Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 7 η Διάλεξη: Δρομολόγηση & Προγραμματισμός (Routing & Scheduling) 015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών
Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές οντότητες Μοντελοποίηση δικτύων Προβλήματα δρομολόγησης & προγραμματισμού Αλγόριθμοι Επίλυσης Προβλημάτων Δρομολόγησης
Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές οντότητες Μοντελοποίηση δικτύων Προβλήματα δρομολόγησης & προγραμματισμού Αλγόριθμοι Επίλυσης Προβλημάτων Δρομολόγησης 3
Ορισμοί Δρομολόγησης & Προγραμματισμού Οι εταιρίες που αναλαμβάνουν τη μεταφορά & διανομή προϊόντων σε διάφορα σημεία εξυπηρέτησης (πελάτες) καθώς και οι δημόσιοι οργανισμοί μαζικής μεταφοράς βασίζονται στη χρήση ενός στόλου οχημάτων και του αντίστοιχου πληρώματος που τα επανδρώνει Η βέλτιστη διαχείριση αυτών των οχημάτων καθώς και των πληρωμάτων τους, δημιουργεί μια σειρά από προβλήματα διαχείρισης & ανάθεσης τα οποία εμπεριέχονται κάτω από τη γενική κατηγορία προβλημάτων «δρομολόγησης και προγραμματισμού» Πηγή: Bodin et al., 1983
Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές οντότητες Μοντελοποίηση δικτύων Προβλήματα δρομολόγησης & προγραμματισμού Αλγόριθμοι Επίλυσης Προβλημάτων Δρομολόγησης 5
Βασικές οντότητες σε ένα σύστημα δρομολόγησης & προγραμματισμού Στόλος Μέγεθος Αριθμός οχημάτων (σταθερός ή κυμαινόμενος) Πλήρωμα Τύπος Ομογενής, ετερογενής, ειδικά οχήματα (ψυγεία, με πολλαπλά διαμερίσματα), οχήματα ΔΧ Χώροι στάθμευσης (depot) Πελάτες Χωρητικότητα Διαθέσιμος χώρος για μεταφορά προϊόντων, περιορισμοί στο μεταφερόμενο όγκο και στο βάρος, συμβατότητα με προϊόντα (π.χ. ευπαθή, επικίνδυνα προϊόντα) Δίκτυο Πηγή: Bodin et al., 1983 6
Βασικές οντότητες σε ένα σύστημα δρομολόγησης & προγραμματισμού Στόλος Πλήρωμα Χρόνος βάρδιας Μέγιστος επιτρεπόμενος χρόνος οδήγησης Χώροι στάθμευσης (depot) Άλλοι οδηγικοί περιορισμοί Διάλειμμα οδηγού (συνήθως στη μέση της βάρδιας), μέγιστος συνεχόμενος χρόνος οδήγησης, κτλ Πελάτες Δίκτυο Πηγή: Bodin et al., 1983 7
Βασικές οντότητες σε ένα σύστημα δρομολόγησης & προγραμματισμού Στόλος Πλήρωμα Χωρητικότητα Αριθμός οχημάτων που μπορούν να σταθμεύσουν Ένας / Πολλαπλοί Αριθμός διαθέσιμων χώρων στάθμευσης Χώροι στάθμευσης (depot) Πελάτες Περιοχή εξυπηρέτησης Η γεωγραφική περιοχή που εξυπηρετείται από κάθε depot (χώρος στάθμευσης) Δίκτυο Πηγή: Bodin et al., 1983 8
Βασικές οντότητες σε ένα σύστημα δρομολόγησης & προγραμματισμού Στόλος Σημείο εξυπηρέτησης Διεύθυνση, Γεωγραφική θέση πελατών Πλήρωμα Είδος ζήτησης Ντετερμινιστικό, Στοχαστικό, Δυνατότητα μερικής ικανοποίησης απαιτήσεων Χώροι στάθμευσης (depot) Τύπος ζήτησης Παραλαβή, Διανομή, Μικτή Πελάτες Ειδικές απαιτήσεις Παράθυρα διανομής, Χρόνοι φορτώματος/ξεφορτώματος (service time) Δίκτυο Πηγή: Bodin et al., 1983 9
