Τα παρακάτω θέματα αποτελούν ασκήσεις προαγωγικών εξετάσεων της Γ Γυμνασίου σε κάποια σχολεία της Ελλάδας. 1.Δίνεται η παράσταση: A x 1 x x 1x 1 α)να αποδείξετε ότι Ax 11 β)να λύσετε την εξίσωση A 1x γ)να απλοποιήσετε την παράσταση : A 1 x 1.Δίνεται το πολυώνυμο Px x x x x x α)να αποδείξετε ότι P x x x 6 β)να λύσετε την εξίσωση Px 0 1 11 γ)να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.α.να λυθεί το σύστημα: x y x y 4 4xy9, P x x x 6 Β.Αν xy είναι η λύση του παραπάνω συστήματος, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 1 1 A 01 01 x y 4.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Στη βάση ΒΓ του τριγώνου παίρνουμε σημεία Δ και Ε έτσι ώστε ΒΔ=ΕΓ όπως φαίνεται στο σχήμα. Α.Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΔΕ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Β.Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΔΕ, να αποδείξετε ότι το Μ ισαπέχει από τις πλευρές ΑΔ και ΑΕ του τριγώνου ΑΔΕ.
.Να λυθεί το σύστημα: x y y 6 x y y 0 4 6.Δίνεται το πολυώνυμο : Ax x x x xx α)να δείξετε ότι : A x x 10x 4 1 6 β)να λύσετε την εξίσωση x 10x 4 0 γ)να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: Bx x 18x δ)να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: ε)να απλοποιήσετε την παράσταση: τιμές του χ που έχει νόημα. 7.Δίνονται οι παραστάσεις: x x x x x x x x x 9 A x x 10x 4 x 10x4 x x 18 A 1, x και Β= : με x 0,x -,x α)να αποδείξετε ότι A x β)να αποδείξετε ότι Β=x+1. γ)να βρείτε τις τιμές του χ ώστε να ισχύει Α=Β. 8.Δίνονται τα πολυώνυμα: Px x 1 x x x Q( x) ( a ) x a 1 α)να αποδείξετε ότι : Px x x 1 β)αν Px Qx να υπολογίσετε τα α και β. 9.Δίνεται η παράσταση : A x x x x 1 : x x x 1 x 1 α)να λύσετε την εξίσωση : x x 0 β)να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις x x, x, x x, x x 1 γ)να αποδείξετε ότι A. για τις
10.Δίνονται οι παραστάσεις: A x x x 10 και B=x 0 α)να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις Α και Β. β)ι)να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται το κλάσμα. ιι)να αποδειχθεί ότι A x x και x - B x γ)να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει 1. 11.Να λυθεί το σύστημα: xy 1 x y x y 4 7 1.Θεωρούμε τις παραστάσεις: A x y y xx y x y και B x y x 4y α)να αποδείξετε ότι: A B x y β)να λύσετε το σύστημα: AB x y1 A B 1.Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ//ΒΓ, ΑΒ=χ, ΑΔ=, ΑΕ=χ+1, ΕΓ=4.Να υπολογιστεί το χ. A B
14.Να λυθεί η εξίσωση : 1.Να λυθεί το σύστημα: x y x y x 10 x 4y y 4x 1 x 1 x x 1 1 4x 16.Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει: ότι: A. 4.. 0 10 0 1 70 4 να αποδείξετε 17.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διάμεσοι ΒΔ και ΓΕ. Αν Κ είναι το σημείο τομής των διαμέσων, να αποδείξετε ότι: Α. τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα Β.το τρίγωνο ΒΓΚ είναι ισοσκελές. 18.Δίνονται τα πολυώνυμα: A x x x x x x 1 1 1 1 Bx x x 14x Α.Να δείξετε ότι Ax x x και Bx x x 1 Β.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α(χ) και Β(χ). Γ.Να βρείτε τις τιμές του χ που ορίζεται η αλγεβρική παράσταση και μετά να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση Γ(χ). 19.Αν είναι 90 x 180 και 6ημχ-=0, να υπολογίσετε την γωνία χ. 0.Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχετα από τα σημεία Α(1,-6) και Β(,-)
