiatzera arte). Adierazi grafikoki = funtzioa, eta aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna. Konstantea al da tarteren batean? = Beherakorra da bi adarretan; hiperbola bat da. Ez du tarte konstanterik. Zehaztu funtzioaren maimoak eta minimoak. Funtzioak minimoak ditu abzisa-puntu hauetan: =, eta. = puntuan minimo absolutua du, eta beste bietan, erlatiboak. Funtzioak maimoak ditu abzisa-puntu hauetan: =,, eta. = puntuan maimo absolutua du, eta beste hiruretan, erlatiboak. Marraztu = eta = -n maimoak, eta = eta = -n minimoak dituen funtzioa. 8 6 7 Marraztu periodoko funtzio bat eta periodoko beste funtzio bat. periodokoa: periodokoa: 6 8 8
ERANTZUNAK 6 Marraztu erlojuaren orratzek : eta : orduen artean osatutako angelua neurtzen duen funtzioaren grafikoa. Zer maimo eta minimo ditu? 8 9 Adierazi grafikoki balio-taularen bidez emandako funtzioa. Funtzio simetrikoa al da? m s 6 min 7 s 98 min s min s 7 7 Demagun angelu zorrotza hartu dugula. Maimoak hauek dira, guti gorabehera: : h ( h min s) eta : h ( h 8 min s); minimoa, berriz: : h. 6 Funtzio simetrikoa da ardatzarekiko. 7 8 9 Aztertu funtzio hauen simetriak. a) = b) = c) = a) f () = f ( ) = f () Funtzio bikoitia f ( ) = b) f () = f ( ) = f () Funtzio bikoitia f ( ) = ( ) = c) f () = f ( ) f () Funtzio ez-bikoitia f ( ) = ( ) = f ( ) = f () Funtzio bakoitia Izan al daiteke funtzio bat ardatzarekiko simetrikoa? Arrazoitu erantzuna. Ezin da, -ren balio bakoitzak bi irudi izango lituzkeelako, eta beraz, ez litzateke funtzioa izango. ARIKETAK Zehaztu zer erlaziok adierazten duten funtzio bat. Arrazoitu erantzuna. a) Zenbaki positibo bat eta haren erro koadroa. b) Zenbaki positibo bat eta haren erro kuboa. c) Zenbaki negatibo bat eta haren balio absolutua. d) Piramide baten oinarriaren alde kopurua eta ertz kopuru osoa. a) Korrespondentzia da. Zenbaki positiboak erro positibo eta negatibo bana ditu. b) Funtzioa da. Zenbaki batek erro kubo bakar bat du. c) Funtzioa da. Zenbaki negatibo bakoitzak balio absolutu bat du, zenbakia bera zeinua aldatuta. d) Funtzioa da. Ertz kopurua alde kopuruaren bikoitza da eta alde kopuru bakoitzari ertz kopuru bakar bat dagokio. 9
Funtzioak Idatzi funtzioen hiru adibide eta adierazi zein diren funtzio bakoitzeko aldagaiak. Auto baten abiadura eta km egiteko behar duen denbora. Zenbaki oso baten zatitzaileak; aldagaia: zenbaki osoa, : zatitzaileak. Laino baten altuera eta tanta bat eurik erortzen zenbat denbora behar duen. EGIN HONELA NOLA IDENTIFIKATZEN DA FUNTZIO BAT ADIERAZPEN GRAFIKOAREN BIDEZ? Adierazi funtzioak diren ala ez grafiko hauek. a) b) LEHENA. -ren balioren bati -ren balio bat baino gehiago dagokion zehaztu behar da. a) b) BIGARRENA. Hala bada, grafikoa ez da funtzio batena. Balio bakarra badagokio, berriz, grafikoa funtzio batena izango da. Beraz, b) funtzioa da eta a) ez. Adierazi zein diren funtzioak eta zein ez. a) c) b) d) a) Ez da funtzioa. b) Funtzioa da. c) Ez da funtzioa. d) Funtzioa da.