Βασικές οντότητες σε ένα σύστημα δρομολόγησης & προγραμματισμού Στόλος Πλήρωμα Χώροι στάθμευσης (depot) Είδος δικτύου Χρόνος κίνησης Περιορισμοί οχημάτων Ευκλείδεια απόσταση, απόσταση Manhattan, γεωγραφικό δίκτυο Στατικός, δυναμικός (βασιζόμενος σε κυκλοφοριακά δεδομένα) Περιοχές που δεν μπορούν να εξυπηρετήσουν κάποια οχήματα (π.χ. λόγω μεγέθους οχήματος) Πελάτες Δίκτυο Πηγή: Bodin et al., 1983 10
Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές οντότητες Μοντελοποίηση δικτύων Προβλήματα δρομολόγησης & προγραμματισμού Αλγόριθμοι Επίλυσης Προβλημάτων Δρομολόγησης 11
Ορισμός δικτύου & βελτιστοποίησης Δίκτυα Ένας γράφος είναι ένας συνδυασμός κόμβων και ακμών Κάθε ακμή συνδέει δυο κόμβους Ένα δίκτυο είναι ένας γράφος με ροή μέσω των ακμών. Για παράδειγμα ένα οδικό δίκτυο περιλαμβάνει τη ροή οχημάτων, ένας αγωγός τη ροή ενός υγρού, κτλ Πηγή: Hiller και Lieberman, 1990 Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση μπορεί να ορισθεί ως η επιλογή της πιο αποδοτικής λύσης από το σύνολο όλων των λύσεων ενός προβλήματος Αυτή η λύση μπορεί να βρεθεί με τη χρήση μαθηματικής μοντελοποίησης και εξειδικευμένου λογισμικού 1
Κόμβοι (Nodes) Οι κόμβοι συνήθως αναπαριστούν φυσικά σημεία: Ένα σημείο εξυπηρέτησης (πελάτης) Ένα κέντρο διανομής Intermediate Node Οι κόμβοι χρησιμοποιούνται επίσης για να: αναπαραστήσουν τη σύνδεση δρόμων -lane segment 3-lane segment Κόμβοι για αλλαγή οδικού άξονα Πηγή: neo.lcc.uma, 00 υποδείξουμε την αλλαγή χαρακτηριστικών ενός οδικού άξονα (π.χ. ένας αυτοκινητόδρομος 3 λωρίδων μετασχηματίζεται σε λωρίδων Μοντελοποιήσουμε εξειδικευμένα χαρακτηριστικά ενός πελάτη, ένας κόμβος μπορεί να πρέπει να διασπαστεί σε ή περισσότερους (π.χ. αποθήκη με χώρους αποθήκευσης για διαφορετικά προϊόντα) Πηγή: Geodepot, 008 Κόμβοι σε ένα παγκόσμιο δίκτυο εφοδιαστικής αλυσίδα Πηγή: DeOPSys, 01 13
Γραφική απεικόνιση κόμβων σε αεροπορικά δίκτυα Κόμβοι του αεροπορικού δικτύου της airberlin Κόμβοι του αεροπορικού δικτύου της Turkish Airlines 1
Τόξα/ Ακμές (Arcs) Οι ακμές ενώνουν κόμβους Οι ακμές, συνήθως αναπαριστούν: Depot Οδικές αρτηρίες, Αυτοκινητόδρομους, Η ακμή ενώνει κόμβους Σιδηροδρομικές γραμμές, Αγωγούς, κτλ. Πηγή: neo.lcc.uma, 00 Οι ακμές μπορεί να έχουν συγκεκριμένη ροή/χωρητικότητα (π.χ. οχήματα/ώρα, αριθμός επιβατών/ώρα, κτλ) Η ροή μπορεί να είναι μονής (π.χ. μονόδρομοι, αγωγοί λυμάτων) ή διπλής κατεύθυνσης Τις περισσότερες φορές κάθε τόξο χαρακτηρίζεται από κάποιο κόστος (π.χ. χρόνος κίνησης, απόσταση, κατανάλωση ενέργειας, κτλ) Ακμές σε ένα παγκόσμιο δίκτυο εφοδιαστικής αλυσίδα Πηγή: DeOPSys, 01 15
Γραφική απεικόνιση ακμών σε αεροπορικά δίκτυα Ακμές του αεροπορικού δικτύου της airberlin Ακμές του αεροπορικού δικτύου της Turkish Airlines 16
