Κεφάλαιο 5 Η στροφορμή στις ρευστοδυναμικές μηχανές

Κεφάλαιο 5 Η στροφορμή στις ρευστοδυναμικές μηχανές Σύνοψη Απόδοση του νόμου της στροφορμής σε ροϊκά συστήματα Αξονοσυμμετρικοί όκοι ελέχου Αντλίες, Στρόβιλοι Θεωρία πτερυώσεων (τρίωνα ταχυτήτων Θεωρητική χαρακτηριστική καμπύλη αντλίας Βαθμοί απόδοσης αντλιών και στροβίλων Υδραυλικός βαθμός απόδοσης Οκομετρικός βαθμός απόδοσης Μηχανικός βαθμός απόδοσης Ολικός βαθμός απόδοσης Χαρακτηριστικές καμπύλες λειτουρίας Εφαρμοές. Προαπαιτούμενη νώση Προηούμενα Κεφάλαια, και 3 Κύρια λήμματα: Ροϊκό σύστημα, όκος ελέχου, νόμος της στροφορμής, αντλία, στρόβιλος. Μαθησιακοί στόχοι Ανάπτυξη νώσης σχετικής με τον υπολοισμό του ειδικού έρου και του μανομετρικού ύψους των στροφείων των ρευστοδυναμικών μηχανών. Κατανόηση της έννοιας της απόδοσης και ανάπτυξη ικανότητας παραωής και ανάνωσης των θεωρητικών και των πραματικών χαρακτηριστικών καμπυλών των ρευστοδυναμικών μηχανών.. Απόδοση του νόμου της στροφορμής σε ροϊκά συστήματα Στο o Κεφάλαιο αναπτύχθηκε ο νόμος της ορμής σε ανοικτό σύστημα ροής και διαπιστώθηκε ότι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ενερεί στο σύστημα είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ορμής στον όκο ελέχου συν τη συνολική ροή της ορμής από την επιφάνεια ελέχου: d F m ρ dv ρ da dt t ο.ε. A Έτσι είναι δυνατόν να υπολοισθεί η δύναμη F που ασκεί ή δέχεται, ένα σώμα που περιρρέεται από ένα ρευστό σύστημα. Η συνισταμένη εξωτερική δύναμη F, όμως, μπορεί να δημιουρεί ροπή ως προς ένα σημείο του χώρου Ο και το σύστημα να περιστρέφεται αν υπάρχουν οι απαιτούμενες προϋποθέσεις. Η ροπή είναι ένα διανυσματικό μέεθος το οποίο ορίζεται ως εξής [3]: Μία δύναμη λοιπόν F και ένα σημείο Ο ορίζουν ένα επίπεδο. Η ροπή M της F ως προς το σημείο Ο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο αυτό στο σημείο Ο, που ορίζεται ως το εξωτερικό ινόμενο του διανύσματος θέσης, r, του σημείου εφαρμοής της δύναμης ως προς το σημείο Ο και του διανύσματος της δύναμης [Σχήμα 5..]: M r F

Σχήμα 5.. Ροπή δύναμης ως προς σημείο Αν θ είναι η ωνία που σχηματίζουν τα δύο δυανύσματατα το μέτρο της ροπής, με βάση τον ορισμό του εξωτερικού ινομένου διανυσμάτων, είναι: M F r sin θ F a Έτσι το μέτρο της ροπής μιας δύναμης ως προς ένα σημείο Ο, είναι το ινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την απόσταση του σημείου Ο από τον φορέα ενέρειας της δύναμης. Η φορά του διανύσματος της ροπής ορίζεται ως εξής: Αν στη θέση του φορέα του διανύσματος της ροπής (κάθετος στο επίπεδο υπήρχε ένας δεξιόστροφος κοχλίας και περιστρεφόταν με τη φορά που ορίζει η δύναμη ως προς το σημείο Ο, τότε αυτός θα προχωρούσε προς τη φορά του διανύσματος της ροπής. Για τον προσδιορισμό της φοράς της ροπής χρησιμοποιείται και ο πρακτικός κανόνας του δεξιού χεριού. Όταν η παλάμη στρέφεται με τη φορά που ορίζει η δύναμη ως προς το σημείο Ο, τότε ο αντίχειρας δείχνει τη φορά του διανύσματος της ροπής [Σχήμα 5..]. Θεωρείται ένας όκος ελέχου, ο οποίος δέχεται συνισταμένη εξωτερικών δυνάμεων F. Τότε, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό του μεέθους της ροπής M, ως προς σημείο, ασκείται στο σύστημα που περιβάλλει ο όκος ελέχου, ροπή η οποία εκφράζεται με την παρακάτω ενική σχέση [3]: M r F ρ (r dv ρ (r da t ο.ε. A Η εξίσωση αυτή προέκυψε από το εξωτερικό ινόμενο του διανύσματος θέσης της δύναμης ως προς το σημείο και του διανύσματος της συνισταμένης δύναμης, όπως προκύπτει από το νόμο της ορμής. Αναφέρεται ως εξίσωση της ροπής της ορμής, ή της στροφορμής, και ο πρώτος όρος του τελευταίου μέρους της εξίσωσης είναι η ροπή του ρυθμού αύξησης της ορμής μέσα στον όκο ελέχου, ενώ ο δεύτερος είναι η ροπή της ορμής διαμέσου της επιφανείας ελέχου.. Συμμετρικοί εκ περιστροφής όκοι ελέχου Στις Ρευστοδυναμικές μηχανές (αντλίες, στρόβιλοι το κύριο φυσικό μέεθος, που κυριαρχεί και πρέπει να υπολοισθεί, είναι η ροπή περιστροφής των στροφείων (κινητές πτερυώσεις και όχι οι δυνάμεις. Η παραπάνω ενική εξίσωση υπολοισμού της ροπής έχει σημαντικό ενδιαφέρον ια τις ρευστοδυναμικές μηχανές, όταν: (α Η επιφάνεια ελέχου είναι εκ περιστροφής αξονοσυμμετρική. (β Η ροή του ρευστού είναι μόνιμη, που σημαίνει ότι, δεν υπάρχουν μεταβολές φυσικών μεεθών ως προς το χρόνο και το κινητό σώμα (πτερωτή, στροφέας που περιστρέφεται, έχει σταθερή ωνιακή ταχύτητα. Αν λοιπόν η εξίσωση αυτή ραφεί ια έναν όκο ελέχου μορφής δακτυλίου, που περιβάλλει τα συμμετρικά εκ περιστροφής στροφεία των στροβιλομηχανών, τα οποία διαθέτουν μια κυκλική λωρίδα εισόδου της ροής Α και μια όμοια εξόδου Α, τότε, ια μόνιμη ροή στο επίπεδο, θα εμφανισθεί μια χρήσιμη σχέση υπολοισμού του μέτρου της ροπής στρέψης ως προς το κέντρο συμμετρίας του στροφείου της στροβιλομηχανής [Σχήμα 5..]: M ρ r t n da ρ r t n da ρ r t n da A A A Εδώ σημειώνεται ότι οι ακτινικές συνιστώσες της απόλυτης ταχύτητας έχουν μηδενικό εξωτερικό ινόμενο με το διάνυσμα θέσης (ακτίνα της κυκλικής συμμετρίας, ενώ οι εφαπτομενικές συνιστώσες της απόλυτης ταχύτητας έχουν μηδενικό εσωτερικό ινόμενο με το διάνυσμα της στοιχειώδους επιφάνειας, όπως αυτό έχει ορισθεί (κάθετο στην επιφάνεια προς τα έξω. Για πλήρη κυκλική εωμετρική και λειτουρική συμμετρία, όπου ρ, r, t, n είναι σταθερά στην είσοδο και στην έξοδο της επιφάνειας ελέχου, ισχύει:

