וקטורים 1.1 נתונים 3 וקטורים: A )1,3( B )4,2( C )3,5( חשב מהו A+B+C חשב מהו A-B-C חשב מהו 2A+3B-4C 1.2 (4,6) A נתון הוקטור הצג את הוקטור בצורתו הפולרית )גודל וכיוון( מהו הוקטור היחידה A בהצגה פולרית. גודלו 52 וכיוונו 56.3 1.3 נתון הוקטור הצג את הוקטור בצורת רכיביו. מהו וקטור היחידה? 1.4 A (3, 4) הוקטור Cנתון הצג את הוקטור בצורתו הפולרית )גודלו וכיוון( מהו וקטור היחידה A שגודלו 5 וכיוונו 120 1.5 נתון הוקטור הצג את הוקטור בצורתו הקרטזית מצא את וקטור היחידה 1.6 נתון הוקטור 4) ( 2, A הצג את הוקטור בצורתו הפולרית.
1.7 נתונים שני וקטורים: הוקטור A שגודלו 10 וכיוונו 30 מעלות הוקטור B שגודלו לא ידוע וכיוונו 350 מעלות מהו גודלו של הוקטור B אם נתון שסכום הוקטורים ייתן וקטור ללא רכיב לציר ה- Y. 1.8 נתונים שני וקטורים בהצגה פולרית A בגודל 10 ובכיוון 30 B בגודל 8 ובכיוון 60 נתון: A+B=C מצא את וקטור C 1.9 מצא את הוקטור השקול לשני המצבים הבאים: הנח כי הוקטורים יוצרים משושה שווה צלעות וגו דל כל צלע הוא L 1.10 נתונים הוקטורים : (2,0,1) D A (1,2), B (1, 3), C ( 1,2, 2), A B A B C D מצא את מצא את מצא את 1.11 נתונים שני וקטורים: A (5,1) (2,3) B חשב A B חשב B A חשב AxB ד( חשב BxA ה( מה משמעות הביטוי?AxBxC
1.12 נתונה מערכת צירים כבשרטוט נתונים שני וקטורים: גודל,10 זווית - 20 A גודל,15 זווית - 60 B חשב A B )מכפלה סקלארית( חשב AxB )מכפלה וקטורית( הסבר מדוע המכפלה הוקטורית נותנת את שטח המקבילית שיוצרים הווקטורים. 1.13 נתונים שני וקטורים: A (2,4) (5,6)B חשב A B חשב A B חשב A ŷ ד( חשב )A B( X 1.14 נתונים שלושה וקטורים: 5)A -4, (2, 10)B (1, 4, 6)C,-4, (-2 ד( חשב את המכפלות הבאות: ה( (A B)xC ו( C (A B) ז( 1.15 נתונים שני וקטורים הוקטור A שגודלו 7 וכיוונו 30 והוקטור B שגודלו 10 וכיוונו 70 מצא את תוצאת המכפלה הסקלארית שלהם בעזרת שתי שיטות שונות. 1.16 נתון הוקטור A כבשרטוט מהו היטלו של הוקטור על הוקטור X )וקטור יחידה(? מהו היטלו של הוקטור על הוקטור ŷ )וקטור יחידה(? מהו היטלו של הוקטור על הוקטור A על הוקטור B (2,1)? ד( הסבר במילים את משמעות ההטלה של וקטור על וקטור.
1.17 נתונים שלושה וקטורים: (2, -4, 5)A (1, 4, 10)B (-2,-4, 6)C חשב את המכפלות הבאות: P=A B L=P C C P 1.18 נתונים שני וקטורים: A (2,4) (5,6)B חשב A B חשב A B חשב A ŷ ד( חשב )A B( X 1.19 נתונים שני וקטורים: A (1,5,10) B (3,4,5) מהו גודלו של כל וקטור? מהי הזווית בין שני הוקטורים? C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos α 1.20 הוכח את משפט פיתגורס המורחב )במשולש שאינו ישר זווית( 1.21 הוכח אם סכום של שני וקטורים מאונך להפרשם אזי אורכם שווה 1.22 נתונים 2 ווקטורים. (2,4,8)A (Bx,By,0)B מצא את רכיבי וקטור B אם נתון כי הוא ניצב לוקטור A וגודלו 10.
1.23 מצא את ערכי הוקטורים כך שהוקטור A והוקטור B יהיו מאונכים לוקטור C. האם שני הוקטורים שמצאת מקבילים? (Ax,4) A (6,By)B (5,8)C 1.24 שני כוחות נתונים פועלים על גוף. (1,4,5) A (3,6,7)B מהו הכוח השקול? מהו גודלו של הכוח השקול? מהי הזווית בין הכוח השקול ובין כל אחד מהצירים? 1.25 נתונים 2 מטענים חשמליים,q1. q2 לחלקיקים מהירות התחלתית: V1: (1,0,0) V2: (1,0,1) החלקיקים נעים בתוך שדה מגנטי B הפועל לכיוון ציר ה- Z החיובי. הכוח שמפעיל הכוח המגנטי על החלקיקים נקרא כוח לורנץ ונוסחתו - F=qvxB מצא את הכוח המופעל על כל אחת מהחלקיקים. 1.26 נתונה פונקציית מיקום f. חשב את גרדיאנט הפונקציה f. 1.27 שני אנשים עומדים במרכזו של קרון נוסע. מיקומי הקרונות )והאנשים שעליהם( מצויינים בוקטורים A ו- B. מהי מהירות הקרונות ביחס לרצפה? מהו המיקום של הקרון הימני כפי שהצופה השמאלי רואה אותו? מהי מהירות הקרון הימני כפי שהצופה השמאלי רואה?
1.28 נתון וקטור (8t, -5t 2 )r של חלקיק מסויים: r ד( ה( ו( מהו רכיב ה- X של הוקטור בזמן? מהו רכיב ה- Y של הוקטור בזמן? מהי מהירותו בציר ה- X? מהי מהירותו בציר ה- Y? האם מהירויות אלה קבועות בזמן? מהו מרחק החלקיק מהראשית לאחר 3 שניות? 1.29 מיקומו של חלקיק נתון ע"י וקטור r. = 5sin ( t), 4t 3 + t 2, 8e t r מצא את וקטור המהירות כפונקציה של הזמן. מהי מהירות החלקיק בt=2? 1.30 וקטור r מתאר מיקומו של חלקיק בזמן. = (5t, 10+t 2 )r t=0 = (0, 10)r ד( מהו מיקום החלקיק בזמן 0=t? מהו מיקום החלקיק בזמן 5=t? מהו ההעתק בחמש השניות הראשונות? מהי מהירות החלקיק בזמן 5=t )בהצגת גודל וכיוון( 1.31 חלקיק נורה מקצה בניין כמתואר בשרטוט. מיקומו של החלקיק נתון ע"י וקטור r. (t)= (5t, 10t-5t 2 )r מהי מהירות ומהי תאוצת החלקיק? מהו המרחק בין הצופה שעומד בתחתית הבניין לבין נקודת הפגיעה של החלקיק ברצפה? מהו מיקום החלקיק בזמן מבחינת אותו צופה? 1.32 מהירותו של חלקיק מתוארת ע"י וקטור המהירות v. = -8sin ( t), 8cos ( t), -9.8tv מצא את מיקום החלקיק בזמן אם נתון כי בזמן נסה לתאר במילים כיצד נראית תנועה זו. 2=t החלקיק נמצא בראשית הצירים. 1.33
תאוצתו של גוף נתונה ע"י וקטור התאוצה a. = 2ta מצא את מיקום החלקיק בזמן אם נתון כי בזמן 0=t החלקיק במנוחה ומיקומו בזמן t=3 הוא.1 40 m/s כלפי מטה. 1.34 קסדתו של צנחן נפלה בטעות מן המטוס. 2 שניות לאחר מכן הצנחן קופץ מהמטוס במהירות התחלתית לאחר כמה זמן הצנחן יגיע לקסדה האבודה? מה יהיה מרחקו מהמטוס בזמן זה? מה היה קורה אילו הצנחן היה קופץ ללא מהירות התחלתית? )הנח כי תאוצת הגרביטציה היא 10( /m s 2 קינמטיקה
2.1 מיקומו של גוף הנע בקו ישר נתון לפי: x(t) = 32te t מצא את הזמן בו הגוף נעצר. מצא את מרחק הגוף ברגע זה מהראשית. כאשר.C>0 v x = c x 2.2 גוף נע בכיוון החיובי של ציר ה- x כך שמהירותו נתונה לפי בזמן 0=t החלקיק נמצא ב 0=x. מה היחידות של C? מצא את המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן. מצא את המהירות הממוצעת בזמן שהחלקיק עבר דרך S. 2.3 מכונית נוסעת במהירות 20 מטר לשניה. מהו המרחק אותו עברה המכונית לאחר 5 שניות? מהי מהירות המכונית במהלך השניה החמישית? מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן? ד( מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן לצופה העומד 200 מטר מהראשית בכיוון הנסיעה? 2.4 משאית יוצאת לתל אביב לחיפה במהירות 50 קמ"ש. באותו הרגע מכונית יוצאת מחיפה לתל אביב במהירות 80 קמ"ש. המרחק בין תל אביב לחיפה הוא 100 ק"מ. מתי שני הרכבים יגיעו ליעדם? מתי שני הרכבים יגיעו לנתניה? )המרוחקת 60 ק"מ מחיפה( מתי והיכן יפגשו שני הרכבים? 2.5 שתי מכוניות מרוץ נמצאות במרחק 100 ק"מ אחת מהשניה. כמה זמן יקח למכונית במקום השני להגיע למכונית הראשונה אם נתון כי מהירות המכונית הראשונה היא 40 m/s ומהירות המכונית השניה היא 50. m/s 2.6 אדם נמצא בנהר ברוחב 10m. מהירות הנהר היא 3. m/s חברו נמצא בדיוק מולו בגדה השניה של הנהר והאדם שוחה לעברו. לאחר כמה זמן יגיע השחיין לגדה השניה, אם נתון כי האדם שוחה לכיוון ניצב לגדה במהירות 20. m/s 2.7 חבילת סיוע נזרקת ממטוס לעבר מטרה.
