ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΑΠΛΖ ΑΡΜΟΝΗΚΖ ΣΑΛΑΝΣΩΖ

ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΑΠΛΖ ΑΡΜΟΝΗΚΖ ΣΑΛΑΝΣΩΖ 1. Μηθξό ζώκα κάδαο m =, kg εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε κεηαμύ δύν αθξαίσλ ζέζεσλ, νη ννίεο αέρνλ κεηαμύ ηνο αόζηαζε d = 4 cm. To κηθξό ζώκα εθηειεί 4 ιήξεηο ηαιαληώζεηο ζε ρξνληθή δηάξθεηα Γt = s θαη ε ανκάθξλζε ην αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην θάζε ρξνληθή ζηηγκή δίλεηαη αό ηε ζρέζε x = Αεκσt. α. Να νινγίζεηε ηε κέγηζηε θαηά κέηξν ηαρύηεηα, ηε κέγηζηε θαηά κέηξν εηηάρλζε θαη ηε κέγηζηε θαηά κέηξν δύλακε εαλαθνξάο ην ζώκαηνο θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηαιάλησζεο ην. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο θαη ηελ εμίζσζε ηεο εηηάρλζεο ηεο ηαιάλησζεο ην ζώκαηνο ζε ζλάξηεζε κε ην ρξόλν θαη λα ζρεδηάζεηε ηηο γξαθηθέο ηνο αξαζηάζεηο ζε βαζκνινγεκέλνο άμνλεο. γ. Να νινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα θαη ηελ εηηάρλζε ην κηθξνύ ζώκαηνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο: i. t 1 =,15 s θαη ii. t =,65 s. Θεσξήζηε γηα ηηο ξάμεηο: = 1. α. Ζ αόζηαζε ησλ αθξαίσλ ζέζεσλ είλαη d d A A A = cm. Ζ ζρλόηεηα δίλεηαη αό ηε ζρέζε f N 4 Γt f = Hz. Ζ θθιηθή ζρλόηεηα είλαη σ = f ω = 4 rad/s. Ζ κέγηζηε θαηά κέηξν ηαρύηεηα θαη ε κέγηζηε θαηά κέηξν εηηάρλζε ζηελ αιή αξκνληθή ηαιάλησζε νινγίδνληαη αληίζηνηρα αό ηηο ζρέζεηο: σα 4, m m σ =,8, α σ Α α ( 4 ), α = 3. s s Ζ ζηαζεξά εαλαθνξάο ηεο ηαιάλησζεο είλαη: D mσ D, (4) N D = 3 m. Οόηε ε κέγηζηε ηηκή ηεο δύλακεο είλαη: F DA F 3, F = 6,4N ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 1

β. Δεηδή ε ρξνληθή εμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο είλαη ηεο κνξθήο x = Αεκσt, ζκεξαίλνκε όηη ν ρξνληθέο εμηζώζεηο γηα ηελ ηαρύηεηα θαη ηελ εηηάρλζε είλαη ηεο κνξθήο = ζλσt θαη α = α εκσt θαη κε αληηθαηάζηαζε (m/s),8 -,8,5,5 t (s) ξνθύηεη: ζλσt σ =,8ζσν4t (S.I.) θαη α αεκσt α = 3ημ4t (S.I.) Ζ εξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο νινγίδεηαη αό ηνλ ηύν: 1 1 T T = s f Οη δεηνύκελεο γξαθηθέο αξαζηάζεηο θαίλνληαη ζην δηιαλό ζρήκα. α (m/s ) 3-3,5,5 t (s) γ. Γηα λα βξνύκε ηελ ηαρύηεηα θαη ηελ εηηάρλζε ην ζώκαηνο κηα δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή t 1, ξέεη λα αληηθαηαζηήζνκε ηε ρξνληθή αηή ζηηγκή t 1 ζηηο ρξνληθέο εμηζώζεηο ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο εηηάρλζεο αληίζηνηρα. i. Γηα ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 =,15 s έρνκε: 1 =,8ζλ4t 1 1 =,8ζλ(4,15) 1 =,8ζλ,5 σ 1 = Οκνίσο: α 1 = 3εκ4t 1 α 1 = 3εκ(4,15) α 1 = 3εκ,5 α 1 = 3 m/s ii. Οκνίσο γηα ηε ρξνληθή ζηηγκή t =,65 s: m =,8ζλ4t =,8ζλ(4,65) =,8ζλ,5,8 σ =,4 s m α = 3εκ4t α = 3εκ(4,65) α = 3εκ,5 α 3 α = 16 s ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U.

