ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΧΥΣΗ Α ΡΑΝΩΝ ΡΥΠΩΝ

ΙΑΧΥΣΗ Α ΡΑΝΩΝ ΡΥΠΩΝ Στην αρχική περιοχή οι δυνάμεις αδρανείας και οι ανωστικές δυνάμεις διαδραματίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην αραίωση των λυμάτων κατά την κατακόρυφη άνοδό τους ή την οριζόντια εξάπλωσή τους είτε στην ελεύθερη επιφάνεια, είτε σε κάποιο βάθος για στρωματισμένο υδάτινο αποδέκτη. Στη συνήθη περίπτωση διάθεσης λυμάτων με πυκνότητα που διαφέρει λίγο (π.χ. 0.0 gr/cm 3 ) από την πυκνότητα του υδάτινου αποδέκτη (π.χ. αστικά λύματα σε θάλασσα μέσω υποβρύχιου αγωγού) τα δυναμικά χαρακτηριστικά της ανωστικής φλέβας επικρατούν σε μία κοντινή περιοχή, αλλά συνήθως είναι αμελητέα όταν τα λύματα αραιωθούν περισσότερο από 10000 φορές. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουμε την «μακρινή» περιοχή διασποράς, δηλαδή την περιοχή εκείνη στην οποία η αραίωση είναι ήδη αρκετά μεγάλη έτσι ώστε να μην επηρεάζεται η περαιτέρω διασπορά των λυμάτων από τη διαφορά πυκνότητας αραιωμένων ρύπων από το περιβάλλον ρευστό. Υποθέτουμε, ότι οι ρύποι διαχέονται και μεταφέρονται παθητικά (passive tracer), δηλαδή υποθέτουμε ότι οι ρύποι έχουν αμελητέα αρχική ταχύτητα και διαφορά πυκνότητας απότοπεριβάλλοντους

ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΧΥΣΗΣ A B S V Υποθέτουμε ότι έχουμε δύο ρευστά Α και Β ίδιας πυκνότητας σε ηρεμία. Υποθέτουμε ότι τα μόρια του ενός είναι, κατά κάποιο τρόπο, σημαδεμένα. Ας φαντασθούμε μια νοητή επιφάνεια S, η οποία περικλείει ένα όγκο V. Όλα τα μόρια όπως είναι γνωστό βρίσκονται σε τυχαία, συνεχή κίνηση. Η τυχαία περιπλάνηση των μορίων δια μέσου της νοητής αυτής επιφάνειας, οδηγεί στατιστικά σε μια ροή των σημαδεμένων μορίων έξω από τον όγκο V. Αυτή η ροή σημαδεμένων μορίων δια μέσου της επιφάνειας S, καλείται μοριακή διάχυση της ύλης.

ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ Η μεταφορά σημαδεμένων μορίων ανά μονάδα επιφανείας του όγκου V και ανά μονάδα χρόνου είναι ανάλογη της διαφοράς της συγκέντρωσης c των σημαδεμένων μορίων στους χώρους Α και Β και δίνεται από τη σχέση (για μια διάσταση) c(x, t) -D x που είναι μια σχέση γραμμικής εξάρτησης της ροής των σωματιδίων από την βαθμίδα (gradient) της συγκέντρωσής τους και ονομάζεται νόμος του Fick. D είναι ο συντελεστής μοριακής διάχυσης ο οποίος γενικά είναι συνάρτηση της συγκέντρωσης των σημαδεμένων μορίων, της διαμέτρου των και της θερμοκρασίας. Για μικρές όμως συγκεντρώσεις c και για ένα ορισμένο διαχεόμενο υλικό, το D μπορεί να θεωρηθεί ως μια σταθερά. Το D έχει διαστάσεις (μήκος) / χρόνος.

Γενικά μπορούμε να γράψουμε, ότι η ροή των σωματιδίων (μορίων) ανά μονάδα χρόνου, μέσα απότηστοιχειώδηεπιφάνεια ds, είναι: Dgradc(x,t)n(x,t)dS όπου n(x,t) το μοναδιαίο διάνυσμα το κάθετο στη στοιχειώδη επιφάνεια ds στο σημείο και gradc(x, t) ηβαθμίδα(gradient) της συγκέντρωσης. Συνεπώς η συνολική ροή των σωματιδίων μέσα από την επιφάνεια S που περιβάλλει τον όγκο V είναι: S Dgradc(x,t) n(x,t)ds Αν c( x, t)/ t είναι η αλλαγή του αριθμού των σημαδεμένων μορίων ανά μονάδα όγκου και χρόνου, τότε η αλλαγή στον αριθμό των σημαδεμένων μορίων στον όγκο V είναι: c dv t V