המטוס טס בגובה 1000m. מהירות המטוס היא 300m/s ומהירות נפילת החבילה היא 50. m/s כמה זמן תשהה החבילה באוויר? מהי מהירות התקדמות החבילה? מהי הדרך אותה עוברת החבילה וכמה זמן תנועה זו נמשכת? 2.8 מכונית מתחילה ממנוחה ומאיצה בתאוצה של 20 מטר לשניה בריבוע. מהו המרחק אותו עברה המכונית לאחר 5 שניות? מהי מהירות המכונית לאחר חמש שניות? מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן? ד( מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן לצופה העומד 200 מטר מהראשית בכיוון הנסיעה? ה( מתי תגיע המכונית לצופה השני? 2.9 נתונות שתי מכוניות. מכונית א' נוסעת במהירות קבועה של 100 מטר לשניה. מכונית ב' מתחילה ממנוחה ומאיצה ב 10 מטר לשניה בריבוע. שתי המכונית מתחילות בזמן 0 בראשית הצירים. רשום את מהירות שתי המכוניות כפונקציה של הזמן. רשום את מיקומי שתי המכוניות כפונקציה של הזמן. מתי שתי המכוניות יפגשו? ד( מה מהירותן של שתי המכוניות ברגע המפגש? 2.10 מכונית מתחילה לנוע ממנוחה בתאוצה של /5m s 2 ונעה בקו ישר במשך 4 שניות. לאחר מכן המכונית נעה במהירות קבועה למשך 8 שניות נוספות, ולבסוף מאטה במשך 2 שניות בתאוצה קבועה עד שהיא נעצרת. ד( ה( ו( ז( ח( רשום פונקציית תאוצה-זמן שרטט גרף תאוצה-זמן רשום פונקציית מהירות-זמן שרטט גרף מהירות-זמן מצא את מהירות המכונית בשניה ה- 3, 8, ו- 13. רשום פונקציית מיקום-זמן שרטט גרף מיקום-זמן מהי הדרך שעברה המכונית מתחילת תנועתה ועד שנעצרה? 2.11 הגרף הבא מתאר את מהירותה של מכונית כפונקציה של הזמן:
מצא את המרחק הכולל אותו עברה המכונית. מצא את x(t) ושרטט גרף )מיקום המכונית כפונקציה של הזמן(. מהי המהירות הממוצעת של המכונית ב 8 השניות הראשונות של תנועתה? ד( שרטט באופן סכמתי גרף המתאר את תאוצת המכונית כפונקציה של הזמן. 2.12 עכביש וצפרדע נמצאים על ענף בגובה 50m. לפתע נופל העכביש והצפרדע קופצת בעקבותיו לאחר שתי שניות. ד( ה( האם הצפרדע יכולה להגיע לעכביש לפני הגעתו לקרקע? רשום פונקציית מיקום זמן לשני הגופים. מה צריכה להיות מהירותה ההתחלתית של הצפרדע כדי שהיא והעכביש יפגשו יחד בהגיעם לקרקע? רשום פונקציית מהירות-זמן לשני הגופים ושרטט את הגרף )בהתבסס על המהירות שמצאת בסעיף הקודם( מה תהיה מהירות הפגיעה בקרקע לשני הגופים? 2.13 מכונית מאיצה ממנוחה בתאוצה של /5m. s 2 10 שניות לאחר מכן נורה קליע לעבר המכונית. מה צריכה להיות מהירות הקליע כדי שהקליע והמהירות יפגשו פעם אחת בלבד? 2.14 אדם הצופה מחלון ביתו שנמצא בגובה 40m מהקרקע רואה אבן החולפת על פניו גם כלפי מעלה וגם כלפי מטה. הפרש הזמנים בין שני המעברים על פני אותה נקודה הוא 5 שניות. מהי מהירות זריקת האבן מהקרקע? 2.15 חיים משחרר אבן מקומה 10 )גובה כל קומה - 3 מטר(.
משה נמצא בקומה החמישית ומשחרר גם הוא אבן בו זמנית. באילו מהירויות פוגעות שתי האבנים בקרקע? מה הפרש הזמנים בין שתי הפגיעות? כעת משה משחרר את האבן רק ברגע שהאבן של חיים עוברת לידו. מה הפרש הזמנים בין שתי הפגיעות? ד( כמה זמן יהיה על מה משה להמתין מרגע שחרור האבן של חיים, כדי ששתי האבנים יפגעו ברצפה בו זמנית? 2.16 אבן נזרקת כלפי מעלה במהירות של.40m/s היכן תמצא האבן לאחר 3 שניות? מה תהיה מהירותה לאחר 4 שניות? כמה זמן תימשך עלייתה? ד( מהו הגובה המקסימלי אליו תגיע במסלול? ה( באיזה מהירות תגיע חזרה לנקודת הזריקה? ו( לאחר כמה זמן תהיה האבן 5 מטר מתחת לנקודת הזריקה? 2.17 חיים עומד בראש בניין בן 10 קומות וזורק אבן כלפי מעלה במהירות.30m/s ד( מהו שיא הגובה של האבן ביחס לרצפה? )לא לראש הבניין( כמה זמן יקח לאבן להגיע לגובה זה? באיזו מהירות האבן תפגע ברצפה? כמה זמן האבן תשהה באויר? 2.18 נתונה מטרה בגובה H ובמרחק אופקי L מתותח. התותח מכוון בקו ישר אל המטרה. ברגע יריית הקליע משוחררת המטרה והיא מתחילה בנפילה חופשית. הוכח שהקליע יפגע במטרה ללא תלות במהירותו ההתחלתית. מצא את גובה הפגיעה מעל הקרקע,כפונקציה של מהירות הקליע ההתחתלתית. 2.19 תותח נמצא במרחק d מקיר. התותח יורה פגז במהירות v בזווית α מעל האופק והפגז פוגע בקיר. ד( כמה זמן ישהה הפגז באוויר בטרם יפגע בקיר? באיזה גובה הפגז פוגע בקיר? מהי מהירות בפגז בעת הפגיעה בקיר? מהי זווית הפגיעה בקיר?
ה( מהו התנאי על המרחק בין התותח לקיר כך שהפגז יפגע בקיר בטרם הגיע לשיא הגובה במעופו? 2.20 כדור נורה במהירות u בזווית α מעל האופק. מהו גודל מהירות הכדור כפונקציה של הזמן? 2.21 נתונה ציפור העפה בגובה H במהירות V. על האדמה נמצא תותח היורה קליע במהירות U ברגע שהציפור עוברת מעליו. מה צריכה להיות זווית הירייה של התותח על מנת שיפגע בציפור? מה צריך להיות גודלו המינימלי של H על מנת להבטיח שהציפור לא תיפגע מהקליע? 2.22 אבן נזרקת לעבר מדרון משפוע על פי הנתונים כמתואר בשרטוט. נתון כי האבן פוגעת במדרון. היכן האבן פוגעת במדרון? מהי זווית הפגיעה ביחס למדרון? 2.23 חלקיק מתחיל את תנועתו בזמן אפס מראשית הצירים במהירות 10 לכיוון ציר ה- x. על החלקיק פועל כוח שיוצר תאוצה בגודל 20 לכיוון ציר ה- y ובגודל 20 לכיוון ציר ה- x בכיוון השלילי. מתי יגיע החלקיק לנקודת המקסימום בציר ה- x? מה תהיה מהירותו ברגע זה? מה יהיה מיקומו ברגע זה? 2.24 מיקומו של חלקיק בזמן נתון ע"י וקטור r. = (3t, 4t+ 5t 2 )r ד( ה( ו( ז( מהי מהירות החלקיק בזמן מהי מהירותו ההתחלתית של החלקיק? )יש לבטא את התשובה בגודל ובכיוון( מתי החלקיק יגיע לשיא הגובה? מהו שיא הגובה? מתי החלקיק יפגע בקרקע? היכן החלקיק יפגע בקרקע? מה תהיה מהירות הפגיעה בקרקע? )יש לבטא את התשובה בגודל ובכיוון(
2.25 נתון תותח היורה קליע )מהירותו ההתחלתית לא נתונה(. הקליע עובר בין שתי טבעות. גובה הטבעות הוא H, המרחק בין שתי הטבעות הוא D והמרחק אופקי בין התותח לטבעות הוא L. מצא באיזה מהירות נורה הקליע. 2.26 מה צריכה להיות זווית היריה של תותח על מנת שהכדור אותו הוא יורה יגיע למרחק הרב ביותר? 2.27 ילד עומד בתחתית של ההר הירוק. שיפוע ההר הינו 45 מעלות. הילד זורק כדור במהירות V ובזווית α מעל האופק והכדור פוגע בהר. ד( רשום את משוואת מיקום בזמן של הכדור. היכן פוגע הכדור בהר? כמה זמן שוהה הכדור באויר עד הפגיעה בהר? מה צריכה להיות זווית הזריקה על מנת להגיע למרחק פגיעה מקסימלי? תנועה יחסית 3.1
מכונית נוסעת במהירות של 30 מטר לשנייה בכיוון 30 מעלות עם ציר ה X. אוטובוס נוסע במהירות של 50 מטר לשנייה בכיוון ציר ה X. מצא את המהירות היחסית בין האוטובוס למכונית. מצא את הזווית בה האוטובוס יראה את המכונית נוסעת. 3.2 נהג הנוסע במהירות 100 קמ"ש רואה טיפות גשם נמרחות על השמשה הצדדית של המכונית בכיוון הפוך לכיוון הנסיעה ובזווית של 45 מעלות עם הציר האנך לכיוון הנסיעה. נהג אחר הנוסע במהירות 70 קמ"ש, רואה את טיפות הגשם בזווית 30 מעלות עם אותו הציר. מצא את מהירות הטיפות ביחס לקרקע )גודל וכיוון(. 3.3 נהר זורם צפונה במהירות.Vr יוסי נמצא בגדה המערבית ורוצה להשיט סירה לרוחב הנהר. מהירות הסירה היא Vbr יחסית לנהר. יוסי מעוניין להגיע אל הגדה הנגדית בדיוק מזרחית לנקודת מוצאו. נתון כי רוחב הנהר d. באיזה כיוון הוא יהיה חייב להשיט את הסירה? מה מהירות הסירה יחסית לאדמה? כמה זמן תארך דרכו? דינמיקה
4.1 מצא את יחס המסות כפונקציה של הזווית ואת הנורמל )אין חיכוך(. 4.2 נתון כדור בעל מסה m המונח בתוך קופסא המוטה בזווית הנתונה. פאות הקופסא ניצבות זו לזו. מהו הכוו שמפעילה כל דופן על הכדור? 4.3 שני חרוזים זהים מושחלים על משולש כבשרטוט. מצא את הזווית שבין החוט למשולש ואת המתיחות בחוט אם נתון כי אין חיכוך. 4.4 אדם עומד על חבל המחובר לשני קירות על פי השרטוט. מצא את המתיחות בחבל אם נתון כי האדם ירד 100/L מגובה החבל המקורי. 4.5 מצא את יחס המסות לפי הנתונים שבשרטוט. 4.6 נתונה המערכת שבשרטוט.
אין חיכוך בנקודות המגע בין המסות. קיים חיכוך בין בין המסות לרצפה. מהו מקדם החיכוך המינימלי שישמור על המערכת במקומה? 4.7 נתונה המערכת שבשרטוט. מצא את המתיחות בשלושת החוטים. 4.8 נתונות המסות למערכת שבשרטוט. מצא את הזוויות. 4.9 נתונה המסה שעל המשטח שבשרטוט. נתון מקדם החיכוך בין המסה למשטח. מהי המסה התלויה המקסימלית שתשאיר את המערכת במנוחה? 4.10 נתונה מסה וזווית המדרון. מצא את הנורמל ואת כוח החיכוך. 4.11 נתונה מסה וזווית המדרון.
מהו מקדם החיכוך המינימלי שישאיר את המערכת במנוחה? 4.12 מצא את כוח החיכוך אם נתונות המסות, הזווית ומקדם החיכוך μ. 4.13 נתונה המערכת שבשרטוט ונתון מקדם החיכוך בין המסה למשטח. מהי המסה המקסימלית שניתן לתלות מבלי לגרום לתזוזה במערכת? 4.14 נתונות 3 המסות כבשרטוט. נתון כי המשטח חלק, אך נתון מקדם החיכוך בין שתי המסות. מהי המסה התלויה המקסימלית שתשאיר את המערכת במנוחה? 4.15 שלוש מסות מונחות על משטח חלק אדום דוחף את המסות לתאוצה a. 0 מהו כוח זה? מהם הכוחות המופעלים בין המסות? 4.16 מצא את המתיחות בכל החוטים במערכת הבאה. הנח כי הגלגלת אידיאלית, המסות נתונות ולא קיים חיכוך עם המשטח. 4.17 נתונה המערכת שבשרטוט.
מצא את תאוצת הגופים. 4.18 מסה מחליקה ממנוחה )ללא חיכוך( במורד מישור בעל זווית α עם האופק. מהי תאוצת המסה? מהי התאוצה בכל ציר? 4.18 נתונות המסות של 3 משקולות התלויות כמתאור בשרטוט. הסבר ללא חישוב באיזה חוט המתיחות הגדולה ביותר ובאיזה במתיחות הקטנה ביותר מבין שלושת החוטים שבשרטוט. מצא את תאוצת המערכת של שלושת המתיחויות שבחוטים. 4.19 נתונות שתי מסות על גלגלת כמתואר בשרטוט. מצא את תאוצת המסה הימנית. 4.20 בתוך מכונית קיים מתקן המודד את תאוצת המכונית. המתקן בנוי ממטוטלת קטנה והמכשיר מודד את הזווית בינה ובין הקו האנכי )הדמיוני( לקרקע. מצא את הקשר בין הזווית לבין תאוצת המכונית. 4.21 נתונות מסות על פי השרטוט.
