ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη σηµειακή σπ σύγκιση σε χώρους L Eνα σηµαντικό εργαείο για τη µεέτη µεγιστικών τεεστών (και όχι µόνον) είναι το Θεώρηµα παρεµβοής Mcikiewicz που επεκτείνει το θεώρηµα παρεµβοής Riesz- Thoi που αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάαιο για υπογραµ- µικούς τεεστές Το Θεώρηµα αυτό µας επιτρέπει να δείξουµε ότι ένας υπογραµµικός τεεστής που είναι φραγµένος σε δυο ασθενείς χώρους L και L q (µε την έννοια που θα ορίσουµε παρακάτω) είναι φραγµένος στο χώρο L για κάθε δείκτη µεταξύ των, q Ετσι για να δείξουµε τη συνέχεια ενός τεεστή σε κάποιο χώρο L αρκεί να δείξουµε ότι αυτός είναι ασθενώς φραγµένος σε δυο απούστερους χώρους (συνήθως L και L ή L και L 2 ή L 2 και L ) και στη συνέχεια να συµπεράνουµε τη συνέχεια στον L µέσω παρεµβοής 58
22 Το Θεώρηµα Mcikiewicz είναι χώρος µέτρου και : X µετρήσιµη συνάρτηση Εστω ( X,, µ ) Ορισµός 2 Καούµε κατανοµή (distibutio) της ως προς το µέτρο µ τη µη αρνητική συνάρτηση ({ }) [ ] d :,, : d = µ x X : x > Eίναι εύκοο να δούµε ότι η d είναι φθίνουσα συνάρτηση, άρα µετρήσιµη Αναφέρουµε ορισµένες χρήσιµες ιδιότητες της συνάρτησης κατανοµής: (i) Aν g, τότε d dg (ii) Aν σηµειακά, τότε d d σηµειακά (iii) Αν, (iv) Αν, Πρόταση 2 k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) g h g h k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) g g Εστω < < και L ( X, µ ) Τότε Ορισµός 22 Εστω d L d = < < και είναι όπως παραπάνω Αν, > / { d ( )} = su, τότε ο χώρος όων των συναρτήσεων µε, ασθενής χώρος L X µ L, συµβοικά,, < καείται Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση δεν ικανοποιεί την τριγωνική, 59
ανισότητα Πράγµατι, ισχύει / g mx 2,2 g,,, κι έτσι η δεν είναι νόρµα Είναι όµως µια οιονεί-νόρµα (qusiom), ως προς την οποία ο L, ( X, µ ) είναι ένας οιονεί χώρος, Bch (qusi-bch sce) Με άα όγια, ισχύει η ισότητα = = µ σπ και c = c Πράγµατι:,,, ({ }) { } d = µ x : c x > = µ x : x > / c = d / c c Ετσι / / { c } { } c = su d = su cb d b = c,, > bc > Υπενθυµίζουµε επίσης την ανισότητα Chebychev απ όπου προκύπτει άµεσα ότι d () Με άα όγια:, (, µ ) (, µ ) L X L X, Ορισµός 23 Ενας τεεστής T : ( X, µ ) ( Y, ν ) καείται υπογραµµικός αν T( bg)( x) T ( x) b Tg( x) x X,, b Ορισµός 24 Εστω q, [, ] και είναι υπογραµµικός τεεστής Aν ( µ ) ( ν ) T : L X, L Y, q T q M 6