V c dv t = Dgradc( x, t) n( x, t) ds S = V div( D gradc) dv Επειδή αυτό ισχύει για κάθε αυθαίρετο όγκο V, συμπεραίνουμε ότι c = t div( D gradc) = Ddiv( gradc) = D + + t x y z c c c c Αν το ρευστό κινείται με ταχύτητα u (u, v, w) τότε η εξίσωση διάχυσης λαμβάνεται αντικαθιστώντας την μερική παράγωγο με την ολική, οπότε έχουμε την εξίσωση μοριακής διάχυσης: t x y z x y z c c c c c c c + u + υ + w = D + +

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΙΑΧΥΣΗΣ Υποθέτουμε ότι η εξίσωση της μοριακής διάχυσης ισχύει στιγμιαία σε μια τυρβώδη ροή. Αναλύουμε τη στιγμιαία συγκέντρωση c ως εξής: όπου c(x, t)=c(x, t)+c'(x, t) T+t 1 c(x,t) = c (x,t )dt T t T+t 1 c' = c dt = 0 T t Ανάλογα αναλύουμε το στιγμιαίο πεδίο ταχυτήτων. Για απλούστευση θεωρούμε διάχυση μόνο στον άξονα x οπότε λαμβάνουμε: c c' c c c' c' c c' + + u + u' + u + u' = D + D t t x x x x x x Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης ως προς το χρόνο, από 0 έως Τ, και λαμβάνοντας υπόψη ότι T u'dt = 0, c 'dt = 0 T 0 0 t x y z x y z c c c c c c c + u + υ + w = D + +

καθώς και την εξίσωση της εξίσωση της διάχυσης γίνεται: συνέχειας divu=0, η Ο όρος + u + = D t x x x c c (u'c) c T 1 uc = u'(x,t)c'(x,t)dt T 0 οφείλεται στις διακυμάνσεις της ταχύτητας και της συγκέντρωσης, περιγράφει δε την επιτάχυνση της διάχυσης λόγω των διακυμάνσεων της τυρβώδους ροής. Από πλευράς μεγέθους, είναι πολύ μεγαλύτερος από τον όρο της μοριακής διάχυσης, ο οποίος συνήθως θεωρείται αμελητέος σε περιπτώσεις τυρβώδους διάχυσης. Το πεδίο ταχυτήτων υποτίθεται ότι είναι γνωστό. Παρά όλα αυτά δεν μπορεί να προχωρήσει η λύση της εξίσωσης, λόγω ύπαρξης αγνώστου όρου. Γιαναμπορέσουμεναλύσουμετηνεξίσωσημε ορισμένες αρχικές και οριακές συνθήκες, πρέπει να εκφράσουμε τον άγνωστο όρο ως συνάρτηση της μέσης συγκέντρωσης.

Μια υπόθεση η οποία εφαρμόζεται συχνά είναι, ότι ο όρος είναι ανάλογος της βαθμίδας της συγκέντρωσης, δηλαδή: T 1 uc = u'(x,t)c'(x,t)dt T Συνεπώς έχουμε 0 c uc = K x x c c c c ( ) c + u = D + K X = D+ KX t x x x x x x Πειραματικές μετρήσεις έχουν δείξει ότι ο συντελεστής μοριακής διάχυσης D είναι πολύ μικρότερος από τον τυρβώδη συντελεστή διάχυσης K x. Κανείς δεν περιμένει να διαλυθεί η ζάχαρη στο τσάι του από μοριακή διάχυση, αλλά προκαλεί με ανάμειξη τύρβη, οπότε λαμβάνει χώρα τυρβώδης διάχυση και συνεπώς ταχύτατη διάλυσή της. Εξίσωση τυρβώδους διάχυσης c c c c c c c u v w K X K Y K + + + = + + Z t x y z x x y y z z

