Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και. Το επίπεδο των ραγών θεωρείται κάθετο στο επίπεδο. Επίσης οι ράγες θεωρούνται συμμετρικές ως προς το επίπεδο και η τομή τους είναι στην αρχή Ο. Έστω η απόσταση του σημείου επαφής της σφαίρας σε μια ράγα από την αρχή. Οι αρχικοί μας στόχοι είναι να υπολογίσουμε το διάνυσμα θέσης του κέντρου της σφαίρας και τη μέγιστη τιμή του ώστε η σφαίρα να είναι σε επαφή με τις ράγες. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την μεταφορική και περιστροφική ενέργεια, την δυναμική ενέργεια και τελικά την συνάρτηση Lagrange. Το διάνυσμα γράφεται στη μορφή, όπου το μέτρο του και το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του. Το ανήκει στο επίπεδο, επομένως μπορεί να γραφεί στη μορφή: (1) για κάποια τιμή του πραγματικού. Ο προσδιορισμός του προσδιορισμό του. ανάγεται, επομένως, στον Έστω το μοναδιαίο στην κατεύθυνση της μιας ράγας. Το έχει τη μορφή: (2) όπου οι συντελεστές,,, τα κατευθύνοντα συνημίτονα του, ικανοποιούν τη σχέση: Έστω η γωνία μεταξύ του και του. Για το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις και και υποτείνουσα την ισχύει: 1
(3) Αλλά επίσης ισχύει: (4) Αντικαθιστώντας στην (4) τις (1) και (2): (5) Υπάρχει κάποιο (θα δούμε τη σημασία του αργότερα) που ικανοποιεί τις σχέσεις: (6) και (7) Ώστε η (5) να μπορεί να γραφεί στη μορφή: (8) ή, χρησιμοποιώντας μια γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα: (9) Αντικαθιστώντας τις (3) και (9) στην τριγωνομετρική ταυτότητα: (10) και κάνοντας κάποιες πράξεις προκύπτει η σχέση: 2
(11) Και, λύνοντας την (11) ως προς : (12) όπου: (13) Επειδή και είναι οι συνιστώσες του στους άξονες και, η είναι, απλά, η πολική γωνία του. Αλλά: (14) Έχοντας προσδιορίσει το από τις (12) και (13), το προσδιορίζεται από την (1). Το προσδιορίζεται από τη σχέση: (15) Έχουμε, επομένως, προσδιορίσει το. Η (12) μπορεί να απλοποιηθεί δεδομένου ότι τα,, είναι τα κατευθύνοντα συνημίτονα της μιας ράγας (τα κατευθύνοντα συνημίτονα της άλλης ράγας είναι,, ). Το είναι το συνημίτονο της γωνίας, που είναι το αζιμούθιο του : (16) Επομένως: (17) και η (12) γίνεται: 3
(18) Η απόλυτη τιμή του ορίσματος πρέπει να είναι, επομένως: (19) Υψώνοντας στο τετράγωνο: καταλήγουμε στη σχέση: (20) Αν η (20) δεν ισχύει, η σφαίρα «θα πέσει» από τις ράγες. Σύμφωνα με τον ορισμό της ταχύτητας: (21) Επειδή εύκολα καταλήγουμε στη σχέση: (22) Ορίζοντας ένα νέο μοναδιαίο διάνυσμα, το, που είναι κάθετο στο, από τη σχέση: (23) εύκολα καταλήγουμε στη σχέση: (24) Η (21) τώρα γίνεται: 4
(25) Η προσδιορίζεται από την (18) ως: (26) και η (25) γίνεται: (27) Αφού τα διανύσματα και είναι κάθετα, η είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των συντελεστών τους, δηλαδή: (28) Επομένως η μεταφορική κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι: (29) Η δυναμική ενέργεια της σφαίρας είναι: Αλλά: (30) Άρα και η γίνεται: (31) Τώρα είναι η ώρα να υπολογίσουμε την περιστροφική κινητική ενέργεια. Καθώς η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στις ράγες, τα σημεία επαφής της με τις ράγες έχουν μηδενική ταχύτητα. Η ταχύτητα αυτή προκύπτει σαν άθροισμα της μεταφορικής ταχύτητας της σφαίρας και της περιστροφικής ταχύτητας που αλλάζει από σημείο προς σημείο. 5
Έστω το διάνυσμα θέσης ως προς το κέντρο της σφαίρας ενός σημείου της επιφανείας της και το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας. Η γραμμική ταχύτητα του σημείου είναι: (32) Έστω και τα μοναδιαία διανύσματα της μιας και της άλλης ράγας. Επειδή τα σημεία επαφής της σφαίρας με τις ράγες απέχουν από την αρχή αμφότερα, τα δύο διανύσματα που συνδέουν το κέντρο της σφαίρας με τις δυο επαφές είναι τα και. Αν η μεταφορική ταχύτητα της σφαίρας, οι ταχύτητες των σημείων επαφής είναι και αντίστοιχα. Αυτές πρέπει να είναι μηδέν, επομένως: (33) (34) Ας ορίσουμε ένα νέο διάνυσμα: (35) και ας πάρουμε το ημιάθροισμα των (33) και (34): (36) Τα διανύσματα, και ανήκουν στο επίπεδο. Ας πάρουμε τώρα την διαφορά των (33) και (34): (37) Αφού το έχει την κατεύθυνση του άξονα, η (37) μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η είναι κι αυτή στον άξονα. Άρα και η (36) τώρα γράφεται: (38) απ την οποία προκύπτει: 6