για κάποια θετική σταθερά M, τότε έµε ότι ο T είναι (, q) - ισχυρώς φραγµένος τεεστής Ορισµός 25 Εστω q, [, ] και είναι υπογραµµικός τεεστής Αν ( µ ) ( ν ) T : L X, L Y, q, T q, M για κάποια θετική σταθερά M, τότε έµε ότι ο T είναι (, q) - ασθενώς φραγµένος τεεστής Επίσης έµε ότι ο T είναι (, ) - ασθενώς φραγµένος τεεστής αν και µόνον αν ο T είναι (, ) - ισχυρώς φραγµένος τεεστής Θεώρηµα 2 (Mcikiewicz, ασθενής µορφή) Εστω ( X,, µ ), ( Y,, ν ) είναι χώροι µέτρου, ( Y ) είναι ο χώρος των µιγαδικών µετρήσιµων συναρτήσεων στο Y, < και ( µ ) ( µ ) ( ν) T : L X, L X, Y, είναι υπογραµµικός τεεστής Αν ο T είναι (, ) φραγµένος τεεστής και (, ) ο T είναι (, ) -ασθενώς -ασθενώς φραγµένος τεεστής, τότε -ισχυρώς φραγµένος τεεστής για κάθε < < Απόδειξη Εστω < < οθείσης L και θετικής σταθεράς c (που θα προσδιορίσουµε παρακάτω), για > γράφουµε =, όπου = χ L { x X: ( x) > c} = χ L { x X: ( x) c } (β απόδειξη Πρότασης 5, Κεφααίου ) Εξ υποθέσεως έχουµε: 6
Αρα T x T x T x ( ) ( /2 ) ( /2) d d d T T T από τις παραπάνω ιδιότητες της συνάρτησης κατανοµής (β ιδιότητα (iii)) Θεωρούµε δυο περιπτώσεις: (α): = Τότε Tg A g για κάποια θετική σταθερά A Επιέγουµε c= /(2 A ) και έχουµε άρα T ( x ) T A Ac A = 2 = A 2, dt ( /2) µ = x X : T x > = 2 Επίσης από την ασθενή (, ) όπου d ανισότητα του T παίρνουµε T Tg A g g L ( /2) 2A, (2) για κάποια θετική σταθερά, την Πρόταση 2 παίρνουµε: µ T T ( /2) T = T d = d d Με χρήση της (2) έχουµε X ( 2 ) x X: x c T A x d d { > } d d µ A Από ( 2 ) x / c A x d dµ = 2 ( 2 ) X A A (β): < Από την υπόθεση ισχύουν οι κάτωθι ανισότητες: 62
j 2Aj dt ( /2),, j j j = j Eργαζόµενοι όπως παραπάνω (για τυχαίο c > ) παίρνουµε: T ( 2 ) A x d d : { x X ( x) > c } µ ( 2 ) A x d d : { x X ( x) c} µ 2 A 2 A = c c Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη και τη γενική µορφή του θεωρήµατος: Θεώρηµα 2 (Mcikiewicz, γενική µορφή) είναι ο χώρος των µιγαδικών µετρήσιµων συναρτήσεων στο Y,,, Εστω ( X,, µ ), ( Y,, ν ) είναι χώροι µέτρου, ( Y ) ( µ ) ( µ ) ( ν) T : L X, L X, Y,, είναι υπογραµµικός τεεστής, q, q, q, q, q q και t t t t =, =, t (,) q q q Αν ο T είναι (, q) -ασθενώς φραγµένος τεεστής και (, ) ασθενώς φραγµένος τεεστής, τότε ο T είναι (, ) φραγµένος τεεστής q - q -ισχυρώς Παρατήρηση Το θεώρηµα Mcikiewicz γενικεύει το θεώρηµα Riesz-Thoi Υστερεί όµως στον υποογισµό της σταθεράς M (β θεώρηµα 5, Κεφ ) 63
23 Η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood Ορισµός 26 Εστω : X είναι Lebesgue µετρήσιµη συνάρτηση Λέµε ότι η είναι τοπικά οοκηρώσιµη στο X αν, x dx< K X K συµπαγες K Ο χώρος όων των τοπικά οοκηρώσιµων συναρτήσεων στο X L X συµβοίζεται µε,loc Προφανώς L X L X,loc Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και για τοπικά οοκηρώσιµες συναρτήσεις Στο εξής συµβοίζουµε µε { : } ( x x, ) x = y y x < = το ανοικτό διάστηµα κέντρου x και ακτίνας και µε A το µέτρο Lebesgue µετρήσιµου συνόου