Μαθηματική δομή ενός δικτύου Κόμβος (node): {A,B,C,D,E} Τόξο/Ακμή (arc): (A,B), (B,C), (B,E), 1 8 D (E,A), (E,C), (C,E), (D,C), (E,D), (A,D) Τα τόξα μπορεί να είναι προσανατολισμένα (π.χ. τόξο 1) A 3 E 6 7 9 αναπαριστώντας μονόδρομους ή διπλή διέλευσης (π.χ. τόξα 6-7) B 5 C Παράδειγμα Το σύνολο των κόμβων του δικτύου είναι V={1,,3,,5} Το σύνολο των συνδέσμων του δικτύου ορίζεται 1 5 1 7 8 9 από το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών: 3 6 Α={(1,),(,3),(,5),(5,1),(5,3),(3,5),(,3),(5,),(1,)} Σημείωση: Οι αριθμοί δηλώνουν τον αύξοντα αριθμό του συνδέσμου 17 5 3
Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές οντότητες Μοντελοποίηση δικτύων Προβλήματα δρομολόγησης & προγραμματισμού Αλγόριθμοι Επίλυσης Προβλημάτων Δρομολόγησης 18
Γνωστές κατηγορίες προβλημάτων δρομολόγησης και προγραμματισμού Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής (Shortest Path Problem) Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (Traveling Salesman Problem Πρόβλημα δρομολόγησης στόλου οχημάτων (Vehicle Routing Problem) 19
Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (SPP) Περιγραφή - Στόχος προβλήματος Παράδειγμα προβλήματος Εύρεση της συντομότερης διαδρομής με στόχο να ταξιδέψουμε από το σημείο Α στο σημείο Β περνώντας από ενδιάμεσους σταθμούς (π.χ. πόλεις) 1 15 5 5 5 0 5 Δεν πρέπει να επισκεφθούμε όλα τα σημεία (π.χ. πόλεις) 3 5 5 Το κόστος υπολογίζεται είτε ως διανυόμενη απόσταση (σε χλμ) ή ο χρόνος για να διανύσουμε αυτή την απόσταση Η συντομότερη διαδρομή από τον Κόμβο 1 στον κόμβο 5 είναι [1,3,,,5] με κόστος 0 0
Αναλυτικά βήματα επίλυσης παραδείγματος SPP Βήμα Λυμένοι κόμβοι άμεσα συνδεδεμένοι με μη λυμένους κόμβους Πλησιέστεροι μη λυμένοι κόμβοι Συνολική απόσταση Πλησιέστερο ς κόμβος Ελάχιστη απόσταση Συντομότερη διαδρομή 1 O A Α (O,A) O C C (O,C) A B += B (A,B) 3 A D +7=9 B E +3=7 E 7 7 (B,E) C E +=8 A D +7=9 B D +=8 D 8 8 (B,D) E D 7+1=8 D 8 8 (E,D) 5 D E T Τ 8+5=13 7+7=1 T 13 13 (D,T) Α Ο 7 5 Β 1 D 1 T Η συντομότερη διαδρομή είναι: η [O, A, B, D, T] και η [O, A, B, Ε, D, T] με κόστος 13 C E Πηγή: Kasilingam, 1998 1
Συνάρτηση επίλυσης SPP σε προγραμματιστικό περιβάλλον Μatlab Το Matlab περιλαμβάνει συναρτήσεις για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης μεταξύ των οποίων και τη συνάρτηση graphshortestpath που χρησιμοποιείται για την εύρεση της συντομότερης διαρδρομής Έξοδος Συνάρτηση Είσοδος Σημείωση: Για την αναλυτική περιγραφή της συνάρτησης χρήση της εντολής : help graphshortestpath Matlab R01b
Εφαρμογή της συνάρτησης graphshortestpath στο προηγούμενο παράδειγμα 7 5 3 1 5 7 1 6 1 Matlab R01b 3
Αποτελέσματα της συνάρτησης graphshortestpath στο προηγούμενο παράδειγμα Έξοδος συνάρτησης: Κόστος και μονοπάτι Γραφική απεικόνιση δικτύου και συντομότερης διαδρομής Matlab R01b
Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (TSP) Περιγραφή - Στόχος προβλήματος Παράδειγμα πραγματικού προβλήματος Ένας πωλητής πρέπει να επισκεφθεί κάποια σημεία (πόλεις) και να γυρίσει στο αρχικό σημείο (από εκεί που ξεκίνησε) Κάθε πελάτη πρέπει να τον επισκεφθεί μόνο μια φορά Ένα βέλτιστο πλάνο TSP στις 15 μεγαλύτερες πόλεις στη Γερμανία. Είναι η μικρότερη διαδρομή από 3.589.15.600 πιθανές διαδρομές που υπάρχουν, δεδομένου ότι επισκεπτόμαστε κάθε πόλη μόνο μια φορά Ο πωλητής θα πρέπει να χρησιμοποιήσει τον πιο γρήγορο δρόμο (με το μικρότερο κόστος) Το κόστος υπολογίζεται είτε ως διανυόμενη απόσταση (σε χλμ) ή ο χρόνος για να διανύσουμε αυτή την απόσταση 5
Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (TSP) Οι George Dantzig, Ray Fulkerson, και Selmer Johnson (195) ήταν οι πρώτοι που έλυσαν ένα πρόβλημα με 9 πόλεις Οι Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, και Helsgaun (001) έλυσαν ένα πρόβλημα με 15.11 πόλεις στη Γερμανία Και το 00 βρήκαν τη βέλτιστη διαδρομή επίσκεψης για,978 πόλεις στη Σουηδία (περίπου 7.500 χλμ) Χρονοδιάγραμμα επίλυσης του TSP Έτος 195 196 1977 1987 1987 1987 199 1998 001 00 Πόλεις n=9 n=33 n=10 n=53 n=666 n=39 n=7397 n=13509 n=1511 n=978 Πηγή: tsp.gatech.edu, 008 6
Μαθηματικό μοντέλο του TSP i j G(V, A) Μεταβλητές και Σύμβολα Έστω G(V, A) γράφος ο οποίος περιέχει: V = {0, 1,,, v}: το σύνολο των κόμβων 0 v Α: το σύνολο όλων των ακμών που ενώνουν τους κόμβους του συνόλου V μεταξύ τους x ij : Λαμβάνει την τιμή 1 αν η ακμή i, j A συμμετέχει στην τελική λύση, αλλιώς λαμβάνει την τιμή 0 (μεταβλητή απόφασης) d ij : το κόστος μετάβασης από τον κόμβο i στον κόμβο j u i : η θέση του κόμβου i στο δρομολόγιο δηλαδή μία θετική ακεραία μεταβλητή για κάθε κόμβο i η οποία δείχνει τη σειρά επίσκεψης στον κόμβο i 7
Μαθηματικό μοντέλο του TSP j G(V, A) Αντικειμενική συνάρτηση i min d ij x ij i,j A 0 v Περιορισμοί x ij = 1, j V\0 i V x ij j V = 1, i V\v Εξασφαλίζουν ότι υπάρχει ακριβώς μία μετάβαση από και προς κάθε σημείο του δικτύου u i u j + v x ij (v 1) i, j V Εξασφαλίζουν ότι στη λύση δε θα υπάρχουν κύκλοι (sub tours) x ij 0,1, i, j V 1 u i n 1 i V\0, u 0 = 1 8
Εφαρμογή του TSP σε παράδειγμα G(V, A) Αντικειμενική συνάρτηση 1 3 min d ij x ij i,j A 0 i V x ij = 1, j V\0 π.χ. για j = 1 x 1 + x 31 + x 1 + x 11 + x 01 = 1 d ij : κόστος μετάβασης j V x ij = 1, i V\v π.χ. για i = 1 x 10 + x 11 + x 1 + x 13 + x 1 = 1 0 1 3 0 0 3 7 8 9 1 3 0 1 6 7 1 0 8 3 8 0 5 9 6 8 5 0 u i u j + v x ij (v 1) i, j V x ij 0,1, i, j V 1 u i n 1 i V\0, u 0 = 1 π.χ. για i = 1 και j = u 1 u + x 1 3 π.χ. για i = 0, u 0 = 1 για i = 1, 1 u 1 3 για i =, 1 u 3 9