. Υιηθό ζεκείν κάδαο m =, kg εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην κε ζεηηθή ηαρύηεηα κέηξν m/s. Τε ρξνληθή ζηηγκή ν ην ιηθό ζεκείν θηάλεη γηα ξώηε θνξά ζε αθξαία ζέζε ηεο ηαιάλησζεο ην ε εηηάρλζε ην ηζνύηαη κε m/s. α. Να νινγίζεηε θάζε όηε κεγηζηννηείηαη ην κέηξν ηεο εηηάρλζεο ην ιηθνύ ζεκείν θαη ην ρξόλν ν ρξεηάζηεθε ην ζώκα λα θηάζεη ζηελ αθξαία ζέζε γηα ξώηε θνξά. β. Να γξάςεηε ηηο ρξνληθέο εμηζώζεηο ηεο ανκάθξλζεο, ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο εηηάρλζεο ην ιηθνύ ζεκείν. γ. Να νινγίζεηε ηε δύλακε εαλαθνξάο ν δέρεηαη ην ιηθό ζεκείν ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο θαηά ηηο ννίεο δηέξρεηαη αό ηε ζέζε x 1 =,1 m θαη ηε ζέζε όν έρεη εηηάρλζε α = 15 m/s. α. Σηε ζέζε ηζνξξνίαο ηεο ηαιάλησζεο έρνκε σ = σ = m/s. Σηα άθξα ε εηηάρλζε έρεη κέγηζην κέηξν άξα: α = α = m/s. Ζ ηαρύηεηα θαη ε εηηάρλζε ζλδένληαη κε ηε ζρέζε: α α σ σ σ rad ω = 1 s θαη αό ηε ζρέζε σ 1 σα Α Α Α =,m. Ζ εηηάρλζε ην ιηθνύ ζεκείν κεγηζηννηείηαη θαηά κέηξν θάζε θνξά ν ην ιηθό ζεκείν θηάλεη ζε αθξαία ζέζε ηεο ηαιάλησζεο ην. Δεηδή ε ρξνληθή δηάξθεηα κεηάβαζεο ην ιηθνύ ζεκείν αό ηε κηα αθξαία ζέζε ηεο ηαιάλησζεο ζηελ άιιε ηζνύηαη κε Γt Τ (όν Τ ε εξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο), Αό ηελ θθιηθή ζρλόηεηα έρνκε: σ Τ Τ σ Σ =,s Σλεώο ην κέηξν ηεο εηηάρλζεο ην ιηθνύ ζεκείν κεγηζηννηείηαη θάζε: Γt Τ, Γt Γt =,1s Ο ρξόλνο γηα ηελ κεηάβαζε αό ηε Θ.Η. ζην άθξν ηεο ηαιάλησζεο είλαη: Γt Τ 4 Γt =,1s ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 3

β. Αθνύ ηελ t = ην ιηθό ζεκείν δηέξρεηαη αό ηε Θ.Η. ην (x = ) κε ζεηηθή ηαρύηεηα ( > ), νη ρξνληθέο εμηζώζεηο ηεο ανκάθξλζεο, ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο εηηάρλζεο ην ιηθνύ ζεκείν είλαη αληίζηνηρα νη: x = Αεκσt, = ζλσt θαη α = α εκσt άξα αληηθαζηζηώληαο έρνκε: x =,ημ1t, σ = ζσν1t θαη α = ημ1t όιεο ζην (S.I.) γ. Ζ ζηαζεξά εαλαθνξάο ηεο ηαιάλησζεο νινγίδεηαη αό ηε ζρέζε: D = mσ D = N/m. Σλεώο θάζε θνξά ν ην ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε x 1 =,1 m δέρεηαη δύλακε εαλαθνξάο ε ννία νινγίδεηαη αό ηε ζρέζε: Fε.(1) Dx1 Fε.(1) (,1) F ε.(1) = N. Όηαλ καο δίλεηαη ε εηηάρλζε κνξνύκε λα νινγίζνκε ηελ δύλακε εαλαθνξάο αό ηνλ ζεκειηώδε λόκν ηεο κεραληθήο Fε.() mα, ( 15) F ε.() = -3Ν. Δλαιιαθηηθά ζα κνξνύζακε λα νινγίζνκε ηελ ανκάθξλζε αό ηε ζρέζε α = ωx θαη ζηελ ζλέρεηα λα νινγίζνκε ηελ δύλακε εαλαθνξάο όσο ζηελ ξώηε εξίησζε. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 4

3. Σην δηιαλό ζρήκα θαίλεηαη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ηαρύηεηαο ζε ζλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα έλα ζώκα κάδαο m =,5 kg ν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε. (m/s) 4,75 t (s) α. Να νινγίζεηε ην ιάηνο θαη ηε ζηαζεξά εαλαθνξάο ηεο ηαιάλησζεο 4 ην ζώκαηνο. β. Να γξάςεηε ηε ρξνληθή εμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο, ηε ρξνληθή εμίζσζε ηεο ζληζηακέλεο δύλακεο ν δέρεηαη ην ζώκα θαη ηελ εμίζσζε F ε = f(x) λα ζρεδηάζεηε ηηο αληίζηνηρεο γξαθηθέο αξαζηάζεηο ζε βαζκνινγεκέλνο άμνλεο. γ. Να νινγίζεηε ηελ εηηάρλζε ην ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή ν ν ξζκόο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ην dp kg m ηζνύηαη κε 4. dt s δ. Να βξείηε ηε ζρέζε ε ννία ζλδέεη ηελ εηηάρλζε θαη ηελ ανκάθξλζε ην ζώκαηνο αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή θαη ζηε ζλέρεηα λα ζρεδηάζεηε ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζρέζεο αηήο ζε βαζκνινγεκέλνο άμνλεο. ζεσξήζηε γηα ηηο ξάμεηο: = 1. α. Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηαρύηεηαο ρξόλν αίξλνκε ηηο αξαθάησ ιεξνθνξίεο: Ζ εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη ζληκεηνλνεηδήο άξα δελ έρεη αξρηθή θάζε ( = ζλσt), ε κέγηζηε ηηκή ηεο ηαρύηεηαο ηζνύηαη κε σ = 4 m/s θαη ε ρξνληθή ζηηγκή,75 s είλαη ίζε κε Γt = Σ + Σ/ άξα: Τ 3Τ 3Τ Γt Τ Γt, 75 Σ =,5 s άξα θαη rad σ ω = 4 Τ s Ζ ζηαζεξά εαλαθνξάο ηεο ηαιάλησζεο νινγίδεηαη αό ηε ζρέζε: D mσ N D = 8 m θαη αό ηελ κέγηζηε ηαρύηεηα έρνκε: 4 σ 4 σα Α Α Α =,1m β. Δεηδή ε ρξνληθή εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη ηεο κνξθήο = ζλσt, ζκεξαίλνκε όηη ε ρξνληθή εμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο είλαη ηεο κνξθήο x = Αεκσt. Με αληηθαηάζηαζε ησλ ηηκώλ ησλ κεγεζώλ ξνθύηεη: x =,1ημ4t (S.I.) ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 5

