Οικονομετρία Πολλαπλή Παλινδρόμηση Συντελεστής Προσδιορισμού και έλεγχος υπόθεσης συγκεκριμένου συντελεστή Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης
Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση της έννοιας του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού και του διορθωμένου συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού. Ικανότητα εκτίμησης και ερμηνείας ενός υποδείγματος πολλαπλής παλινδρόμησης και υπολογισμού του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού και του διορθωμένου συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού. Ικανότητα εφαρμογής της διαδικασίας ελέγχου υποθέσεων για ένα συγκεκριμένο συντελεστή.
Ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού 1/ Μέτρο του βαθμού προσαρμογής της ευθείας παλινδρόμησης στις παρατηρήσεις του δείγματος. Στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης συμβολίζεται με R. Y Y Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων (Total Sum of Squares) - TSS. ˆ Y Y Ερμηνευόμενο Άθροισμα Τετραγώνων (Regresson Sum of Squares) - RSS. Y uˆ Yˆ Το Άθροισμα Τετραγώνων των σφαλμάτων (Error Sum of Squares) - ΕSS.
Ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού / R R RSS 1 TSS Yˆ Y 1 Y Y ESS TSS Y Yˆ Y Y Μετράει την ερμηνευτική ικανότητα της εξίσωσης παλινδρόμησης από την οποία όμως έχει αφαιρεθεί το μέρος που οφείλεται στην σταθερά της εξίσωσης. Το σημαντικότερο πρόβλημα του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού που υπολογίζεται με αυτό τον τρόπο είναι ότι η τιμή του αυξάνει πάντα όταν αυξάνει ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών.
Ο διορθωμένος συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού Όταν προστίθεται μια ανεξάρτητη μεταβλητή υπάρχει όφελος αλλά και κόστος. Αυξάνει η τιμή του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού. Χάνεται ένας βαθμός ελευθερίας (n-k). Ο διορθωμένος συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού λαμβάνει υπόψη τόσο το κόστος όσο και το όφελος. R Yˆ Y n k Y Y n 1 1 n 1 n k 1 R Ο διορθωμένος συντελεστής είναι δυνατό να πάρει αρνητικές τιμές
Γραμμικό Υπόδειγμα Πολλαπλής παλινδρόμησης Εκτίμηση 1/3 Παράδειγμα: Προσδιοριστικοί παράγοντες της ζήτησης υπηρεσιών αστικών συγκοινωνιών Στατιστικά στοιχεία από 40 περιοχές μιας χώρας για τις μεταβλητές BTR = Λειτουργία αστικών συγκοινωνιών σε χιλ. ώρες FR = Τιμή εισιτηρίου σε GP = Τιμή βενζίνης σε INC = Κατά κεφαλή μέσο ετήσιο εισόδημα σε POP = Πληθυσμός σε χιλ. DENS = Πυκνότητα πληθυσμού (άτομα/τ. χιλ.) ΑRΕΑ = Έκταση περιοχής σε τ. χιλ.
Γραμμικό Υπόδειγμα Πολλαπλής παλινδρόμησης Εκτίμηση /3 A/A BTR FR GP INC POP DENS AREA 1 073,0 0,85 0,88 1793 537,1 4099 131,0 136,1 0,75 1,03 17768 787,0 9798 80,3 3 1878,8 0,60 0,91 1783 587,1 1438 47, 4 937,5 1,00 0,91 15163 338,0 8070 41,8 5 7343,3 0,50 0,97 17480 3090,0 13547 8,1 6 837,9 0,85 0,88 1539 399,0 5110 78,1 7 1648,0 1,00 0,91 16141 561,8 7110 79,0 8 739,1 0,75 0,89 1536 585,1 334 180,9 9 1070,7 1,50 0,89 17115 114,4 3431 333,0 10 74,6 1,50 0,89 17117 486,5 07 40, 11 31,9 0,75 0,87 1617 198,7 4113 48,4 1 1879,1 1,00 0,94 174 549,8 4975 110,6 13 1941,0 0,60 0,99 17340 153,0 8913 135,6 14 317,6 1,50 0,87 15108 1603,0 885 556,4 15 471,4 1,05 0,93 15809 741, 105 35,0 16 594,3 0,70 0,79 1631 490,4 1551 316,3 17 763,9 0,60 0,93 1807 3478,9 7486 464,7 18 510,1 0,60 0,93 1803 43,3 8508 49,8 19 630,6 0,60 0,93 1349 304,0 4997 60,0 0 1650,9 1,00 1,03 17886 377, 10994 34,3 A/A BTR FR GP INC POP DENS AREA 1 1618,3 0,50 0,86 16537 664,0 670 95,8 009,8 1,15 0,96 13019 368,0 6714 55,1 3 156,4 1,15 0,96 13019 65,0 5144 5,4 4 1139,4 0,60 0,88 13130 57,0 83 199,4 5 13130,0 1,00 1,00 