Το πρόβλημα της δρομολόγηση οχημάτων (VRP) Προτάθηκε από τους Dantzig and Ramser το 1959 Αποτελεί ένα από τα πιο δύσκολα προς επίλυση προβλήματα. Η δυσκολία του αυξάνει εκθετικά όσο μεγαλώνει ο αριθμός των πελατών (Reimann et al., 003) Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές του βασικού προβλήματος: Capacitated VRP (CVRP) Multiple Depot VRP (MDVRP) Split Delivery VRP (SDVRP) VRP with Backhauls (VRPB) (με επιστροφές στην αποθήκη) VRP with Pickups and Deliveries (VRPPD) VRP with time windows (VRPTW) Dynamic VRP (DVRP) Πηγή: Dantzig και Ramser, 1959 30
Το πρόβλημα της δρομολόγηση οχημάτων (VRP) Περιγραφή - Στόχος προβλήματος Ένας αριθμός οχημάτων πρέπει να επισκεφθεί ένα δεδομένο αριθμό πελατών (πόλεων/ σημείων). Όλα τα οχήματα πρέπει να επιστρέψουν στο αρχικό σημείο εκκίνησης Κάθε πελάτης πρέπει να επισκεφθεί μια φορά μόνο Παράδειγμα προβλήματος Depot Το συσωρευτικό κόστος όλων των οχημάτων πρέπει να ελαχιστοποιηθεί Το κόστος υπολογίζεται είτε ως διανυόμενη απόσταση (σε χλμ) ή ο χρόνος για να διανύσουμε αυτή την απόσταση Επιχειρησιακές αποφάσεις: Πώς ο διαθέσιμος στόλος οχημάτων (πόροι) μπορεί να χρησιμοποιηθεί βέλτιστα έτσι ώστε να ικανοποιήσει μια δεδομένη ζήτηση (demand) με βάση συγκεκριμένες επιχειρησιακές απαιτήσεις Σκοπός της Δρομολόγησης Οχημάτων: Προσδιορισμός των δρομολογίων και πιθανών του προγράμματος των διαθέσιμων οχημάτων Depot Πηγή: neo.lcc.uma, 00 31
Το πρόβλημα της δρομολόγηση οχημάτων (VRP) Ελαχιστοποίησε: Περιγραφή - Στόχος προβλήματος το κόστος μεταφοράς (χρόνος κίνησης ή απόσταση) τον αριθμό των οχημάτων ή/και του πληρώματος Με τους εξής περιορισμούς: όλοι οι πελάτες επισκέπτονται από το όχημα μόνο μια φορά όλα τα οχήματα ξεκινούν και καταλήγουν στο ίδιο σημείο (depot) χρόνος κίνησης οχήματος <= βάρδια οδηγού όγκος προϊόντων προς διανομή ανά όχημα <= χωρητικότητα οχήματος Επιπρόσθετοι περιορισμοί: κάθε πελάτης πρέπει να εξυπηρετηθεί σε συγκεκριμένα χρονικά παράθυρα η παραλαβή συγκεκριμένων προϊόντων πρέπει να γίνει πριν την παράδοση πελάτες με συγκεκριμένα εμπορεύματα μπορούν να εξυπηρετηθούν μόνο από συγκεκριμένα είδη οχημάτων 3
Μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της δρομολόγηση οχημάτων (VRP) Μεταβλητές και Σύμβολα Κ: αριθμός διαθέσιμων οχημάτων S: Σύνολο που αποτελείτε από κόμβους Αντικειμενική συνάρτηση min d ij x ij (i,j) A V\S: Σύνολο όλων των κόμβων εκτός αυτών που ανήκουν στο S r(s): O ελάχιστος αριθμός των οχημάτων Περιορισμοί x ij = 1, j V\0 i V (ακμών) που χρειάζονται για να εξυπηρετηθούν οι κόμβοι του S π.χ. λόγω της χωρητικότητας των οχημάτων ορίζεται ως: r(s) = p S C Όπου, p(s) είναι το συνολικός όγκος προϊόντων x ij j V x 0j j V x i0 i V = 1, i V\0 = Κ, = Κ, προς διανομή στους πελάτες που ανήκουν στο S και C η χωρητικότητα του κάθε οχήματος i V\S j S x ij r S, S V\0, S x ij 0,1, i, j V 33