A Ορισµός 27 Εστω L,loc ( ) Ορίζουµε τη µεγιστική συνάρτηση Ηdy-Littlewood της στο x ως εξής: Ισοδύναµα: M ( x) = su ( y) dy > ( x) > ( x) M ( x) = su ( x y) dy 2 y < ( χ[, ])( x) = su (3) > 2 O ορισµός 27 γενικεύεται αναόγως και στο χώρο Για κάθε x, η µεγιστική συνάρτηση Hdy-Littlewood µας δίνει το εάχιστο άνω φράγµα των µέσων όρων της ως προς όα τα διαστήµατα κέντρου x και ακτίνας Προφανώς M ( x) Η απεικόνιση 64
M καείται µεγιστικός τεεστής Hdy-Littlewood Προφανώς ο τεεστής M : L L είναι φραγµένος διότι x 2 ( y) dy M 2 = x 2 Με άα όγια, ο M είναι (, ) -ισχυρώς (και εξ ορισµού ασθενώς) φραγµένος Θα δείξουµε ότι Θεώρηµα 22 Ο µεγιστικός τεεστής M είναι (,) ασθενώς φραγµένος (και εφόσον είναι και (, )-ασθενώς φραγµένος θα είναι και (, ) ισχυρώς φραγµένος για κάθε < <) Για την απόδειξη του θεωρήµατος αυτού θα χρειασθούµε το ακόουθο Λήµµα το οποίο παραθέτουµε χωρίς απόδειξη: Λήµµα 2 (κάυψης Vitlli) E είναι µια οικογένεια (αριθµήσιµη ή όχι) ανοικτών A διαστηµάτων του µε su E < και E = E Tότε υπάρχει Εστω { } ακοουθία { E } { E } έτσι ώστε k A k µε στοιχεία ξένα µεταξύ τους ανά δύο, A E 5 E k k Απόδειξη Θεωρήµατος 22 Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Mcikiewicz Σηµειώνουµε ότι ο M είναι υπογραµµικός τεεστής, ασθενώς φραγµένος Aρκεί και όπως ήδη έχουµε πει είναι να δείξουµε ότι ο M είναι (,) ασθενώς φραγµένος Με άα όγια θα δείξουµε ότι { } M = su dm C L, > 65
{ } Εστω A x: M ( x) έτσι ώστε = > Τότε, για κάθε x A, υπάρχει ακτίνα x x x ( y) dy> 2x < ( y) dy 2 x x x (4) Πραφανώς η οικογένεια { x : x A } Από το Λήµµα 2 υπάρχει ακοουθία καύπτει το σύνοο A x k x ( x ), k =, ξένων µεταξύ τους ανά δύο ανοικτών διαστηµάτων τέτοια ώστε A k ( ) 5 = 5 2 x A k k x x xk k Απ αυτήν την ανισότητα και την (4) παίρνουµε Αρα 5 5 A 5 2 y dy k k xk x k xk x k x k A 5 d 5 M 5, M Συνεπώς ο M είναι (,) ασθενώς φραγµένος τεεστής Σηµείωση To θεώρηµα 23 γενικεύεται και στον 66
24 Προσεγγιστικές µονάδες και µεγιστικοί τεεστές Ας δούµε τώρα άες κάσεις µεγιστικών τεεστών Πρώτα δίνουµε τον εξής: Oρισµός 28 Εστω { K } > είναι µια οικογένεια µετρήσιµων συναρτήσεων στο που ικανοποιούν τις ακόουθες ιδιότητες: =, (α) K ( x) dx (β) su > K L C < για κάποια (απόυτη) σταθερά C, lim x dx= για κάθε φιξαρισµένο δ > (γ) K x δ Τότε η οικογένεια { K } καείται προσεγγιστική µονάδα Μπορούµε εύκοα να κατασκευάσουµε προσεγγιστικές µονάδες ως εξής: Εστω φ L ( ) είναι τέτοια ώστε φ ( x) dx = Τότε η οικογένεια x φ ( x) = φ (5) είναι µια προσεγγιστική µονάδα Για κάθε τέτοια οικογένεια συναρτήσεων και L ( ) ορίζουµε την ακοουθία τεεστών Τότε η U = φ su U x = U x (6) > είναι µια µεγιστική συνάρτηση και επιπέον ισχύει η ακόουθη Πρόταση 22 Εστω φ L φθίνουσα στο (, ), { } είναι θετική και άρτια συνάρτηση που είναι και φ είναι όπως στην (5), U είναι όπως στην (6) και M είναι η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood Τότε 67