ERANTZUNAK Idatzi magnitude hauen arteko erlazioaren adierazpen aljebraikoa. a) Zirkunferentzia baten erradioa eta luzera. b) Esfera baten erradioa eta bolumena. c) Zirkulu baten azalera eta erradioa. a) = π b) = π c) =π Zenbaki bakoitzari zenbakiaren eta en baturaren alderantzizkoa egokitzen dion funtzioa emanda: a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Funtzioak ba al du baliorik = bada? a) = + b) Bai, = Piramide baten erpin kopuruaren eta ertz kopuruaren arteko erlazioa. a) Funtzioa al da? Egin balio-taula eta adierazi grafikoki. b) Idatz al daiteke funtzioaren adierazpen aljebraikoa? a) Bai, funtzioa da. Ertzak 9 7 7 9 Erpinak Erpinak Ertzak 6 8 6 7 8 9 6 b) = ( ), bada. 6 Adierazi funtzio hauek, ahalik modu gehienetan. a) = + b) = + c) = + + d) = a) c) b) d) Ariketa honetako adibideak erabiliz, funtzio bat zenbait modutan nola adierazten den praktikatzea gomendatzen da, funtzio mota arruntenak ageri baitira.
Funtzioak 7 Zorro bat patata frijituk, balio du. Adierazi aljebraikoki Zorro kopurua Prezioa funtzioa, eta egin balio-taula eta grafikoa,,,, =, 8 Egin 6 m -ko azalera duten laukizuzenen luzeren eta zabaleren balio-taula. Adierazi aljebraikoki Luzera Zabalera funtzioa eta egin grafikoa. 8 Luzera Zabal. 8 9 6 6 9 8 = 6 6 6 8 9 Aztertu funtzio hauen jarraitutasuna. Ba al dute etenunerik? a) b) a) Ez da jarraitua. Bi etenune ditu = eta = puntuetan. b) Ez da jarraitua, jauzi bat du = puntuan. Eneko gaio dago eta egunean aldiz hartu diote tenperatura, egunez. Grafikoan ageri diren puntuak lortu dituzte? Elkar al daitezke puntuak? Funtzio jarraitua ala etena izango da? Tenperatura ( C) 9 8 7 6 Bai, elkar daitezke puntuak. Aldagaiak jarraituak dira eta grafikoa ere bai. 6 8 6 8 6 66 7 Denbora (h)
ERANTZUNAK Idatzi bi funtzio hauen eremua eta ibiltartea. a) b) 6 8 6 8 a) Eremua = [, 8] (, ) (, 6) = [, ] + [, ] + [6, 8] Ibiltartea = [, ] + {} b) Eremua = [, 7] (, ) = [, ] + [, 7] Ibiltartea = [, ] EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA FUNTZIO BATEN EREMUA, ADIERAZPEN ALJEBRAIKOTIK ABIATUTA? Kalkulatu funtzioen eremua. + a) = b) = c) = + LEHENA. Adierazpen mota aztertu behar da. a) = Adierazpen polinomikoa da. b) = + Izendatzailean aldagaia duen adierazpena da. + c) = aldagaia erro koadro baten errokizunean duen adierazpena. BIGARRENA. Eremua kalkulatu behar da, adierazpen mota aintzat hartuta. a) Adierazpenak zenbaki erreal guztietarako daude definituta: Er f = R. b) Zatiketa bat ez dago definituta izendatzailea bada; beraz, funtzioa ez dago definituta = puntuan: Er f = R {}. c) Erroketak zenbaki positiboetarako bakarrik daude definituta; beraz, funtzioa definituta dago edo handiagoa bada : Er f = [, + ). Kalkulatu funtzio hauen eremua. a) = + c) b) = d) a) R c) [, + ) b) R {} d) [, + ) +
Funtzioak Aztertu = funtzioaren jarraitutasuna, eta lortu eremua eta ibiltartea. Funtzio jarraitua da; eremua: R; ibiltartea: R. = Aztertu funtzio honen jarraitutasuna: =. Lortu eremua eta ibiltartea. Er f = {} = Ib f = {} Funtzioa jarraitua da tarte honetan: {}. = 6 Funtzio hau dugu: f( ) = + : a) Egin balio-taula bat. c) Marraztu grafikoa. b) Aztertu jarraitutasuna. d) Zehaztu eremua eta ibiltartea. a) c) b) Jarraitua da eremu osoan. d) Er f = [, + ) Ib f = [, + ) 6 = + 7 Kalkulatu funtzioen ebakidura-puntuak ardatzekiko. a) = c) = e) = 8 b) = d) = ( ) f) = a) = ardatza = = = P(, ) ardatza = = = Q b) = ardatza = = P(, ) ardatza, ez du ardatz horrekiko ebakidura-punturik. c) = ardatza = = = P(, ) ardatza = = =± Q(, ) eta Q'(, ) d) = ( ) ardatza = = ( ) = 9 P(, 9) ardatza = = ( ) = Q(, ) e) = 8 ardatza = = 8 P(, 8) ardatza = 8 = = Q(, ) f) = ardatza = = P(, ) ardatza, ez du ardatz horrekiko ebakidura-punturik.