מקדם החיכוך בין המסות לרצפה הינו μ. מהי תאוצת המסות? מהו מקדם החיכוך המינימלי המאפשר תאוצה? 4.22 נתונות שתי המערכות שבשרטוט. המערכות זהות למעט מיקום החוטים המחברים בין המסות. לאיזו מערכת תאוצה גדולה יותר, בהנחה ששני מקדמי החיכוך זהים? לאיזו מערכת תאוצה גדולה יותר, בהנחה ש-? <μ2 μ1 לאיזו מערכת תאוצה גדולה יותר, בהנחה ש-? <μ1 μ2 4.23 נתונה המערכת שבשרטוט. נתון מסות הגופים ומקדם החיכוך בין הגופים למשטח הוא μ. מצא את הכוח הפועל בין המסות. 4.24 נתונה מסה m הנעה במהירות קבועה על גבי המדרון בזווית נתונה. מהו גודל הכוח שמפעיל המדרון על המסה? 4.25 נתונה המערכת שבשרטוט. נתונות המסות ומקדם החיכוך בין המסות ובין המסות לרצפה.
מה צריך להיות הכוח המינימלי של F על מנת להצליח למשך את המסה? 4.26 מסה מחליקה ממנוחה ללא חיכוך במורד מישור בעל זווית α עם האופק. מהי תאוצת המסה? מהי התאוצה בכל ציר? 4.27 עגלה משוחררת במנוחה במישור חלק בעל שיפוע בזווית α )אין חיכוך(. ברגע השחרור נזרק מהעגלה כדור בניצב למישור במהירות u. האם הכדור ינחת בעגלה ומתי? 4.28 אדם בעל מסה m עומד על משקל המחובר בצורה אופקית לקרונית. מסת הקרונית היא M ונתון כי היא מחליקה ללא חיכוך על פני מישור משופע בזווית α. ד( מה מורים המאזניים? הניחו שהחיכוך בין רגלי האדם לקרונית מספיק גדול, כך שאינו נע ביחס אליה. מצא את מקדם החיכוך המינימלי בין רגלי האדם והקרונית על מנת שהאדם לא יחליק ביחס לקרונית. כעת הנח כי אין חיכוך בכלל בין האדם לקרונית. מה תהיה תאוצת הקרונית במצב זה? )כל עוד האדם נמצא על הקרונית(. מה יורה המשקל במצב המתואר בסעיף ג'? 4.29 במערכת הבאה מסות הגופים ידועות. אין חיכוך בין המסות למשטח. מצא את תאוצות הגופים ואת המתיחויות בחוטים. 4.30 נתונה המערכת שבשרטוט.
מהי תאוצת כל אחד מהגופים? 4.31 מהי המתיחות בחוט למערכת שבשרטוט? מה היתה המתיחות במערכת דומה בעלת 100 גלגלות? 4.32 מצאו את תאוצת הגופים במערכת הבאה. מה התנאי לכך שהמסה m3 תנוע כלפי מעלה אם נתון שהמערכת מתחילה ממנוחה? 4.33 אדם מפעיל כוח על המערכת שבשרטוט. מצא את תאוצת האדם. 4.34
מהנקודה A שנמצאת בחלקו העליון של המעגל מותחים מיתר לנקודה B הנמצאת בנקודה כלשהי על המעגל. משחילים חרוז על המיתר בנקודה A ומשחררים ממנוחה. הוכח כי בזמן שייקח לחרוז להגיע לסוף המיתר אינו תלוי במיקומה של הנקודה B. 4.35 אדם מנסה לחתוך חוט מתכת בעזרת מספריים. החוט חופשי לנוע והוא מחליק על המספרים עד שזווית המפתח של המספריים היא α, בזווית זו המספריים מתחילות לחתוך את החוט. ד( צייר את הכוחות שפועלים על החוט. מצא את מקדם החיכוך בין המספרים לחוט. הראה שהזווית α אינה תלויה בכוח הכובד כאשר המספריים במצב אופקי. כעת, מסובבים את המספרים בזווית β סביב ציר העובר בבורג המספרים. כיוון הסיבוב הוא נגד כך שהחוט עולה כלפי מעלה. הראה כעת שהשינוי בזווית α הוא לפי השעון, כאשר μ 0 μ = μ 0 + Δμ הוא המקדם שמצאת בסעיף ב ו האם המספריים יחתכו יותר מוקדם או יותר מאוחר? Δμ = mg sin β F cos( α 2 ) 4.36 נתונה שרשרת במנוחה לפי השרטוט. השרשרת בעלת אורך L ומסה m )צפיפות המסה אחידה(. מהו אורך החלק x )החלק שנשאר תלוי באוויר(. m ונתון מקדם החיכוך בין המסה לרצפה. 4.37 אדם סוחב מסה לפי השרטוט. נתון מה תהיה תאוצת המסה? שאלת בונוס- מה צריכה להיות הזווית על מנת להקל על האדם ככל הניתן? תנועה מעגלית
5.1 מטוטלת בעלת אורך l מסתובבת סביב ציר האנך לתקרה בזווית מפתח קבועה. θ נתון: θ,l מצא את התדירות וזמן המחזור של הסיבוב. 5.1 מסה m מונחת על דיסק המסתובב על שולחן במהירות זוויתית קבועה ω המסה מחוברת לחוט העובר דרך מרכז השולחן ומחובר למסה M. בין המסה m לדיסק יש חיכוך ומקדם החיכוך הסטטי הוא μ s נתון: ω, μ, m, μ s מהו הרדיוס המינימלי והרדיוס המקסימאלי שבו ניתן להניח את המסה כך שלא תזוז בכיוון הרדיאלי? 5.3 גוף נע על מעגל ברדיוס 3m. הגוף חולף דרך הנקודה )5,4( ביחס לראשית הצירים O. ω = 2π rad נתון כי מרכז המעגל נמצא ב )5,7( והמהירות הזוויתית היא 20 sec ד( ה( ו( מצא את וקטור המיקום של הגוף כפונקציה של הזמן. מצא את וקטור המהירות של הגוף כפונקציה של הזמן. מצא את וקטור התאוצה של הגוף כפונקציה של הזמן. מצא את המהירות הממוצעת בין 5=t sec ל =t. 10 sec מצא את תחום הזווית ביחס לראשית בו נע וקטור המקום. מצא את תחום הגדלים של וקטור המקום. 5.4 גוף נע במעגל בעל רדיוס R בתאוצה משיקית קבועה a t וללא מהירות התחלתית. מצאו את גודל התאוצה הרדיאלית: כפונקציה של הזמן כפונקציה של זווית הסיבוב 5.5
המיקום הזוויתי של נקודה על גבי שפת גלגל מסתובב נתונה ע"י: φ = 5t + 3t 2 2t 3 מהי המהירות הזוויתית ב 2=t ו ב =t 4 שניות? מהי התאוצה הזוויתית הממוצעת בין זמנים אלו? מהי התאוצה הזוויתית הרגעית בזמנים אלו? כאשר C קבוע. 5.6 חלקיק מוגבל לנוע על מעגל ברדיוס R. נתון שגודל המהירות של החלקיק V(t) = Ct 2 מצאו ופתרו את משוואת המיקום של החלקיק. 5.7 x(t)=rωt-rsin(ωt) y(t)= R-Rcos(ωt) מיקומו של גוף כתלות הזמן נתון ע"י: כאשר R ו ω קבועים. מצא את וקטורי המהירות והתאוצה של הגוף. מצא את התאוצה המשיקית והנורמאלית. צייר את מסלול הגוף. 5.8 גוף נע במעגל שרדיוסו s=6t 2 3t+ הדרך שעובר הגוף נתונה ע"י: 3. m חשב את התאוצה המשיקית, הרדיאלית והכוללת )כתלות בזמן(. 5.9 חישוק מסתובב על ציר מושחל חרוז לפי הנתונים בציור. מהי תדירות הסיבוב? מה צריכה להיות תדירות הסיבוב על מנת שהזווית α תהיה 90 מעלות? 5.10 נתונה המערכת שבציור מהו מרחק המסה מהציר? כיצד תושפע גובהה של המסה אם נכפיל את אורכו של החוט? 5.11
3 מסות מסתובבות סביב ציר בעזרת מוטות חסרי מסה כמתואר בשרטוט. נתון: M,m,D,d מצא את מהירות הסיבוב הזוויתית? 5.12 מסה קשורה בחוט בעל אורך d למוט בעל אורך D. המוט מסתובב במהירות w. ברגע מסויים מתנתק החוט. כמה תתקדם האבן עד לפגיעתה בקרקע? 5.13 נתונה דיסקה מסתובבת בעלת חיכוך )הנתונים מופיעים בשרטוט(. מהו המרחק המקסימלי מהמרכז שבו יכולה להמצא החיפושית מבלי להחליק? 5.14 שתי מסות כבשרטוט משוחררות ממנוחה. מצא את תאוצת המסה התחתונה רגע לאחר השחרור. 5.15 ציפור מתחילה לטוס לכיוון ציר ה- x במהירות V0 ממרכזה של דיסקה מסתובבת. נתון כי רדיוס הדיסקה הוא R, ומהירות הדיסקה היא ω. באותו הרגע בדיוק נכנס שוטר על קצה הדיסקה ומתחיל להסתובב ביחד עם הדיסקה אל עבר הציפור. מה מראה מד המהירות שהשוטר מכוון אל הציפור, אם ידוע כי מד מהירות שכזה מודד את המהירות שבכיוונו בלבד? כוחות מדומים
. α 0 6.1 מערכת הגלגלות המתוארת באיור תלויה מתקרת מעלית העולה בתאוצה קבועה כל הגלגלות הינן חסרות מסה. מצאו את תאוצת המסות. ידוע כי m. 2m<1 2 עוזבים את המערכת ממנוחה כאשר המסה m 1 נמצאת מטר מעל לרצפת המעלית. תוך כמה זמן תפגע המסה ברצפת המעלית? m 1 6.2 בציור מתוארת מכונית משולשת עם זווית ראש θ. על המכונית ישנה מסה M ובין המכונית למסה קיים חיכוך. נתון כי:, 0.2 = s sin θ = 0.6, μ k = μ ד( מהו התנאי שהתאוצה a צריכה לקיים על מנת שהמסה לא תחליק מטה. כעת, נתון כי a=0.2g חשב את תאוצת הגוף במערכת העגלה. חשב את תאוצת הגוף במערכת המעבדה.)a=0.2g( כעת נתון כי העגלה נעה שמאלה. מהי צריכה להיות התאוצה הקריטית שמאלה של העגלה כדי שהמשקולת תינתק מהמישור המשופע? 6.3 נהג מסתובב עם מכוניתו סביב כיכר שרדיוסה R=50[m] במהירות.v=20[m/s] על מראת המכונית תלויה קובייה שמסתה[ m=0.1[kg. במערכת הייחוס של הנהג, מהו הכוח המדומה )הכוח הצנטריפוגלי( הפועל על הקובייה? מצאו, פעם במערכת הייחוס של צופה מן הצד ופעם במערכת הייחוס של הנהג, את הזווית בה תלויה הקובייה ביחס לאנך בשיווי-משקל. 6.4
יוסי ודני עומדים זה מול זה על גבי דיסקה בעלת רדיוס R המסתובבת במהירות זוויתית ω סביב צירה. האנשים קבועים במקומם על שפת הדיסקה כאשר מרכז הדיסקה נמצא בידיוק ביניהם. יוסי מגלגל כדור קטן על הדיסקה שמגיע לדני כעבור זמן T. מצא את מהירות הזריקה )גודל וכיוון( יחסית לדיסקה. בצע את החישוב במערכת המעבדה. מצא את משוואת התנועה של המסה במערכת הדיסקה בעזרת מערכת קואורדינטות פולריות היחסית למערכת ומרכז הדיסקה. 6.5 חלקיק נקודתי בעל מסה m נע בתוך מנהרה ישרה העוברת במרכז כדור הארץ )הנח כי מסת כדור הארץ ורדיוסו ידועים וצפיפותו אחידה(. נתון גם כי כדור הארץ מסתובב במהירות זוויתית ω. על החלקיק פועל כוח חיכוך השווה ל µn כאשר N הוא הכוח הנורמאלי הפועל מדופן המנהרה. ד( מהו גודל כוח הכובד בתוך הכדור כתלות במרחק ממרכזו? התייחס לנוסחה המלאה של כוח הכובד = F GMm )כאשר G הוא קבוע נתון, r הוא המרחק ממרכז הכדור( r r 2 מהם הכוחות הצנטריפוגלי וקוריאוליס הפועלים על החלקיק כתלות במיקום ובמהירות? מהו כוח החיכוך הפועל על החלקיק? רשמו משוואות התנועה עבור רכיב המיקום לאורך ציר ה X במערכת מסתובבת. 6.6 צינור גלילי באורך 2l מסתובב במהירות זוויתית ω סביב ציר אנכי הניצב לצינור ועובר במרכזו. גוף בעל מסה m נע ללא חיכוך בתוך הצינור. נתון כי הגוף מתחיל ממנוחה ובמרחק a ממרכז הצינור. )לצורך השאלה יש להתעלם מכוח הכובד(. ד( מצא את הכוחות הפועלים על החלקיק במערכת הצינור המסתובב. חשב את המהירות כפונקציה של הזמן וכפונקציה של המרחק מהציר. )פתור את המשוואה הדיפרנציאלית בעזרת הכפלה ב (. r מצא את הזמן בו הגוף ייצא מהצינור. רשום את משוואת התנועה של הגוף בצינור במידה וקיים כוח חיכוך ומקדם החיכוך הקינטי נתון µ.