Ζ ζληζηακέλε δύλακε ν δέρεηαη ην ζώκα θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηαιάλησζεο ην νινγίδεηαη αό ηε ζρέζε ΣF Dx F = 8x (S.I.) Αλ ηώξα ζηελ αξαάλσ ζρέζε θάλνκε αληηθαηάζηαζε ηελ ρξνλνεμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο ξνθύηεη ε ρξνλνεμίζσζε ηεο δύλακεο. ΣF 8x ΣF 8,1εκ4t F = 8ημ4t (S.I.) Οη γξαθηθέο αξαζηάζεηο ησλ εμηζώζεσλ x = f(t), ΣF = f(x) θαη ΣF = f(t) θαίλνληαη ζηα αξαθάησ ζρήκαηα. x (m),1 -,1 t(s) -,1 ΣF (N) 8-8,1 x (m) ΣF (N) 8-8 t(s) γ. Ο ξζκόο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηζνύηαη κε ηε ζληζηακέλε δύλακε ν δέρεηαη ην ζώκα. Δνκέλσο: dp dt dp ΣF mα 4,5α dt m α = 8 s δ. Ζ εηηάρλζε ελόο ζώκαηνο ν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαη ε ανκάθξλζε ην αό ηη ζέζε ηζνξξνίαο ην ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή ζλδένληαη κε ηε ζρέζε: α σ x α = -16x (S.I.) κε,1 m x,1 m Σην δηιαλό ζρήκα θαίλεηαη ε δεηνύκελε γξαθηθή αξάζηαζε. α (m/s ) 16 -,1-16,1 x (m) ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 6

4. Υιηθό ζεκείν κάδαο m = kg εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε ζηαζεξά εαλαθνξάο D = N/m θαη ελέξγεηα ηαιάλησζεο 16 J θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην κε ζεηηθή ηαρύηεηα. α. Να νινγίζεηε ηε ρξνληθή δηάξθεηα κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεγηζηννηήζεσλ ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ην ιηθνύ ζεκείν θαη ηελ αόζηαζε ν δηαλύεη ηα ιηθό ζεκείν ζ αηό ην ρξνληθό δηάζηεκα. β. Να βξείηε ηηο ρξνληθέο εμηζώζεηο ηεο θηλεηηθήο θαη δλακηθήο ελέξγεηαο ηεο ηαιάλησζεο θαη ζηε ζλέρεηα λα ζρεδηάζεηε ηηο γξαθηθέο αξαζηάζεηο ησλ εμηζώζεσλ αηώλ ζε θνηλό ζύζηεκα βαζκνινγεκέλσλ αμόλσλ καδί κε ηελ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο. γ. Να νινγίζεηε ην κέηξν ην ξζκνύ κεηαβνιήο ηεο ανκάθξλζεο ην ιηθνύ ζεκείν ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο θαηά ηηο ννίεο ε ανκάθξλζε αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην ηζνύηαη κε x 1 =, m. δ. Να βξείηε ηηο ζέζεηο ζηηο ννίεο ε θηλεηηθή θαη ε δλακηθή ελέξγεηα είλαη ίζεο. Πόζεο θνξέο ζηελ δηάξθεηα κηαο εξηόδν ηεο ηαιάλησζεο ηζρύεη ε ζρέζε K = U; α. Ζ θηλεηηθή ελέξγεηα ην ιηθνύ ζεκείν κεγηζηννηείηαη θάζε θνξά ν κεγηζηννηείηαη θαη ε ηαρύηεηά ην. Ωο γλσζηό, αηό ζκβαίλεη θάζε θνξά ν ην ιηθό ζεκείν δηέξρεηαη αό ηε Θ.Η. ην. Ο ρξόλνο κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ δηειεύζεσλ ην ιηθνύ ζεκείν αό ηε Θ.Η. ην ηζνύηαη κε Γt T. Ηζρύεη: D D mσ σ σ m rad ω = 1 s θαη σ Τ Τ Τ σ 1 Σ =, s. Σλεώο Γt T, Γt Γt =,1 s. Ζ αόζηαζε γηα ηελ κεηάβαζε αό ηε Θ.Η. σο ηελ εηζηξνθή ζ αηή είλαη θνξέο ην ιάηνο ηεο ηαιάλησζεο αθνύ Θ.Η. άθξν έρνκε s 1 = Α θαη άθξν Θ.Η. έρνκε s = Α, άξα s = Α. Τν ιάηνο νινγίδεηαη αό ηελ ελέξγεηα ηαιάλησζεο: 1 E 16 E DΑ Α Α D A =,4m Άξα s = A s =,8 m β. Ζ ρξνληθή εμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο είλαη: x Αεκσt x =,4ημ1t (S.I.) ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 7