ERANTZUNAK 8 Aztertu funtzio honen gorakortasuna. Funtzioa gorakorra da [, ] eta [, 8] tarteetan; beherakorra [, ] tartean eta konstantea (, )-n. 6 7 8 9 Behatu behean ageri den funtzioaren grafikoari. 7 6 6 7 8 9 a) Zehaztu eremua eta ibiltartea. b) Funtzio jarraitua al da? c) Aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna. d) Adierazi maimoak eta minimoak, baldin baditu. a) Er f = [, ]; Ib f = [, 7] b) Jarraitua da eremu osoan. c) Gorakorra: [, ] [, ] [, 6] [8, ]. Beherakorra: [, ] [, ] [6, 8]. d) Maimoak ditu =, = eta = 6 puntuetan. Minimoak ditu =, = eta = 8 puntuetan. 6 Osatu bi grafikoak, ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat lortzeko, kasu bakoitzean. a) b) a) b)
Funtzioak 6 Gerta al daiteke funtzio bat ardatzarekiko eta jatorriarekiko simetrikoa izatea? Baietz uste baduzu, idatzi adibide bat. = funtzioarekin soilik gertatzen da; izan ere: f( ) = f( ). 6 Adierazi hauetako zein diren funtzio periodikoen grafikoak. a) c) b) d) Periodikoak dira a) eta c) ataletako funtzioak, eta ez dira periodikoak b) eta d) ataletakoak. 6 Aztertu magnitude pare hauek lotzen dituzten funtzioen ezaugarriak: a) Heagono erregular baten aldea eta azalera. b) Karratu baten aldearen luzera eta diagonala. c) Zenbaki erreal bat eta haren kuboa. d) Zenbaki erreal bat eta haren erro koadroaren hirukoitza. a) P a A = 6l l l = = Funtzio jarraitua eta gorakorra da eremu osoan Er f = b) d = l = l funtzioa jarraitua eta gorakorra da Er f = c) = Er f = ; Ib f = Jarraitua eta gorakorra da, ez du maimo eta minimorik, eta simetrikoa da jatorriarekiko. d) = Er f = + = [, + ) Ib f = + = [, + ) Jarraitua eta gorakorra da, eta ez du maimorik eta minimorik. 6
ERANTZUNAK 6 Aztertu funtzio hauen ezaugarriak. a) = c) = + + e) = ( ) b) = d) = f) = a) = Er f = ; Ib f = Jarraitua eta beherakorra da, eta ez du maimorik eta minimorik, ez eta simetriarik ere. b) = Er f = ; Ib f = Jarraitua eta gorakorra da, ez du maimorik, ez minimorik, ez simetriarik. c) = + + Er f = ; Ib f = Jarraitua da, beherakorra -tik era arte, gorakorra etik + -ra arte, eta minimo bat du = puntuan. Ez da simetrikoa ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere. d) = Er f = {}; Ib f = { } Jarraitua eta beherakorra da, ez du simetriarik ardatzarekiko, eta simetrikoa da koordenatu-jatorriarekiko. e) = ( ) Er f = ; Ib f = Jarraitua da, beherakorra -tik era arte, gorakorra etik + -ra arte, eta minimo bat du = puntuan. Ez da simetrikoa ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere. f) = Er f = ; Ib f = Jarraitua eta gorakorra da, ez du simetriarik ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere. 6 Aztertu funtzio hauek. bada a) = (-ren balio absolutua) b) = > bada a) = = < bada > bada Er f = ; Ib f = [, + ) Jarraitua da. Beherakorra (, )-n eta gorakorra (, + )-n. Minimo absolutu bat du = puntuan. Simetrikoa da ardatzarekiko. b) = bada > bada = Er f = ; Ib f = [, + ) Jarraitua da. Beherakorra (, )-n eta gorakorra (, + )-n. Minimo absolutu bat du = puntuan. Ez du simetriarik. = = 7
