ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Εισαγωγικό παράδειγµα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Εισαγωγικό παράδειγµα Τρεις µέθοδοι διδασκαλίας εφαρµόστηκαν σε άτοµα (ανά 8 η κάθε µία) και µετά εξετάστηκαν σε κοινά θέµατα. Η βαθµολογία ήταν: Ερώτηµα: Επηρεάζει η µέθοδος τη βαθµολογία? Αθροίζοντας τις βαθµολογίες και βρίσκοντας µέσους διαπιστώνεται ότι οι δύο πρώτες µέθοδοι δίνουν περίπου ίση χαµηλή βαθµολογία διαφορετική από την µεγαλύτερη για τη µέθοδο 3. Μέθ. Μέθ. Μέθ. 3 3 5 8 3 9 3 8 7 5 6 7 8 6 7 9 9 Σύν. 38 37 6.75.65 7.75 Ένας έλεγχος µε t-test ή µε Mann-Wtney test,ανά δύο τις µεθόδους θα έδινε απάντηση στο ερώτηµα. Καλύτερη µέθοδος είναι η Kruskal-Wallsη οποία λαµβάνει υπόψη και τις συσχετίσεις µεταξύ των µεθόδων. Θα µπορούσαµε να µελετήσουµε το πρόβληµα και µε βωβές µεταβλητές, όπως θα δούµε πιο κάτω. x Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Μοντέλο Ανάλυση ιασποράς 3 Μοντέλο: Υπόθεση: j= µ + α+ ε j ε =, ε =, ε = j j 3j j j j Εφαρµογή στο παράδειγµα Συµβολισµοί j r = j = j η j-στη παρατήρηση στην κατηγορία r j= j r = το άθροισµα στην κατηγορία =,,..., j=,,..., r το µέσο άθροισµα στην κατηγορία Μέθ. Μέθ. Μέθ. 3 Υ =µ+α +ε Υ =µ+α +ε Υ 8 =µ+α +ε 8 Υ =µ+α +ε Υ =µ+α +ε Υ 8 =µ+α +ε 8 Υ 3 =µ+α 3 +ε 3 Υ 3 =µ+α 3 +ε 3 Υ 38 =µ+α 3 +ε 38 Υ./8=µ+α Υ./8=µ+α Υ 3./8=µ+α 3 = r = j= j r = j= j n = εδώ =3, r =8 το συνολικό άθροισµα ο γενικός µέσος Υπολογισµοί SSE= = r r ( j ) j = j= = j= = r ( ) = = r n r r ( j ) j = j= = j= n SSA= r = SST= = Αν τότε SSA=, και SST=SSE. SST=SSA+SSE =, Αν =,, j j τότε SSE=, και SST=SSA. αθ. τετρ. αποκλίσεων από το µέσο κάθε κατηγορίας αθ. τετρ. αποκλίσεων µε την υπόθεση όλες οι κατηγορίες έχουν τη δική τους τιµή συνολικό αθ. τετρ. αποκλίσεων Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Ερµηνεία αθροισµάτων SSE, SSA 5 Παρατηρήστε ότι αν συµβεί όλα τα να είναι ίσα µε τότε το SSE=και SST=SSA, δηλαδή στην περίπτωση αυτή όλη η διασποράοφείλεται στις κατηγορίες του παράγοντα Α. Εποµένως οι ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣτου παράγοντα Α είναι πολύ σηµαντικές Όµοια αν όλα τα βρεθούν ίσα µε τότε το SSA=και SST=SSE, j δηλαδή στην περίπτωση αυτή όλη η διασποράοφείλεται σε καθαρά σφάλµατα µετρήσεων. Εποµένως οι ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣτου παράγοντα Α δεν έχουν καµία σηµασία. Η εφαρµογή στο παράδειγµα 6 Είναι =3, r =8, n= = 38, = 37, = 6, = 37 3 r 38 37 6 SSE= 99 j = + + = 86.875 j r 8 8 8 = = = 38 37 6 37 SSA= = + + = 5.83 = r n 8 8 8 r 37 SST= j = 99 = 36.958 n = j= Αποδεικνύεται SSA ~χ SSE ~χ n SST ~χ n Εδώ SSA ~χ SSE ~χ SST ~χ 3 Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 3