6.7 סירה נמצאת בקו רוחב λ יורה פגז במהירות V לעבר סירה אחרת הנמצאת במרחק d ממנה לכיוון דרום. נתון מהירות כדור הארץ היא ω. מצא את הסטייה במיקום הפגז בעקבות כוח קוריאוליס. הזנח את ההשפעה של הכוח על רכיבי המהירות בכיוון מזרח מערב ובכיוון אנך לכדור הארץ. הנח כי הפגז נע בקו ישר והתעלם מהתנועה הבליסטית. 6.8 נהר זורם במהירות V מצפון לדרום. מיקום הנהר הוא בזווית θ ביחס לציר הסיבוב של כדור הארץ. נתון רדיוס 2=ω. 24/ כדור הארץ ורוחב הנהר D, מהירות כדור הארץ היא מצא את הפרש הגבהים בין גדות הנהר. 6.9 מסה m נזרקת אופקית ממגדל בגובה H. המגדל נמצא בקו רוחב λ. נתון: - R רדיוס כדור הארץ, - v 0 מהירות התחלתית של המסה, - g תאוצת הכובד בקטבים ו ω- מהירות זוויתית של כדור הארץ. הנח כי h R וכי ניתן להזניח את השינוי בכוח הצנטריפוגלי ואת השינוי בקו הרוחב במהלך התנועה. חשב את משוואות התנועה במערכת יחוס של המגדל. פתור את משוואות התנועה. בדוק מה קורה בגבול ש g Rω 2 ו?ωt 1 פתח עד סדר שני ב.ωt
ω. כוח R 2 6.10 בדסקה ברדיוס R ישנה תעלה ישרה במרחק ממרכז הדסקה. הדסקה מסתובבת במהירות זוויתית מושך גוף בעל מסה m לאורך התעלה כך שמהירות הגוף היא v=ωr יחסית לדסקה. מה גודלו של הכוח המסיע את המסה אם נתון שאין חיכוך בין המסה לתעלה? מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל מדפנות התעלה? )התעלם מכוח הכובד(. במידה והכוח המושך את המסה לא היה פועל, והגוף היה מתחיל לנוע מקצה התעלה במהירות התחלתית v=ωr כלפי פנים, מה היתה מהירות הגוף במרכז התעלה? 6.11 אדם בעל מסה של 70 ק"ג עומד על מד משקל בתוך מעלית. רשום מה יראה מד המשקל במצבים הבאים: ד( המעלית במנוחה. המעלית נעה במהירות קבועה של 5 מטר לשניה בריבוע. המעלית מאיצה בתאוצה של 5 מטר לשניה בריבוע, כלפי מעלה. המעלית מאיצה בתאוצה זו כלפי מטה. 6.12 כוח נתון מופעל על המערכת שבשרטוט. מהו מקדם החיכוך המינימלי שיימנע את החלקתה של המסה העליונה? 6.13 נתונות שתי מסות כבשרטוט. בין שתי המסות קיים מקדם חיכוך סטטי μ. מה צריכה להיות תאוצת הגופים על מנת שמסה m לא תחליק מטה? 2- איזה כוח יש להפעיל על מנת להביא את המערכת לתאוצה הזו?
6.14 נתונה קרונית בעלת מסה M הנעה במישור תחת הכוח F. למסה ומחוברת למשקולת m. מהי הזווית בחוט? 6.15 חיפושית הולכת למרכזה של דיסקה מסתובבת )רדיוס הדיסקה R( מהי האנרגיה שהחיפושית משקיעה?
כוח גרר וכוח ציפה 7.1 צנחן קופץ ממטוס ופותח מצנח. נתון כי כוח החיכוך עם האוויר הוא. F = kv מצא את משוואת התנועה של הצנחן. מצא את המהירות הסופית. מצא את המהירות כפונקציה של הזמן אם הנפילה התחילה ממנוחה. 7.2 כדור נזרק לתוך בריכה עם מהירות התחלתית v 0 בזווית θ עם פני המים. נתונים: צמיגות המים - η, רדיוס הכדור,R מהירות התחלתית - 0, v צפיפות המים, ρ w צפיפות הכדור.ρ b רשום את משוואת התנועה של הכדור. מצא את המהירות הסופית של הכדור. מצא את העומק המקסימאלי אליו יגיע הכדור אם.ρ b < ρ w 7.3 במהירויות גבוהות, גודל כח החיכוך שמפעיל האוויר על כדור הוא F. d = kv 2 מצאו את המהירות הסופית של כדור הנופל מגובה רב. זורקים כדור ישר למעלה במהירות התחלתית השווה למהירות הסופית מסעיף א. מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית אם הכדור בדרכו למעלה? מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית אם הכדור בדרכו למטה? 7.4 מסה M מחליקה במורד מישור חלק. המסה מחוברת למסה m דרך גלגלת אידיאלית. המסה m שקועה בנוזל. כוח הציפה המופעל על המסה הוא Fb וכוח החיכוך של הנוזל מפעיל כוח גרר של-.PV המסה מתחילות ממנוחה. מצא את מהירות המסה הקטנה )m( בפונקציה של הזמן )הנח כי היא איננה יוצאת מהנוזל(.
עבודה ואנרגיה 8.1 עגלה נעה על משטח ללא חיכוך. העגלה מתחילה במעלה המדרון בגובה H עם מהירות התחלתית מצא את מהירות העגלה בתחתית המדרון.. u 0 נתון :,H u 0 8.2 קפיץ חסר מסה, בעל קבוע קפיץ של משחררים ממנוחה מסה 50N m m=2kg הנמצאת בגובה 3 מטר מעל הקפיץ., מחובר לרצפה. של מצא את הכיווץ המקסימאלי של הקפיץ. מה הגובה המקסימאלי אליו תגיע המסה לאחר הפגיעה בקפיץ? 8.3 מסה m 1 נמצאת על מדרון משופע בזווית θ. המסה מונחת על קפיץ בעל קבוע קפיץ k המכווץ ב.Δx=d אל המסה קשור חוט העובר דרך גלגלת אידיאלית ומחובר למסה m 2 הנמצאת בגובה H מעל הרצפה. המערכת משוחררת ממנוחה. מצא את מהירות הפגיעה בקרקע של m. 2 נתון: m 1=1 kg,m 2=2kg H=3m,k=100 N/m Θ=30 d= 30 cm 8.4
עגלה נעה על משטח עם חיכוך. העגלה מתחילה במעלה מדרון משופע בגובה H וזווית. θ מהירותה ההתחלתית. 0. u מצא את מהירות העגלה בתחתית המדרון. נתון :,H θ, µ k,u 0 :B)2,4( לנקודה )0,0(A בין הנקודה F = xx + yxy 8.5 חשב את העבודה שמבצע הכוח ד( דרך המסלול של הקו הישר המחבר בין הנקודות. דרך מסלול המקביל לציר ה X עד לנקודה (2,0)C ולאחר מכן דרך המסלול המקביל לציר ה Y עד לנקודה.B דרך המסלול.y=x 2 דרך המסלול.y(t)=4t 2,X(t)=2t 8.6 נתון הכוח הבא: F = a(2x + 4y)x + b(4x 2y)y מצא תנאי על a ו b כך שהכוח יהיה משמר. מצא את העבודה שעושה הכוח על גוף הנע במסלול סגור לאורך מעגל המתואר ע"י.)R,0( כאשר הגוף מתחיל את תנועתו מהנקודה r = R cos θ x + R sin θy מצא את העבודה שעושה הכוח על גוף הנע במסלול סגור לאורך אליפסה המתוארת ע"י.)d,0( כאשר הגוף מתחיל את תנועתו מהנקודה r = d cos θ x + k sin θy F = 2xyx + (2 x 2 )y 8.7 מצא את האנרגיה הפוטנציאלית של הכוח אם נתון ש: 0=(0,0)U. 8.8 נתונה מערכת על פי השרטוט הבא. מקדם החיכוך הסטטי והקינטי הוא μ. המסה מקבלת מהירות התחלתית V. מה תהיה הדרך שעברה המסה עד לשיא הגובה? מה התנאי לכך שהמסה לא תחליק בחזרה? 8.9 מסה מחליקה על מישור משופע בעל מקדם חיכוך μ.
המרחק מהקפיץ הוא D. מה יהיה שיא הגובה של המסה לאחר "קפיצה" אחת? כמה "קפיצות" תבצע המסה עד שתעצר? 8.10 שרשרת בעלת אורך ומסה m מחליקה ממנוחה משולחן כאשר חציה עדיין מונח על השולחן. מה תהיה מהירות השרשרת ברגע הניתוק מהשולחן, בהנחה שאין חיכוך? מה תהיה מהירות השרשרת ברגע הניתוק מהשולחן, בהנחה שמקדם חיכוך μ קיים בין השרשרת לשולחן? 8.11 נתונה מערכת לפי הנתונים שבשרטוט. המשטח המאוזן חלק ואילו הנטוי בעל מקדם חיכוך שאינו נתון. מהו מקדם החיכוך אם נתון שכאשר המסה משוחררת ממנוחה, הקפיץ יתכווץ בשיאו לחצי מאורך המנוחה שלו? כעת חוזרים על הניסוי כאשר המערכת נמצאת בתוך מעלית המאיצה אנכית והקפיץ התכווץ לרבע מאורך המנוחה שלו. מהי תאוצת המעלית- גודל וכיוון? כעת חוזרים על הניסוי כאשר המעלית מאיצה לכיוון אופקי. 8.12 שני כדורים משוחררים ממנוחה על פי השרטוט. ניתן להניח כי המסה הקטנה קטנה מאוד. מה יהיה שיא הגובה של המסה הקטנה לאחר שהיא תקפוץ חזרה מהכדור? )ניתן להניח כי ההתנגשות היא אלסטית(. 8.13 חוט חסר מסה באורך L2 מחבר שתי מסות הנעות במישור אופקי ללא חיכוך.