Funtzioak 66 EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA GRAFIKOKI FUNTZIO BAT, HAREN ZENBAIT EZAUGARRI JAKINDA? Adierazi funtzio bat grafikoki, datu hauekin. Er f = R (, ), (, ) eta (, ) puntuetatik igarotzen da. Minimo bat du (, ) puntuan. Maimo bat du (, ) puntuan. LEHENA. Funtzioaren puntuak grafikoki adierazi behar dira. BIGARRENA. Funtzioaren maimoak eta minimoak marraztu behar dira. Minimoak adierazteko, arku bat erabiltzen da, zati ahurra behera begira duela. Maimoak adierazteko, zati ahurra gora begira dutela erabiltzen dira. HIRUGARRENA. Funtzioa grafikoki adierazteko, grafikoaren norabidea eta zer puntutatik igarotzen den erakusten duten geziei jarraitu behar zaie. 67 Adierazi grafikoki funtzio hau: Er f = R (, ) eta (7, ) puntuetatik igarotzen da. Minimoak ditu (, ) eta (6, ) puntuetan, Maimo bat du (, ) puntuan. 7 68 Adierazi grafikoki ezaugarri hauek dituen funtzioa. Er f = R (, ) eta (, ) puntuetatik igarotzen da. Gorakorra da = ra arte, (, ) tartean; eta beherakorra, = tik aurrera. 7 9 8
ERANTZUNAK 69 Marraztu funtzio periodiko bat, (, ) eremua eta (, ) ibiltartea dituena. Bat baino gehiago al dago? Infinitu ebazpen daude. 7 Adierazi grafikoki ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat, beti gorakorra dena. Egin al daiteke? Ezin da, balio positiboetarako gorakorra bada, negatiboetarako beherakorra izango da, eta alderantziz, ardatzarekiko simetrikoa delako. a > b > bada, f(a) > f(b) izango da, gorakorra eta ardatzarekiko simetrikoa delako. Dena den, f( a) > f( b) baldintza ezinezkoa da, funtzioa gorakorra delako; izan ere, b > a. 7 Ikastete batean, eraikin nagusiaren itzalaren luzera neurtu dute, ordu oro, neguko egun batean (8:etatik aurrera gaua da). Lortutako datuak taulan ageri dira. Ordua Luzera 8 9 8 6 6 6 7 a) Adierazi grafikoki. b) Funtzio jarraitua ala etena da? c) Aztertu funtzioaren ezaugarriak. a) 9 7 9 7 9 7 b) Jarraitua da. c) Beherakorra da eguzkia atertzen denetik : arte, eta ordu horretatik eguzkia sartu arte gorakorra da. Minimo bat du :etan. Eremua adierazitako eguzki-ordu guztiek osatzen dute. 9
Funtzioak 7 Tren batek bi hiriren (A eta B) arteko ibilbidea egiten du. A-tik 7:etan atera eta abiadura konstantean abiatzen da B-rantz; minutuan iristen da. Gero, minutu geldirik egon eta B-tik A-rantz abiatzen da; minutuan iristen da. minutu geroago, B-rantz ateratzen da, berriro ere. a) Adierazi grafikoki Denbora A hiriarekiko distantzia funtzioa. b) Egin funtzioaren azterketa osoa. a) Distantzia 6 8 Denbora (min) b) Funtzioa jarraitua da eremu osoan. Gorakorra da tarte hauetan: (, ), (, 6) Konstantea da tarte hauetan: (, 6), (, ), (6, 8) Beherakorra da tarte hauetan: (6, ), (8, )... c) Bai, funtzio periodikoa da; periodoa: T = minutu. 