Αρα ο τεεστής U (, ) φ U x M x L είναι ισχυρώς φραγµένος για κάθε <, ασθενώς φραγµένος και Απόδειξη Εστω φ είναι απή συνάρτηση της µορφής και Τότε j j, j j, φ = χ > < φ k= j x = j k= ( x) jχ x U = φ = k j χ = j j = j k χ = j j j j M x = M x φ, ( ) k= j j L όπου η τεευταία ανισότητα προέκυψε από την (3) Αρα U φ M L Στη γενικότερη περίπτωση που η φ είναι µη απή συνάρτηση, τότε ως γνωστό προσεγγίζεται σηµειακά από µια g απών συναρτήσεων Αν αύξουσα ακοουθία { } m τότε από το Λήµµα Ftou g x = g x,,m m L U = φ lim g = lim U g lim g M φ M, m, m, m m m m L L 68
Πόρισµα 2 Εστω ψ φ όπου η φ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της Πρότασης 2 Τότε su ψ x M x φ Θεώρηµα 23 (Μεγιστικοί τεεστές και σύγκιση σπ) Εστω >, R : L ( X, ) Y γραµµικών τεεστών, όπου ( Y ) L µ, < είναι µια ακοουθία µετρήσιµων συναρτήσεων στο Y και Αν ο τεεστής R κάποιο q <), τότε το σύνοο είναι ο χώρος των µιγαδικών su R x = R x είναι (, ) q ασθενώς φραγµένος (για { L ( X, µ ): lim R ( x) = ( x), σηµειακα σπ } L X µ είναι κειστό στον (, ) Απόδειξη Εστω { } L( X, µ ) L και R ( x) ( x) του έτσι ώστε lim = µε τη νόρµα lim = σηµειακά σπ Τότε { } x X : limsu R x x > µ α { x X : limsu R ( )( x) ( )( x) } = µ > α { } x X : limsu R x /2 µ > α { x X : limsu ( )( x) /2} µ > α 69
{ } { x X R( )( x) } x X ( )( x) µ : > α /2 µ : > α/2 q 2C 2,, α α διότι ο R είναι (, q) ασθενώς φραγµένος και ισχύει η () Αρα µ { } x X : limsu R x x > { } x X R x x k µ : limsu / k= > = Πόρισµα 22 (Lebesgue) Εστω L ( ), < Τότε lim ( ) = x y dy x σπ Απόδειξη Είναι γνωστό ότι ο µεγιστικός τεεστής Hdy- Littlewood είναι (,)-ασθενώς φραγµένος Εστω Τότε L ( x) = su L ( x) = su ( x y) dy L ( x) M ( x) άρα ο L είναι (,)-ασθενώς φραγµένος Από το θεώρηµα 23 το σύνοο { ( ): lim, σηµειακα σπ } A = L L x = x είναι κειστό στον L Αά αν είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε φραγµένο φορέα τότε είναι εύκοο να δείξουµε ότι 7
lim L x = x Το σύνοο αυτών των συναρτήσεων είναι πυκνό στον L και ταυτόχρονα ανήκει στο σύνοο A Εφόσον το A είναι κειστό αναγκαστικά A = L Σηµείωση Το Πόρισµα 22 γενικεύεται και για L,loc 7