(39) ο όρος γράφεται: (40) Το διπλό ανυσματικό γινόμενο αναλύεται ως εξής: (41) αφού τα διανύσματα και είναι κάθετα. Από τις (40) και (41) έχουμε: Επομένως η (39) γίνεται: (42) Αν είναι η γωνία ανάμεσα στις ράγες, εύκολα βρίσκουμε ότι και η (42) γίνεται: (43) Επίσης, όπως πολύ εύκολα επιβεβαιώνεται αν κοιτάξουμε τις σχέσεις του Μέρους Ι, (44) και η (43) γίνεται: (45) στην οποία μπορούμε να αντικαταστήσουμε το με και το με σύμφωνα με την (18): 7
που με μερικές απλοποιήσεις γίνεται: ή, χρησιμοποιώντας μια τριγωνομετρική ταυτότητα: Η γωνία είναι η γωνία μεταξύ της ράγας και του επιπέδου που είναι συμπληρωματική της, επομένως: και, αν επιλύσουμε ως προς : (46) Ή, αντικαθιστώντας το από την (28): (47) Μπορούμε τώρα να αντικαταστήσουμε την (47) στην έκφραση για την περιστροφική κινητική ενέργεια: (48) Προσθέτοντας στην την μεταφορική κινητική ενέργεια (Εξ. (29)) και αφαιρώντας την δυναμική ενέργεια (Εξ. (31)), προκύπτει η Lagrangian σαν συνάρτηση της γενικευμένης συντεταγμένης και της γενικευμένης ταχύτητας : (49) 8
Από την οποία μπορεί να προκύψει η ΔΕ Euler-Lagrange με τη συνηθισμένη διαδικασία. Η συνθήκη ισορροπίας Για τη δυναμική ενέργεια της σφαίρας είχα βρει την έκφραση: όπου: με την πολική γωνία της μιας (ή της άλλης) ράγας και το αζιμούθιό της (ή άλλη θα έχει το ). Κάνοντας λίγα μαθηματικά, καταλήγουμε για την στην έκφραση: (50) Ας εξετάσουμε αν υπάρχει τιμή του για την οποία η αποκτά ακρότατη τιμή. Παραγωγίζουμε την ως προς : (51) Η παράγωγος μηδενίζεται αν ισχύει η συνθήκη: (52) Αν υψώσουμε στο τετράγωνο και λύσουμε ως προς βρίσκουμε: (53) Για την τιμή του της (53), η αποκτά ακρότατο. Η τιμή της σε αυτό το σημείο είναι: 9
(54) Η συνάρτηση της 2 ης παραγώγου της είναι: (55) Η 2 η παράγωγος είναι παντού αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη της είναι κοίλη και το ακρότατο είναι μέγιστο. Η τιμή της 2 ης παραγώγου στο ακρότατο είναι: (56) Η κίνηση κοντά στο ακρότατο Θα εργαστούμε με εξισώσεις Euler-Lagrange κάνοντας κάποιες προσεγγίσεις στην Lagrangian: 1. Ο όρος κινητικής ενέργειας της Lagrangian είναι Επειδή θέλω να υπολογίσω την κίνηση κοντά στο με το. Έτσι ο όρος αυτός θα γίνει:, θα αντικαταστήσω παντού το (57) όπου, η ενεργός μάζα, δίνεται από τη σχέση: (58) 2. Ο όρος δυναμικής ενέργειας της Lagrangian είναι 10
και όπως έδειξα εδώ http://ylikonet.gr/group/physical-problems/forum/topics/3647795:topic:378113 γράφεται επίσης στη μορφή: (59) και θα προσεγγιστεί από το ανάπτυγμα της σε 2 η τάξη ως προς γύρω από το. Όμως επειδή ο όρος μηδενικής τάξης είναι σταθερά, μπορεί αυθαίρετα να θεωρηθεί ίση με 0. Επίσης, επειδή ο όρος 1 ης τάξης περιέχει την πρώτη παράγωγο του στο, η οποία είναι 0, είναι κι αυτός 0. Άρα το ανάπτυγμα της είναι: (60) και επειδή η 2 η παράγωγος της στο υπολογίστηκε στην (56), ο όρος της δυναμικής ενέργειας γράφεται ως: (61) Η Λαγκραντζιανή παίρνει τελικά τη μορφή: (62) Ας συμβολίσουμε τώρα με τον συντελεστή του. Η (62) γράφεται: (63) 11
Η είναι θετική ανεξάρτητα από τις γωνίες και. Η εξίσωση κίνησης είναι: (63) και ολοκληρώνεται στην: (64) Παραγωγίζοντας την (64) παίρνουμε: (65) Αν για έχουμε και και η θα μεταβάλλεται ως: και επομένως, όσο μικρή κι αν είναι η αρχική ταχύτητα, η σφαίρα θα μετακινηθεί με εκθετικό ρυθμό προς την κατεύθυνση της ταχύτητας. Η ισορροπία στο είναι ασταθής. 12
Θα τελειώσω αυτή τη συζήτηση με τα κυριότερα συμπεράσματα που προέκυψαν για το σύστημα σφαίρα σε ράγες σύμφωνα με την ανάλυση που κάναμε. Αν οι ράγες είναι κατηφορικές, δηλαδή αν, τότε δεν υπάρχει ακρότατο στην γιατί, σύμφωνα με την (52): δεν υπάρχει τιμή για το που να μηδενίζεται η παράγωγος. Η σφαίρα θα κατεβαίνει στις ράγες επιταχυνόμενη (...όχι ομαλά!). Αν οι ράγες είναι ανηφορικές, δηλαδή αν, τότε θα υπάρχει τιμή του που θα μεγιστοποιεί την. Αυτό θα είναι σημείο ασταθούς ισορροπίας. Αν η σφαίρα αφεθεί σε μικρότερες τιμές του, θα κατηφορίσει. Αν η σφαίρα αφεθεί σε μεγαλύτερες τιμές του, θα ανηφορίσει. 13