10 k: αριθμός οχημάτων, k = 0 Εφαρμογή μαθηματικού μοντέλου του προβλήματος της δρομολόγηση οχημάτων (VRP) Δεδομένα C: χωρητικότητα οχήματος, C = 10 d ij : κόστος μετάβασης από τον i στον j, d ij = 5 Υπόμνημα 0 depot Όγκος προς διανομή σε κάθε θέση πελάτη πελάτη Δεδομένα π. χ. για S: 3, και άρα V/S: {0,1,} p S : συνολικός όγκος προϊόντων προς διανομή στους πελάτες που ανήκουν στο S, p(s) = 5 για S: 3, r(s) = p S C 1 Εφαρμογή μοντέλου = 5 10 = 1 3 3 0 3 7 8 9 3 0 1 6 7 1 0 8 8 0 5 9 6 8 5 0 min d ij x ij (i,j) A i V\S j S i V j V j V i V Αντικειμενική συνάρτηση x ij = 1, j V\0 x ij x 0j x i0 = 1, i V\0 = Κ, = Κ, x ij r S, x ij Μεταβλητή απόφασης Παράμετρος S V\0, S 0,1, i, j V d 00 x 00 + d 01 x 01 + d 0 x 0 + d 03 x 03 + d 0 x 0 + d 10 x 10 + d 11 x 11 + d 1 x 1 + d 13 x 13 + d 1 x 1 + d 0 x 0 + d 1 x 1 + d x + d 3 x 3 + d x + d 30 x 30 + d 31 x 31 + d 3 x 3 + d 33 x 33 + d 3 x 3 + d 0 x 0 + d 1 x 1 + d x + d 3 x 3 + d x Περιορισμοί π.χ. για j = 1 x 01 + x 11 + x 1 + x 31 + x 1 = 1 π.χ. για i = 1 x 10 + x 11 + x 1 + x 13 + x 1 = 1 π.χ. x 00 + x 01 + x 0 + x 03 + x 0 = π.χ. x 00 + x 10 + x 0 + x 30 + x 0 = π.χ. για S: 3, x 03 + x 13 + x 3 + x 0 + x 1 +x 1 Η μεταβλητή απόφασης x ij, για κάθε i, j V μπορεί να λάβει την τιμή 0 ή 1 3
Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές οντότητες Μοντελοποίηση δικτύων Προβλήματα δρομολόγησης & προγραμματισμού Αλγόριθμοι Επίλυσης Προβλημάτων Δρομολόγησης 35
Αλγόριθμοι επίλυσης Μαθηματικός Προγραμματισμός Αφορά μαθηματικές μεθόδους οι οποίες καταλήγουν στην βέλτιστη λύση ενός προβλήματος, αποδεικνύοντας ταυτόχρονα ότι δεν υπάρχει άλλη καλύτερη. Σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτούν συνήθως είναι μεγάλος Ευρετικοί Αλγόριθμοι Είναι απλές διαδικασίες που ακολουθούν λογικούς (εμπειρικούς) κανόνες για να αποδώσουν γρήγορα λύσεις. Οι λύσεις που παράγονται από αυτές τις διαδικασίες δεν είναι απαραίτητα και οι καλύτερες που υπάρχουν Αλγόριθμος Πλησιέστερου Γείτονα (Nearest Neighbor Algorithm) Clark & Wright Savings 36
Αλγόριθμος Πλησιέστερου Γείτονα (Nearest Neighbor Algorithm) Ο ευρετικός αλγόριθμός του Πλησιέστερου Γείτονα (ΠΓ) δημιουργεί δρομολόγια (ή μονοπάτια) επιλέγοντας κάθε φορά να μεταβεί στον κόμβο με το μικρότερο κόστος (ή απόσταση) μετάβασης από τον κόμβο που Ο ευρετικός αλγόριθμός ΠΓ είναι απλός, έχει όμως το μειονέκτημα ότι δεν εξετάζει το συνολικό πρόβλημα αλλά εστιάζει σε ένα μικρό κομμάτι του προβλήματος Τα βήματα του αλγορίθμου είναι τα εξής: 1. Όρισε τον αρχικό κόμβο (π.χ. την αποθήκη) ως τρέχων κόμβο. Εύρεση του κόμβου ο οποίος: α) έχει το μικρότερο κόστος μετάβασης από τον τρέχων κόμβο, β) δεν είναι ήδη στο μονοπάτι. Τοποθέτηση του κόμβου αυτού ως επόμενου στο μονοπάτι και ως τον νέο τρέχων κόμβο 3. Επανάληψη του βήματος έως ότου όλοι οι κόμβοι να είναι στο μονοπάτι. Ένωσε τον τρέχων κόμβο με τον αρχικό κόμβο 37