כוח אופקי קבוע ונתון מושך את החוט במרכזו, בכיוון מאונך לחוט. הנח שהמסות מתנגשות ונדבקות בהתנגשות. כמה אנרגיה הלכה לאיבוד בהתנגשות? 8.14 כדור מונח במעלה תעלה בעלת רדיוס R. בטא את המהירות הזוויתית כפונקציה של הזווית בה נמצא הכדור לאורך תנועתו. 8.15 על מסילה משופעת וחלקה מסה m משוחררת ממנוחה. בתחתית המישור המסילה הופכת למסילה מעגלית בעלת רדיוס R. מהו צריך להיות המרחק המינימלי של המסה מהתחתית על מנת שהכדור יבצע סיבוב מלא? 8.16 מטוטלת משוחררת ממצב מאוזן. מהו המרחק המינימלי כך שהמסה תשלים סיבוב מסביב למסמר? 8.17 נתונה מסה המחוברת לחוט. החוט חסר מסה ומחובר לקיר. מעניקים למסה מהירות V. מה צריכה להיות המהירות V על מנת שהמסה תשלים סיבוב מלא? כיצד היתה משתנית תשובתך אם היו מחליפים את החוט למוט חסה מסה? 8.18
כדור קטן )נקודתי( מחליק ממנוחה מעל כדור גדול. היכן יתנתקו הכדורים? 8.19 טרזן רוצה להתנדנד על הנדנדה שבשרטוט. ד( מה תהיה מהירותו בנקודה התחתונה? מה תהיה המתיחות בחבל בנקודה זו? ענה על הסעיף הקודם במקרה של זווית 0 ובמקרה של זווית ישרה. טרזן החליט לבדוק את בטיחות הניסוי בכך שלפני הניסוי הוא ניתלה על החבל שעודו רפוי. האם היית מאשר את בדיקת המתיחות? 8.20 טבעת בעלת רדיוס R ומסה M תלויה מהתקרה באמצעות חוט. מניחים בקצה העליון של הטבעת שני חרוזים בעלי מסה זהה m. החרוזים מתחילים ליפול ממנוחה לשני צדי הטבעת. מצא את היחס בין המסות הדרוש על מנת שהטבעת תתרומם במהלך נפילת הכדורים.
מתקף ותנע 9.1 שחקן בועט בכדור בעל מסה 2 ק"ג בכוח קבוע של 50 ניוטון. זמן המגע בין הכדור לשחקן הוא 0.2 שניות. מהי מהירות הכדור לאחר הבעיטה? 9.2 נתון גוף בעל מסה של 3 קילוגרם, על הגוף פועלים הכוחות כמתואר בציור במשך זמן של 0.5 שניה. מצא את המתקף שמפעיל כל כוח. מצא את המתקף השקול הפועל על הגוף. מצא את מהירות הגוף לאחר פעולת הכוחות אם התחיל ממנוחה. 9.3 כדור בעל מסה m1 ומהירות V0, פוגע בכדור שני בעל מסה m2. לאחר ההתנגשות, כדור 1 עף בזווית של 30 מעלות עם ציר ה X וכדור 2 עף בזווית של 45 מעלות מתחת לציר ה- X. נתון: m 1=3kg,m 2=2kg, V 0=4m/s ec מצא את גודל מהירות הגופים לאחר ההתנגשות.
9.4 כדור מספר 1 בעל מסה m ומהירות v0 מתנגש אלסטית בכדור מספר 2 בעל מסה 3m הנמצא במנוחה. הזווית של כדור מספר 2 עם ציר הx היא 45. מצא את הזווית של כדור מספר 1 לאחר ההתנגשות. 9.5 כדור בעל מסה m ומהירות v 0 נע בתוך קרונית בעלת מסה M=αm ואורך L. הכדור מתנגש בדופן הימנית של הקרונית התנגשות אלסטית. )אין חיכוך בין הקרונית לרצפה( מהי מהירות הגופים לאחר ההתנגשות? בדוק עבור:, 0,1 = α כמה זמן יעבור מהפגיעה הראשונה בדופן לפגיעה השנייה בדופן השמאלית? 9.6 אדם שמסתו m רץ במעלה רמפה משופעת בזווית θ. מסת הרמפה היא M, והיא מונחת על מישור חלק. האדם מתחיל ממנוחה והזמן הדרוש לו בכדי לעבור דרך שאורכה L על פני הרמפה הוא T. מהי תאוצת האדם ביחס לרמפה? עקב הריצה נהדפת הרמפה ימינה, בתאוצה לא ידועה A יחסית לקרקע. בטאו את רכיבי התאוצה של האדם יחסית לקרקע בעזרת התאוצה A. כמה זזה הרמפה ימינה בזמן T?
9.7 נתון כוח F קבוע המושך עגלה בעלת מסה m1 ללא חיכוך. מעל העגלה נמצאת מסה m2 ובין המסות יש חיכוך. נתון:.m1, m2, F, µ k, µ s מה הכוח F המקסימאלי עבורו המסה העליונה תחליק ביחס לתחתונה? נניח כי הכוח F גדול מזה שחישבת בסעיף א'. נניח גם כי הכוח הפועל במשך זמן T נתון והמסה העליונה אינה נופלת מהתחתונה. מהי תאוצת הגופים, מהירותם ומיקומם כפונקציה של הזמן עד לזמן T? כמה אנרגיה הלכה לאיבוד בזמן הזה? ד( מצא את מהירותם הסופית של הגופים )בt<T ( בהנחה שהמסה העליונה עדיין לא נופלת. 9.8 נתונה שתי קרונית על משטח חלק. הקרון הימני במנוחה והקרון השמאלי נע לעברו במהירות V. על הקרון השמאלי מונחת מסה הנעה יחד עד הקרון.מקדם החיכוך בין המסה לקרון הימני נתונה. בין המסה לקרון השמאלי אין חיכוך. בזמן 0=t הקרון השמאלי פוגע בקרון הימני ונצמד אליו )אך הוא יכול להפרד ממנו לאחר מכן(. ד( מתי תעבור המסה לקרון הימני? מה תהיה מהירותו הסופית של הקרון הימני? מהי תאוצת הקרון הימני?כמה זמן תאוצה זו נמשכת? האם סעיף 2 ו- 3 תואמים בתשובותיהם? 9.9 המסה m מונחת על גבי הקרונית M )אך אינה מחוברת אליה(. שתי המסות נעות יחד במהירות V על גבי משטח חלק לעבר קיר. התנגשות בקיר אלסטית. מקדם החיכוך בין המסות הוא μ. מה תהיה מהירות המסה M לאחר זמן רב בהנחה שהיא גדולה מהמסה m. ענה על סעיף אחד בהנחה שהמסה M קטנה מהמסה m.
9.10 כדור נע לעבר מישור משופע. אין חיכוך בין המדרון לרצפה או לכדור. מהי המהירות ההתחלתית המקסימלית של הכדור מבלי שהכדור ייפול לעבר המדרון? לאחר שמצאנו מהירות זו, באיזה מהירות יחזור הכדור לאחר שיעזוב את המדרון? 9.11 טנק בעל מסה M יורה פגז בעל מסה m במהירות v במאוזן על משטח בעל מקדם חיכוך קינטי נתון. ד( ה( מה תיהיה מהירותו של הטנק רגע לאחר הירייה? כמה זמן יחליק הטנק? לאיזה מרחק יגיע הטנק? כמה אנרגיה אבדה בהחלקה זו? האם הפגז היה מתנהג אחרת אם הטנק היה מקובע למקומו? 9.12 שתי מסות,m1 m2 תלויות על גלגלת אידיאלית חסרת חיכוך. המסה m1 נמצאת על הקרקע במנוחה בעוד שהמסה m2 תלויה באוויר. מרימים את מסה m2 גובה H נוסף כך שהחוט מתרופף ומשחררים אותה ממנוחה. ד( ה( מצא את מהירות המסה m2 לפני שהיא מגיעה לנקודה בה החוט נמתח. כעט החוט נמתח. הנח שהחוט אינו אלסטי, כלומר, האורך שלו קבוע ללא תלות בגודל המתיחות שלו כל עוד קיימת בו מתיחות כלשהי )והוא אינו רפוי כמו בסעיף א'(. מצא את השינוי הכולל בתנע של שתי המשקולות )בין הקטע מיד לפני שהחוט נמתח לבין הקטע מיד אחרי שהחוט מתוח ושתי המסות זזות(. מצא את המתקף שהפעילה התקרה על הגלגלת בזמן מתיחות החוט. לאיזה גובה תעלה m1 בהנחה ש m1<m2 וm2 אינה פוגעת ברצפה. מהו המתקף שמפעילה התקרה על הגלגלת מהרגע 0=t ועד לרגע בו m1 הגיעה לשיא הגובה?
מסה משתנה 10.1 משפך חול מפיל חול על מסוע בקצב (dm/dt)=at כאשר A קבוע. אין חיכוך בין המסוע לרצפה. מה הכוח F הדרוש על מנת למשוך את המסוע במהירות קבועה )ונתונה( v? 0 מהו ההספק )אנרגיה ליחידת זמן( שמשקיע הכוח? 10.2 משפך חול נמצא מעל משקל, החול יוצא מהמשפך במהירות v. 0 שטח החתך של פתח המשפך הוא A ונתון כי המשפך נמצא בגובה H מעל המשקל. נתונה צפיפות המסה של החול ρ. הזנח את גובה החול המצטבר על המשקל. מהי כמות החול היוצאת מהמשפך ביחידת זמן? מה מהירות החול בהגיעו לפני פגיעתו במשקל? במהלך המילוי כאשר המשקל מראה W מה היחס בין המשקל האמיתי של החול לערך שמראה המשקל? ד( נניח כי כאשר המשקל מראה את המשקל מסעיף ג' סוגרים את המשפך. מה יראה המשקל לאחר זמן רב? ה( לאחר האמור בסעיף ד' מאיצים את המשקל בתאוצה של 5 מטר לשנייה בריבוע כלפי מעלה. מה יראה המשקל?
10.3 שרשרת בעלת אורך L ומסה M מוחזקת בצורה אנכית מעל משקל כך שהקצה התחתון שלה בדיוק נוגע במשקל. השרשרת משוחררת ממנוחה. מצא מה מראה המשקל כפונקציה של )x X מייצג את המרחק אותו עבר הקצה העליון של השרשרת(. 10.4 צינור משפריץ מים על עגלה בעלת מסה M. המים יוצאים מהצינור במהירות v 0 ובקצב m נתון )הנח כי מהירות המים קבועה עד לפגיעה בעגלה(. המים מתנגשים התנגשות אלסטית ביחס לעגלה. מצא את מהירות העגלה כפונקציה של הזמן. u 1 u 0 10.5 עגלה בעלת מסה M 0 נוסעת על משטח עם חיכוך. על העגלה יורד גשם בקצב α ובמהירות בנוסף, לעגלה מחוברת משאבה בקצה האחורי, המוציאה מים מן העגלה החוצה במהירות המשאבה מוציאה את המים בזווית θ מתחת לציר הX )ראה ציור(. לעגלה מהירות התחלתית v. 0 מקדם החיכוך הקינטי µk וכל הגדלים הרשומים בשאלה נתונים. מצא את משוואת התנועה של העגלה. מצא את המהירות הסופית של העגלה. מצא את מהירות העגלה כפונקציה של הזמן. בציר האנכי בלבד. ובקצב זהה α.