Ζ δλακηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο ην ιηθνύ ζεκείν νινγίδεηαη αό ηε ζρέζε: 1 1 U Dx U (, 4εκ1t) U = 16ημ 1t (S.I.). Ζ ρξνληθή εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη: ζλσt 1,4ζλ1t σ = 4ζσν1t (S.I.) θαη ε θηλεηηθή ελέξγεηα είλαη: 1 1 K m (4ζλ1t) K = 16ζσν 1t (S.I.) Ζ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη αλεμάξηεηε αό ηνλ ρξόλν θαη ηζρύεη ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή Δ = 16 J Οη δεηνύκελεο γξαθηθέο αξαζηάζεηο θαίλνληαη ζην δηιαλό ζρήκα. dx γ. Ο ξζκόο κεηαβνιήο ηεο ανκάθξλζεο ( 1 ) είλαη ε ηαρύηεηα ηελ dt U, K,E (J) 16 1 3 5 E t (s) K U ννία κνξνύκε λα ηελ νινγίζνκε εθαξκόδνληαο ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε: 1 1 1 E K U mσ Α m1 mσ x1 σ (Α x 1 ) 1 1 1(,16, 4) 1 dx dx m άξα 1 = 3 dt dt s m σ 1 = 3 s δ. Δθαξκόδνληαο ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε έρνκε: K U 1 1 A E K U E U DΑ Dx x x = ±, m. Έλα ζώκα ν ηαιαληώλεηαη εξλά αό θάζε ζέζε δύν θνξέο (εθηόο ησλ άθξσλ) κε αληίζεηεο ηαρύηεηεο ζε θάζε ηαιάλησζε. Άξα ε θηλεηηθή θαη ε δλακηθή ελέξγεηα είλαη ίζεο ηέζζερις θορές ζε θάζε ηαιάλησζε. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 8

5. Μηθξό ζώκα κάδαο m = kg εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην κε ζεηηθή ηαρύηεηα, ελώ ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 =,5 s κεδελίδεηαη γηα ξώηε θνξά (κεηά ηε ζηηγκή t = ) ε ηαρύηεηα ην. Τε ρξνληθή ζηηγκή t 1 ην κέηξν ηεο εηηάρλζεο ην ζώκαηνο ηζνύηαη κε m/s. α. Να νινγίζεηε ην ιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο ζληζηακέλεο δύλακεο ν δέρεηαη ην κηθξό ζώκα ζε ζλάξηεζε κε ηελ ανκάθξλζε ην αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο (ΣF = f(x)) θαη λα ζρεδηάζεηε ηε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε ζε βαζκνινγεκέλνο άμνλεο. γ. Να βξείηε ηελ αόζηαζε κεηαμύ ησλ ζέζεσλ Κ θαη Λ ηεο ηξνρηάο ην κηθξνύ ζώκαηνο (x Κ x Λ ) ζηηο ννίεο ε ηαρύηεηα ην έρεη κέηξν 3 m/s. δ. Να βξεζεί ε ρξνληθή ζηηγκή ν ην ζώκα θηάλεη ζηε ζέζε x 1,1 3 m, γηα ξώηε θνξά. α. Ζ ηαρύηεηα ζώκαηνο ν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε κεδελίδεηαη θάζε θνξά ν θηάλεη ζηηο αθξαίεο ζέζεηο ηεο ηαιάλησζεο ην. Ξεθηλώληαο αό ηε Θ.Η. ηζνξξνίαο γηα ξώηε θνξά ζα θηάζεη ζηε ζέζε x = +Α θαη ρξεηάδεηαη ρξόλν 1 T Τ t,5 4 4 Σ =,s θαη σ σ Τ, rad ω = 1 s Σηα άθξα ε εηηάρλζε είλαη κέγηζηε άξα: α α σ Α Α Α Α =,m σ 1 β. Δίλαη D = mσ D = 1 D = N/m. Σλεώο: F = x (S.I.) ΣF (N) 4 κε, m x +, m -,, x (m) Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο εμίζσζεο αηήο θαίλεηαη ζην δηιαλό ζρήκα. -4 γ. Γλσξίδνκε ηελ ηαρύηεηα (κέηξν) ην ζώκαηνο, νόηε κνξνύκε λα βξνύκε ηηο ζέζεηο ζηηο ννίεο ανθηά ηελ ηαρύηεηα αηή ρξεζηκννηώληαο ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε. m 3 E K U DΑ m Dx x A x, 4 D x = ±,1m ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 9