Παράδειγμα του αλγορίθμου του Πλησιέστερου Γείτονα Βήμα A Βήμα Β 5,km 5 8,km 5 1 1 3,8km 3,1km 10,5km 6 6 Βήμα Γ Βήμα Δ 5km 6km 5 8,5km 5 1 3 1 3 9,km 3,6km 7,8km 6 6 9,5km 38
Παράδειγμα του αλγορίθμου του Πλησιέστερου Γείτονα Βήμα Ε Βήμα ΣΤ 5km 5km 5 8,5km 5 1 3 9,5km 1,8km 3 5km 3,6km 10,5km 6 6,8 + 3,6 + 8,5 + 5 + 5 + 10,5 = 35,km 39
Αλγόριθμος πλησιέστερου γείτονα VS βέλτιστη λύση ΠΓ Βέλτιστη Λύση 8,5km 5km 5 5,km 5km 5 1,8km 3 3,6km 5km 10,5km 1 3 7,8km,1km 3,6km 6 6 5km,8 + 3,6 + 8,5 + 5 + 5 + 10,5 = 35,km 5, + 5 + 5 +7,8 + 3,6 +,1 = 30,9km 0
Αλγόριθμος Clark & Wright Savings Ο ευρετικός αλγόριθμος Clarke & Wright Savings (C&W) είναι από τις πιο διαδεδομένες τεχνικές επιλύσεις προβλημάτων δρομολόγησης Ο αλγόριθμος εκκινεί θεωρώντας ότι κάθε κόμβος επισκέπτεται από ένα διαφορετικό όχημα Υπολογίζει την εξοικονόμηση (saving) από την ένωση δύο δρομολογίων π.χ.: Αν η απόσταση από τον κόμβο στον 3 είναι 5km και η συνολική Depot 1 10km 10km 8km 8km 3 5km απόσταση που καλύπτεται από τα δύο οχήματα είναι 36km Τότε η εξοικονόμηση που θα προκύψει είναι: 10+8-5= 13km 1
Αλγόριθμος Clark & Wright Savings: Υπολογισμός εξοικονόμησης Στο σχήμα παρουσιάζονται τα αρχικά δρομολόγια (μπλε γραμμές) Με διακεκομμένες γραμμές παρουσιάζονται οι ακμές που δεν χρησιμοποιούνται στη λύση Depot 1 5km 5km 10km 10km 7km 3km Το πρώτο βήμα για την δημιουργία ενός ολοκληρωμένου δρομολόγιου είναι η ένωση των κόμβων με την μεγαλύτερη εξοικονόμηση 8km 8km 3 5km εφαρμόζοντας τον τύπο: S ij = c 1i + c 1j c ij Κόμβοι (i j) Savings S ij Ταξινόμηση i = j = 3 10 + 8 5 = 13km S 3 = 13 1 i = j = 5 + 10 3 = 1km S = 1 i = 3 j = 5 + 8 7 = 6km S 3 = 6 3 Η ένωση -3 αποδίδει την μεγαλύτερη εξοικονόμηση 3
Αλγόριθμος Clark & Wright Savings: Ένωση κόμβων με την καλύτερη εξοικονόμηση Depot 1 5km 5km 10km 10km 7km 3km Depot 1 5km 5km 10km 8km 5km 8km 5km 8km 3 3 5 + 5 + 10 + 10 + 8 + 8 = 6km 5 + 5 + 10 + 5 + 8 = 33km Κόμβοι (i j) Savings S ij Ταξινόμηση i = j = 3 10 + 8 5 = 13km S 3 = 13 1 i = j = 5 + 10 3 = 1km S = 1 i = 3 j = 5 + 8 7 = 6km S 3 = 6 3 Η ένωση -3 αποδίδει την μεγαλύτερη εξοικονόμηση
Αλγόριθμος Clark & Wright Savings: Ένωση κόμβων με την επόμενη καλύτερη εξοικονόμηση Depot 1 5km 5km 10km 10km 7km 3km Depot 1 5km 3km 8km 5km 8km 5km 8km 3 3 5 + 5 + 10 + 10 + 8 + 8 = 6km 5 + 3 + 5 + 8 = 1km Ένωση των κόμβων με την επόμενη καλύτερη εξοικονόμηση: οι κόμβοι και Κόμβοι (i j) Savings Sij Ταξινόμηση i = j = 10 + 5 3 = 1km S = 1 Το ολοκληρωμένο δρομολόγιο είναι 1 3 1, με συνολική απόσταση 1km Η ένωση - αποδίδει την επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση Η συνολική εξοικονόμηση για την δημιουργία ενός δρομολογίου με όλους τους κόμβους είναι 5km 5