1.Να λυθεί η εξίσωση: x11 4 x x 8 x 16 x 8.Να λύσετε την κλασματική εξίσωση: x x 1 x x x 4 και 180 70 A.Αν να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 4 4.Α.Να δείξετε ότι η παράσταση B x x x 1 x 14x 1 14x είναι ίση με x Β.Να λυθεί η εξίσωση Β=..Δίνονται τα συστήματα x-y x y1 1 1006 x01 y 01 ( 1) Σ x y 4x 1008 xy01 Α. Να λύσετε το 1. Β. Να εξετάσετε αν η λύση του 1 είναι και λύση του 6. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ=ΑΓ και ΒΔ, ΓΕ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΓΔΒ είναι ίσα. Β.Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες. x
7. Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ και ΑΔ=6, ΔΒ=4, ΔΕ=9 και ΒΓ=χ+1. Α. Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. Β.Να υπολογιστεί το χ. 8.Αν 0 180 και να υπολογιστούν Α. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω. Β. Η τιμή της παράστασης 0 A 180 10 9.Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει Α. Να βρείτε το ημω. 1 Β. Αν το ημίτονο της γωνίας ω είναι Ι)Να βρείτε το συνω και την εφω ΙΙ)Να βρείτε την τιμή της παράστασης K 180 180 0 4 0. Αν γνωρίζετε ότι 90 180 και 4 1 1, τότε Α. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 0 Β. Να αποδείξετε ότι : 4 90
1. Δίνεται το σύστημα: x y x 1 7 x1 y 7 4 1 Α. Να δείξετε ότι το παραπάνω σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα x 6y 9 4xy6 Β. Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.δίνεται η εξίσωση : x x x 10 1 x x x x Α. Να βρείτε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών της. Β.Να βρείτε ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για το χ, ώστε να έχει νόημα η παραπάνω εξίσωση. Γ.Να αποδείξετε ότι εφόσον ισχύουν οι παραπάνω περιορισμοι, η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με την x x 6 0 Δ. Να λύσετε την εξίσωση x x 6 0 Ε.Ποιές από τις λύσεις της εξίσωσης του (Δ) ερωτήματος είναι λύσεις και της αρχικής κλασματικής εξίσωσης;.α.να λυθεί η παρακάτω κλασματική εξίσωση: x1 x 4 x x x x x 4 Β.Αν α η μεγαλύτερη λύση της παραπάνω εξίσωσης και β η μικρότερη λύση να λυθεί το σύστημα: ax y 4 x a y 1 Γ.Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x,y) όπου (x,y) η λύση του παραπάνω συστήματος και είναι παράλληλη στον άξονα y y. 4.Α.Να λυθεί η εξίσωση : x x1 1 x 11x Β.Αν α είναι η μικρότερη και β η μεγαλύτερη τιμή της παραπάνω εξίσωσης, να παραγοντοποιήσετε την παράσταση
1 x y ayx a. Δίνεται το σύστημα: ax y 1 y x 0 Αν γνωρίζετε ότι μια λύση του συστήματος ως προς x και είναι (1,-) να υπολογίσετε τις τιμές των α και β. 6. Α. Να λύσετε την εξίσωση : x x xx 1 xx x Β. Αν α, β οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης με α<β, να a x y 16 λύσετε το σύστημα: x 6 y 7.Α. Να λύσετε την εξίσωση : x x 8x 4 0 Β. Αν το ημίτονο της οξείας γωνίας ω ισούται με μια από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να υπολογίσετε τη γωνία καθώς και το συνημίτονο και την εφαπτομένη της ίδιας γωνίας. 8.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ φέρνουμε τα ύψη ΒΕ και ΓΔ του τριγώνου τα οποία τέμνονται στο Ζ. Α. Να δείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ Β. Να αποδείξετε ότι η ΑΖ είναι διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Δίνονται οι κλασματικές παραστάσεις: x 7 x- 1 B= Γ= 9 x x A x x Α. Να βρείτε για ποιες τιμές των μεταβλητών x, ορίζεται η κάθε μια από τις παραπάνω παραστάσεις. Β. Να λυθεί η εξίσωση: 40.Έστω γωνία ω 90 180 x7 x 1 x 9 x x x ώστε να ισχύει Α. Να βρεθούν το συνω και εφω Β. Να αποδείξετε ότι: 0 0 01 90 014 014 01 90 1 :