7 Grafikoan, urtearen hil bakoitzean udalek etebizitzak egiteko emandako gainazala ageri da (milioika m -tan). a) Aztertu jarraitutasuna. b) Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak? c) Aztertu gorakortasuna. 9 d) Seinalatu maimoak eta minimoak, U O M A M E U A I U A A eta adierazi absolutuak ala erlatiboak diren. e) Zer hiletan eman ziren milioi metro koadro baino gehiago? Zer hilen artean erregistratu zen gorakadarik handiena? a) Funtzio jarraitua da. b) Ez du ardatza ebakitzen; ardatza (E; 8,) puntuan ebakitzen du. c) Gorakorra da urtarriletik otsailera, martotik apirilera, ekainetik uztailera eta abuztutik urrira. Beherakorra da otsailetik martora, apiriletik ekainera, uztailetik abuztura eta urritik abendura. d) Maimo erlatiboak: otsaila, apirila, uztaila eta urria. Maimo absolutua: urria. Minimo erlatiboak: martoa, ekaina eta abuztua. Minimo absolutua: urtarrila. e) milioi metro koadro baino gehiago: urrian, azaroan eta abenduan. Gorakadarik handiena abuztuan eta irailan erregistratu zen. 6
ERANTZUNAK 7. m-ko lasterketarako entrenamenduan, taulan ageri diren denborak egin ditu atleta batek. Denbora (s) Espazioa (m) 6 9 6 a) Adierazi datuak grafiko batean. b) Abiadurari eusten badio, zenbat denbora beharko du. m egiteko? c) Idatzi egindako espazioa eta erabilitako denbora lotzen dituen adierazpen aljebraikoa. a) b) t =. : 6, = 6, s = 7 min, s 9 7 7 9 c) = 6, 7 Zer grafiko dagokio flasko bakoitza betetzeari? Altuera Altuera Altuera Altuera Bolumena Bolumena Bolumena Bolumena a) Kono bat da. Bolumena handitu ahala, altuera gero eta azkarrago handitzen da. Grafikoa hau da: Altuera Bolumena b) Beheko zatia zilindroa da; bolumena proportzionala da altuerarekiko. Gero, kono bat da; beraz, bolumena handitu ahala, altuera gero eta azkarrago handitzen da. Grafikoa hau da: Altuera Bolumena 6
Funtzioak c) Esfera bat da. Esfera betetzean, altuera azkarrago handitzen da hasieran eta bukaeran, poloetatik hurbil. Grafikoa hau da: Altuera Bolumena d) Alderantzizko kono bat da. Bolumena handitu ahala, altuera gero eta mantsoago handitzen da. Grafikoa hau da: Altuera Bolumena 76 Funtzio bat jarraitua bada: a) Funtzioak ardatza aldiz ebakitzen badu, zenbat maimo izan beharko ditu gutienez? b) Funtzioak ez badu konstantea den tarterik, zenbat aldiz ebaki dezake gehienez ardatza, minimo baditu? a) ardatzeko lau ebakidura-puntuek hiru tarte mugatzen dituzte; funtzioa jarraitua denez, tarte horietan maimo eta minimo bat izan behar ditu, gutienez. Bi minimo eta haien artean maimo bat baditu lortzen da maimo kopururik tikiena. b) minimo dituenez, gehienez maimo ditu, eta funtzio jarraitua denez, minimo bakoitza maimoren artean egongo da. Maimo bakoitzak ardatzean ebakidura-puntu egotea eragin dezake, eta beraz, gehienez 8 ebakidura-puntu izango ditu ardatzean. 