Παράδειγμα αλγορίθμου Clark & Wright Savings Εφαρμόστε τον αλγόριθμο τον αλγόριθμο Clark & Wright Savings ώστε να δημιουργήστε ένα δρομολόγιο που θα επισκέπτεται όλους τους κόμβους του παρακάτω σχήματος. Το δρομολόγιο θα πρέπει να εκκινεί από τον κόμβο 0 και να επιστρέφει σε αυτόν, αφού έχουν επισκεφτεί όλοι οι υπόλοιποι κόμβοι. Ο πίνακας περιέχει τις αποστάσεις μεταξύ των κόμβων του σχήματος. 90 80 70 60 3 5 Πίνακας Αποστάσεων Κόμβων Από Προς 0 1 3 5 0 0 3 37 7 8 1 3 0 35 0 8 6 37 35 0 0 37 50 0 1 0 3 0 0 0 53 6 7 8 37 53 0 59 30 5 8 6 6 59 0 0 5 10 15 0 5 30 35 0 6
1. Ορισμός κόμβου ως κόμβου αποθήκης. Υπολογισμός της εξοικονόμησης (δημιουργία πίνακα εξοικονόμησης) από τη σύνδεση των κόμβων i και j: Επίλυση του παραδείγματος εφαρμόζοντας τα βήματα του αλγορίθμου Clark & Wright Savings Ακολουθώντας τα βήματα του αλγορίθμου: Πίνακας εξοικονόμησης Από Προς 0 1 3 5 0 1 5 5 5 5 59 7 61 3 5 59 16 8 S ij = c 0i + c 0j c ij 7 16 16 5 5 61 8 16 3. Ταξινόμηση των εξοικονομήσεων (δημιουργία πίνακα ταξινόμησης) από την μεγαλύτερη στην μικρότερη Πίνακας ταξινόμησης Από Προς 0 1 3 5 0 1 18 16 0 1 17 6 8 3 15 5 1 19 7 11 10 5 13 3 1 9 Σημείωση: Δεν χρειάζεται να υπολογιστούν 7
Επίλυση του παραδείγματος εφαρμόζοντας τα βήματα του αλγορίθμου Clark & Wright Savings. Ξεκινώντας από την καλύτερη ταξινόμηση, και στη συνέχεια ακολουθώντας την ταξινομημένη λίστα εξοικονομήσεων, σύνδεσε κατάλληλα τους κόμβους εξετάζοντας την εφικτότητα της σύνδεσης (αν δεν είναι εφικτή η σύνδεση προχώρα στην επόμενη μεγαλύτερη ταξινόμηση μέχρι να σχηματιστεί μια ολοκληρωμένη λύση Nodes: 5-3 Savings: 8 New path: 0 5 3 0 Nodes: 3-5 Savings: 8 Skip Nodes: 5 - Savings: 61 New path: 0 5 3 0 Nodes: - 5 Savings: 61 Skip Nodes: 3 - Savings: 59 Skip Nodes: - 3 Savings: 59 Skip Nodes: - Savings: 7 New path: 0 5 3 0 Nodes: - Savings: 7 Skip Nodes: 5 - Savings: 16 Skip Nodes: - 5 Savings: 16 Skip Nodes: - 3 Savings: 16 Skip Nodes: 3 - Savings: 16 Skip Nodes: 5-1 Savings: 5 Skip Nodes: 1-5 Savings: 5 Skip Nodes: 3-1 Savings: 5 New path: 0 5 3 1 0 Όλοι οι κόμβοι συμμετέχουν στο δρομολόγιο οπότε τελειώνει ο αλγόριθμος Clark & Wright Savings Πίνακας ταξινόμησης Από Προς 0 1 3 5 0 1 18 16 0 1 17 6 8 3 15 5 1 19 7 11 10 5 13 3 1 9 0 Συνολική απόσταση δρομολογίου: 137 5 10 15 0 5 30 35 0 90 80 70 60 50 0 30 1 0 3 5 8
Εμπειρικοί κανόνες δρομολόγησης Ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει την δυνατότητα να αναγνωρίσει γρήγορα συσχετίσεις μεταξύ λύσεων και να επιλέξει την καλύτερη από αυτές Καλές αλληλουχίες κόμβων σχηματίζονται όταν οι ακμές των λύσεων δεν επικαλύπτονται μεταξύ τους Το σχήμα ενός καλού δρομολογίου θυμίζει συνήθως το σχήμα του δακρύου, ή το σχήμα των πετάλων των λουλουδιών Σε πολλές περιπτώσεις ο άνθρωπος μπορεί να σχηματίσει ένα καλό δρομολόγιο σε λίγα δευτερόλεπτα όταν ένας υπολογιστής θα έκανε ώρες (a) Poor routing paths cross (b) Good routing no paths cross Πηγή: Ballou, 00 9