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΙΑΧΥΣΗΣ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΥΣΗΣ ΛΟΓΩ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑΣ ΕΓΧΥΣΗΣ ΡΥΠΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΟΡΙΑΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΧΥΣΗΣ Έστω ρευστό σε ηρεμία και για διάχυση σε μια μόνο διεύθυνση. Υποθέτουμε ότι όλος ο χώρος είναι άπειρος και χωρίς ρύπους. Στο χρόνο t=0 μια μάζα ρύπων Μ καταλαμβάνει στιγμιαία την θέση x=0 και αρχίζει να διαχέεται. 0.60 C(x,t), gr/cm 3 0.40 t=1 sec 0.0 t=10 sec 0.00 t=100 sec x -0.00-10.00 0.00 10.00 0.00 gaus1 Σχήμα.3.1 Η κατανομή Gauss που περιγράφει την διάχυση απο στιγμιαία έγχυση μάζας Μ=1 gr στη θέση x=0 την χρονική στιγμή t=0. O συντελεστής διάχυσης ελήφθη ίσος με 0. cm /sec,τιμή που αντιστοιχεί σε διάχυση υδρατμών στον αέρα.

Έτσι η εμφάνιση ρύπου σε τυχούσα απόσταση x είναι αποτέλεσμα της διάχυσης. Σ αυτήν την περίπτωση είναι προφανές ότι η διάχυση λαμβάνει χώρα στον άξονα x, ηδεσυγκέντρωση c είναι ανεξάρτητη των συντεταγμένων y και z, οπότε: u υ w + + + = D + + t x y z x y z c c c c c c c c t c =D x Οι αρχικές συνθήκες (χρόνος t=0) είναι: c(x, 0) = δ(x)m όπου δ(x) είναι το δ του Dirac, δηλαδή + c(x,0) δ (x)dx = M Υποθέτουμε επίσης (οριακές συνθήκες) ότι: c(±,t)=0

Η λύση της εξίσωσης διάχυσης με τις παραπάνω οριακές συνθήκες δίνεται από τον τύπο c(x,t) = Μ 4π t D e x 4 t D Παρατηρούμε ότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή το σύνολο της μάζας του ρύπου που είναι Μ δίνεται από το ολοκλήρωμα της συγκέντρωσης: + + c (x,t) dx= c (x,t ) dx = M

Η λύση της εξίσωσης διάχυσης c(x,t) = Μ 4π t D e x 4 t D Η μέγιστη συγκέντρωση λαμβάνεται για x=0 και μειώνεται ανάλογα με το t -1/. Παρατηρούμε δηλαδή, ότι ο ρύπος που ήταν συγκεντρωμένος στο επίπεδο x=0 στο χρόνο t=0, αρχίζει και εξαπλώνεται σε όλο το διάστημα και ότι όσο πλαταίνει η καμπύλη των συγκεντρώσεων c(x,t) του ρύπου, τόσο μειώνεται η μέγιστη (που προφανώς λαμβάνεται για x=0). Σε απώτερο χρόνο ο ρύπος θα έχει εξαπλωθεί σ όλο το χώρο η συγκέντρωση θα τείνει να μηδενισθεί.

Αν ολοκληρώσουμε τη διαφορική εξίσωση από από x = - έως x = + αφού πρώτα πολλαπλασιάσουμε επί x θα καταλήξουμε: 1dσ D= σ () t = Dt dt δηλαδή η διακύμανση σ του πεδίου ρύπανσης αυξάνει γραμμικά με το χρόνο. c(x,t ) 1 σ σ t 1 c(x,t ) - + 8 t X 8 Σχήμα.3.: Διάχυση από στιγμιαία εμφάνιση ρύπου στο επίπεδο χ = 0, συνολικής μάζας Μ, την χρονική στιγμή t = 0.

Ηδιακύμανσησ δίνει ένα μέτρο της εξάπλωσης της κατανομής. Συχνά η τυπική απόκλιση σ (τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης), χρησιμοποιείται σαν μέτρηση της διάχυσης. Όπως φαίνεται στον πίνακα κατανομής Gauss, το πλάτος διάχυσης 4σ περιλαμβάνει περίπου το 95% της ολικής μάζας ή του εμβαδού της επιφάνειας κάτω της κατανομής συγκέντρωσης. σ C π 1.0 0.5 4σ C -3 - -1 0 1 3 x σ Σχέση μεταξύ του 4σ και της κανονικής κατανομής

Τιμές της συνάρτησης λάθους (error function, erf) και του ολοκληρώματος της κανονικής κατανομής,c a x x 1 x erf σ σ /σ exp( x / σ dx σ π 0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.119 0.0398 0. 0.7 0.0793 0.3 0.386 0.1197 0.4 0.484 0.1554 0.5 0.505 0.1915 0.6 0.6309 0.57 0.7 0.6778 0.580 0.8 0.741 0.881 0.9 0.7969 0.3159 1.0 0.847 0.3413 1. 0.9103 0.3849 1.4 0.953 0.419 1.6 0.9763 0.445 1.8 0.9891 0.4641.0 0.9953 0.4773.5 0.9996 0.4938 3.0 0.99998 0.4987 4.0 0.49996 1.0000 0.5000 3 5 7 θ θ θ erf ( θ ) = θ + +... π 31! 5! 73!