M ρ r t n A ρ r t n A Σχέση 5.. Σχήμα 5.. Δακτυλιοειδής όκος ελέχου Αν το πάχος του όκου ελέχου στην είσοδο του ρευστού είναι b και στην έξοδο ομοίως είναι b, τότε οι επιφάνειες εισόδου και εξόδου του ρευστού στον όκο ελέχου, θα είναι, αντίστοιχα: A π r b και A π r b Ο νόμος της συνέχειας ια το διερχόμενο από τον παραπάνω όκο ελέχου ρευστό απαιτεί ια την παροχή μάζας και την παροχή όκου: m ρ Α n ρ A n Q Α n A n Συνεπώς η Σχέση 5.. παίρνει τελικά τη μορφή: M ρ Q(r t r t Σχέση 5.. 3. Αντλίες, Στρόβιλοι, Τρίωνα ταχύτητας, Θεωρητική χαρακτηριστική καμπύλη αντλίας. Οι στρόβιλοι παίρνουν ενέρεια από το ρευστό και οι αντλίες, φυσητήρες και στροβιλοσυμπιεστές δίνουν ενέρεια στο ρευστό. Αυτό ίνεται μέσω του στροφέα που έχει περιφερειακά στερεωμένα πτερύια. Αυτά είναι τα κινητά πτερύια της στροβιλομηχανής. Η μόνη μετατόπιση των πτερυίων είναι σε εφαπτομενική διεύθυνση. Έτσι μόνο από την μετατόπιση των εφαπτομενικών συνιστωσών της δύναμης στο στροφέα παράεται έρο.οι ακτινικές συνιστώσες δε μετατοπίζονται κατά τη διεύθυνσή τους και δεν παράουν έρο. Θα θεωρηθεί ότι κατά τη ροή διαμέσου του δακτυλιοειδούς όκου ελέχου δεν υπάρχουν τριβές και ότι το ρευστό οδηείται κατά τέλειο τρόπο μέσω της μηχανής, δηλαδή υπάρχουν άπειρα λεπτά πτερύια, ώστε η σχετική ταχύτητα του ρευστού να είναι πάντα εφαπτομένη στο πτερύιο.