10.6 בלון בעל מסה M מלא בגז. נתון כי 3/4 ממסת הבלון היא מסת הגז. משחררים את הבלון ממנוחה והגז יוצא במהירות u0 ביחס לבלון. נתון כי הבלון מאיץ בקו ישר כלפי מעלה בתאוצה של g0.5. מצא את קצב פליטת הגז מהבלון. מצא את הגובה המקסימלי אליו יגיע הבלון. 10.7 צינור משפריץ מים על אדם. לצינור שטח חתך A וצפיפות המים נתונה ρ. נתונה גם מהירות יציאת המים מהצינור v. 0 מצא את הכוח שפועל על אדם הנמצא במנוחה, בהנחה שהמים אינם ניתזים חזרה. מצא את הכוח הפועל על אדם הבורח במהירות v. < v 0 10.8 עגלה א' היא בעלת מסה M 0 ומהירות התחלתית ימינה V,לתוכה 0 נופל גשם בזווית α ומהירות u כך שהעגלה מתמלאת בקצב q. עגלה ב' היא בעלת מסה זהה )כולל הגשם שכבר בתוכה( ומהירות זהה. לעגלה זו יש חור דרכו מטפטף גשם החוצה בקצב הזהה לקצב כניסת הגשם. רשום את מהירות העגלה כפונקציה של הזמן לשתי העגלות. 10.9 נתונה עגלה היא בעלת מסה M 0 ומהירות V. 0 ברגע 0=t, גשם אנכי נכנס לתוך העגלה בקצב q. מהי מהירות העגלה כפונקציה של הזמן. מהי מהירות העגלה לאחר שהגשם נפסק? 10.10
מעבדת חלל יכולה לנתק את מיכלי הדלק הריקים שלה; מיכל שהתרוקן מתנתק ונופל לים וכל משקלו של המיכל הריק אינו מעמיס עוד על החללית. נתונה חללית בעלת מסה התחלתית- M, 0 קצב פליטת גזים- q, ומהירות הגז ביחס לחללית- u. כאשר החללית מאבדת ממשקלה מסה m )מסת הדלק שהיה במיכל( היא מנתקת את המיכל שמסתו k וממשיכה במעופה הרגיל. כאשר החללית מאבד ממשקלה m נוסף, נגמר הדלק במיכליה והיא מכבה מנועים וממשיכה במהירות הסופית. נתון נוסף: החללית מתחילה ממנוחה וממריאה מייד עם תחילת פליטת הגזים. ד( מהי מהירות החללית לפני ניתוק המיכל? מהי מהירות החללית לאחר ניתוק המיכל? מהי מהירותה הסופית של החללית? )הנח שהיא שומרת על מהירותה לאחר כיבוי המנועים(. בכמה קטנה היתה מהירותה הסופית אילולא היתה מנתקת את מיכל הדלק? dm dt = 10.11 טיפת גשם נופלת דרך ענן וסופחת מים יחסית לשטח הפנים שלה. קצב שינוי המסה של הטיפה נתון לפי ρ. הוא רדיוס הטיפה. נתונה גם צפיפות המים r קבוע ו b, כאשר 4πr 2 b הזנח את התנגדות האוויר. הנח כי הטיפה מתחילה ליפול ממנוחה ורדיוסה ההתחלתי הוא r. 0 מצא את רדיוס הטיפה כפונקציה של הזמן. חשב את מהירות הטיפה כפונקציה של הזמן. מצא את התאוצה של הטיפה זמן קצר לאחר תחילת תנועתה. ד( מצא את תאוצת הטיפה לאחר זמן רב. פתרון משוואה דיפרנציאלית מהצורה: dv dr = A v r + B v(r) = (Cr) A + B 1 A r הוא : 10.12 חוט בעל מסה m ואורך l מונח על שולחן. כוח F מתחיל להרים את החוט מקצהו במהירות קבועה V0. מצא מהו הכוח לפי הזמן. מצא כמה אנרגיה התבזבזה כפונקציה של הדרך שהחוט עבר. 10.13 חללית בעלת מסה m0 מקיפה כוכב בעל מסה M המרוחק מרחק r0. החללית נוסעת במהירות V0. בזמן 0=t החללית מתחילה לפלוט גז במהירות יחסית u בקצב a. מצא את משוואת התנועה של החללית לציר הרדיאלי. אין צורך לפתור את המשוואה. 10.14
מיכל בעל שטח A מלא במים עד לגובה נתון. בתחתית המיכל חור בשטח B. המיכל מונח על משטח ללא חיכוך. מצא את מהירות יציאת המים יחסית למיכל. מצא את גובה המים במיכל כפונקציה של הזמן. מצא את תאוצת המיכל כפונקציה של הזמן.
מרכז מסה 11.1 בדסקה בעלת רדיוס R ומסה M קדחו חור עגול בעל רדיוס r במרחק a ממרכז הדסקה. הנח כי צפיפות המסה אחידה בכל הדסקה. מצא את מרכז המסה של הדסקה עם החור. 11.2 אדם עומד בקצה סירה באורך 3 מטר. מסת האדם היא 70 קילוגרם ומסת הסירה 100 קילוגרם. האדם התקדם 2 מטרים לאורך הסירה. )הזנח את החיכוך בין המים לסירה(. (אדם) 1 m נתון: = 70kg m 2 = 100kg כמה זזה הסירה? 11.3 כדור מונח על קרונית משופעת הנמצאת במנוחה. הכדור מונח בגובה H=1m ובמרחק של 5 מטרים מקצה הקרונית. מסת הקרונית:, m 1=10kg מסת הכדור:.m 2=2kg מצא את העתק הקרונית כאשר הכדור מגיע לקצה. מצא את מהירות הגופים אם נתון שמהירות הכדור בקצה הקרונית היא רק בכיוון ציר ה x. 11.4
λ(x) = λ 0x. L חשב את מרכז המסה של מוט בעל אורך L וצפיפות מסה 11.5 חשב את מרכז המסה של גיזרה עם צפיפות אחידה וזווית. θ 11.6 חשב את מרכז המסה של חצי כדור מלא בעל צפיפות אחידה. 11.7 חשב את מרכז המסה של חרוט מלא בעל צפיפות אחידה. 11.8 על סירה )ללא חיכוך עם המים( מונחת מסה.המסה מחוברת בחוט למנוע המחובר לסירה. כוח המשיכה של המנוע משתנה בזמן, מקדם החיכוך הסטטי ומקדם החיכוך הקינטי נתונים. ד( מתי תתחיל לנוע המסה? מה תהיה תאוצת מרכז המסה? תאוצת הסירה? תאוצת המסה? לאחר שהמסה נעה החוט ניתק. בהתאם לכך, ענה על סעיף 2 בשנית. האם המסה והסירה ייעצרו בו זמנית? 11.9
חישוק בעל רדיוס R ומסה m מונח על שולחן אופקי חלק. על החישוק ישנו חרוז המתחיל לנוע מהנקודה A ומסתו m גם כן. בt=0 החישוק נמצא במנוחה ומהירותו ההתחלתית של החרוז היא ימינה. v 0 מצא את מיקום מרכז המסה של המערכת בתחילת התנועה. מצא את מהירות מרכז המסה כפונקציה של הזמן ואת מסלולה. מהן מהירויות החרוז והצינור כאשר החרוז נמצא בנקודות B,C,D ושוב ב A ביחס לחישוק. 11.10 מצא את מרכז המסה של חצי החישוק בעל מסה M ורדיוס R אשר בקצותיו חוברו שני כדורים קטנים בעלי מסה.m 11.11 שער חשמלי בעל מסה m ואורך l מונח על ציר שמרחקו d מסופו. הסבר מדוע מחוברים לקצה השער משקולת כבדה ומצא את מסתה אם נתון כי אורכה L. 11.12 מצא את מרכז המסה של המשולש שבתמונה. 11.13
מצא את מרכז המסה של דיסקה בעלת מסה M ורדיוס R, אם ידוע כי במרחק חצי R ממרכז הדיסקה קדחו חור ברדיוס רבע R.
מומנט התמד 12.1 לדסקה בעלת מסה M ורדיוס R מחברים דסקה נוספת זהה בקצה התחתון של הדסקה. מצא את מומנט ההתמד של המערכת סביב ציר המאונך למישור הדסקה והעובר בקצה העליון של הדסקה )הראשונה(. 12.2 חשב את מומנט ההתמד של מוט עם צפיפות אחידה סביב קצה המוט. X הוא המרחק מהקצה ו- L הוא אורך המוט. λ0 נתון. צפיפות המוט 12.3 מצא את מומנט ההתמד של מוט סביב מרכזו לפי הנתונים שבשרטוט. הצפיפות הנתונה מתייחסת למרכז המוט כראשית הצירים. 12.4 מצא את מומנט ההתמד של שער חשמלי בעל מסה m ואורך l אשר בסופו מחוברת משקולת בעלת מסה M ואורך L המסתובב סביב מרכז המסה שלו. 12.5 מצא את מומנט ההתמד של הגוף שבשרטוט סביב מרכז המסה שלו בשתי דרכים שונות. אורך כל מוט l ומסתו m.
12.6 מצא את מומנט ההתמד של חצי החישוק שבתמונה. רדיוסו R, מסתו M ובקצותיו חוברו שתי מסות m. החישוק סובב סביב מסמר בקודקודו. 12.7 חשב את מומנט ההתמד של לוח ריבוע בעל אורך צלע a, מסה M וצפיפות אחידה בכל אחד מהמצבים הבאים: ציר הסיבוב הוא אחת הפאות של הריבוע. ציר הסיבוב מקביל לפאות ועובר במרכז. ציר הסיבוב אנך למשטח הריבוע ועובר במרכזו. 12.8 מצא את מומנט ההתמד של המשולש סביב קודקודו הישר. מצא את מומנט ההתמד של דיסקה בעלת מסה M ורדיוס R, אם ידוע כי במרחק חצי R ממרכז הדיסקה קדחו חור ברדיוס רבע R. הדיסקה מסתובבת סביב ציר במרכזה )ולא במרכז המסה של המערכת(. מצא את מומנט ההתמד של הגוף סביב מרכז המסה שלו. 12.9
12.10 חשב את מומנט ההתמד של כדור מלא בעל רדיוס R, מסה M וצפיפות אחידה, סביב ציר העובר במרכז הכדור.
מומנט כוח 13.1 המשולש בתמונה הוא משולש שווה צלעות עם אורך צלע נתונה a. חשב את המומנטים של הכוחות בתמונה סביב הפינה השמאלית של המשולש.. ( 1 a, 1 נתונה המסה של המשולש- M ונתון גם כי מרכז המסה של המשולש נמצא בנק' (a 2 2 3 חשב את מומנט הכוח של כוח הכובד. 13.2 שני פועלים מחזיקים מנשא מעץ שמסתו 12 kg ואורכו 1.5m. על המנשא, במרחק של 0.5m מהפועל השמאלי, מונח ארגז בעל מסה של 8. kg בהנחה כי המערכת במנוחה, מצא את הכוח שמפעיל כל פועל. 13.3 נתונה המערכת שבשרטוט. קורה מחוברת לשני חוטים ממוקמת כנגד קיר בעל מקדם חיכוך µ. החוט העליון מחובר לקורה במרכזה. מצא את המתיחות בשני החוטים. 13.4 סולם בעל מסה m ואורך l מונח על גבי קיר חלק ורצפה לא חלקה.
שרטט את הכוחות על הסולם. 13.5 גגון מוחזק אל קיר בעזרת חבל וחיכוך כמתואר בשרטוט. מצא את הכוחות הפועלים על הגגון. 13.6 שער שגובהו h ואורכו l מחובר לקיר בשני צירים a ו- b. על מנת להקל על הציר העליון חיברו לשער כבל ומתחו אותו עד אשר הכוח האופקי בנקודה a מתאפס. מהי המתיחות בכבל? מהו הכוח האופקי הפועל על הציר b? מהו סכום הכוחות האנכיים המופעלים על שני הצירים? 13.7 גגון מוחזק לקיר בעזרת חיכוך בלבד לפי הנתונים שבשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר מהקיר נו ניתן לשים את המסה m מבלי לגרום לגגון להחליק מהקיר?
