Στο δέντρο απόφασης που ακολουθεί βρείτε ποια είναι η βέλτιστη επένδυση, η Α ή η Β.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Στο δέντρο απόφασης που ακολουθεί βρείτε ποια είναι η βέλτιστη επένδυση, η Α ή η Β. ΑΣΚΗΣΗ 2 Mr. and Mrs. Smith, γνωστοί έμποροι αυτοκινήτων, αποφάσισαν να επεκταθούν με το άνοιγμα ενός καινούριου σημείου πώλησης οχημάτων. Έχουν δεχτεί τρεις προσφορές: (i) από μια γερμανική αυτοκινητοβιομηχανία, (ii) από μια αυτοκινητοβιομηχανία των ΗΠΑ, και (iii) από μια βιομηχανία εξειδικευμένη στην κατασκευή φορτηγών. Η επιτυχία του όλου εγχειρήματος εξαρτάται από τη διαθεσιμότητα της βενζίνης τα επόμενα χρόνια και περιγράφεται αναλυτικά στον κατωτέρω πίνακα αποδόσεων: Διαθεσιμότητα Βενζίνης Εναλλακτικές Αποφάσεις Ανεπάρκεια (p 1 = 0.60) Αφθονία (p 2 = 0.40) Γερμανικά αυτοκίνητα $ 300,000 $ 150,000 Αμερικάνικα αυτοκίνητα -100,000 600,000 Φορτηγά 120,000 170,000 Κατασκευάστε ένα δέντρο απόφασης προκειμένου να υποδείξετε στο ζευγάρι τη βέλτιστη απόφαση. ΑΣΚΗΣΗ 3 Το ΔΣ μιας τράπεζας πρόκειται να συζητήσει για το θέμα των πιθανών απωλειών στην περίπτωση ολικής πτώσης του ρεύματος, π.χ. από μια φωτιά. Εκτιμήθηκε ότι σε μια τέτοια περίπτωση, οι απώλειες της τράπεζας μπορεί να φτάσουν μέχρι του ποσού των 100 εκατομμυρίων. Ένα σχέδιο που προτάθηκε στο ΔΣ είναι η εγκατάσταση στα κεντρικά γραφεία μιας ηλεκτρικής γεννήτριας. Το κόστος αγοράς της ανέρχεται στα 800,000, και εάν εγκατασταθεί είναι σίγουρο ότι καμία απώλεια από τέτοια γεγονότα δεν είναι δυνατό να συμβεί. Εντούτοις, εάν η γεννήτρια δεν εγκατασταθεί, υπάρχει πιθανότητα 10% να υπάρξει ολική πτώση του ρεύματος την επόμενη χρονιά. Τότε, με πιθανότητα 0.05 οι απώλειες θα είναι πολύ μεγάλες, της τάξης των 80 εκατομμυρίων, ή με πιθανότητα 0.95 πολύ μικρές, της τάξης του 1 εκατομμυρίου. Κατασκευάστε ένα δέντρο απόφασης, προκειμένου να υποδείξετε στην τράπεζα εάν πρέπει να προχωρήσει στην αγορά της γεννήτριας. ΑΣΚΗΣΗ 4 Η εταιρεία πετρελαιοειδών AOC εξετάζει το ενδεχόμενο να υποβάλει μια προσφορά για ένα συμβόλαιο εξόρυξης 1