Κατανοµές αθροισµάτων Γενικά για τον υπολογισµό των βαθµών ελευθερίας αθροισµάτων µε όρους που κατανέµονται µε τυπική κανονική κατανοµή, ισχύει: β.ε. (για SS)= Στο SSΤ Στο SSE Στο SSA πλήθος ανεξάρτητων πλήθος ανεξάρτητων τετραγώνων που παραµέτρων που υπολογίζουν το SS εκτιµώνται r έχουµε nτετράγωνα από τα οποία SST= j υπολογίζεται µία παράµετρος = j= η.. β.ε.=n- r έχουµε n τετράγωνα από τα οποία υπολογίζονται παράµετροι SSE= j οι.,.,,. β.ε.=n- έχουµε τετράγωνα από τα οποία υπολογίζονται παράµετρος η.. β.ε.=- ΘΕΩΡΗΜΑ Η : α =α = =α ( ) = j= ( ) = ( ) SSA= r SSA( ) F Η : όχι η Η / = ~ F SS Ε /( n ), n 7 Πίνακας ANOVA 8 Πηγή Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F Παράγοντας Α (µεταξύ οµάδων) Υπόλοιπα (ανάµεσα στις οµάδες) ( ) j = j= r j = j= = r = r SSE= = = = = SST SSA - n- SST= ( ) j = = j= Σύνολο r n- = j n r = j= ( ) SSA= r = = = r n SSA MSA= SSE MSE = n MSA F= MSE Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Ο πίνακας ANOVA στο παράδειγµα 9 Πηγή Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F ΜΕΘΟ ΟΙ (µεταξύ οµάδων) Υπόλοιπα (ανάµεσα στις οµάδες) Η υπόθεση 5.83 5. 6.5 86.875. Σύνολο 36.958 3 Η : α =α = =α Η : όχι η Η ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ σε α=. διότι F,;. =5.85, και F,3;. =5.39 F,;. 5.8 Η σταθερά µ του µοντέλου ANOVA Στο µοντέλο η σταθερά µ µπορεί να j θεωρείται ότι παριστάνει τον γενικό µέσο όρο των παρατηρήσεων. Ισχύουν: = µ + α+ ε j ( j) ( j) E = µ + α = E = µ + α =... ( ) E = µ + α = j rα + rα +... + rα = µ + r+ r+... + r Αν rα + rα +... + rα = τότε = µ α+ α +... + α = όταν r =r = =r Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 5

Η σταθερά µ µπορεί να είναι ο µέσος Αν αντίθετα. rα+ r α +... + r α r+ r+... + r = α και θέσουµε µ * = µ + α α * = α α οπότε = µ + α+ ε = ( µ + α) + ( α α) + ε j= µ * + α * + εj j j j Επειδή έχουµε rα * + r α * +... + r α * = = µ * = rα+ r α +... + r α α r= Άρα, χωρίς περιορισµό της γενικότητας το µ µπορεί να θεωρείται ως ο γενικός µέσος. Συντελεστής η -Αντιθέσεις Ορισµός SSA η = SST Είναι ανάλογος του R αντίθεση - contrast Γενικά Η : λ α +λ α + +λ α =, µε λ +λ + +λ = ή λα=α µε λ = α vs α3 α + α vs α 3 Η : α -α 3 = Η : α +α 3 -α = Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 6