Στις στροβιλομηχανές θεωρείται πάντα ένας δακτυλιοειδής όκος ελέχου, με απόλυτη κυκλική συμμετρία, ια τον οποίο έχει υπολοισθεί η ροπή, όπως αναπτύχθηκε προηουμένως [Σχέση 5..]. Αν με συμβολίζεται η απόλυτη ταχύτητα του ρευστού, με η περιφερειακή ταχύτητα του στροφέα, με την οποία μεταφέρεται και το ρευστό, και με υ η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς τον στροφέα, στην είσοδο και στην έξοδο του ρευστού στον όκο ελέχου, τότε η εωμετρική σύνθεση της περιφερειακής και της σχετικής ταχύτητας του ρευστού είναι η απόλυτη ταχύτητά του. Η εωμετρική αυτή σύνθεση δημιουρεί τα τρίωνα ταχυτήτων του ρευστού στην είσοδο και στην έξοδο της πτερωτής, που εικονίζονται στο Σχήμα 5.3..Τονίζεται ότι η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς τον στροφέα είναι πάντοτε εφαπτόμενη στο πτερύιο. Αυτός άλλωστε είναι και ο ρόλος των πτερυίων, δηλαδή, να καθορίζουν τη διεύθυνση της σχετικής ταχύτητας του ρευστού ως προς το πτερύιο. (α Σχήμα 5.3. Τρίωνα ταχυτήτων (β Έτσι, αν t είναι η συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας του ρευστού στην εφαπτομενική διεύθυνση: t cos(α t cos(α Από τη Σχέση 5.. που βρέθηκε ια τη στρεπτική ροπή, προκύπτει: M ρ Q (r t r t M ρ Qr cos α r cos α Όταν η ροπή Μ είναι θετική, η στροφορμή του ρευστού αυξάνει και πρόκειται ια λειτουρία αντλίας, ανεμιστήρα ή συμπιεστή. Όταν η ροπή Μ είναι αρνητική, η στροφορμή του ρευστού μειώνεται και πρόκειται ια λειτουρία στροβίλου. Τότε, κατά απόλυτη τιμή σε στρόβιλο: r cosα M ρ Q r cos α ή M ρ Q (r t r t Έστω ω [rad/s] η σταθερή ωνιακή ταχύτητα του στροφέα Η ισχύς που συναλλάσσεται στον όκο ελέχου που περιβάλλει το στροφέα της ρευστοδυναμικής μηχανής θα είναι:

ω r cosα cosα M ω ρ Q ω r cos α ή M ω ρ Q cos α ή M ω ρ Q ( t t Αν δεν υπάρχουν απώλειες, η διαθέσιμη ισχύς στο στρόβιλο είναι, όπως αναλύθηκε στο Κεφάλαιο, το ινόμενο του ειδικού βάρους ( του ρευστού επί την παροχή όκου (Q, το οποίο εκφράζει το βάρος ανά μονάδα χρόνου του διερχομένου ρευστού, επί το θεωρητικό μανομετρικό ύψος του στροβίλου, που εκφράζει τη θεωρητική ενέρεια ανά μονάδα βάρους που παίρνει ο στρόβιλος από το ρευστό. Δηλαδή, το ινόμενο Q εκφράζει τη θεωρητική ενέρεια ανά μονάδα χρόνου (ισχύς που διατίθεται στο στρόβιλο. Επίσης αν δεν υπάρχουν απώλειες, η διαθέσιμη ισχύς στην αντλία είναι, όπως αναλύθηκε στο Κεφάλαιο, το ινόμενο του ειδικού βάρους ( του ρευστού επί την παροχή όκου (Q, το οποίο εκφράζει το βάρος ανά μονάδα χρόνου του διερχομένου ρευστού, επί το θεωρητικό μανομετρικό ύψος της αντλίας, που εκφράζει τη θεωρητική ενέρεια ανά μονάδα βάρους που δίνει η αντλία στο ρευστό. Δηλαδή το ινόμενο Q εκφράζει τη θεωρητική ενέρεια ανά μονάδα χρόνου (ισχύς που διατίθεται από την αντλία στο ρευστό. Συνεπώς: Q M ω Q ρ Q( t t t t Σχέση 5.3. Η ενέρεια ανά μονάδα μάζας, w, που παίρνει το ρευστό από την αντλία, εκφράζει το ειδικό έρο του στροφείου και προκύπτει από την παραπάνω σχέση (που εκφράζει την ενέρεια ανά μονάδα βάρους του ρευστού που παίρνει από την αντλία ως εξής: w Σχέση 5.4. t t Ομοίως ια στρόβιλο το θεωρητικό μανομετρικό ύψος υπολοίζεται από τη σχέση (θετική τιμή: t t Η ενέρεια ανά μονάδα μάζας, w, που δίνει το ρευστό στο στρόβιλο, εκφράζει το ειδικό έρο του στροβίλου και προκύπτει από την παραπάνω σχέση (που εκφράζει την ενέρεια ανά μονάδα βάρους του ρευστού που αποδίδεται στο στρόβιλο ως εξής: w t t Οι αντλίες ια, κατά το δυνατόν μέιστο μανομετρικό, σχεδιάζονται συνήθως, έτσι ώστε η ωνία α =90 ο, οπότε: t 0 Έτσι ια αντλία το θεωρητικό μανομετρικό ύψος υπολοίζεται από τη σχέση:

Σχέση 5.5. t Η Σχέση 5.5. μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής: t ( x n tan(β Αλλά η παροχή της αντλίας, όπως αναπτύχθηκε παραπάνω είναι: Q π r b n Συνεπώς η Σχέση 5.5. διαμορφώνεται τελικα: Σχέση 5.6. t ( x n tan(β Q π r b tan(β Σχήμα 5.4. Τρίωνo ταχυτήτων εξόδου αντλίας Η ακτίνα r, το πάχος του όκου ελέχου (στροφέας στην έξοδο του ρευστού b και η ωνία β αποτελούν εωμετρικά χαρακτηριστικά του στροφέα της αντλίας. Ειδικά επισημαίνεται ότι η ωνία β είναι η ωνία που σχηματίζεται από την εφαπτομένη στην περιφέρεια εξόδου του στροφέα, η οποία είναι και φορέας της περιφερειακής ταχύτητας εξόδου και την εφαπτομένη στην καμπυλότητα του πτερυίου στην έξοδο του στροφέα, η οποία είναι και φορέας της σχετικής ταχύτητας εξόδου του ρευστού από το στροφέα. Υπενθυμίζεται ότι τα πτερύια του στροφέα της αντλίας καθορίζουν την κατεύθυνση της σχετικής ταχύτητας του ρευστού, δηλαδή η σχετική ταχύτητα είναι πάντοτε εφαπτόμενη σε αυτά. Η ωνία β στο τρίωνο ταχυτήτων εξόδου σχηματίζεται από την περιφερειακή και τη σχετική ταχύτητα εξόδου. Όταν λαμβάνει τιμές μικρότερες των 90 ο, τότε ο τύπος των πτερυίων χαρακτηρίζεται οπίσθιας κλίσης, όταν β =90 ο, τότε τα πτερύια χαρακτηρίζονται ακτινικά, και όταν λαμβάνει τιμές μεαλύτερες των 90 ο, τότε ο τύπος των πτερυίων χαρακτηρίζεται εμπρόσθιας κλίσης. Η περιφερειακή ταχύτητα εξόδου του ρευστού από τον όκο ελέχου εξαρτάται από τη ωνιακή ταχύτητα ( =ωr και, συνεπώς, ια σταθερή ωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στροφέα της αντλίας, η περιφερειακή ταχύτητα εξόδου είναι σταθερή. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, ίνεται σαφές ότι το μανομετρικό ύψος μιας αντλίας που στρέφεται με σταθερή ωνιακή ταχύτητα, θεωρητικά είναι ραμμικά εξαρτημένο από την παροχή της αντλίας. A BQ

Όπου: A και B π r b tan(β (α (β Σχήμα 5.5. Θεωρητική χαρακτηριστική καμπύλη αντλίας(β <90 ο, μορφή της θεωρητικής καμπύλης ανάλοα με την τιμή της β Η ραφική παράσταση, που συνδέει το μανομετρικό με την παροχή μιας αντλίας, ονομάζεται χαρακτηριστική καμπύλη της αντλίας. Αυτή θεωρητικά είναι ευθεία ραμμή, αλλά στην πράξη αποτελεί καμπύλη, η οποία κατασκευάζεται ια κάθε αντλία πειραματικά με δοκιμαστική λειτουρία. Η καμπύλη αυτή δίνει και το εύρος λειτουρίας της, δηλαδή ια συκεκριμένη ωνιακή ταχύτητα περιστροφής, και τα συκεκριμένα εωμετρικά χαρακτηριστικά, δηλαδή σε ποια ζεύη τιμών μανομετρικού ύψους και παροχής μπορεί να λειτουρήσει η αντλία. Από τη μορφή της θεωρητικής χαρακτηριστικής καμπύλης, προκύπτει, όπως είναι αναμενόμενο, ότι, καθώς αυξάνεται το μανομετρικό ύψος της αντλίας (δηλαδή η ενέρεια ανά μονάδα βάρους που δίνει η αντλία στο ρευστό, μειώνεται η παροχή της. Οι στρόβιλοι, ια κατά το δυνατόν μέιστο μανομετρικό, συνήθως σχεδιάζονται, έτσι ώστε η ωνία α =90 ο, οπότε: t 0 Έτσι το θεωρητικό μανομετρικό ύψος ια στρόβιλο υπολοίζεται από τη σχέση: t Επισημαίνεται με έμφαση ότι, όταν στα τρίωνα ταχυτήτων προκύπτουν t και t με αντίθετη φορά (αξονικοί αεριοστρόβιλοι, τότε οι δύο όροι στο δεύτερο μέρος της Σχέσης 5.4. αθροίζονται και έτσι ενισχύεται το μανομετρικό ύψος, ή το ειδικό έρο της βαθμίδας. 4. Βαθμοί απόδοσης αντλιών και στροβίλων Στην προηούμενη παράραφο, υπολοίσθηκε το θεωρητικό μανομετρικό ύψος Η, ια μια περιστροφική αντλία, ανεμιστήρα ή συμπιεστή. Πρακτικά όμως η αποδιδόμενη στο ρευστό ανά μονάδα βάρους ενέρεια p, είναι μικρότερη κατά το ύψος των απωλειών Η ΑΠ, που αποβάλλονται υπό τη μορφή θερμότητας, μέσα στην ρευστοδυναμική μηχανή. p ΑΠ Ορίσθηκε στο ο Κεφάλαιο (Παράραφος 8 ως υδραυλικός βαθμός απόδοσης: e h p

