ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση Η ηλεκτρμαγνητική θεωρία τυ Maxwell πρβλέπει ότι τ φως, όπως λόκληρη η ηλεκτρμαγνητική ακτινβλία, είναι εγκάρσι κύμα, αφύ ι διευθύνσεις των ταλαντύμενων διανυσμάτων ηλεκτρικύ και μαγνητικύ πεδίυ είναι κάθετες πρς την διεύθυνση διάδσης τυ κύματς. Τα εγκάρσια κύματα έχυν τ επιπρόσθετ χαρακτηριστικό ότι είναι γραμμικά πλωμένα, πυ σημαίνει ότι τα διανύσματα τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι παράλληλα μεταξύ τυς σε όλα τα σημεία τυ κύματς. Τ ταλαντύμεν διάνυσμα και η διεύθυνση διάδσης σχηματίζυν ένα επίπεδ πυ νμάζεται επίπεδ ταλάντωσης και σε ένα γραμμικά πλωμέν κύμα όλα αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλα. Τ φως πυ παράγεται από πλλές πηγές, όπως από ένα λαμπτήρα πυρακτώσεως ή από τν ήλι, νμάζεται φυσικό φως και είναι μη πλωμέν. Αυτό φείλεται στ ότι κάθε ακτίνα φυσικύ φωτός απτελείται από μεγάλ αριθμό στιχειωδών κυμάτων, καθένα από τα πία έχει τυχαία πρσανατλισμέν επίπεδ ταλάντωσης. Τ φυσικό φως (μη πλωμέν κύμα) μπρεί να πλωθεί με τη βήθεια διαφρών μεθόδων, όπως με τα πλωτικά φίλτρα ή με ανάκλαση, πυ θα εξεταστύν στη συνέχεια. Φυσικό μη πλώμεν φως πλωτής Σχήμα 5 Γραμμικά πλώμεν φως Τ Σχήμα 5 δείχνει φυσικό (μη πλωμέν) φως πυ πρσπίπτει σε φύλλ πλωτικύ υλικύ (πλωτής), πυ στ εμπόρι λέγεται Plarid. Στν πλωτή υπάρχει μια ρισμένη χαρακτηριστική διεύθυνση πλώσεως, πυ δείχνεται με τις παράλληλες γραμμές και καθρίζεται από τν κατασκευαστή. Ο πλωτής θα επιτρέψει τη διέλευση μόν εκείνων των κυματσυρμών πυ τα ηλεκτρικά τυς διανύσματα ταλαντώννται παράλληλα πρς αυτή τη διεύθυνση και θα απρρφήσει εκείνυς πυ τα διανύσματά τυς ταλαντώννται κάθετα πρς αυτή τη διεύθυνση. Έτσι τ εξερχόμεν φως θα είναι γραμμικά πλωμέν. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 y Τ φυσικό φως όταν διέρχεται μέσα από ένα Plarid, χάνει ένα σημαντικό πσστό από την έντασή τυ. Στ Σχήμα 6 πλωτής βρίσκεται στ y επίπεδ της σελίδας και η διεύθυνση διαδόσεως τυ φυσικύ φωτός είναι πρς τη σελίδα. Τ διάνυσμα E x x παριστά τ επίπεδ ταλάντωσης ενός τυχαίυ κυματσυρμύ πυ πρσπίπτει πάνω στν πλωτή. Τ κύμα αυτό μπρεί να αναλυθεί σε δυ συνιστώντα Σχήμα 6 κύματα, ένα κάθετ πρς τ χαρακτηριστικό επίπεδ πόλωσης με πλάτς Ex E sin θ και σε ένα παράλληλ πρς αυτό με πλάτς E y E csθ. Από τν πλωτή θα διέλθει μόν η παράλληλη συνιστώσα E y στ χαρακτηριστικό τυ επίπεδ, ενώ η άλλη θα απρρφηθεί μέσα στν πλωτή. Τ απτέλεσμα είναι τ εξερχόμεν φως να είναι γραμμικά πλωμέν. Η ένταση της ακτινβλίας της δέσμης τυ φυσικύ φωτός είναι ανάλγη τυ τετραγώνυ τυ πλάτυς τυ κύματς και συγκεκριμένα είναι: c E (7) 4π Στην αρχική δέσμη τυ φυσικύ φωτός, λόγω της τυχαίας κατανμής των διευθύνσεων τυ E, κατά μέσ όρ ι δυ συνιστώσες E x και E y θα είναι ίσες, άρα και ι εντάσεις ακτινβλίας των δυ αυτών κυμάτων θα είναι ίσες. Δηλαδή: x y () Συνεπώς κατά τη δίδ τυ φωτός από τν πλωτή, διέρχνται μόν ι παράλληλες συνιστώσες Εy με απτέλεσμα τ εξερχόμεν φως να είναι γραμμικά πλωμέν και η έντασή τυ Ι να είναι ίση με τ μισό της έντασης Ι της πρσπίπτυσας δέσμης. Δηλαδή: (9) Από τη σχέση (9) πρκύπτει ότι η ένταση Ι τυ εξερχόμενυ φωτός είναι σταθερή και ανεξάρτητη της γωνίας θ. Δηλαδή κατά την πρόσπωση φυσικύ φωτός σε πλωτή, δεν παρυσιάζνται μεταβλές στην ένταση τυ εξερχόμενυ φωτός όταν στρέφεται πλωτής. Έστω τώρα ότι τ γραμμικά πλωμέν φως πυ εξέρχεται από τν πλωτή διέρχεται μέσω ενός δεύτερυ πλωτή, πυ στην περίπτωση αυτή νμάζεται αναλυτής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 πλωτής φ E cs φ αναλυτής Σχήμα 7 Η γωνία μεταξύ των αξόνων πόλωσης τυ πλωτή και τυ αναλυτή είναι φ. Είναι πρφανές ότι αν Ε είναι τ πλάτς τυ πρσπίπτντς γραμμικά πλωμένυ φωτός πάνω στν αναλυτή τότε τ πλάτς τυ εξερχόμενυ φωτός από τν αναλυτή είναι Εcsφ. Δηλαδή από τν αναλυτή διέρχεται πάλι μόν η παράλληλη συνιστώσα πρς τν άξνα πόλωσής τυ, ενώ η κάθετη συνιστώσα απρρφάται. Επειδή σύμφωνα με την (7) η ένταση ακτινβλίας είναι ανάλγη με τ τετράγων τυ πλάτυς τυ κύματς (Ι~Ε ), αν Ι είναι η ένταση της ακτινβλίας της αρχικά πλωμένης δέσμης τότε η ένταση της ακτινβλίας Ι μετά τη διέλευση από τν αναλυτή είναι: E E csφ E cs φ c 4π E c 4π E cs φ cs φ (0) Η σχέση (0) νμάζεται νόμς τυ Malus. Παρατηρείται ότι όταν ι διευθύνσεις πλώσεως πλωτή και αναλυτή είναι παράλληλες, δηλαδή όταν φ = 0 ή 0, η διερχόμενη ένταση Ι είναι μέγιστη (Ι max = ), ενώ όταν ι διευθύνσεις πόλωσης είναι κάθετες, δηλαδή όταν φ 90 ή 70, η διερχόμενη ένταση Ι είναι ελάχιστη (Ι min = 0). Επμένως στρέφντας τν αναλυτή, η διερχόμενη ένταση Ι μεταβάλλεται περιδικά με τη γωνία φ και μηδενίζεται δυ φρές ανά κάθε περιστρφή. Στ ακόλυθ σχήμα φαίννται τα γραφήματα της μεταβλής τυ πλάτυς Ε και της έντασης ακτινβλίας Ι της εξερχόμενης δέσμης κατά τη στρφή τυ αναλυτή κατά μια πλήρη περιστρφή. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 Ε Ε =Εcsφ Ι Ι =Ιcs φ 0 φ 90 0 70 60 0 90 0 70 60 φ Παράδειγμα Σχήμα Δυ πλωτικά φύλλα τπθετύνται έτσι ώστε η γωνία μεταξύ των αξόνων πόλωσής τυς να είναι 0. Τ πρσπίπτν σε αυτά φυσικό μη πλωμέν φως έχει ένταση Ι. α) Να υπλγιστεί η ένταση τυ φωτός πυ διέρχεται από των πρώτ πλωτή καθώς και η ένταση τυ φωτός από τ δεύτερ πλωτή. β) Κατά πόση γωνία πρέπει να είναι στραμμένα τα φύλλα μεταξύ τυς ώστε η ένταση πυ διέρχεται από τ δεύτερ πλωτή να είναι τ μισό της έντασης πυ διέρχεται από τν πρώτ πλωτή; Λύση α) Όπως εξηγήθηκε στα πρηγύμενα η ένταση ακτινβλίας πυ διέρχεται από τν πρώτ πλωτή, ανεξάρτητα τυ πρσανατλισμύ τυ είναι τ μισό της έντασης Ι τυ πρσπίπτντς φυσικύ φωτός. Δηλαδή: Σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus η ένταση τυ φωτός πυ διέρχεται από τ δεύτερ πλωτή είναι : cs φ cs 0 4 β) Για να είναι η ένταση πυ διέρχεται από τ δεύτερ πλωτή η μισή αυτής πυ διέρχεται από τν πρώτ πλωτή, δηλαδή για Ι = Ι/ θα πρέπει σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus να ισχύει: cs θ cs θ cs θ csθ θ - cs θ 45, 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 Σημειώνεται ότι ανεξάρτητα από τ πις πλωτής στρέφεται ή κατά πια διεύθυνση λαμβάνεται τ ίδι απτέλεσμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΘΕΜΑ Μη πλωμέν φως έντασης Ι πρσπίπτει σε πλωτικό φίλτρ. Τ εξερχόμεν φως διέρχεται μέσω ενός δεύτερυ πλωτικύ φίλτρυ, τυ πίυ άξνας σχηματίζει γωνία με τν άξνα τυ πρώτυ φίλτρυ. Να βρείτε την ένταση της δέσμης μετά τη διέλευσή της από τ δεύτερ πλωτή και την κατάσταση πόλωσής της. Λύση 60 Ε Ε 60 Ε Ι Ι=Ι / Ι Η ένταση τυ φωτός πυ διέρχεται από τν πρώτ πλωτή, σύμφωνα με την (4 9) είναι: Επμένως η ένταση τυ φωτός πυ διέρχεται από τ δεύτερ πλωτή, σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus (4 0) είναι: cs φ cs 60 4 Τ διερχόμεν φως από τ δεύτερ πλωτή είναι γραμμικά πλωμέν και σχηματίζει γωνία με τ γραμμικά πλωμέν φως πυ εξέρχεται από τν πρώτ πλωτή, όπως φαίνεται στ σχήμα. 60 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΘΕΜΑ Τρία πλωτικά φίλτρα συστιχύνται διαδχικά με τις επιφάνειές τυς παράλληλες, ενώ άξνας πόλωσης τυ δεύτερυ και τρίτυ πλωτή σχηματίζει γωνία 60 και 90 αντίστιχα με τν άξνα πόλωσης τυ πρώτυ πλωτή. α) Αν μη πλωμέν φως έντασης Ι πρσπίπτει στη διάταξη των πλωτών, βρείτε την ένταση και την κατάσταση πόλωσης τυ φωτός πυ εξέρχεται από κάθε φίλτρ. β) Αν απμακρυνθεί τ δεύτερ φίλτρ, πόση είναι η ένταση της φωτεινής δέσμης πυ εξέρχεται από καθένα από τα άλλα δυ φίλτρα; Λύση Ε Ε 60 Ε 90 Ε Ι Ι=Ι / Ι Ι Η ένταση τυ φωτός πυ εξέρχεται από τ πρώτ πλωτικό φίλτρ, σύμφωνα με την (4 9) είναι: () Τ φως αυτό είναι γραμμικά πλωμέν στη διεύθυνση τυ άξνα πόλωσης τυ πρώτυ φίλτρυ. Όταν τ φως εξέρχεται από τ δεύτερ πλωτικό φύλλ είναι γραμμικά πλωμέν ως πρς τη διεύθυνση τυ άξνα πόλωσης τυ φίλτρυ αυτύ και επειδή η γωνία μεταξύ των αξόνων πόλωσης των δυ πρώτων πλωτικών φίλτρων είναι φ 60, η ένταση τυ φωτός αυτύ, σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus (4 0) είναι: cs φ cs 60 () Τελικά όταν τ φως εξέρχεται από τ τρίτ πλωτικό φίλτρ είναι γραμμικά πλωμέν ως πρς τη διεύθυνση τυ άξνα πόλωσης τυ τρίτυ φίλτρυ, δηλαδή η πόλωση είναι κάθετη ως πρς την πόλωση τυ διερχόμενυ φωτός από τ πρώτ φίλτρ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 Επειδή η γωνία μεταξύ τν αξόνων πόλωσης τυ δεύτερυ και τυ τρίτυ πλωτικύ φίλτρυ είναι, η ένταση τυ εξερχόμενυ φωτός από τ τρίτ φίλτρ, σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus (4 0) είναι: θ 0 cs θ cs 0 4 β) Ε Ε 90 Ι Ι=Ι / Αν απμακρυνθεί τ δεύτερ πλωτικό φίλτρ, τότε η ένταση τυ φωτός πυ εξέρχεται από τ πρώτ φίλτρ σύμφωνα με την (4 9) είναι πάλι: Επειδή τώρα η γωνία μεταξύ των αξόνων πόλωσης των δυ αυτών φίλτρων είναι φ 90, η ένταση τυ τελικά εξερχόμενυ φωτός, σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus (4 0) είναι: cs φ cs 90 0 Δηλαδή στην περίπτωση αυτή δεν εξέρχεται φως από τ τελικό πλωτικό φίλτρ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΘΕΜΑ 4 Τρία πλωτικά φίλτρα συστιχύνται με τα επίπεδα των επιφανειών τυς παράλληλα, ενώ ι άξνες πόλωσης τυ δεύτερυ και τυ τρίτυ πλωτή σχηματίζυν γωνίες θ και 90 αντίστιχα με τν άξνα πόλωσης τυ πρώτυ πλωτή. Μη πλωμέν φως έντασης Ι πρσπίπτει στη συστιχία. α) Βρείτε μια έκφραση για την ένταση τυ φωτός πυ εξέρχεται από τη συστιχία των πλωτών συναρτήσει των Ι και θ. β) Για πια τιμή τυ θ μεγιστπιείται η ένταση της εξερχόμενης δέσμης; γ) Αν μεσαίς πλωτής περιστρέφεται γύρω από τν άξνα με γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η ένταση της διερχόμενης ακτινβλίας από τν τρίτ πλωτή. Λύση Ε Ε θ ω Ε 90 Ε Ι Ι=Ι / Ι Ι α) Ακλυθώντας την ίδια διαδικασία τυ ερωτήματς (α) τυ Θέματς πρκύπτει ότι η ένταση από τ πρώτ φίλτρ είναι: Ι = Ι / () Από τ νόμ τυ Malus η ένταση τυ φωτός από τ δεύτερ φίλτρ είναι: cs θ cs θ () Αντίστιχα επειδή η γωνία των αξόνων πόλωσης τυ δεύτερυ και τυ τρίτυ φίλτρυ είναι 90 -θ, η ένταση της εξερχόμενης δέσμη από τη συστιχία των πλωτών, σύμφωνα με τ νόμ τυ Malus είναι: cs (90 θ) cs θcs (90 θ) cs θsin θ () όπυ λόγω συμπληρωματικότητας cs( 90 θ) sin θ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 β) Η τιμή τυ θ για την πία μεγιστπιείται η ένταση της εξερχόμενης δέσμης αντιστιχεί στν πρσδιρισμό τυ μεγίστυ της συνάρτησης, δηλαδή της (). Επμένως: 0 dθ (θ) csθ( sin θ)sin θ cs θ sinθcsθ 0 d ( csθsin θ cs θsinθ) 0 cs θsinθ - csθsin θ 0 cs θsinθ csθsin θ cs θ sin θ csθ sinθ θ 45 Άρα για θ 45 είναι: max max γ) Όταν μεσαίς πλωτής περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, η γωνία θ πυ θα σχηματίζει άξνάς τυ με τν πρώτ πλωτή κάθε χρνική στιγμή θα είναι θ = ωt. Επίσης σύμφωνα με τα παραπάνω η ένταση της εξερχόμενης δέσμης από τν τρίτ πλωτή θα είναι σύμφωνα με την () : cs θsin Εφαρμόζντας τις τριγωνμετρικές ταυτότητες : csθ - sin θ και sinθ sinθcsθ πρκύπτει : θ cs4θ - sin θ (sinθcsθ) cs4θ - sin θcs θ sin θ cs θ cs4θ Άρα : (- cs4θ) Ι 6 Ι (- cs4ωt) 6 Δηλαδή η εξερχόμενη ακτινβλία έχει τετραπλάσια συχνότητα της συχνότητας περιστρφής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677