13.8 נתונה המערכת שבשרטוט. אורך הקורה L, המסה מרוחקת שליש L מצד שמאל החוט מחזיק את המסה ממרכזה. רשום את כל הכוחות של המערכת שבשרטוט ומצא את מקדם החיכוך המינימלי בין המסה לקורה. 13.9 מצא את מומנט הכוח המופעל על מטוטלת מתמטית כפונקציה של הזווית מהאנך. 13.10 נתונה המערכת שבשרטוט. רשום את כל הכוחות הפועלים על הדיסקה ומצא את יחס הרדיוסים בין שתי הדסקות.
גוף קשיח )תנע זוויתי( 14.1 דסקה בעלת מסה M ורדיוס R מחוברת באמצעות ציר העובר במרכזה לשולחן אופקי חסר חיכוך. כדור פלסטלינה בעל מסה m נע במהירות v 0 לעבר הדסקה. הכדור פוגע בדסקה משמאלה, ובמרחק d ממרכזה. הכדור נדבק לדסקה ושניהם מתחילים להסתובב יחדיו )סביב הציר במרכז הדסקה(. הדסקה נמצאת במנוחה לפני הפגיעה וכוח הכובד אינו משפיע על הגופים )המערכת אופקית(. מצא את המהירות הזוויתית בה יסתובבו הגופים לאחר הפגיעה. 14.2 נתונה דסקה בעלת רדיוס R המסתובבת סביב מרכזה במהירות זוויתית קבועה ω. בקצה הדסקה עומד איש נקודתי ומסתובב ביחד עם הדסקה. ברגע מסוים האיש קופץ מהדסקה ונתון כי מהירותו מיד לאחר הקפיצה היא v 0 בכיוון הראדיאלי, ביחס לקרקע. מצא את המהירות הזוויתית של הדסקה לאחר הקפיצה אם נתונים מסת האיש m ומסת הדסקה M. 14.3 שלושה כדורים זהים בעלי מסה m נמצאים בפינותיו של משולש שווה צלעות. הכדורים מחוברים באמצעות שלושה מוטות חסרי מסה ואורך L )צלעות המשולש(. חשב את מיקום מרכז המסה של המערכת. כעת, נתון כי הגוף מסתובב במהירות זוויתית ω נתונה, סביב מרכז המסה שלו. ברגע מסוים,כאשר הגוף נמצא במצב המתואר בציור, הכדור התחתון ניתק מהגוף. מצא את מהירות הכדור שניתק לאחר הניתוק. מצא את מהירות מרכז המסה של החלק הנותר. ד( מצא את המהירות הזוויתית של החלק הנותר סביב מרכז המסה שלו.
14.4 מוט באורך L ומסה M מחובר לתקרה באמצעות ציר ויכול להסתובב. למוט מהירות זוויתית התחלתית ω. מהי הזווית המקסימאלית אליה יגיע המוט? 14.5 כדור בעל רדיוס R מונח בגובה H על מדרון משופע בעל זווית θ. הכדור מתחיל להתגלגל ללא החלקה. מצא את מהירות הכדור בתחתית המדרון. מצא את תאוצת הכדור. 14.6 גלובוס )כדור( מונח ומקובע לשולחן ויכול להסתובב סביב ציר המאונך לשולחן. מלפפים חוט סביב מרכז הגלובוס )סביב קו המשווה( והחוט ממשיך מהגלובוס דרך גלגלת לא אידיאלית למסה תלוי.m 1 נתונים גם: m 2 ו R 2 מסה ורדיוס הגלגלת, m 3 ו R 3 מסה ורדיוס הגלובוס. המערכת מתחילה ממנוחה. מצא את תאוצת כל הגופים, קווית וזוויתית ואת המתיחות בחוט.
14.7 יויו )כדור שמלופף סביבו חוט( בעל מסה m 2 ורדיוס R מונח על מישור משופע בעל זווית θ. החוט של היויו מחובר דרך גלגלת אידיאלית למסה m. 1 נתון כי היויו מתגלגל ללא החלקה על המישור וכי קיים חיכוך בין היויו למישור. מצא את כיוון התנועה של המערכת וכיוון החיכוך הסטטי. מצא את תאוצת הגופים וגודל כוח החיכוך. 14.8 מוט בעל מסה M )צפיפות אחידה( ואורך L תלוי בקצהו לקיר וחופשי להסתובב סביב נקודת התלייה. משחררים את המוט ממצב אופקי. מצא את התאוצה הזוויתית ואת תאוצת מרכז המסה של המוט ברגע השחרור. מצא את הכוח שמפעיל הציר שמחבר את המוט לקיר על המוט, ברגע השחרור. כעת המוט נופל עד להגיעו למצב מאונך לקרקע. מצא את המהירות הזוויתית של המוט ברגע זה )כשהוא מאונך לקרקע(. ד( חזור על סעיפים א' ו ב' עבור רגע זה. 14.9 כדור הומוגני בעל מסה M מתחיל תנועתו עם מהירות v 0 ללא סיבוב )מהירות זוויתית(. מצא את מהירותו הסופית אם נתון מקדם החיכוך הקינטי.. ω 0 14.10 כדור הומוגני בעל מסה M מוחזק באוויר ומסתובב סביב מרכז המסה שלו במהירות זוויתית הכדור מונח על הרצפה בעודו מסתובב. מצא את מהירותו הסופית אם נתון מקדם החיכוך הקינטי.µk
14.11 חבל מלופף סביב חישוק בעל רדיוס R ומסה m. )החבל מחובר לתקרה( מהי תאוצת מרכז המסה של החישוק? לאחר כמה זמן ירד החישוק לגובה של h? 14.12 שתי מסות שונות,m1 m2 תלויות משני הצדדים של גלגלת לא אידיאלית המקובעת במרכזה. המסות משוחררות ממנוחה. מצא את תאוצת המסות אם נתון: M מסת הגלגלת, R רדיוס הגלגלת וכי החוט אינו מחליק על הגלגלת. 14.13 בגן המדע שבמכון ויצמן יש שתי דיסקות קלות אליהן מודבקות 4 מסות כבדות כמתאור בשרטוט. את הדיסקות מניחים על שני מדרונים ובודקים מי תנוע בהגיעה למישור מהר יותר. הסבר כיצד ניתן לחשב מהירות זו על פי נתוני המערכת. 14.14 חישוק בעל מסה m ורדיוס R תלוי מחבל המלופף סביבו. מה תהיה מהירותו לאחר שנפל מגובה h? מה תהיה תאוצתו? כמה זמן תארך הנפילה? חישוק אחר חסר מסה בעל רדיוס R מכיל מסה נקודתית במרכזו בעלת מסה m. מה תהיה מהירותו לאחר שנפל מגובה h? מה תהיה מהירותו אם החבל יהיה ללא חיכוך?
14.15 בכלי עבודה רבים קיים מנגנון הקרוי מצמד )קלאץ'(. תפקיד המצמד הוא להעביר את הכוח המניע אל החלק המונע בצורה הדרגתית )למשל להעביר את כוח המנוע ברכב אל הגלגלים מבלי לגרום לתנועה פתאומית בגלגלים(. המצמד מופעל ע"י הצמדת דיסקה מסתובבת אל דיסקה נייחת והעברת אנרגיה מזו לזו בעזרת כוח החיכוך. לפנייך מצמד הבנוי משתי דיסקות בעלות מומנט התמד שונה. הדיסקה התחתונה מסתובבת במהירות התחלתית נתונה. בשלב מסוים הדיסקה העליונה מונחת על הדיסקה התחתונה ובעזרת כוח המשיכה וכוח החיכוך מתחילה לנוע בעצמה עד ששתי הדיסקות ינועו ביחד. מצא את המהירות הסופית של הדיסקות. כמה אנרגיה אבדה בתהליך זה? 14.16 מצא את יחס התאוצות בהילוכי אופניים. 14.17 כדור סנוקר ברדיוס R נמצא במנוח על שולחן ללא חיכוך )חיכוך נמוך מאוד(. מצא באיזה גובה מעל תחתית הכדור יש לתת מכה אופקית עם המקל כך שהכדור יתגלגל ללא החלקה. ממנוט ההתמד של הכדור הוא : 2 Ic.m = 2/5mR הדרכה: ערוך תרשים כוחות ונתח את הבעיה בשלב המכה עצמה.
14.18 חוט מלופף מסביב לגליל המונח על מישור שאינו חלק. רדיוס הגליל הוא R ומסתו M. כוח F נתון מושך את הגליל. מצא את תאוצת הגליל במקרים הבאים אם ידוע שהגליל מתגלגל ללא החלקה: הכוח םועל בכיוון אופקי הכוח פועל בזווית θ ביחס לאופק וידוע שהגליל אינו מתרומם. מה כיוון החיכוך בכל מקרה. 14.19 מחליקה על הקרח מסתובבת במהירות W0. המחליקה בעלת מסה מסה זניחה אך היא מחזיקה מסה m בכל יד. הידיים פרוסות לצדדים ואורך כל יד L. לפתע המחליקה סוגרת את ידייה לחצי מאורכן המקורי. מה תהיה מהירות הסיבוב החדש? כמה אנרגיה הושקעה בתהליך? 14.20 שתי מחליקות על הקרח בעלות מסה m אוחזות בחבל בעך אורך l. הן מסתובבות סביב מרכז המסה של המערכת במהירות זוויתית נתונה. מצא את המתיחות בחבל. בשלב מסוים המחליקות מושכות את עצמן בעזרת החבל ומתקרבות אחת לשניה עד לחצי מהמרחק המקורי. מה האנרגיה שהשקיעו המחליקות? מה המתיחות בחבל כעת? 14.21 אל עבר דיסקה בעלת מסה M ורדיוס R נורה קליע בעל מסה m במהירות v. הדיסקה מונחת על מישור בעל מקדם חיכוך נתון. מצא כמה זמן תימשך ההחלקה.
14.22 מוט המחובר לציר משוחרר ממנוחה מזווית נתונה. כשהמוט מגיע לנקודה הנמוכה ביותר הוא פוגע במסה ודוחף אותה במהירות לא ידועה לעבר מסילה מעגלית. נתון כי הקצה התחתון של המוט נע מיד לאחר ההתנגשות במהירות משיקית u. מהי הזווית המקסימלית אליה יגיע המוט לאחר הפגיעה? מהי מהירות המסה מיד לאחר הפגיעה? מהו הכוח אותו מפעילה המסילה על המסה מיד לאחר ההתנגשות? 14.23 עיפרון ניצב אנכית על משטח. ברגע מסוים הוא מתחיל ליפול ימינה. כאשר הזווית בינו לבין האנך למשטח מגיעה ל θ 1 העיפרון מתחיל להחליק. עבור זויות θ שבהן עדיין אין החלקה θ. < θ1 ω. מצאו את המהירות הזוויתית של העיפרון, α. מצאו את המהירות הזוויתית של העיפרון מצאו את התאוצה הזוויתית של מרכז המסה של העיפרון. מצאו את גודלו וכיוונו של כוח החיכוך. מצאו את הכוח הנורמלי. מצאו את מקדם החיכוך הסטטי μ. s 14.24 מוט בעל אורך וצפיפות אחידה מכופף כמתואר בציור. המוט ממוסמר לקיר ויכול להסתובב סביב המסמר. ד( ה( מהו מרכז המסה של המוט? מהו מומנט ההתמד של המוט סביב ציר הסיבוב שלו? מהי מהירות הסיבוב כפונקציה של זווית הנפילה? מהי מהירות מרכז המסה כפונקציה של זווית הנפילה? מהן תאוצות מרכז המסה )רדיאלי ומשיקי( במצב מאוזן ובמצב מאונך? 14.25 בקרקס ישנו מכשיר הקרוי טרפז. על הטרפז נתלה לוליין המחזיק בידיו לוליין אחר. נתון כי צמד הלוליינים התחילו את תנועתם במצב מאוזן וניתקו ידיהם במצב מאונך. הניחו כי אורך כל לוליין ומסתו m. לאחר הניתוק הלוליין המנותק סוגר את גופו לחצי מאורכו. l מהי המהירות הזוויתית ברגע הניתוק?