Παξαηεξνύκε όηη ε ηαρύηεηα ην κηθξνύ ζώκαηνο έρεη κέηξν 3 m/s ζε δύν ζέζεηο ηεο ηαιάλησζεο, ηε x =,1 m θαη ηε x = +,1 m. Σλεώο ε κηα ζέζε ζα είλαη ε ζέζε ην ζεκείν Κ (έζησ x K =,1 m), ελώ ε άιιε ζέζε ζα είλαη ε ζέζε ην ζεκείν Λ (x Λ =,1m). Ζ δεηνύκελε αόζηαζε είλαη: d = x K + x Λ d =, m δ. Ζ ρξνλνεμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο είλαη ηεο κνξθήο x = Aεκσt x =,ημ1t (S.I) κε αληηθαηάζηαζε ηεο ηηκήο x 1 ξνθύηεη:,1 3, εκ1t εκ1t 3 1t θ 6θ t (s) 3 3t 6θ 3 1t θ 4 3t 6θ 4 6θ 4 t (s) 3 3 Οη δύν ζεηξέο ιύζεσλ δίλνλ σο ξώηε ανδεθηή ηηκή t1 5 s 3 θαη t 4 s 3 άξα γηα ξώηε θνξά έρνκε 4 t = s 3. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 1

6. Σεκεηαθό αληηθείκελν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαη ζε ρξνληθό δηάζηεκα Γt = s εξλά θνξέο αό ηε Θ.Η.. Τελ ρξνληθή ζηηγκή t = ην ζώκα εξλά αό ηε Θ.Η. έρνληαο ζεηηθή ηαρύηεηα. Ζ ζηαζεξά εαλαθνξάο ηεο ηαιάλησζεο είλαη D = 1 N/m, ελώ ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο ν εξλά αό ηε ζέζε x1,1 m έρεη ηαρύηεηα 1 m. s α. Να νινγίζεηε ηελ αόζηαζε ν δηαλύεη ην ζώκα ζε θάζε εξίνδν ηεο ηαιάλησζεο ην, β. Να γξάςεηε ηελ εμίζσζε ηεο δλακηθήο ελέξγεηαο ηεο ηαιάλησζεο ην ζεκεηαθνύ αληηθεηκέλν θαζώο θαη ηελ εμίζσζε ηεο θηλεηηθήο ην ελέξγεηαο ζε ζλάξηεζε κε ηελ ανκάθξλζε x αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην (U = f(x) θαη Κ = f(x)) θαη λα ζρεδηάζεηε ηηο αληίζηνηρεο γξαθηθέο αξαζηάζεηο ζε θνηλό ζύζηεκα βαζκνινγεκέλσλ αμόλσλ. γ. Να βξείηε ην έξγν ηεο δύλακεο εαλαθνξάο ν δέρεηαη ην ζεκεηαθό αληηθείκελν θαηά ηε κεηάβαζε ην αό ηελ αθξαία ζεηηθή ζέζε ηεο ηαιάλησζεο ην ζηε ζέζε ηζνξξνίαο ην δ. Να νινγίζεηε ηελ ανκάθξλζε ην ζεκεηαθνύ αληηθεηκέλν αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ην ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο θαηά ηηο ννίεο ε θηλεηηθή ην ελέξγεηα είλαη ηξηιάζηα ηεο δλακηθήο ελέξγεηαο. α. Σε θάζε ηαιάλησζε ην ζώκα εξλά δύν θνξέο αό ηε Θ.Η., άξα έρνκε 1 ηαιαληώζεηο ζε ρξόλν Γt. f N 1 Γt 5 f = Hz θαη σ = f ω = 1 rad/s Δθαξκόδνληαο ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε κνξνύκε λα νινγίζνκε ην ιάηνο ηεο. Έρνκε: 1 1 1 1 1 E K U mσ Α m1 mσ x1 Α x 1 Α x 1 A, σ σ 1 A =,m Ζ αόζηαζε ν δηαλύεη ην ζώκα ζε θάζε εξίνδν ηεο ηαιάλησζεο ηζνύηαη κε d = 4Α d =,8 m. β. Ζ δλακηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο θαη ε ανκάθξλζε ην αληηθεηκέλν αό ηε Θ.Η. ην ζλδένληαη κε ηνλ ηύν: 1 1 U Dx 1x U = 5x (S.I.) κε, m x, m Ζ θηλεηηθή ελέξγεηα ην ζεκεηαθνύ αληηθεηκέλν δε ζλδέεηαη κε ηελ ανκάθξλζε ην κε θάνηα άκεζε ζρέζε. Ζ δεηνύκελε ζρέζε ηνο κνξεί λα βξεζεί εθαξκόδνληαο ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 11

Ζ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη: 1 1 E DA 1,4 E = J E = K + U K = E U Κ = 5x (S.I.) κε, m x, m K, U (J) U Οη γξαθηθέο αξαζηάζεηο ησλ εμηζώζεσλ U = f(x) θαη Κ = f(x) θαίλνληαη ζην K δηιαλό ζρήκα.,, x (m) γ. Ζ δύλακε εαλαθνξάο είλαη ε ζληζηακέλε δύλακε θαη ην έξγν ηεο κνξεί λα νινγηζηεί εθαξκόδνληαο ην Θ.Μ.Κ.Δ. γηα ηελ θίλεζε ην ζεκεηαθνύ αληηθεηκέλν αό ηελ αθξαία ζεηηθή ην ζέζε ζηε ζέζε η- ζνξξνίαο. Έρνκε: Κηει Καξρ W ΣF (1) Δίλαη Κ αξρ = (αθνύ ε αξρηθή ζέζε είλαη αθξαία ζέζε) θαη Κ ηει = 5 Κ ηει = J (αθνύ ε ηειηθή ζέζε γηα ην Θ.Μ.Κ.Δ. είλαη ε Θ.Η. (x = )). Αό ηε ζρέζε (1) ξνθύηεη: WΣF W F = J δ. Εεηάκε ηελ ανκάθξλζε ην ζεκεηαθνύ αληηθεηκέλν αό ηε Θ.Η. ην όηαλ Κ = 3U. Δθαξκόδνκε ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε: K 3U 1 1 Α A E K U E 3U U DΑ 4 Dx x x 4 x = ±,1m ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 1

7. Υιηθό ζεκείν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε κε ζηαζεξά εαλαθνξάο D = 5 N/m. Τν ζώκα εξλά αό ζέζε x 1 (x 1 > ), έρνληαο δλακηθή ελέξγεηα U 1 =,5 J θαη ηαρύηεηα 1 = m/s. Τε ζηηγκή ν ην ζώκα εξλά αό ηε ζέζε x, δέρεηαη δύλακε εαλαθνξάο αιγεβξηθήο ηηκήο F = Ν, θηλνύκελν εηβξαδλόκελν κε ηαρύηεηα κέηξν = 1,5 m/s. α. Να βξείηε ηε κάδα ην ζώκαηνο θαη ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηεο ηαρύηεηαο. β. Να βξεζεί ε αόζηαζε κεηαμύ ησλ άθξσλ ηεο ηαιάλησζεο θαη ν ρξόλνο ν ρξεηάδεηαη γηα λα δηαλζεί αηή ε αόζηαζε. γ. Να γξαθνύλ νη ζρέζεηο Κ = f() θαη U = f() θαη λα αξαζηαζνύλ γξαθηθά. δ. Να βξεζεί ν ιόγνο K U όηαλ ην ζώκα εξλά αό ηε ζέζε A x. α. Ζ ζέζε x 1 είλαη ε: 1 U1,5 U1 Dx1 x1 D 5 x 1 =,3m F Αό ηελ δύλακε εαλαθνξάο γηα ηελ ζέζε x έρνκε: F Dx x x D 5 x = -,4m. Έλα ηαιαληνύκελν ζώκα εηβξαδύλεηαη όηαλ θηλείηαη ξνο ηα άθξα. Δθόζνλ x < βξηζθόκαζηε ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα ηεο ηαιάλησζεο, άξα θαηεζλόκαζηε ξνο ην αξλεηηθό άθξν νόηε: σ = 1,5 m/s. Δθαξκόδσ ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηελ ηαιάλησζε γηα ηηο δύν ζέζεηο x 1, x : 1 1 E K U E m mσ x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m1 mσ x1 m mσ x σ 1 1 x1 x E K U E m mσ x σ,5 4, 9,16 rad ω = 5 s θαη αό ηελ ζηαζεξά εαλαθνξάο έρνκε: D D mσ m m = kg σ β. Τα δύν άθξα αέρνλ d = A άξα: 1 1 1 m1 8 E K1 U1 DΑ m1 Dx1 Α x1 A, 9 D 5 A =,5m θαη ηειηθά d = A d = 1 m. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 13

Ζ εξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη: σ Τ Τ Τ σ 5 Σ =,4s Ο ρξόλνο γηα ηελ αεζείαο κεηάβαζε αό ην έλα άθξν ζην άιιν είλαη: Γt Τ,4 Γt Γt =,s γ. Ζ θηλεηηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο είλαη: 1 1 K m K Κ = σ (S.I.) κε,5 m/s,5 m/s Τελ ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο κνξνύκε λα ηελ νινγίζνκε θαη αό ηε ζρέζε Δ = Κ E = 6,5 J θαη αό ηελ Α.Γ.Δ. βξίζθσ ηελ έκκεζε εμάξηεζε ηεο δλακηθήο ελέξγεηαο θαη ηεο ηαρύηεηαο. U = E K U = 6,5 σ (S.I.) κε,5 m/s,5 m/s. Οη γξαθηθέο αξαζηάζεηο θαίλνληαη ζην δηιαλό ζρήκα. K, U (J) 6,5 K U,5,5 (m/s) δ. Γηα ηνλ ιόγν K U έρνκε: 1 1 DA Dx K Δ U A x U U 1 Dx x (1) θαη εεηδή A x A x κε αληηθαηάζηαζε ζηελ (1) έρνκε: K (x) x 4x x U x x K =3 U ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 14