Παράδειγµα (αντοχή υλικών) 3 Α Β Γ.7.55.8.75.85.66.6.735.95.85.89.5.75..97 = 5.5 r= 3 =.66833 Βρίσκουµε = 6.85 r= =.75 = 7.365 3 3 r= 3 =.85 = 8.8 r= =.5 = 7. n= 5 =.86667 7. SST=.7 +.55 +... +.97 =.7333 5 5.5 6.85 7.385 8.8 7. SSA= + + + =.38879 3 5 SSE=.7333.38879=.9836 Ο πίνακας ANOVA στο δεύτερο παράδειγµα Πηγή ΥΛΙΚΑ (µεταξύ οµάδων) Υπόλοιπα (ανάµεσα στις οµάδες) Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F.38879 3.69.8869.9836.757 Σύνολο.733 Η υπόθεση διότι Κύριες Επιδράσεις Η : α =α =α 3 =α Η : όχι η Η ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ σε α=. F 3,;. =6.55, και F 3,;. =5.95 F 3,;. <F=.8869 αˆ =.583333333, αˆ =.666667, αˆ =.58333333, αˆ =.83333333 3 Ισχύει: 3α+ α+ α3+ α= Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 7

Άσκηση 5 Ο µετασχηµατισµός Z =α +β στο µοντέλο ANOVA, δεν µεταβάλλει το τελικό αποτέλεσµα της ανάλυσης διασποράς. Πως µεταβάλλονται οι κύριες επιδράσεις; Z = α + β r Z= α+ β α Όµοια Άρα ( ) ( ) Z= = α = α = = SSTZ= α SST και SSEZ= α SSE SSA r Z Z r SSA F Κύριες Επιδράσεις Εφαρµογή MSA MSA = Z Z MSE = Z MSE = F Z = + β n ( ) αˆ = Z Z = α = α α ˆ, =,,..., Z Z = α + β Στο προηγούµενο παράδειγµα κάντε το µετασχηµατισµό Ζ = -.5 και υπολογίστε τα SSA, SSE, SST, α, α, α3. Παρατηρείστε ότι βρίσκουµε τα ίδια αποτελέσµατα, µε απλούστερες πράξεις. Ισοδυναµία µε παλινδρόµηση Ε ΟΜΕΝΑ Α Β Γ Π X Z Z Z () () (3) ( ) () Υ 6 Υ Υ Υ 3 Υ Υ Υ Υ 3 Υ Υ Υ,r Υ,r Υ 3,r3 Υ,r Θέτουµε, στην οµάδα Α, στην οµάδα Β X=...... 3, στην οµάδα Π { {, στην οµάδα Α Ζ =, αλλού, στην οµάδα Β Ζ =, αλλού..., στην οµάδα Π Ζ = {, αλλού Υ,r Υ Υ Υ,r Υ P Υ P Υ,r Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 8

Το µοντέλο µε µεταβλητές 7 = β + β Z + β Z +... + β Z + ε, t=,,..., n t, t, t, t t όπου Τότε y y y r = y y r y r z z z3 z z z z3 z και Z= z n zn z3 n z n n r r r r r Z Z = r r r r µε Z Z = Αναµενόµενο αφού Z+ Z+... + Z n = Ένας τρόπος επίλυσης: µε γενικευµένο αντίστροφο Άλλος τρόπος επίλυσης: µε µία επιπλέον σχέση, π.χ. rβ + rβ +... + rβ = Το µοντέλο µε - µεταβλητές 8 = β + β Z + β Z +... + β Z + ε, t+,,..., n t, t, t -, t t όπου Τότε διότι y y y r = y y r y r Ισοδύναµο µε µ + α= β + β µ + α = β + β... µ + α- = β + β µ + α = β z z z3 z, z z z3 z και, Z= z n zn z3 n z, n n r r r r r Z Z = r µε Z r Z = r r... r r r r - = µ + α+ ε, =,,...,, j=,,..., r j ι j Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 9

Εφαρµογή στο πρώτο παράδειγµα 9 3 5 9 = 5 6 9 θέτουµε Άρα Ζ= { {, στη µέθοδο Ζ =, αλλού, στη µέθοδο 3 Ζ =, αλλού ε ε γ ε 8 ε γ= γ ε γ = ε8 ε 3 ε38 - - 37 38 ( ) ΖΥ= = ˆγ = Z Z - 37 8-6 8 και προσαρµόζουµε = γ + γ Z + γ Z + ε 37 8 8 Z Z = 8 8 Z Υ= 37 8 8 6 ή =Ζ γ+ ε όπου - - ( ) - Z Z = 8 - µοντέλο πρόβλεψης ˆ =.75.5 Z+ 3 Z Το συµπέρασµα 38 37 37 SSR= ˆγ Ζ ( ) = 37 5.8 n 8 = 6 37 ( ) SST = = 99 = 36.96 n Πηγή Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F Παλινδρόµηση 5.83 5. 6.5 Υπόλοιπα 86.875. Σύνολο 36.958 3 που συµφωνεί πλήρως (εκτός από την ονοµασία της πηγής) µε τον αντίστοιχο πίνακα που έδωσε η µέθοδος ANOVA. Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Άλλοι έλεγχοι Η απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης στο προηγούµενο παράδειγµα σηµαίνει ότι οι τρεις µέθοδοι διδασκαλίας διαφέρουν σηµαντικά. Μια εποπτική όµως θεώρηση των δεδοµένων οδηγεί στην υποψία ότι οι µέθοδοι και µάλλον δεν διαφέρουν µεταξύ τους. Ενδιαφέρει τότε η υπόθεση Η : α =α α 3 Η : όχι η Η Με ANOVA θα έπρεπε να θεωρήσουµε τα δεδοµένα σε δύο στάθµες οµαδοποιώντας τις µεθόδους και µαζί σε µία στάθµη, π.χ. την Α, και στη συνέχεια να επαναλάβουµε τη διαδικασία για τα νέα δεδοµένα. (Να γίνει ως άσκηση). Με παλινδρόµηση Βρίσκουµε πρώτα τη σχέση των κυρίων επιδράσεων µε τους συντελεστές παλινδρόµησης γ k. Είναι: µ + α = Z=, Z = α= α γ= µ + α = γ+ γ Z=, Z = δηλαδή α α3 γ µ + α = γ + γ Z =, Z = 3 Η υπόθεση, άρα, µετασχηµατίζεται: Η : γ =, γ Η : όχι η Η Τότε το µοντέλο ανάγεται στο περιορισµένο του = γ+ γz+ ε Εύκολα βρίσκουµε για το µοντέλο αυτό SSR Π =5., και επειδή ( SSR SSRΠ ) / 5.8 5. F = = =.< s. άρα δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση. Αυτό που δείξαµε επιπλέον µε την παλινδρόµηση, είναι ότι όχι µόνον δεν απορρίπτεται η υπόθεση ότι οι µέθοδοι, δεν διαφέρουν µεταξύ τους, αλλά διαφέρουν από την 3, αλλά και ότι αυτή η υπόθεση είναι προτιµότερη από την γενικότερη οι τρεις µέθοδοι διαφέρουν µεταξύ τους Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Ανάλυση ιασποράς µε Παράγοντες (ίσο πλήθος παρατηρήσεων σε κάθε κελί) 3 Ε ΟΜΕΝΑ: jk = Η k-στή παρατήρηση (k=,,...,r) της αντικειµενικής συνάρτησης στην (=,,...,) στάθµη του παράγοντα Α και στην j (j=,,...,q) στάθµη του παράγοντα Β Παράγοντας Α ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ: Παράγοντας Β Β Β Β q A,, r,, r q,, qr A,, r,, r q,, qr A,, r,, r q,, qr ιαφέρουν οι στάθµες του παράγοντα Α µεταξύ τους; ιαφέρουν οι στάθµες του παράγοντα Β µεταξύ τους; Υπάρχει αλληλεπίδραση των παραγόντων Α και Β; Μεταβάλλονται, δηλαδή, οι τιµές στις διάφορες στάθµες του παράγοντα Β ανεξάρτητα από τη στάθµη του Α, ή υπάρχει συσχέτιση; Το µοντέλο µε δύο παράγοντες = µ + α + β + ( αβ) + ε jk j j jk µε r k= ε =, jk =,,..., j=,,..., q γενικός µέσος Υποθέσεις κύριες επιδράσεις α= α =... = α= β= β =... = β = q ( αβ) = ( α β) =... = ( αβ) = αλληλεπιδράσεις q σφάλµατα ο παράγων Α είναι ασήµαντος ο παράγων Β είναι ασήµαντος οι αλληλεπιδράσεις των παραγόντων Α και Β είναι ασήµαντες Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Τα επί µέρους αθροίσµατα 5 αθροίσµατα γραµµών Παράγοντας Β Παράγοντας Α Β Β Β q A.. q... A.. q... A.. q........q.... αθροίσµατα στα κελιά