25 Ασκήσεις Υποογίστε τη συνάρτηση κατανοµής d της απής συνάρτησης s( x) = b, j jχ A b = j j, όπου A j είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο µετρήσιµα σύνοα 2 Eστω, g µετρήσιµες συναρτήσεις είξτε ότι (i) Aν g, τότε d dg k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) (ii) Αν, (iii) Αν, g g k >, τότε d ( k ) d ( k) d ( ) g g (iv) Aν σηµειακά, τότε d d σηµειακά 3 Αποδείξτε την Πρόταση 2 4 Εστω : E είναι µετρήσιµη συνάρτηση, > είναι µια { } σταθερά και : A = x E x > Αν = χ c ( ) χ A και h sig δείξτε ότι: A (i) = g h (ii) d ( b) = d ( b) και dh ( b) g 5 είξτε την ανισότητα Chebychev A g = sig χ, d b b< = b ({ : d }), = µ x x > > 72
6 Βρείτε συνάρτηση ( ), αά L, ( <) 7 Εστω L ( X µ ) δείξτε ότι,, L, και E X q q/ E q (i) L E L ( X), q µ µε ( E) q µ < Αν q< < (ii) L ( X) L ( X) L ( X), υπό την προϋπόθεση ( X ), q µ < Υπόδειξη Χρησιµοποιείστε την Πρόταση 2 και το γεγονός ότι µ ( E { x: ( x) > }) mi µ ( E),, 8 Εστω q < < < και L, ( X, µ ) Lq, ( X, µ ) (, ) L X µ αποδεικνύοντας ότι είξτε ότι όπου (,) C, q,,, q, 9 Aν T είναι (, q) ισχυρώς φραγµένος γραµµικός τεεστής δείξτε ότι ο T είναι (, q) ασθενώς φραγµένος τεεστής Εστω < <, (, ) (,) ασθενώς φραγµένος γραµµικός τεεστής µε νόρµα και (, ) ισχυρώς φραγµένος µε νόρµα L L είναι (, ) X µ χώρος µέτρου και T είναι T L L, T είξτε ότι ο T ισχυρώς φραγµένος τεεστής Στη συνέχεια δείξτε ότι T T T L L L L L L ( )/2 ( )/2 για κάποιο (,) Υπόδειξη Χρησιµοποιείστε την ασθενή µορφή του θεωρήµατος 73
Mcikiewicz και στη συνέχεια χρησιµοποιείστε κατάηα το θεώρηµα 5 παρεµβοής Riesz-Thoi =, > π x είξτε ότι η οικογένεια Poisso P ( x) 2 2 µια προσεγγιστική µονάδα είναι 2 Αν L ( ) είναι συνεχής σε σηµείο x και { K } > προσεγγιστική µονάδα, δείξτε ότι lim K ( x ) ( x ) 3 Αν L ( ) ( <) και ( x) είναι µια = σηµειακά x Ψ = ψ είναι µια C ψ x >, δείξτε ότι x προσεγγιστική µονάδα, όπου, lim K x = x σπ στο Υπόδειξη Συνδυάστε την Πρόταση 22, το Πόρισµα 2 και το Θεώρηµα 23 µε την άσκηση 2 και το γεγονός ότι το σύνοο των συνεχών συναρτήσεων µε φραγµένο φορέα είναι πυκνό στον L 4 Αν M είναι η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood υποογίστε την Mχ [, ], < b,, b b 5 Αν η µεγιστική συνάρτηση M των Hdy-Littlewood µηδενίζεται για κάποιο x, δείξτε ότι M ( x ) = σπ στο 6 Εστω L M L ( ), είξτε ότι η µεγιστική συνάρτηση 7 Αν M είναι η µεγιστική συνάρτηση των Hdy-Littlewood, B φραγµένο και C > σταθερά, δείξτε ότι, M 2 B C log B 74
όπου log t mx{ log t,} = k k 8 Εστω Ek, =,, k, είναι «δυαδικά» διαστήµατα 2 2 Ορίζουµε το «δυαδικό» µεγιστικό τεεστή όπου M ( x ) = su M ( x, ) d Md x y dy k E E x L k, E k, k, (, ) = χ, d, (α) είξτε ότι ο τεεστής (, ) ισχυρώς φραγµένος M είναι d, ασθενώς φραγµένος και (β) είξτε ότι ο < < ` M είναι (, ) d ισχυρώς φραγµένος για κάθε (γ) είξτε ότι lim M (, x) ( x) d = σπ 75