ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης Η διατύπωση προβλημάτων σχεδιασμού με μαθηματικούς όρους
Μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης Να βρεθεί το το fx X. που ελαχιστοποιεί Που υπόκειται στους περιορισμούς gi X 0, i 1,2,..., m l X 0, j 1,2,..., p j 1 2. n
Μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης Όπου Το Χ είναι ένα n-διάστατο διάνυσμα που ονομάζεται διάνυσμα σχεδιασμού f(x) είναι η αντικειμενική συνάρτηση, και g i (X) και l j (X) ονομάζονται ανισοτικοί και ισοτικοί περιορισμοί αντίστοιχα. Αυτού του είδους τα προβλήματα ονομάζονται προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς Υπάρχουν όμως και προβλήματα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς.
Επιφάνεια αντικειμενικής συνάρτησης Εάν θεωρήσουμε τον γεωμετρικό τόπο όλων των σημείων που ικανοποιούν τη σχέση f(x)=c, όπου c μια σταθερά, τότε μπορούμε να σχεδιάσουμε μια οικογένεια επιφανειών στο χώρο που ορίζεται από τις μεταβλητές σχεδιασμού που ονομάζονται επιφάνειες της αντικειμενική συνάρτησης. Εάν αυτές οι επιφάνειες σχεδιαστούν με τις επιφάνειες που ορίζονται από τους περιορισμούς του προβλήματος όπως στο παρακάτω σχήμα, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το βέλτιστο. Αυτό είναι δυνατό να γίνει σχεδιαστικά μόνο όταν ο αριθμός των μεταβλητών σχεδιασμού είναι το πολύ δύο. Όταν έχουμε περισσότερες μεταβλητές σχεδιασμού λόγω πολυπλοκότητας της επιφάνειας της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα ως ένα μαθηματικό πρόβλημα καθώς η οπτικοποίηση του προβλήματος σε αυτή την περίπτωση δεν είναι εφικτή.
Μεταβλητές και περιορισμοί Μεταβλητές Χωρίς μεταβλητές, δεν μπορούμε να ορίσουμε την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς του προβλήματος Περιορισμοί Παρόλο που οι περιορισμοί δεν είναι απαραίτητοι σχεδόν κάθε ρεαλιστικό πρόβλημα έχει περιορισμούς. Σε πολλά πρακτικά προβλήματα οι μεταβλητές σχεδιασμού δεν μπορεί να επιλεγούν αυθαίρετα. Οι σχεδιαστικοί περιορισμοί επιβάλλουν δεσμεύσεις που πρέπει να ικανοποιηθούν προκειμένου να επιτευχθεί ένας αποδεκτός σχεδιασμός.
Περιορισμοί (συνέχεια) Οι περιορισμοί αδρά μπορούν να ταξινομηθούν ως εξής: Συμπεριφορικοί ή Λειτουργικοί περιορισμοί: Τέτοιοι μπορεί να είναι περιορισμοί που έχουν να κάνουν με τη συμπεριφορά και την απόδοση του συστήματος. Γεωμετρικοί ή Παράπλευροι περιορισμοί: Σχετίζονται με τα φυσικά όρια των μεταβλητών σχεδιασμού όπως η διαθεσιμότητα, η κατασκευασιμότητα και η μεταφορικότητα.
Επιφάνειες περιορισμών Ας θεωρήσουμε το προηγούμενο πρόβλημα βελτιστοποίησης με μόνο τους ανισοτικούς περιορισμούς g i (X). Το σύνολο των τιμών του Χ που ικανοποιούν τη συνάρτηση g i (X) ορίζει μια συνοριακή επιφάνεια στο χώρο σχεδιασμού που ονομάζεται επιφάνεια περιορισμού. Η επιφάνεια περιορισμού χωρίζει το χώρο σχεδιασμού σε δύο περιοχές: μία όπου g i (X)<0 (εφικτή περιοχή) και μία όπου g i (X)>0 (ανέφικτη περιοχή). Τα σημεία που βρίσκονται στη διεπιφάνεια ικανοποιούν τη σχέση g i (X)=0.