γενικό άθροισµα αθροίσµατα στηλών Πίνακας ANOVA 6 Πηγή Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F Παράγοντας Α (γραµµές) SSA= n qr = - SSA MSA= MSA F= MSE Παράγοντας Β (γραµµές) Αλληλεπίδραση Α -Β Υπόλοιπα Σύνολο SSB= n q j r j=, q j r, j= qr = SSAB= + r n q j j= SSE= SST SSA SSB SSAB SST= n, q, r jk, j, k= q- (-)(q-) q(r-) n-= qr- SSB MSB MSB= F= q MSE MSAB= MSAB SSAB F= = MSE ( )( q ) SSE MSE = n Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 3

Έλεγχοι υποθέσεων 7. Είναι οι κύριες επιδράσεις του παράγοντα Α διαφορετικές; MSA Η : α =α = =α = Συγκρίνουµε το λόγο F= MSΕ Η : όχι η Η µε την κρίσιµη τιµή F -,q(r-);α. Είναι οι κύριες επιδράσεις του παράγοντα Β διαφορετικές; MSB Η : β =β = =β q = Συγκρίνουµε το λόγο F= MSΕ Η : όχι η Η µε την κρίσιµη τιµή F q-,q(r-);α 3. Είναι οι αλληλεπιδράσεις των παραγόντων Α, Β διαφορετικές; Η : (αβ) =(αβ) = = Συγκρίνουµε το λόγο MSAB F= MSΕ Η : όχι η Η µε την κρίσιµη τιµή F (-)(q-),q(r-);α ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν r= τότε λαµβάνουµε το SSAB ως SSE Στην περίπτωση αυτή η αλληλεπίδραση ελέγχεται µόνο οπτικά Ισοδυναµία µε παλινδρόµηση 8 Θέτοντας X =, στη στάθµη του Α {, αλλού =,,..., Z j =, στη στάθµη j του Β {, αλλού j=,,..., q αποδεικνύεται ότι το ισοδύναµο µοντέλο παλινδρόµησης, όταν δεν µας ενδιαφέρουν οι αλληλεπιδράσεις, είναι: = µ + β X +... + β X +γ Z +... + γ Z + ε q- q ή όταν µας ενδιαφέρουν και οι αλληλεπιδράσεις, είναι: = µ + β X +... + β X +γ Z +... + γ Z + - q- q + δ X Z + δ X Z +...+ δ X Z +ε, q - q- Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς

Παράδειγµα 9 ύο κατηγορίες ασθενών εξετάσθηκαν ως προς την αντίδρασή τους σε τρία φάρµακα. Για κάθε φάρµακο και κάθε κατηγορία επελέγησαν τυχαία τρεις ασθενείς. Πριν και µετά τη χορήγηση µετρήθηκε µε κάποιο κριτήριο η αντίδραση των ασθενών και η διαφορά δίνεται παρακάτω. jk Φάρµακο Β Φάρµακο Β Φάρµακο 3 Β 3 Κατηγορία Α Κατηγορία Α 8 6 ιαφέρουν τα φάρµακα µεταξύ τους;, οι δύο κατηγορίες ασθενών; Υπάρχει διαφορά της επίδρασης στις δύο κατηγορίες; 8 6 8 6 5 9 Υπολογισµοί 3 Αθροίσµατα Μέσες τιµές j. Β Β Β 3.. Α 8 5 Α 3 6 36 7.j. 3 5 6 Υπολογίζουµε () = = 6 /8= 88 () = jk= 8 +... + 9 = 98 qr (3) = = (5 + 7 ) / 9= 9 = = + + = r () j ( 3 5 ) / 6 93 = = + + = r (5) j (... 36 ) / 3 9 j. Β Β Β 3.. Α 8 6 6 Α 8.j. 7 5 9 7 SSA=(3)-()=8 SSB=()-()=8 SSAB=(5)-(3)-()+()= SSE=()-(5)=6 SST=()-()=36 Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 5