Στις περιστροφικές αντλίες, η στρεφόμενη πτερωτή περιβάλλεται από το ακίνητο κέλυφος με το οποίο εξασφαλίζεται η στεανότητα της αντλίας σε σχέση με τον εξωτερικό χώρο. Στη διατομή εξόδου της πτερωτής το ρευστό εξέρχεται πάντοτε με αυξημένη στατική πίεση. Η κατάσταση αυτή δημιουρεί τάση ανάπτυξης μιας μικρής ποσότητας ροής Q ΑΝ, στο διάκενο μεταξύ της στρεφόμενης πτερωτής και του σταθερού κελύφους, η οποία εισέρχεται και πάλι στην πτερωτή και παραλαμβάνει από αυτή ενέρεια την οποία καταναλώνει ια τη συνεχή αυτή ανακυκλοφορία. Έτσι η συνολική παροχή όκου της αντλίας Q t, είναι το άθροισμα της παροχής όκου Q, στο στόμιο εξόδου της αντλίας και της παροχής ανακυκλοφορίας Q ΑΝ : Qt Q Q ΑN Q Ορίζεται ως οκομετρικός βαθμός απόδοσης της αντλίας: eq Q t Από τη μηχανική ισχύ N KAT M ω, που καταναλώνεται στην άτρακτο της αντλίας, ένα τμήμα δαπανάται ια την υπερνίκηση των απωλειών τριβής των στρεφομένων μηχανικών μερών της αντλίας. Το υπόλοιπο διατίθεται στην πτερωτή, ια να μετατραπεί σε υδραυλική ισχύ του ρευστού: N ΥΔΡ Q t N Ορίζεται ως μηχανικός βαθμός απόδοσης της αντλίας: ΥΔΡ Q t e m Ν ΚΑΤ M ω Το ινόμενο των τριών βαθμών απόδοσης της αντλίας ονομάζεται ολικός βαθμός απόδοσης, και εκφράζει το λόο της ωφέλιμης ισχύος που περνά τελικά στο ρευστό προς την καταναλισκόμενη ισχύ ια την περιστροφή του άξονα της αντλίας: p e e h eq em Q Q t Q t Q p M ω M ω Ν ΩΦ Ν ΚΑΤ Επίσης, στην προηούμενη παράραφο, υπολοίσθηκε το θεωρητικό μανομετρικό ύψος Η, ια ένα στρόβιλο. Πρακτικά όμως η αποδιδόμενη στο στρόβιλο από το ρευστό ανά μονάδα βάρους ενέρεια t, είναι μεαλύτερη κατά το ύψος των απωλειών Η ΑΠ, που αποβάλλονται υπό τη μορφή θερμότητας, μέσα στη ρευστοδυναμική μηχανή. t ΑΠ Ορίσθηκε στο ο Κεφάλαιο (Παράραφος 8 ως υδραυλικός βαθμός απόδοσης: e h t Κατά τη λειτουρία των στροβίλων μια μικρή ποσότητα ροής Q L, διαφεύει την πρόσκρουση με τα πτερύια του στροβίλου και διαρρέει, χωρίς να αποδώσει ισχύ σε αυτόν. Έτσι η συνολική παροχή όκου που προσκρούει στο στρόβιλο Q t, είναι η διαφορά της παροχής όκου Q, που προσέρχεται με στόχο να προσκρούσει σε αυτόν και της παροχής που διαρρέει αχρησιμοποίητη Q L : Qt Q Q L Q Ορίζεται ως οκομετρικός βαθμός απόδοσης του στροβίλου: e t q Q Από τη συνολική υδραυλική ισχύ του ρευστού, που παραλαμβάνεται από το στρόβιλο N ΥΔΡ Q t, ένα τμήμα δαπανάται ια την υπερνίκηση των απωλειών τριβής των στρεφομένων μηχανικών μερών του στροβίλου και στην άτρακτό του παράεται τελικά ωφέλιμη ισχύς M ω N Ορίζεται ως μηχανικός βαθμός απόδοσης του στροβίλου: e ΩΦ m Ν ΥΔΡ N ΩΦ Μ ω Q t

Το ινόμενο των τριών βαθμών απόδοσης του στροβίλου ονομάζεται ολικός βαθμός απόδοσης και εκφράζει το λόο της ωφέλιμης ισχύος που αποδίδει ο στρόβιλος στην άτρακτό του προς την καταναλισκόμενη συνολική υδραυλική ισχύ του ρευστού που προσέρχεται σε αυτόν: ΚΑΤ Ν ΩΦ Ν t Q ω M Q t ω M Q Q t t e m e q h e e Για το πραματικό ύψος ενέρειας μιας αντλίας (είσοδος, έξοδος ισχύει ( ο Κεφάλαιο, Παράραφος 8: ΑΠ p p Σχέση 5.7. Από τα τρίωνα ταχυτήτων εισόδου και εξόδου της ροής, με εφαρμοή του νόμου των συνημίτονων προκύπτει: υ cos(α και υ cos(α Οπότε: υ υ cos(α - cos(α ( Η Σχέση 5.7. διαμορφώνεται ως εξής: ( p Σχέση5..3. ( cos(α cos(α ( υ υ p ( Η υ υ ΑΠ - Η ( υ υ ΑΠ Αντίστοιχη σχέση ισχύει και ια τους στροβίλους. 5. Πραματικές χαρακτηριστικές καμπύλες λειτουρίας αντλίας Το μανομετρικό ύψος μιας αντλίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.5., μειώνεται ραμμικά με την παροχή της αντλίας. Αυτό φυσικά, ισχύει μόνο θεωρητικά και εκφράζει το μέιστο δυνατό μανομετρικό ύψος.