πετρελαίου. Η εταιρεία θεωρεί ότι με ένα ποσό της τάξης των 110 εκατομμυρίων θα έχει πιθανότητα 60% να κερδίσει το συμβόλαιο. Εάν η AOC κερδίσει το συμβόλαιο θα πρέπει να επιλέξει ένα τρόπο εξαγωγής του πετρελαίου: ή (i) να αναπτύξει μια νέα μέθοδο, ή (ii) να χρησιμοποιήσει μια υπάρχουσα (όχι τόσο αποτελεσματική) τεχνική, ή (iii) να υπογράψει συμβόλαια με μικρότερες εταιρείες. Τα στοιχεία αυτών των εναλλακτικών λύσεων έχουν ως εξής: Ανάπτυξη Νέας Τεχνικής: Έκβαση Πιθανότητα Κέρδος ( εκατομμύρια) Μεγάλη επιτυχία 0.30 600 Μέτρια επιτυχία 0.60 300 Αποτυχία 0.10-100 Χρήση Υπάρχουσας Τεχνικής: Έκβαση Πιθανότητα Κέρδος ( εκατομμύρια) Μεγάλη επιτυχία 0.50 300 Μέτρια επιτυχία 0.30 200 Αποτυχία 0.20-40 Συμβόλαια: Έκβαση Πιθανότητα Κέρδος ( εκατομμύρια) Μέτρια επιτυχία 1.00 250 Το κόστος για τη σύνταξη της πρότασης για την προσφορά ανέρχεται στα 2 εκατομμύρια. Εάν η εταιρεία δεν υποβάλλει προσφορά, θα επενδύσει το κεφάλαιο με εγγυημένη απόδοση 30 εκατομμύρια. Κατασκευάστε ένα δέντρο απόφασης, προκειμένου να υποδείξετε στην AOC τη βέλτιστη απόφαση. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένας επενδυτής πρέπει να επιλέξει μια επένδυση μεταξύ τριών εναλλακτικών, Α, Β και Γ. Οι αποδόσεις κάθε επένδυσης εξαρτώνται από δύο πιθανές οικονομικές συνθήκες του περιβάλλοντος και δίνονται στον ακόλουθο πίνακα αποδόσεων Συνθήκες Περιβάλλοντος Εναλλακτικές Αποφάσεις S 1 S 2 Α 40 70 Β 60 40 Γ 50-20 Ζητείται 1. Να προσδιοριστεί η αναμενόμενη αξία κάθε εναλλακτικής απόφασης και να υποδειχθεί η άριστη, υποθέτοντας ότι οι πιθανότητες εμφάνισης των μελλοντικών καταστάσεων S 1 και S 2 είναι αντίστοιχα p 1 = 0.70 και p 2 = 0.30. 2. Να προσδιοριστεί, χρησιμοποιώντας την ανάλυση ευαισθησίας, η πιθανότητα της μελλοντικής συνθήκης S 1, για την οποία η εναλλακτική απόφαση Α έχει τη μεγαλύτερη αναμενόμενη αξία. 3. Να καθοριστούν οι τιμές των p 1 και p 2, για τις οποίες ο επενδυτής είναι αδιάφορος μεταξύ των εναλλακτικών αποφάσεων Α και Β. ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένας νέος, σχετικά άγνωστος, σκηνοθέτης ζητά από το Ελληνικό Κέντρο Κινηματογράφου να χρηματοδοτήσει την πρώτη του ταινία μεγάλου μήκους. Η εκτίμηση που υπάρχει στο ΕΚΚ για ταινίες πρωτοεμφανιζόμενων 2

σκηνοθετών είναι ότι, με πιθανότητα 0,10 η ταινία θα γίνει επιτυχία οπότε και θα αποφέρει κέρδος 25 εκατομμυρίων, και με πιθανότητα 0,90 θα αποτύχει οπότε θα υπάρξουν απώλειες 8 εκατομμυρίων. Ύστερα από τη μελέτη του σχετικού σεναρίου, οι συντελεστές του ΕΚΚ αναρωτιούνται αν θα έπρεπε να συμβουλευτούν γνωστό κριτικό κινηματογράφου για την πορεία της ταινίας. Σε γενικές γραμμές, ο κριτικός γράφει καλή κριτική για μια επιτυχημένη τελικά ταινία το 70% των φορών, ενώ γράφει κακή κριτική για μια τελικά αποτυχημένη ταινία το 80% των φορών. Κατασκευάστε ένα δέντρο προκειμένου να βοηθήσετε το ΕΚΚ να λάβει τη σωστή απόφαση. Υποδείξτε την με σαφήνεια, υπολογίζοντας παράλληλα και το αναμενόμενο όφελος από την πρόσληψη του κριτικού (EVSI). 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τους κόμβους 7, 8 και 9 έχουμε: EV(7) = 0.40 300000 + 0.60 60000 = 156000 EV(8) = 0.20 200000 + 0.80 70000 = 96000 EV(9) = 0.35 105000 + 0.65 40000 = 62750 Επομένως για τους κόμβους 4, 6 και 6 θα είναι: EV(4) = max{156000-20000, 45000} = 136000 EV(5) = max{96000-17000, 60000} = 79000 EV(6) = max{62750-9000, 55000} = 55000 Τότε για τους κόμβους 2 και 3 έχουμε: EV(2) = 0.30 136000 + 0.70 75000 = 93300 EV(3) = 0.15 79000 + 0.55 55000 + 0.30 80000 = 66100 Οπότε EV(1) = max{93300-70000, 66100-50000} = 23300 Κατά συνέπεια προτιμότερη είναι η επένδυση Α με αναμενόμενη απόδοση $23,300. 4