Πίνακας ANOVA 3 Πηγή Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F A 8 8. B 8.7 AB 7 8.5 Υπόλοιπα 6 8.83 Σύνολο 36 7 Κύριες επιδράσεις του παράγοντα ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΘΕΝΩΝ Είναι ΜΗ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ Κύριες επιδράσεις του παράγοντα ΦΑΡΜΑΚΑ Είναι ΜΗ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ Αλληλεπιδράσεις ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ-ΦΑΡΜΑΚΩΝ Είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ Εκτίµηση επιδράσεων - αλληλεπιδράσεων 3 ˆα = = ˆα = = (α β) j= j j+ βˆ = = βˆ = = βˆ = = 3 3 SSA 8 ηa = = =.569 SST 36 SSB 8 ηb = = =.58 SST 36 Β Β Β 3 Α - - Α - Ο παράγων ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΘΕΝΩΝ εξηγεί µόνο το 5.7% της διασποράς Ο παράγων ΦΑΡΜΑΚΑ εξηγεί µόνο το 5.% της διασποράς Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 6

Τα προφίλ των αλληλεπιδράσεων 33 Εποπτικός έλεγχος ύπαρξης αλληλεπίδρασης Προφίλ κυρίων επιδράσεων φαρµάκων Προφίλ κυρίων επιδράσεων κατηγοριών ασθενών Ισοδύναµο µοντέλο παλινδρόµησης 3 Θέτοντας, στην κατηγ. ασθ. X= {, αλλού Το µοντέλο (µε αλληλεπιδράσεις) γράφεται Βρίσκουµε ˆγ = (, -6, -, -,, ) {, στο φάρµ. E=, αλλού = γ + γ X+ γ E +γ E + γ XE+ γ XE + ε 3 5 SSE=6, s =8.8333 {, στο φάρµ. E =, αλλού Πηγή Αθροίσµ. Τετραγ. β.ε. Μέσα τετρ. F Παλινδρόµηση 5.758 Υπόλοιπα 6 8.83 Σύνολο 36 7 Στις δύο κατηγορίες ασθενών τα µοντέλα είναι Κατηγ. (Χ=) = γ+ γ + (γ+ γ ) E + (γ3+ γ 5 ) E+ ε Κατηγ. (Χ=) = γ+ γ E +γ3e+ ε Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 7

Επί µέρους έλεγχοι 35 Η υπόθεση «ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΥΝ ΟΙ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ταυτίζεται µε την υπόθεση γ =γ =γ 5 =, οπότε τα δύο µοντέλα ταυτίζονται. Η υπόθεση Η : γ =γ =γ 5 = Η : όχι η Η ελέγχεται µε το περιορισµένο µοντέλο που δίνει Επειδή η Η ΑΣΚΗΣΗ ( γ ˆ, γ ˆ, γ ˆ ) = ( 9, -, -) 3 ( SSE SSE) Π /3 F= = 6. s = γ + γ E +γ E + ε 3 SSE=68 και F 3,;. =5.95 ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ δηλαδή οι κατηγορίες διαφέρουν.. Ποια υπόθεση ελέγχει την ισότητα των αντιδράσεων στα τρία φάρµακα; (Η :γ =γ 3 =γ =γ 5 =, F=5.3~ F, ). Ποια υπόθεση ελέγχει την ισότητα των αντιδράσεων στα φάρµακα,3 αλλά όχι στο ; (Η :γ =γ =, F=.67) Παραγοντικά q r πειράµατα 36 ύο ή περισσότεροι παράγοντες µε, q, r,... στάθµες. Ίσο πλήθος παρατηρήσεων σε κάθε κελί, δηλαδή σε κάθε συνδυασµό από στάθµες των διαφόρων παραγόντων. Π.χ. Το προηγούµενο παράδειγµα είναι 3 3 παραγοντικό πείραµα µε 3 παρατηρήσεις σε κάθε κελί. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ( 3 3 πείραµα µε παρατηρήσεις σε κάθε κελί). ύο εξεταστές (C, C ) εκπαίδευσαν από 6 άτοµα, ανά 3 σε κάθε µία από τις τάξεις Α, Α. Οι µαθητές χωρίστηκαν σε -δες και εκπαιδεύτηκαν µε τρεις διαφορετικές µεθόδους Β, Β, Β 3. Βαθµολογήθηκαν τελικά µε κλίµακα -5, και τα αθροίσµατα κάθε -δας βαθµών δίνονται στον πίνακα: C C B B B 3 B B B 3 A 3 6 33 8 5 A 36 38 Η ανάλυση είναι ανάλογη µε αυτήν των δύο παραγόντων. 56 68 5 56 77 5 359 ΜΟΝΤΕΛΟ = µ + α + β +γ +... + (α β) + ( aγ) +... + (αβγ) + ε jk.. j k j k jk jk Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 8