Θεωρήθηκε ότι, κατά τη μετατροπή της μηχανικής ενέρειας που δίδεται στον άξονα της αντλίας σε υδραυλική ενέρεια του ρευστού, δεν υπάρχουν ενερειακές απώλειες. Η εξιδανικευμένη αυτή υπόθεση στην πράξη δεν ισχύει, διότι υφίστανται μια σειρά ενερειακών απωλειών, που συνδέονται με τη ροή του ρευστού διαμέσου της αντλίας. Μια κύρια ενερειακή απώλεια οφείλεται στο φαινόμενο της τριβής, που αναπτύσσεται κατά τη ροή. Η απώλεια αυτή αυξάνει ανάλοα με το τετράωνο της ταχύτητας της ροής. Για αυτό, κατά το σχεδιασμό των αντλιών, ίνεται προσπάθεια πάντα να μετατρέπεται η κινητική ενέρεια του ρευστού σε δυναμική. Ενερειακή απώλεια, επίσης, υφίσταται, όταν υπάρχει στη ροή διεύρυνση ή στένωση της διόδου του ρευστού, κατάσταση πολύ συχνή στο σχεδιασμό των αντλιών. (α (β Σχήμα 5.6. Ενερειακές απώλειες από στροβιλότητα σε στένωση ή διεύρυνση διόδου ροής Σχήμα 5.7. Απώλεια μανομετρικού ύψους λόω τριβών και στροβιλισμών σε στενώσεις ή διευρύνσεις Μια άλλη ενερειακή απώλεια οφείλεται στο φαινόμενο της ανακυκλοφορίας της ροής, όταν η αντλία λειτουρεί σε πολύ μικρές τιμές της παροχής όκου, μακριά από τις τιμές της παροχής, ια τις οποίες σχεδιάσθηκε. Όταν η αντλία λειτουρεί ια τις τιμές της παροχής όκου ια τις οποίες σχεδιάσθηκε, τότε οι απώλειες ανακυκλοφορίας είναι μηδενικές. Σχήμα 5.8. Ανακυκλοφορία ροής

Σχήμα 5.9 Απώλεια μανομετρικού ύψους λόω ανακυκλοφορίας της ροής ια μικρές παροχές, εκτός τιμών σχεδιασμού Ενερειακές απώλειες μπορούν να συμβούν, όταν η διεύθυνση της προσπίπτουσας ροής στα πτερύια της αντλίας αποκλίνει σημαντικά της εφαπτομενικής σε αυτά (κακή οδήηση της ροής από τα πτερύια: Σχήμα 5.0. Απόκλιση της διεύθυνσης ροής με την εφαπτομένη στο πτερύιο Σχήμα 5.. Πραματική χαρακτηριστική καμπύλη μανομετρικού ύψους παροχής αντλίας Η πραματική χαρακτηριστική καμπύλη μανομετρικού ύψους παροχής κάθε αντλίας δημιουρείται πειραματικά σε ειδικά διαμορφωμένα πιστοποιημένα δοκιμαστήρια αντλιών, όπου μετριέται η παροχή της αντλίας και το αντίστοιχο μανομετρικό ύψος, και ίνεται η σχετική ραφική παράσταση. Μετριέται επίσης, και ο ολικός βαθμός απόδοσης της αντλίας ια διάφορες τιμές της παροχής και ίνεται η σχετική ραφική

παράσταση. Η παράσταση αυτή αποτελεί τη χαρακτηριστική καμπύλη ολικού βαθμού απόδοσης παροχής, και από αυτή προκύπτει ια ποια παροχή και αντίστοιχο μανομετρικό, η αντλία παρουσιάζει τη μέιστη απόδοση. Οι δύο αυτές κύριες χαρακτηριστικές καμπύλες, συνοδεύουν την αντλία και, με βάση αυτές, ίνεται η επιλοή της ια χρήση στις εφαρμοές ρευστοδυναμικών μηχανών. Κριτήριο αξιολόησης Κριτήρια αξιολόησης 5 ου κεφαλαίου Μια φυοκεντρική αντλία, ακτινικής ροής έχει πτερωτή με ακτίνα του δακτυλίου εισόδου της ροής r =6 cm, ακτίνα του δακτυλίου εξόδου της ροής r =7cm, ωνία μεταξύ της σχετικής και της περιφερειακής ταχύτητας στο τρίωνο ταχυτήτων εισόδου β =0, αντίστοιχη ωνία στο τρίωνο ταχυτήτων εξόδου β =0. Η πτερωτή έχει πάχος του δακτυλίου εισόδου b =5cm και πάχος του δακτυλίου εξόδου b =cm. Η συχνότητα περιστροφής της πτερωτής της αντλίας είναι 500 rpm. Πρέπει να υπολοισθούν [3]: α. Η παροχή της αντλίας όταν η ωνία μεταξύ της απόλυτης ταχύτητας και της περιφερειακής στο τρίωνο ταχυτήτων εισόδου της ροής είναι α =90. β. Η ωνία μεταξύ της απόλυτης ταχύτητας και της περιφερειακής στο τρίωνο ταχυτήτων εξόδου της ροής α, και το θεωρητικό μανομετρικό ύψος της αντλίας,.. Η απαιτούμενη ισχύς όταν δεν υπάρχουν απώλειες (θεωρητική. δ. Η αύξηση της στατικής πίεσης μεταξύ εισόδου και εξόδου της πτερωτής. Σχήμα 5.. Δεδομένα: Ακτίνα πτερωτής στην είσοδο: r =6 cm=0.06 m Πάχος πτερωτής στην είσοδο: b =5cm=0.05 m Γωνία β : β =0 Ακτίνα πτερωτής στην έξοδο: r =7cm=0.7 m Πάχος πτερωτής στην έξοδο: b =cm=0.0 m