0513 733,3 488 301,5 6 3739,6 1,35 0,9 17409 1760, 1944 136,0 7 55,7 0,75 0,91 15944 991,6 3059 34,0 8 385,8 1,00 0,89 1507 396,6 8147 55,4 9 1698,5 1,15 0,93 15409 387,0 3751 103,3 30 544,0 1,00 0,87 17743 167,0 8309 18,9 31 1769,1 0,85 0,81 16309 495,9 8077 61,4 3 1065,0 0,50 0,85 1509 794,0 318 6,7 33 803,1 1,5 0,98 18014 107, 308 30,0 34 1616,7 0,75 0,90 1886 753,6 1640 46,4 35 146,5 0,75 0,90 0744 376,0 6988 53,9 36 18,1 0,75 0,90 1313 698,1 44 158,0 37 056,1 1,00 0,88 17539 548,3 3790 144,6 38 470,1 0,75 0,9 17633 95,7 3497 84,4 39 4,5 0,75 0,9 17643 59,8 4675 55,5 40 3933,5 0,60 0,96 155 693,6 11068 6,7
Γραμμικό Υπόδειγμα Πολλαπλής παλινδρόμησης Εκτίμηση 3/3 ˆ ˆ 36,1 1 ˆ 513,5 S ˆ 0,195 βˆ ˆ ˆ ˆ 0 3 4 5 6 751,3 1,716 0,116 1,174 (637,9)(451,0) 6958971,0 1376,7-6359031,1-73,5 114,5 18,5 768,1-1376,7 03489,3-175380,1 1,3 14,5-1,4-00,9-6359031,0-175380,1 704647,0 13,1-7,4-4, 3 540,7-73,5 1,3 13,1,004 0,001-0,001-0,016 114,5 14,5-7,4 0,001 0,053-0,011-0,349 18,5-1,,4-4,3 0,001-0,011 0,003 0,080-768,1-00,9 540,7-0,016-0,349 0,080 3, BTR 751,3 36,1FR 513,5GP 0,195INC 1,716POP 0,116DENS 1,174AREA (654,5) (0,065) (0,31) (0,059) (1,800) ˆ 1816484 ˆ u 550378,3 ˆ 741, 9 n k 40 7 R Y uˆ 1 Y 1 1816484 31078 0,91 R 1 n 1 n k 1 R 0, 907
Στατιστικός έλεγχος συγκεκριμένου συντελεστή 1/4 Μονόπλευρος έλεγχος Διατύπωση της υπόθεσης H H : H : 0 : 1 1 Υπολογισμός της στατιστικής t t ˆ S ˆ Σύγκριση της τιμής της στατιστικής t με την αντίστοιχη t α,n-k των πινάκων Η Η 0 απορρίπτεται αν t t t t ), nk (, nk
Στατιστικός έλεγχος συγκεκριμένου συντελεστή /4 Δίπλευρος έλεγχος Διατύπωση της υπόθεσης H 0 : H1 : Υπολογισμός της στατιστικής t t ˆ S ˆ Σύγκριση της τιμής της στατιστικής t με την αντίστοιχη t α,n-k των πινάκων Η Η 0 απορρίπτεται αν t t /, nk
Στατιστικός έλεγχος συγκεκριμένου συντελεστή 3/4 Παράδειγμα: BTR 751,3 36,1FR 513,5GP 0,195INC 1,716POP 0,116DENS 1,174AREA (637,9)(451,0) (654,5) (0,065) (0,31) (0,059) (1,800) H : 1000 H1 : 0 1000 t ˆ S ˆ 513,5 1000 654,5-0,183 t /, nk 0,05,33 t,038 0,183,038 Η Η 0 δεν απορρίπτεται
Στατιστικός έλεγχος συγκεκριμένου συντελεστή 4/4 Παράδειγμα: BTR 751,3 36,1FR 513,5GP 0,195INC 1,716POP 0,116DENS 1,174AREA (637,9)(451,0) (654,5) (0,065) (0,31) (0,059) (1,800) H 0 : 4 0 H1 : 4 0 t ˆ S ˆ 1,716 0 0,31 7,48 t, nk t0,05,33 1,645 7,48 1,645 Η Η 0 απορρίπτεται
Βιβλιογραφία «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ» (Τόμοι Α και Β) J.M. Wooldrdge Εκδόσεις: Παπαζήση «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ» (Τόμοι A & B) Γεώργιος Κ. Χρήστου Εκδόσεις: Gutenberg.
Λέξεις έννοιες κλειδιά Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού, διορθωμένος συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού, έλεγχος υπόθεσης συγκεκριμένου συντελεστή.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδεια χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 014. Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης, Λαζαρίδης Παναγιώτης, «Οικονομετρία». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://medasrv.aua.gr/eclass/courses/ocdaerd10/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commons Αναφορά, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων, π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Η άδεια αυτή ανήκει στις άδειες που ακολουθούν τις προδιαγραφές του Oρισμού Ανοικτής Γνώσης [], είναι ανοικτό πολιτιστικό έργο [3] και για το λόγο αυτό αποτελεί ανοικτό περιεχόμενο [4]. [1] http://creatvecommons.org/lcenses/by-sa/4.0/ [] http://opendefnton.org/okd/ellnka/ [3] http://freedomdefned.org/defnton/el [4] http://opendefnton.org/buttons/
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.