מהי המהירות הזוויתית של הלוליין המנותק מיד לאחר הניתוק ולפני שסגר את גופו? מהי המהירות הזוויתית לאחר שסגר את גופו? 14.26 מוט בעל מסה m ואורך l מונח על רצפה וקיר חלקים בזווית נתונה. מיד לאחר שהניחו את המוט, המוט מתחיל להחליק עד הפגיעה ברצפה. מצא את מהירות מרכז המסה של המוא בזמן פגיעתו ברצפה.
תנועה הרמונית 15.1 מסה m מונחת על שולחן ללא חיכוך ומחוברת לקפיץ המחובר לקיר בעל קבוע קפיץ k. מותחים את המסה מרחק d מהמיקום בו הקפיץ רפוי ומשחררים ממנוחה. מצא את x(t) של המסה. 15.2 מסה m 1 מונחת על שולחן ללא חיכוך ומחוברת לקפיץ בעל קבוע k. מהמסה יוצא חוט העובר דרך גלגלת אידיאלית וקשור למסה נוספת התלויה באוויר m. 2 מצא את נקודת שיווי המשקל של המערכת )קבע את הראשית בנקודה שבה הקפיץ רפוי(. מצא את תדירות התנודה של המערכת. מהי האמפליטודה המקסימלית האפשרית לתנועה כך שהמתיחות בחוט לא תתאפס במהלך התנועה? 15.3 מוט בעל אורך L ומסה M )התפלגות אחידה( תלוי מהתקרה וחופשי להסתובב סביב נקודת התלייה. קצהו השני של המוט מחובר בקפיץ, בעל קבוע, k לקיר. הקפיץ רפוי כאשר המוט נמצא מאונך לתקרה. הראה כי תנועת המוט בזוויות קטנות היא תנועה הרמונית ומצא את תדירות התנועה. מצא את הזווית של המוט כפונקציה של הזמן אם המוט משוחרר ממנוחה בזווית נתונה θ. 0
15.4 נתונה מטוטלת )מתמטית( התלויה מהתקרה. אורך החוט של המטוטלת הוא l. מצא את תדירות התנודות הקטנות ואת הזווית כפונקציה של הזמן. הנח כי המטוטלת מתחילה את תנועתה ממנוחה בזווית ידועה θ )דרך מומנטים(. 15.5 נתונה מטוטלת )מתמטית( התלויה מהתקרה. אורך החוט של המטוטלת הוא l. מצא את תדירות התנודות הקטנות ואת הזווית כפונקציה של הזמן. הנח כי המטוטלת מתחילה את תנועתה ממנוחה בזווית ידועה θ )דרך אנרגיה(. 15.6 מצאו את תדירות התנודה ואת נקודת שיווי המשקל בכל אחד מהמצבים הבאים:
15.7 קליע נורה וננעץ במסה המחוברת לקפיץ. מהי מהירות המסה מיד לאחר פגיעת הקליע? מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? 15.8 נתונות המסות שבשרטוט. מהי תדירות התנודות הקטנות של המערכת? 15.9 במערכת הבאה, המסה m 1 קשורה בחוט דרך גלגלת אל קפיץ המחובר לקרקע. הגלגלת אינה אידאלית. נתון: R רדיוס הגלגלת, m 2 מסת הגלגלת, k קבוע הקפיץ. הנח כי החוט לא מחליק על הגלגלת. מצא את נקודת שיווי המשקל. מצא את תדירות התנודה. מושכים את המסה אורך d מנקודת שיווי המשקל. מהו d max המרחק המקסימלי שניתן למשוך את המסה מבלי שהמתיחות בחוט תתאפס במהלך התנועה? 15.10 מוט בעל מסה M מונח על שני גלגלים המקובעים במרכזם. הגלגלים מסתובבים במהירות זוויתית ω כך שהגלגל הימני מסתובב נגד כיוון השעון והשמאלי עם כיוון השעון. בין המוט והגלגלים קיים חיכוך ומקדם החיכוך הקינטי נתון. מניחים את המוט כך שמרכזו נמצא במרחק A מהמרכז בין הגלגלים. מצא את תדירות התנודה של המוט.
15.11 מצא את התדירות של מטוטלת מתמטית. 15.12 מצא את תדירות התנודות הקטנות של דיסקה בעלת מסה M ורדיוס R אם ידוע כי במרחק חצי R ממרכז הדיסקה קדחו חור ברדיוס רבע R )הדיסקה מחוברת במסמר במרכזה אל הקיר(. 15.13 נתונות שתי חצאי דיסקות תלויות על מסמר כמתואר בשרטוט. מסה הדיסקה ורדיוסה נתון. מצא את התדירות של כל אחת מחצאי הדיסקה. 15.14 נתונה צורת האיקס שבשרטוט )הצורה סימטרית(. אורך כל מוט l ובסופו מסה m. המוטות חסרי מסה. מהי תדירות התנודות הקטנות אם המוט נופל נפילה חופשית? מהי התדירות אם המוט מוחזק בקצהו העליון ע"י מסמר? מהי התדירות אם המוט קשור לחוט הקשור לגוף שמסתו 8m?
m 2 m 1 15.15 עגלה בעלת מסה מתמטית עם מסה נמצאת במנוחה. חופשיה לנוע על משטח אופקי ללא חיכוך. אל העגלה מחובר מוט אנכי עליו תלויה מטוטלת ואורך חוט. a משחררים את המסה )של המטוטלת( בזווית θ0 נתונה כאשר כל המערכת ד( רשמו את מהירות המטוטלת במערכת העגלה כפונקציה של θ ו θ. רשמו את מהירות העגלה והמטוטלת כפונקציה של θ ו θ רשמו את משוואת שימור האנרגיה המכאנית של המערכת. רשמו את משוואת שימור האנרגיה בתנודות קטנות ומצאו את תדירות התנודות. 15.16 על קפיץ שקבועו k מונח משטח שמסתו m, 1 המשטח צמוד לקצהו של הקפיץ. על המשטח מונח גוף שמסתו m. 2 מכווצים את הקפיץ בשיעור Δy ומשחררים. א. ב. ג. מה צריך להיות Δy min כדי שהגוף יתנתק מן המשטח באיזשהוא שלב? Nr הניחו m 2=0.06kg, m 1=0.04kg,k=10, Δy=2Δy min ומצאו את רגע הניתוק. m באמצעות הנתונים המספריים מסעיף ב', מהו מקומו ומהירותו של המשטח ברגע שהגוף ניתק מן המשטח? 15.17 נתונה מערכת כבשרטוט )אין החלקה במערכת(. מהי התדירות?
15.18 מסות מתחילות ממנוחה כבשרטוט. המסה הימנית נמתחת במרחק D ימינה ומשוחררת. כשהיא פוגעת במסה השניה היא נדבקת אליה ושניהן ממשיכות יחד. מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ השמאלי? מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ הימני כאשר שתי המסות חוזרות ימינה? 15.19 נתונה מסה m המחוברת לקפיץ בעל קבוע k. המסה גם מחוברת למוט חסר מסה בעל אורך l. המוט מחובר לרצפה בציר המאפשר לו להסתובב. המערכת בשרטוט נמצאת במצב שיווי משקל. מהי תדירות התנודות הקטנות של המערכת? מהי המסה המקסימלית שתאפשר תדירות זו? 15.20 בתוך כדור הארץ נחפרה תעלה כבשרטוט. מסת כדור הארץ M. מהי תדירות התנודות הקטנות של מסה החופשיה לנוע בתעלה? 15.21 נתון קרש המחובר לקפיץ עם מסה m. הקרש נע בצורה אנכית )מעלה ומטה( לפי: (ωt) y. y=1 0 cos מצא את מיקום המסה כפונקציה של הזמן.
15.22 דיסקה בעלת רדיוס r מתגלגלת בתוך צינור מקובע לרצפה בעלת רדיוס R. מותר להשתמש בקירוב זוויות קטנות ומותר להזניח את הרדיוס הקטן ביחד לגדול. מה תהיה תדירות התנודות הקטנות של הדיסקה, בהנחה שאין חיכוך? מה תהיה התשובה לסעיף א' אם יוסיפו חיכוך עם הרצפה והגלגול יהיה ללא החלקה? מה תהיה התדירות עם בנוסף לחיכוך עם הרצפה יתווסף כוח חיכוך =F? -bv 15.23 קליע בעל מסה זניחה נע במהירות לא ידועה לעבר מסה m2 שמחוברת למסה m1 דרך קפיץ בעל מקדם אלסטי K. המסה m1 ניצבת בצמוד לקיר כמתואר בשרטוט. לאחר פגיעת הקליע הקפיץ מתכווץ במצב המקסימלי ומאבד d מאורכו. מהי מהירות מרכז המסה מייד לאחר שהמערכת מתנתקת מהקיר? על מערכת בעלת נתונים זהים ואורך קפיץ רפוי l מופעל כוח קבוע ואופקי F לכיוון המסומן בציור. מה ההתארכות המקסימלית של הקפיץ? 15.24 נתונה דיסקה ממוסמרת במרכזה לקיר )כלומר הדיסקה יכולה להסתובב אך לא לנוע מעלה ומטה(. הדיסקה בנויה משתי דיסקות מודבקות בעלות רדיוס r לדיסקה הקטנה וR לדיסקה הגדולה. סביב הדיסקות מלופפים חוטים כמתואר בשרטוט. עוד נתון כי אין החלקה לחוטים. מצא את תדירות התנודות. מהי האנרגיה הכוללת של המערכת?
תנע זוויתי 16.1 כדור בעל מסה m מחובר לחוט בעל אורך l ומסתובב במעגל אנכי. נתון כי מהירת הכדור בשיא הגובה היא v. 0 מצא את מומנט הכוח הפועל על הכדור כפונקציה של הזווית α. מצא את התנע הזוויתי של הכדור כפונקציה של הזווית α. v 0 16.2 כדור קטן נע בתוך חרוט המחובר הפוך למשטח. נתון כי מהירות הכדור ההתחלתית היא לדופן החרוט. גובהו ההתחלתי H. מצא את הגובה המקסימאלי אליו יגיע הכדור )החרוט אינו זז(. הנחיות: מספיק להגיע למשוואה ממעלה שלישית על h אין צורך לפתור אותה. בכיוון אופקי ומשיק 16.3 מסה m נעה על שולחן חסר חיכוך ומחובר באמצעות חוט העובר דרך מרכז השולחן למסה M התלויה באוויר. אורך החוט הוא L. נתון כי ב 0=t המסה M נמצאת במנוחה והמסה m נמצאת במרחק R ממרכז הלוח, במהירות התחלתית v, 0 בכיוון מאונך לרדיוס. רשום את משוואת שימור האנרגיה והתנע הזוויתי ומצא משוואה דיפרנציאלית התלויה רק בגודל r, מרחק המסה m ממרכז השולחן.
16.4 נתון גלגל בעל רדיוס r המסתובב במהירות זוויתית ω קבועה. לגלגל עובי a וראשית הצירים נמצאת במרכז העובי של הגלגל. אל הקצה העליון של הגלגל מחוברת מסה נקודתית m )ראה ציור( המסתובבת ביחד עם הגלגל. הראה כי התנע הזוויתי של המסה תלוי בזמן. הראה כי שינוי התנע הזוויתי ניתן ע"י מומנט הכוח של הכוח הצנטריפטלי. 16.5 מוט בעל אורך l ומסה M מונח בזווית φ ביחס לציר ה z. המוט מסתובב סביב ציר ה z במהירות זוויתית קבועה ω. מצא את מומנט הכוח שפועל על המוט.