Γωνία β : β =0 Συχνότητα περιστροφής: n=500 [rpm]= 500 60 sec- 5 sec - Απάντηση/Λύση α. Η εύρεση της οκομετρικής παροχής πραματοποιείται από τη σχέση, που εκφράζει το ινόμενο της επιφάνειας εισόδου της ροής στην πτερύωση επί την ακτινική συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας του ρευστού στην είσοδο της πτερύωσης της αντλίας: Q= n A Εφόσον η ωνία α του τριώνου ταχυτήτων εισόδου της ροής ισούται με 90 μοίρες, ισχύει ότι n =. Άρα, τελικά, η παροχή προκύπτει από τη σχέση: Q= A ( Για τον υπολοισμό της απόλυτης ταχύτητας εισόδου ( απαιτείται αρχικά η εύρεση της περιφερειακής ταχύτητας εισόδου (. Για την περιφερειακή ταχύτητα εισόδου ισχύει: =ω r Όπου ω η ωνιακή ταχύτητα, η οποία προκύπτει ως εξής: ω= π n ω= π 5 [s - ] ω 57 s - Άρα, τελικά, η περιφερειακή ταχύτητα εισόδου είναι: Παρατηρείται ότι ια το τρίωνο ταχυτήτων εισόδου της πτερωτής ισχύει: tan(β = = tan(β =9.4 [ m s ] tan 0 3.43 m s Το εμβαδόν της λωρίδας (δακτυλίου εισόδου (A στην πτερωτή είναι: A = π r b A = π 0.06 [m] 0.05 [m] A 0.09 m Έτσι, τελικά, σύμφωνα με την εξίσωση ( ια την παροχή προκύπτει: Q= A Q=3.43 [ m sec ] 0.09 [m ] Q 0.065 m3 s β. Αρχικά ίνεται ο υπολοισμός της περιφερειακής ταχύτητας ( της πτερωτής στην έξοδο της αντλίας: =ω r =57 0.7 6.69 m s Στην έξοδο της αντλίας η συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας κατά τη διεύθυνση της ακτίνας είναι η ταχύτητα n. Όμως πρέπει (όπως και στην είσοδο της αντλίας:

Q= n A ( Το εμβαδόν της λωρίδας (δακτυλίου εξόδου του ρευστού από την πτερωτή (A είναι: A = π r b A = π 0.7 0.0 [m ] A 0.0 m Άρα από την ( προκύπτει ότι: n = Q 0.065 [ m3 s ] A n = 0.0 [m ] n=3. m s Παρατηρείται ότι από το τρίωνο ταχυτήτων εξόδου του ρευστού από την πτερωτή ισχύει: tan β = n - t - t = n tan β n t =- + tan β t =[-7.58+6.69] m s t 9. m s Άρα τελικά η ωνία α προκύπτει ως εξής: tan α = n tan α = 3. t 9. tan α 0.34 α =tan - (0.34 α =8.79 Η= t - t O υπολοισμός του θεωρητικού μανομετρικού ύψους (Η πραματοποιείται από τη σχέση: Εφόσον η ωνία α ισούται με 90 μοίρες, ισχύει ότι t =0. Άρα, τελικά, το θεωρητικό μανομετρικό ύψος είναι: Η= 6.69 9. [ m t s Η= ] 9.8 [ m Η 4.78 m s ] σχέση:. Η πυκνότητα του νερού ίση με 000 k/m 3 και η ωφέλιμη θεωρητική ισχύς υπολοίζεται από τη N ΩΦ = Q Ν ΩΦ =9.8 000 [ Ν m3] 0.065 [m3] 4.78 [m] s Ν=580 W 5.8kW Η θεωρητικά απαιτούμενη ισχύς, εφόσον δε λοίζονται ενερειακές απώλειες, είναι ίση με την ωφέλιμη ισχύ.

δ. Με βάση το νόμο της ενέρειας ια το ανοικτό σύστημα, μεταξύ της εισόδου ( και εξόδου ( της πτερωτής καθώς και ια AΠ = 0 και = = 0 προκύπτει ότι: + + +Η= + + + AΠ + +Η= + - = - +Η (3 Η εύρεση της απόλυτης ταχύτητας εξόδου του ρευστού ( ίνεται ως εξής: = n + t = 3. +9. m s 9.6 m s Άρα, τελικά, σύμφωνα με την εξίσωση (3 η αύξηση της πίεσης μεταξύ της εισόδου και της εξόδου της πτερωτής είναι: - = ρ ( - + Η 000 [ k m - = 3] (3.43-9.6 [ m s ] - 63.3 a=.6 kp cm (bar Κριτήριο αξιολόησης +980 [ Ν m3] 4.78 [m] Η πτερωτή ενός φυοκεντρικού ανεμιστήρα (φυσητήρα έχει πλάτος 30cm, έχει επίπεδα, κεκλιμένα πτερύια ( όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.3 και στρέφεται με 500 [rpm]. παροχή όκου του αέρα είναι 40 m 3 /min. Η πυκνότητα του αέρα είναι ρ=. k/m 3. Πρέπει να υπολοισθούν [3]: α. Οι ωνίες β και β,που σχηματίζονται μεταξύ της περιφερειακής και της σχετικής ταχύτητας, στο τρίωνο ταχυτήτων εισόδου και εξόδου της ροής στα πτερύια του ανεμιστήρα (α =90. β. Το θεωρητικά παραόμενο μανομετρικό ύψος.. Η θεωρητικά απαιτούμενη ισχύς του ανεμιστήρα. δ. Η αύξηση της στατικής πίεσης μεταξύ εισόδου και εξόδου της ροής στην πτερωτή του ανεμιστήρα. Σχήμα 5.3.