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΙΑΧΥΣΗΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΑΠΟ ΕΚΤΗ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ Η ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΡΥΠΩΝ ΩΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ C(0,t) Το επόμενο πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε είναι όταν η συγκέντρωση δίνεται σαν συνάρτηση του χρόνου σε κάποιο σταθερό σημείο x. Αν ο αποδέκτης είναι άπειρος, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε, ότι γνωρίζουμε τη συγκέντρωση στο σημείο x =0, χωρίς απώλεια της γενικότητας. Κατ αρχάς εξετάζουμε την πλέον απλή περίπτωση, όπου: στον αρχικό χρόνο t=0 η συγκέντρωση είναι μηδέν σε κάθε σημείο κατά μήκος του άξονα x, και η συγκέντρωση ξαφνικά αυξάνεται στο C 0 στο σημείο x = 0 και παραμένει στην τιμή αυτή για οποιαδήποτε χρονική περίοδο. Το ζητούμενο είναι να βρεθεί η κατανομή της συγκέντρωσης C(x,t). Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το πρόβλημα παραμένει ίδια, αλλάζει μόνο η αρχική συνθήκη c t c =D x

Λύση: C = C0 1 erf x 4Dt C\C0 t = t1 t = t t = t 3 x Η απόσταση από ένα σημείο που έχει συγκεκριμένη τιμή του λόγου C/C 0 αυξάνεται ανάλογα με Dt Το πρόβλημα αυτό έχει πλήρη αναλογία με το πρώτο πρόβλημα του Stokes στη Ρευστομηχανική (ξαφνική κίνηση πλάκας σε άπειρο χώρο με σταθερή ταχύτητα). Αντί της ταχύτητας, έχουμε τώρα συγκέντρωση και αντί κινηματικού ιξώδους έχουμε συντελεστή διασποράς.

ΛΥΣΕΙΣΤΗΣΜΟΡΙΑΚΗΣΕΞΙΣΩΣΗΣ ΙΑΧΥΣΗΣΣΕ ΚΑΙ 3 ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Υποθέτουμε ότι η μάζα ενός ρύπου που διαχέεται παθητικά έχει τοποθετηθεί στιγμιαία τη χρονική στιγμή t=0στην αρχή των συντεταγμένων ενός καρτεσιανού συστήματος x-y σε διδιάστατο ρευστό. Η αρχική συνθήκη μπορεί να γραφεί: C(x, y,0) = M δ(x) δ(y) u υ w + + + = D + + t x y z x y z c c c c c c c t x y C = D C x + D C y Η λύση μπορεί να επιτευχθεί ως εξής. Ορίζουμε Cxyt (,, ) = C( xtc, ) ( yt, ) 1 C C C C ( CC ) C C DC x DC y t t t x y 1 1 1 = 1 + = + 1 C C C C C D C D t x t y 1 1 x + 1 y = 0

Αυτή η εξίσωση θα ικανοποιηθεί αν οι ποσότητες εντός των συμβόλων είναι μηδέν ξεχωριστά, δηλαδή αν τα C 1 και C ικανοποιούν τις εξισώσεις της μονοδιάστατης διάχυσης M x y C= CC 1 = exp 4 t D D 4D t 4D t π x y x y Η εξίσωση δίνει γραμμές σταθερής συγκέντρωσης που είναι ομάδα ομόκεντρων ελλείψεων, με μήκη αξόνων σε αναλογία με το λόγο. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε την λύση της διάχυσης και στις τρεις διαστάσεις. Μπορούμε συνεπώς να δείξουμε ότι αν η μάζα Μ των ρύπων εναποτίθεται στην αρχή των καρτεσιανών συντεταγμένων x,y,z σε τρισδιάστατο ρευστό σε χρόνο t=0 η τελική διανομή συγκέντρωσης δίνεται από: ( ) C x,y,z,t M x y z = exp 4D t 4D t 4D t 3/ ( 4 t) ( DxDyDz) c(x,t) = 1/ π x y z Μ e 4π t D x 4 t D