ΑΣΚΗΣΗ 2 EV(Γερμανικών αυτοκινήτων) = 240000 EV(Αμερικάνικων αυτοκινήτων) = 180000 EV(Φορτηγών) = 140000 Συνεπώς πρέπει να προτιμηθεί η αντιπροσώπευση της γερμανικής αυτοκινητοβιομηχανίας. 5

ΑΣΚΗΣΗ 3 Πρόκειται για ένα πρόβλημα στο οποίο η βέλτιστη απόφαση αντιστοιχεί στη μικρότερη αναμενόμενη τιμή μεταξύ των δύο εναλλακτικών αποφάσεων. EV(ΟΧΙ Εγκατάσταση) = 495000 EV(Εγκατάσταση) = 800000 Συνεπώς η τράπεζα δεν πρέπει να προχωρήσει στην εγκατάσταση της ηλεκτρικής γεννήτριας. 6

ΑΣΚΗΣΗ 4 7

EV(Νέα Τεχνική) = 0.30 600 + 0.60 300 + 0.10 (-100) 112 = 350 112 = 238 EV(Υπάρχουσα Τεχνική) = 0.50 300 + 0.30 200 + 0.20 (-40) 112 = 202 112 = 90 EV(Συμβόλαια) = 250 112 = 138 Συνεπώς πρέπει να επιλεγεί η εξόρυξη με Νέα Τεχνική. EV(Προσφορά Εξόρυξης) = 0.60 238 + 0.40 (-2) = 142, ενώ δόθηκε ότι EV(Επένδυσης) = 30 Συνεπώς πρέπει να γίνει προσφορά για εξόρυξη. Συνοψίζοντας: Πρέπει να γίνει προσφορά κι αν αυτή γίνει δεκτή να επιλεγεί η εξόρυξη με τη νέα τεχνική. 8

ΑΣΚΗΣΗ 5 1. Για τις τρεις εναλλακτικές επενδύσεις Α, Β και Γ έχουμε αντίστοιχα: EV(Α) = 0.70 40 + 0.30 70 = 49 EV(Β) = 0.70 60 + 0.30 740 = 54 EV(Γ) = 0.70 50 + 0.30 (-20) = 29 Συνεπώς πρέπει να επιλεγεί η επένδυση Β. 2. Έστω p η πιθανότητα εμφάνισης της συνθήκης S 1. Τότε η πιθανότητα εμφάνισης της S 2 θα είναι (1 p). EV(Α) = 40p + 70(1 p) = 70 30p EV(Β) = 60p + 40(1 p) = 40 + 20p EV(Γ) = 50p + (-20)(1 p) = -20 + 70p EV(A) EV(B) EV(Γ) Στο σημείο Α είναι EV(A) = EV(B), οπότε 70 30p = 40 + 20p p = 0.60. Επομένως για p < 0.60 η επένδυση Α έχει τη μεγαλύτερη αναμενόμενη αξία. 3. p 1 = p = 0.60 και p 2 = 1 - p = 0.40. 9

ΑΣΚΗΣΗ 6 10

Σε σχέση με τον κριτικό κινηματογράφου έχουμε: ΚΑΛΗ ΚΡΙΤΙΚΗ ΚΑΚΗ ΚΡΙΤΙΚΗ States of Nature Prior Conditional Joint Posterior Success 0,10 0,70 0,07 0,28 Failure 0,90 0,20 0,18 0,72 0,25 States of Nature Prior Conditional Joint Posterior Success 0,10 0,30 0,03 0,04 Failure 0,90 0,80 0,72 0,96 0,75 Οπότε 11

Δηλαδή, το ΕΚΚ πρέπει να συμβουλευτεί τον κριτικό κινηματογράφου. Εάν ο κριτικός γράψει καλή κριτική τότε το ΕΚΚ πρέπει να χρηματοδοτήσει την ταινία (το αναμενόμενο κέρδος σε αυτή την περίπτωση ανέρχεται σε 1,24 εκατομμύρια ), ενώ εάν ο κριτικός γράψει κακή κριτική τότε το ΕΚΚ δεν πρέπει να χρηματοδοτήσει την ταινία. Σε τελικές γραμμές το ΕΚΚ αναμένει κέρδος (EVSI) της τάξης των 0,31 εκατομμύριων. 12