Το σχήμα δείχνει έναν υποθετικό διδιάστατο χώρο σχεδιασμού όπου η εφικτή περιοχή ορίζεται από τη διαγράμμιση.
Διατύπωση προβλημάτων βελτιστοποίησης ως προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού Στα παρακάτω βήματα συνίσταται η διαδικασία διατύπωσης και επίλυσης προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού 1. Ανάλυση της διαδικασίας προσδιορισμού των μεταβλητών και ιδιαίτερων χαρακτηριστικών ενδιαφέροντος δηλ. κατάρτιση της λίστας των μεταβλητών σχεδιασμού. 2. Προσδιορισμός του κριτηρίου βελτιστοποίησης και ακολούθως της αντικειμενικής συνάρτησης βάσει των ανωτέρω μεταβλητών.
3. Η ανάπτυξη μέσω μαθηματικών εκφράσεων ενός έγκυρου αριθμητικού μοντέλου που συσχετίζει της μεταβλητές εισόδουεξόδου της διαδικασίας. i. Η συμπερίληψη τόσο ισοτικών όσο και ανισοτικών περιορισμών ii. Η χρήση γνωστών φυσικών εννοιών iii. Ο προσδιορισμός εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών για την εύρεση των βαθμών ελευθερίας του προβλήματος. 4. Αν το πρόβλημα έχει πολλές διαστάσεις: i. Κατακερματισμός σε μικρότερα διαχειρίσιμα μέρη/ή ii. Απλούστευση του μοντέλου και της αντικειμενικής συνάρτησης 5. Εφαρμογή της κατάλληλης τεχνικής βελτιστοποίησης για την μαθηματική διατύπωση του προβλήματος 6. Εξέταση της ευαισθησίας της απόκρισης του συστήματος σε μεταβολές των παραμέτρων και των υποθέσεων του μοντέλου.
Η «κατάρα» των διαστάσεων Θα μπορούσε κανείς να πει ότι αρκεί να λύσουμε το πρόβλημα για κάθε δυνατό συνδυασμό των μεταβλητών και να πάρουμε τον καλύτερο δυνατό Έστω πρόβλημα με n μεταβλητές Έστω m δείγματα για κάθε μεταβλητή m n απαιτούμενοι υπολογισμοί Αν χρειάζεται 1sec κάθε ανάλυση, n=10, m=10: συνολικός απαιτούμενος χρόνος 317 χρόνια!
Πιθανές παγίδες! Κατάλληλη διατύπωση του προβλήματος! Η επιλογή του σωστού αλγορίθμου για το δεδομένο πρόβλημα Πολλοί αλγόριθμοι περιέχουν πολλές παραμέτρους ελέγχου Η βελτιστοποίηση τείνει να εκμεταλλεύεται τις αδυναμίες του μοντέλου Η βελτιστοποίηση μπορεί να οδηγήσει σε πολύ ασταθείς σχεδιασμούς Μερικά προβλήματα είναι απλώς πολύ δύσκολα/ μεγάλα/ κοστοβόρα.
Η συμβουλή του Einstein «Κάθετι πρέπει να είναι όσο πιο απλό γίνεται, αλλά όχι πιο απλό.» Η απλοποίηση του μοντέλου έχει ιδιαίτερη σημασία στη βελτιστοποίηση.
Πρόβλημα Βελτιστοποίησης Μεταβλητές σχεδιασμού: μεταβλητές με βάσει των οποίων έχει παραμετροπποιηθεί το πρόβλημα: Στόχος: ποσότητα προς ελαχιστοποίηση (μεγιστοποίηση) Συνήθως ονομάζεται ( συνάρτηση κόστους ) f () Περιορισμός: συνθήκη που πρέπει να ικανοποιηθεί 1, 2,, n Ανισοτικός περιορισμός: Ισοτικός περιορισμός: g( ) 0 h( ) 0
Πρόβλημα βελτιστοποίησης (Συνεχ.) Γενική μορφή προβλήματος βελτιστοποίησης: subject to : min g( ) h( ) f X ( ) 0 0 n
Προβλήματα: Ταξινόμηση Μέ ή χωρίς περιορισμούς Ενός ή πολλαπλών επιπέδων Ντετερμινιστικά ή στοχαστικά Ενός ή πολλών αντικειμενικών στόχων Αποκρίσεις: Γραμικές ή μη γραμμικές Κυρτές ή μη κυρτές Λείες ή μη λείες Μεταβλητές: Συνεχείς ή διακριτές (ακέραιες, ταξινομημένες, αταξινόμητες)
Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης Τα προβλήματα βελτιστοποίησης συνήθως επιλύονται μέσω επαναληπτικών αλγορίθμων: Σταθερές Μοντέλο Αποκρίσεις f, g, h Μεταβλητές Σχεδιασμού Παράγωγοι των αποκρίσεων (Ευαισθησίες του σχεδιασμού) Βελτιστοποιητής f i, g i, h i
Ορισμός μοντέλου σχεδίασης και πρόβλημα βελτιστοποίησης 1. Τι μπορεί να αλλάξει (βελτιωθεί) και πως μπορεί μπορεί να περιγραφεί ο σχεδιασμός; Διαστάσεις Στοίβαξη αλληλουχία των ελασμάτων Προσανατολισμός των φύλλων των ελασμάτων Πάχος Ελαστικό αεροσκάφουςbridgestone Για κατασκευές: προσδιορισμός μεταβλητών μεγέθους, υλικού και σχήματος
Προσδιορίζοντας το πρόβλημα 2. Ποιό είναι το «βέλτιστο»; Προσδιορισμός αντικειμενικής συνάρτησης Βάρος Κόστος παραγωγής Κόστος διάρκειας ζωής του έργου Κέρδη 3. Ποιά είναι τα όρια; Προσδιορισμός περιορισμών: Τάσεις Φορτίο λυγισμού Ιδιοσυχνότητες
Προσδιορίζοντας το πρόβλημα (συνέχ.) 4. Βελτισοποίηση: εύρεση κατάλληλου αλγορίθμου επίλυσης προβλήματος βελτιστοποίησης. Η επιλογή εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του προβλήματος: Αριθμός των μεταβλητών σχεδιασμού, περιορισμών Υπολογιστικό κόστος εκτίμησης της συνάρτησης Διαθεσιμότητα ευαισθησιών; Συνεχείς / διακριτές μεταβλητές σχεδιασμού; Λείες συναρτήσεις αποκρίσεων; Θόρυβος; Πολλά τοπικά ελάχιστα; (μη κυρτότητα)
Ανακεφαλαίωση Προσδιορίζοντας το πρόβλημα: 1. Επιλογή μεταβλητών σχεδιαμού και των ορίων τους 2. Διατύπωση στόχου (βέλτιστο;) 3. Διατύπωση περιορισμών (απαγορεύσεις;) 4. Επιλογή κατάλληλου αλγορίθμου βελτιστοποίησης
Τυπικές μορφές Υπάρχουν διάφορες τυπικές μορφές: h g n X f 0 ) ( 0 ) ( ) ( to : subject min Αρνητική μηδενική μορφή: 0 ) ( 0 ) ( h g Θετική μηδενική μορφή: 1 ) ( 1 ) ( h g Αρνητική μοναδιαία μορφή: 1 ) ( 1 ) ( h g Θετική μοναδιαία Μορφή:
Παραδείγματα βελτιστοποίησης κατασκευών Συνήθης αντικειμενική συνάρτηση: βάρος W ( ) f W ( ) Συνήθης περιορισμός: μέγιστη τάση, μέγιστη μετατόπιση 0 Προσοχή στην κανονικοποίηση! g ma ( ) allowed 1 0 g ma ( ) allowed 0 Κανονικοποιημένος ή Μη κανονικοποιημένος