77 Funtzio bikoiti baten balioa 7 izan al daiteke, = bada? Eta bakoiti batena? Ez, funtzio bakoitia bada jatorriarekiko simetrikoa izango da, eta (, 7) puntutik ere pasatu beharko du, eta hori ezinezkoa da zenbakiak irudi bat baino gehiago izango lukeelako. ardatza ebakitzen duten funtzio bakoiti guztiek (, ) puntuan ebakitzen dute. 6
ERANTZUNAK 78 Funtzio jakin bati buruz badakigu Irudi multzoko elementu guztiak positiboak direla. Gainera: f( + ) = f() f() f = bada, zer balio du f()-k? Eta f()-k? = = + = f f f f( ) = f( ) f( ) = = = + = f f f = f f f( ) f = f = = =.768 f = = EGUNEROKOAN 79 Amaiak aurrezkiak inbertitzea erabaki zuen. urtean. Bi finantza-produktu zituen aukeran: epe finkorako gordailua eta inbertsio-funtsa. EPE FINKORAKO GORDAILUA IRAUPENA: URTE ERRENTAGARRIT.: % URTEKO % PARTAIDETZA:,8 Inbertsiofuntsa ERRENTAGARRI- TASUN HANDIA Epe finkorako gordailuaren iraupena urtekoa zen. Denbora-tarte hori pasatu ondoren, bankuak gordailatutako kapitala gehi % eko interesak itzuliko lituzke. Dirua lehenago ateraz gero, bankuak % ko interesa eskaintzen du urteko. Bestalde, inbertsio-funtsak ez zuen errentagarritasun finkorik eta interesa burtsa-adierazleen arabera alda liteke. Azkenik, Amaiak inbertsio-funtsa aukeratu zuen eta.9 partaidetza erosi zituen. 6
Funtzioak Atzo, inbertsio-funtsari buruzko azken urteotako informazioa jaso zuen. Informazioan, grafiko hau ageri zen. Prezioa partaidetzako ( ) 9 8 7 6 99 6 Urtea Grafikoa ikusita, hobea al zen epe finkorako gordailuan inbertitzea?. urteaz geroztik, zer unetan ematen zuen errentagarritasun hobea epe finkorako gordailuak? Aukera dirua atertzeko unearen araberakoa da. Esate baterako, osoan zehar, eta eta ko ia hil guztietan errentagarriena epe finkorako gordailua izango zen. 8 Komunikabideen Institutu Nagusiak (KIN) inkesta bat egin du entzuleen artean eta inkestaren emaitzen berri eman du. Grafikoan, herrialdean audientzia handiena duten bi irratien entzule kopurua (milioitan) ageri da. Entzule kopurua (milioiak) Irrati berdea Irrati gorria 8 6 Orduak 6
ERANTZUNAK Hona hemen bi irrati-kateen eguneroko programazioa. IRRATI BERDEA h Kultura 7 h Musika 7 h Albisteak h Elkarrizketak h Albisteak 6 h Kirolak 6 h Umorea h Albisteak h Kirolak IRRATI GORRIA h Elkarrizketak 7 h Umorea 7 h Musika h Albisteak h Kirolak 6 h Kultura 6 9 h Kirola 9 h Albisteak h Musika h Zinema Zer ondorio atera dituzu grafikoa eta programazioak aztertu ondoren? Nola aldatuko zenituzke kateen programazioak, audientzia handitzeko? Kirol-programen eta albisteen bidez lortzen da audientzia handiena, eta tikiena, berriz, kulturaeta umore-programen bidez. Irratiek horrelako edukiak dituzten programa gehiago jartzea da gomendagarriena, audientzia handiagoa izateko. 6