Δεδομένα: Ακτίνα πτερωτής στην είσοδο: r =8 cm=0.8 m Ακτίνα πτερωτής στην έξοδο: r =30 cm=0.3 m Πλάτος πτερωτής στην είσοδο και στην έξοδο: b =b =30cm=0.30 m Συχνότητα περιστροφής: n=500 [rpm]= 500 60 s- 5 s - Οκομετρική παροχή αέρα: Q=400 m3 min = 40 60 [m3 s Πυκνότητα: ρ=. k m 3 Απάντηση/Λύση ] 7 m3 s α. Αρχικά, πραματοποιείται ο υπολοισμός των περιφερειακών ταχυτήτων του ρευστού στην είσοδο και στην έξοδο της πτερωτής ως εξής: =ω r Όπου η ωνιακή ταχύτητα (ω προκύπτει ως εξής: ω= π n ω= π 5 [s - ] ω 57 s - Άρα, τελικά, η περιφερειακή ταχύτητα του ρευστού στην είσοδο της πτερωτής προκύπτει: =57 [s - ] 0.8 [m] 44 m s Η περιφερειακή ταχύτητα του ρευστού στην έξοδο της πτερωτής: =ω r =57 0.3 47. m s Η παροχή όκου του ρευστού δίνεται από τη σχέση: Q= n A Εφόσον η ωνία α στο τρίωνο ταχυτήτων στην είσοδο της πτερωτής ισούται με 90 μοίρες, η ακτινική συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας ταυτίζεται με την απόλυτη ταχύτητα και η εφαπτομενική στην πτερωτή συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας είναι μηδενική. Δηλαδή n =. Άρα, τελικά, η απόλυτη ταχύτητα εισόδου ( προκύπτει ως εξής: Q 7 [ m3 s ] Q= A = π r b = π 0.8 0.3[m ] 3.7 m s Παρατηρείται ότι ια το τρίωνο ταχυτήτων εισόδου του ρευστού στην πτερωτή, που φαίνεται στο Σχήμα 5.3., ισχύει ότι:

tan(β = tan(β = 3.7 44 tan(β =0.3 β =tan- (0.3 β 6.8 Για την εύρεση της ωνίας (β, που σχηματίζεται μεταξύ της εφαπτομένης στην πτερωτή και της εφαπτομένης στο επίπεδο πτερύιο στην έξοδο της πτερωτής, απαιτείται εύρεση της ωνίας σ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 5.4. Σύμφωνα λοιπόν με το παραπάνω σχήμα (Σχήμα 5.4. η ωνία σ προκύπτει: sin(σ = r cos(β 0.8 cos(6.8 sin(σ = sin(σ 0.89 r 0.3 σ= sin - (0.89 σ 63.3 Άρα, τελικά, η ωνία (β του τριώνου ταχυτήτων στην έξοδο της πτερωτής είναι: β =90-σ β =90-63.3 β =6.7 β. Στην έξοδο της πτερωτής η συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας της ροής κατά τη διεύθυνση της ακτίνας είναι η ταχύτητα n. Όμως, σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας, πρέπει: Q 7 [ m3 s ] Q= n A n = π r b n = π 0.3 0.3 [m ] n =.38 m s Παρατηρείται ότι ια το τρίωνο ταχυτήτων του ρευστού στην έξοδο, με βάση το Σχήμα 5.3, ισχύει: tan β = n - t n t =- + tan β.38 t = [- tan(6.7 +47.] m s t.48 m s

O υπολοισμός του θεωρητικά παραόμενου μανομετρικού ύψους (Η πραματοποιείται από τη σχέση: Η= t - t Εφόσον η ωνία α του τριώνου ταχυτήτων εισόδου της ροής στην πτερωτή ισούται με 90 ο, ισχύει ότι t =0. Άρα, τελικά, το θεωρητικά παραόμενο ύψος ( προκύπτει: Η= 47..48 [ m t s Η= ] 9.8 [ m Η 08 m s ]. Η θεωρητικά απαιτούμενη ισχύς τουανεμιστήρα, εφόσον δε λοίζονται ενερειακές απώλειες, είναι ίση με την ωφέλιμη ισχύ: Ν ΩΦ = Q =ρ Q Ν ΩΦ =9.8. [ Ν m3] 7 [m3] 08 [m] s N ΩΦ 8900 W 8.9 kw Ηp δ. Με βάση το νόμο διατήρησης της ενέρειας ια το ανοικτό σύστημα, μεταξύ της εισόδου ( και εξόδου ( της πτερωτής, εφόσον AΠ =0 και = =0 προκύπτει ότι: + + +Η= + + + AΠ + +Η= + - = - +Η ( εξής: Η εύρεση της απόλυτης ταχύτητας εξόδου του ρευστού από την πτερωτή ( πραματοποιείται ως = n + t =.38 +.48 m s 5.66 m s Άρα, τελικά, σύμφωνα με την εξίσωση ( η αύξηση πίεσης μέσω της πτερωτής προκύπτει: - = ( - + Η - = 9.8. [ Ν m 3] (3.7-5.66 [ m s ] 9.8 [ m s ] +9.8. 08 [ Ν m ] - 98 a=0.0098 kp cm (bar Βιβλιοραφία 5 ου Κεφαλαίου [3] V. STREETER E. WYLIE, Μηχανική Ρευστών, Εκδόσεις ΦΟΥΝΤΑΣ 000 [6] ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΠΑΝΙΚΑΣ, Εφαρμοσμένη Ρευστομηχανική, Εκδόσεις MEDIA GURU 00 [9] Θ.Ι. ΤΣΙΡΙΚΟΓΛΟΥ, Ρευστοδυναμικές Μηχανές, Διδακτικές Σημειώσεις ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΛΙΑΣ 00