8. Υιηθό ζεκείν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε θαη εξλάεη αό δύν ζεκεία ηεο ηξνρηάο ην Α θαη Β ν αέρνλ αόζηαζε d cm, κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα. Γηα ηε κεηάβαζε αό ην ζεκείν Α ζην Β ααηηείηαη ρξνληθό δηάζηεκα t 1 = 4 s. Μεηά ην έξαζκα ην αό ην Β ην ιηθό ζεκείν ρξεηάδεηαη ρξνληθό δηάζηεκα t = 4 s γηα λα εξάζεη άιη αό ην ζεκείν Β θηλνύκελν κε αληίζεηε θνξά. Να βξείηε: α. ηελ εξίνδν ηεο ηαιάλησζεο, β. ην ιάηνο ηεο ηαιάλησζεο. α. Σηα ζεκεία Α θαη Β έρνκε ίδηα ηαρύηεηα άξα νη ζέζεηο αηέο είλαη ζκκεηξηθέο σο ξνο ηε ζέζε ηζνξξνίαο θαη αηό γηαηί ηζρύεη: 1 1 E KΑ UΑ E m Dx Α 1 1 1 1 m Dx m Dx x x x x 1 1 E KΒ UΒ E mβ Dx Β A B A B A B Λόγσ ζκκεηξίαο ζα ρξεηαζηεί είζεο ρξόλνο t αό ην Α λα μαλαθηάζεη ζην ζεκείν Α κε αληίζεηε ηαρύηεηα. Άξα ε εξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο ζα είλαη: Τ = t 1 + t T = 16 s. Δδώ ην βιένκε θαη ζρεκαηηθά. A t 1 B t B t 1 Α t A Τ β. Δθόζνλ νη ζέζεηο Α θαη Β είλαη ζκκεηξηθέο σο ξνο ηε Θ.Η. γηα ηελ κεηάβαζε αό ηε Θ.Η. ζε θάνηα αό t1 ηηο δύν ζέζεηο ζα ααηηείηαη ρξόλνο t3 t3 s Έζησ όηη ε ανκάθξλζε αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο είλαη εκηηνληθή ζλάξηεζε ην ρξόλν θαη θάνηα ρξνληθή ζηηγκή t ηζρύεη εκθ άξα θαη x = Αεκθ = θ = k (κε > ) θαη κεηά αό ρξνληθό δηάζηεκα t 3 θηάλνκε ζηε ζέζε Α νζέηνληαο όηη βξίζθεηαη ζηνλ ζεηηθό εκηάμνλα. d xa Aεκ(θ σt 3) Aεκ(k ) 1 Aεκ 1 A 16 4 Α = cm. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 15

ημείωζη: Ζ ιύζε κε ην ζηξεθόκελν δηάλζκα είλαη αξθεηά ην αιή. Έζησ x A > θαη x B <, όσο ζην ζρήκα. Αό ην Β ζην Α ην ζηξεθόκελν δηάλζκα xa (κήθνο Α) δηαγξάθεη γσλία Γθ = σt 1 Γθ 4 Γθ rad. Γειαδή ην 16 xb Γθ ζρεκαηηδόκελν ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο άξα κε ζαγόξεην αίξλνκε: d A A d A d A A A = cm. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 16

9. Γύν ζεκεία Α θαη Β βξίζθνληαη ζην ίδην νξηδόληην είεδν θαη αέρνλ κεηαμύ ηνο l =,9 m. Πάλσ ζηε γξακκή ν ηα ελώλεη κνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβή ιηθό ζεκείν Ν κάδαο m = 96 1 3 kg, ην ννίν δέρεηαη αό ηα ζεκεία Α θαη Β ειθηηθέο δλάκεηο ν έρνλ κέηξα F A =,8 (AN) θαη F B = 1,6 (BN) αληίζηνηρα (ζην S.I.). α. Να δείμεηε όηη ην ιηθό ζεκείν εθηειεί αιή αξκνληθή ηαιάλησζε. β. Αλ ην ιηθό ζεκείν εξλάεη αό ην ζεκείν Α κε ηαρύηεηα κέηξν Α = 1,5 m/s, νην είλαη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ην όηαλ εξλάεη αό ην ζεκείν Β; α. Τν ιηθό ζεκείν ηζνξξνεί ζε ζέζε όν έρνκε: Α ΣF FA FB,8 ( AN) 1,6 ( BN) ( AN) ( BN) ( AN) [ ( AN)] 3( AN) ( AN),6m Σε κία ζέζε ανκάθξλζεο x δεμηά αό ηε Θ.Η. έρνκε: ΣF FB F A 1,6 [ ( BN) x],8 [ ( AN) x] 1,6 (BN) 1,6x,8 ( AN),8x, 4x Dx Άξα έρνκε Α.Α.Τ. κε D =,4 N/m. β. Όηαλ ην ιηθό ζεκείν εξλά αό ην ζεκείν Α έρεη ανκάθξλζε x A =,6 m, ελώ όηαλ εξλά αό ηε ζέζε Β έρεη ανκάθξλζε x B =,3 m. Δθαξκόδσ ηελ Α.Γ.Δ. γηα ηηο δύν αηέο ζέζεηο. FΑ Θ.Η. FΒ Ν Β 1 1 E KΑ UΑ E ma Dx Α 1 1 1 1 D ma Dx A mb Dx B Β A (xa x B) 1 1 m E KΒ UΒ E ma Dx Β,4 Β, 5 (,36, 9) 3 96 1 m σ Β = 3 s ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 17

1. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο δλακηθήο ελέξγεηαο ζε ζλάξηεζε κε ηελ ηαρύηεηα ελόο ζώκαηνο ν εθηειεί Α.Α.Τ., δίλεηαη ζην ζρήκα. Τν ζώκα εξλά U(J) αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο ηεο ηαιάλησζεο θνξέο ζε ρξόλν s. Να βξεζνύλ: α. ε αόζηαζε ησλ άθξσλ ηεο ηαιάλησζεο -1 1 (m/s) β. ε κάδα ην ζώκαηνο γ. ε δλακηθή ελέξγεηα ην ζώκαηνο, όηαλ ε ηαρύηεηα ην έρεη κέηξν 1 =,5 m/s. δ. λα γξάςεηε ηελ ρξνλνεμίζσζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηεο ηαιάλησζεο θαη λα ηελ ζρεδηάζεηε γηα ρξόλν κηαο εξηόδν ζεσξώληαο όηη ε αξρηθή θάζε ηεο ηαιάλησζεο είλαη κεδέλ. α. Αό ην δηάγξακκα ξνθύηεη όηη U = J θαη = 1 m/s. Σε θάζε ηαιάλησζε έλα ζώκα εξλά δύν θνξέο αό ηε ζέζε ηζνξξνίαο, νόηε νη ηαιαληώζεηο ν ξαγκαηννηνύληαη ζε ρξόλν s είλαη 1. f N 1 t 1 f = Hz, θαη 1 rad σ f ω =. s Ηζρύεη: 1 σ σα Α A A =,5m Ζ αόζηαζε ησλ άθξσλ είλαη d = A d =,5 d =,1 m. β. Ηζρύεη: 1 U U E DA D D A, 5 N D = 16 m αιιά D 16 σ 4 D mσ m m m = 4kg γ. Αό ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο γηα ηελ ηαιάλησζε έρνκε: 1 1 E K1 U1 U1 E K1 U1 E m1 U1 4, 5 U 1 = 1,5J δ. Ζ θηλεηηθή ελέξγεηα δίλεηαη αό ηε ζρέζε: 1 m ζλ σt Δζλ σt Ζ εξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο είλαη: Κ = ζσν t (S.I.). 1 Τ T = s f 1 1 1 K m m(ζλσt) K(J) 4 3 4 1 t(s) ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 18

11. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ζε ζλάξηεζε κε ην ρξόλν ελόο ζώκαηνο κάδαο m = 4 kg ν εθηειεί Α.Α.Τ., ρσξίο αξρηθή θάζε, δίλεηαη ζην ζρήκα. K (J) 18 α. Να βξεζεί ε κέγηζηε ηηκή ηεο νξκήο θαη ε κέγηζηε ηηκή ην ξζκνύ κεηαβνιήο ηεο νξκήο ην ζώκαηνο, 5 t (s) β. Να βξεζεί ην κήθνο ηεο ηξνρηάο ν δηαλύεη ην ηαιαληνύκελν ζώκα ζε θάζε εαλάιεςε ηεο θίλεζεο ην. γ. Να γίλεη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο δλακηθήο ελέξγεηαο ζε ζλάξηεζε κε ην ρξόλν ζην ίδην δηάγξακκα. δ. Να βξεζεί νηα ρξνληθή ζηηγκή ν ην ζώκα εξλά αό ηε ζέζε x 1 =,15 m γηα ηξίηε θνξά. α. Αό ην δηάγξακκα ξνθύηεη όηη K = 18 J = E θαη T = s 5. Άξα έρνκε 1 K 18 K m m 4 m σ = 3 θαη s rad σ σ σ 1. Δίζεο έρνκε: Τ s 5 D mσ D 4 1 N D = 4 m, είζεο = σα Α =,3 m Ζ κέγηζηε ηηκή ηεο νξκήο είλαη: p = m p = 4 3 p = 1 kg m/s Ο ξζκόο κεηαβνιήο ηεο νξκήο είλαη ε ζληζηακέλε δύλακε dp dt dp ΣF DA 4,3 dt dp dt kg m = 1 s β. Σε θάζε ηαιάλησζε, ην ηαιαληνύκελν ζώκα δηαλύεη αόζηαζε ίζε κε 4 θνξέο ην ιάηνο ην άξα: d = 4A d = 4,3 d = 1, m. γ. Ζ δλακηθή ελέξγεηα δίλεηαη αό ηε ζρέζε: 1 U DA εκ σt U Eεκ σt U = 18ημ 1t (S.I.). Ζ γξαθηθή αξάζηαζε θαίλεηαη ζην δηιαλό ζρήκα. 1 1 U Dx D(Aεκσt) K, U (J) 18 1 3 5 t (s) ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U. 19

δ. Ζ ρξνληθή εμίζσζε ηεο ανκάθξλζεο είλαη: x = Αεκσt x =,3ημ1t (S.I.) Θέηνκε ζηελ αξαάλσ εμίζσζε ηελ ηηκή x 1 =,15 m θαη έρνκε:,15,3εκ1t εκ1t 1t k 1k t (S.I.) 1 6 6t 1k 6 6t 1k 7 1k 7 1t k t (S.I.) 6 6 7 11 19 Οη ηηκέο ν δίλνλ νη αξαάλσ εμηζώζεηο είλαη: t 1 s, t s, t 3 s 6 6 6. 19 Άξα γηα ηξίηε θνξά έρνκε t 3 = s 6. ΓΟΤΚΑΣΕΖ ΒΑΗΛΖ ΦΤΗΚΟ 697 11 71, 6975663 W.U.