Θέµατα () 37 Ο διπλανός πίνακας δίνει το ποσοστό του όγκου που καταλαµβάνουν οι πόροι ενός είδους ελαφρόπετρας που εντοπίστηκε σε τρεις περιοχές Α, Β και Γ. α) Μπορείτε να ισχυριστείτε µε βεβαιότητα 95%, κάνοντας ανάλυση διασποράς, ότι οι τρεις περιοχές παράγουν διαφορετικά είδη ελαφρόπετρας; Περιοχές Α Β Γ β) Μετασχηµατίστε κατάλληλα τα δεδοµένα ώστε να µπορείτε να προσαρµόσετε ένα γραµµικό µοντέλο σ αυτά. ιατυπώστε χωρίς να κάνετε την εκτίµηση των παραµέτρων τη µηδενική υπόθεση που απαντά στο προηγούµενο ερώτηµα. Μετά διατυπώστε άλλη µηδενική υπόθεση που να απαντά στο ερώτηµα ότι η περιοχή Γ παράγει ελαφρόπετρα µε πόρους που καταλαµβάνουν µεγαλύτερο ποσοστό όγκου από αυτό που καταλαµβάνουν οι πόροι της ελαφρόπετρας από την περιοχή Β. 7.7 8. 6.9 8.9 9. 7.6 6.8 7.3 7.6 7.5 7. 6.9 7. 7.9 8. 8. 9. 8.8 8.9 7.8 8. ίνονται 7.7 +8. + +7.6 +6.8 + +7. +7.9 + +8. = 335.5 Θέµατα () 38 Για να εξετάσουµε αν η συσκευασία παίζει ρόλο στις πωλήσεις πατατών, κάναµε το παρακάτω πείραµα. Συσκευάσαµε τις πατάτες σε τρεις διαφορετικές συσκευασίες, τις Σ, Σ και Σ 3, όπου κάθε συσκευασία περιείχε σε πλαστική σακούλα 3 κιλά πατάτες. Στη Σ οι πατάτες ήταν πλυµένες µε επιµέλεια αλλά είχαν οποιοδήποτε µέγεθος, στη Σ ήταν µέτρια πλυµένες και µε µέτριο µέγεθος, ενώ στη Σ 3 ήταν άπλυτες αλλά όλες µε οµοιόµορφο µέγεθος. Η τιµή ήταν η ίδια και για τις τρεις συσκευασίες. Οι πωλήσεις σε έξι τυχαίες δεκαπενθήµερες περιόδους, δίνονται στο διπλανό πίνακα: Σ Σ Σ 3 Βρέστε µε ανάλυση διασποράς αν η συσκευασία παίζει ρόλο στις πωλήσεις. Να γίνει ο πίνακας ανάλυσης της διασποράς και να διατυπωθεί η µηδενική υπόθεση που ελέγχεται. Επίσης, να εκτιµηθούν οι κύριες επιδράσεις των τριών συσκευασιών. ( ίνεται ότι τα αθροίσµατα τετραγώνων των µετρήσεων κάθε στήλης είναι αντίστοιχα 7, 877 και 867) Να γραφούν οι τύποι υπολογισµού των διαφόρων στατιστικών που υπολογίζετε. 75 65 6 68 8 35 3 8 9 5 33 39 5 3 5 3 3 Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς 9

Θέµατα (3) 39 Ένας αγρότης που παράγει καλαµπόκι ήθελε να εξετάσει ποιο από τρία µίγµατα λιπασµάτων (A, B, Γ) που προτείνονται από τους γεωπόνους, είναι τα καλύτερο για τα χωράφια του. Έτσι, χώρισε ένα χωράφι του σε ίσα τµήµατα και έριξε σε έξι από αυτά το λίπασµα Α, σε έξι το Β και σε έξι το Γ, ενώ άφησε και 6 χωρίς λίπασµα για έλεγχο. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η παραγωγή από κάθε τµήµα σε κατάλληλες µονάδες, ανάλογα µε το λίπασµα που χρησιµοποιήθηκε (µε Ε συµβολίζονται τα τµήµατα χωρίς λίπασµα). Λ ί π α σ µ α Παρατή ρηση 3 5 6 Ε 99 6 7 76 8 Α 96 8 8 99 5 Β 63 57 8 59 6 7 Γ 79 9 9 87 78 7 α) Εξηγείστε µε ποιο τρόπο λειτουργεί η µέθοδος της ανάλυσης διασποράς για τα δεδοµένα αυτά, και ποιο είναι το µοντέλο που προσαρµόζεται. Ποιες προϋποθέσεις οφείλουν να ικανοποιούνται; β) Συµπληρώστε τον κατάλληλο για την περίπτωση πίνακα και διατυπώστε τα συµπεράσµατά σας σε στάθµη.5. Να γραφεί επίσης η τυπική µορφή της µηδενικής υπόθεσης την οποία αφορούσε το συµπέρασµά σας. ίνεται το άθροισµα τετραγώνων 55996 και ο γενικός µέσος 79. γ) Ποιες οι τιµές των κύριων επιδράσεων. Είναι δυνατό, µετά και την προηγούµενη ανάλυση, να µπορέσει ο αγρότης να επιλέξει ένα από τα λιπάσµατα; δ) Ορίστε κατάλληλες µεταβλητές και διαµορφώστε κατάλληλα τα δεδοµένα ώστε ο έλεγχος που ζητείται να γίνεται µε γραµµική παλινδρόµηση. Ποιο είναι τότε το µοντέλο; ιατυπώστε (χωρίς να κάνετε ανάλυση) τη µηδενική υπόθεση που απαντά στο ίδιο, όπως και στο (β), ερώτηµα. Θέµατα () Σε µία µελέτη της θεραπείας από δηλητηρίαση µε κάποιο Μέσοι χρόνοι επιβίωσης από τρία δηλητήρια (Ι, ΙΙ, ΙΙΙ) σε κάποια ζώα έγιναν 8 µετρήσεις του χρόνου επιβίωσης µετά από δηλητηρίαση ηλητήριο Α Β Γ και µε εφαρµογή µιας από θεραπείες (Α, Β, Γ, ). Για Ι.5.88.5675.6 κάθε συνδυασµό δηλητηρίου-θεραπείας έγιναν ΙΙ.3.85.375.6675 µετρήσεις και οι µέσοι χρόνοι επιβίωσης είναι αυτοί που ΙΙΙ..335.35.35 δίνονται στον πίνακα. α) Συµβολίστε κατάλληλα τις αρχικές µετρήσεις και σηµειώστε τα σύµβολα που εκφράζουν τις τιµές που δίνονται στον πίνακα. Σχηµατίστε δύο πίνακες ο ένας να µας δίνει τα αθροίσµατα των χρόνων επιβίωσης όλων των ζώων που θεραπεύτηκαν µε την ίδια θεραπεία, και ο άλλος να µας δίνει τα αθροίσµατα των χρόνων επιβίωσης όλων των ζώων που δηλητηριάστηκαν από το ίδιο δηλητήριο. Επαληθεύσατε ότι το άθροισµα τετραγώνων για τον παράγοντα ΗΛΗΤΗΡΙΟ είναι.333. β) Κάναµε ανάλυση διασποράς µε δύο παράγοντες και ένα µέρος του πίνακα ANOVA που πήραµε είναι: Πηγή Αθρ. Τετραγ. ΗΛΗΤΗΡΙΟ.333 ΘΕΡΑΠΕΙΑ.96 ΗΛΗΤ ΘΕΡ ΥΠΟΛΟΙΠΑ.875 ΣΥΝΟΛΟ 3.58 β.ε Μέσα Τετρ. Συµπληρώστε τον πίνακα και διατυπώστε τα συµπεράσµατά σας για α=.5. F γ) Στο σχήµα κάναµε τη γραφική παράσταση των τιµών του πίνακα που δόθηκε. Πως µπορεί το σχήµα αυτό να επαληθεύσει κάποια από τα συµπεράσµατα που διατυπώσατε στο ερώτηµα (β); µέσες τιµές επιβίωσης...6.8 A B C D θεραπεία ηλητήριο III II III Εφαρµοσµ. Ανάλ. Παλινδρ.& ιασποράς-ανάλυση ιασποράς