Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα

ΘΕΜΑ 701 Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε a b c 1 6a 3b c 1 15a 10b 6c 1 Δείξτε ότι a b c 15. Πότε ισχύει η ισότητα; ΘΕΜΑ 70 Οι διαφορετικοί ανά δύο θετικοί αριθμοί a 1,a,..,a είναι τέτοιοι ώστε 10 1 1 1... 39. a a a 1 10 Δείξτε ότι κάποιος από αυτούς δεν είναι ακέραιος. ΘΕΜΑ 703 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y είναι τέτοιοι ώστε 1 y x xy. Να βρείτε την τιμή της παράστασης xy xy. ΘΕΜΑ 704 Οι θετικοί ακέραιοι k,m,n,q είναι τέτοιοι ώστε Αν οι k,mείναι πρώτοι μεταξύ τους δείξτε ότι οι μεταξύ τους. Βρείτε μια τέτοια τετράδα (k,m,n,q). q (k km) m n 013. n,k km δεν είναι πρώτοι Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 705 Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n) για τα οποία ο αριθμός (m 3n) m n είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 706 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z,t είναι τέτοιοι ώστε 1 {x y z} {y z t} {z t x} {t x y}. Βρείτε τις δυνατές τιμές 4 του {x y z t}. ΘΕΜΑ 707 Βρείτε όλους τους ακεραίους n για τους οποίους οι αριθμοί n 3 και n 3n 3 είναι τέλειοι κύβοι. ΘΕΜΑ 708 Να λυθεί η εξίσωση [x{x[x]}] x. ΘΕΜΑ 709 1 1 1 Δείξτε ότι a b c a b b c c a για κάθε a b c a,b,c (0,1]. ΘΕΜΑ 710 Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (n,p,q) ώστε p q (n ) (n 1). ΘΕΜΑ 711 Βρείτε τους πρώτους p,qώστε q p1 3p q 19. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 71 Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b για τους οποίους ο αριθμός a είναι ρητός. 3 b http://eisatopon.blogspot.gr/013/04/blog-post_4737.html ΘΕΜΑ 713 1 1 1 1 Δείξτε ότι 1, για όλους τους a b b c c d d a θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d με γινόμενο 1. ΘΕΜΑ 714 Ένας τετραψήφιος αριθμός abcd με διαφορετικά ανά δύο ψηφία λέγεται καλός αν ad bc 33. Δείξτε ότι το άθροισμα όλων των καλών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 11. ΘΕΜΑ 715 Αν για τα ψηφία a,b,c,d,x,y,z,tμε 0abc d ισχύει dcba abcd xyzt, να βρείτε τις δυνατές τιμές του S xyzt tzyx. ΘΕΜΑ 716 (ΛΕΩΝΙΔΑΣ) Έστω a 1,a,,a και 100 b 1,b,,b δυο μεταθέσεις των ακεραίων από το 100 1μέχρι το 100. Να δείξετε ότι μεταξύ των γινομένων a 1 b 1,a b,,a 100 b 100 υπάρχουν που έχουν ίδιο υπόλοιπο (mod100). Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 717 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Να αποδείξετε ότι: 007 008 009 010 011 01 013 7 010. ΘΕΜΑ 718 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 4 3 x y x y. ΘΕΜΑ 719 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης a 1 a 1 b 3 b 1. ΘΕΜΑ 70 Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 3 3 19x 17y 50. ΘΕΜΑ 71 Αν a,bακέραιοι τέτοιοι ώστε ελάχιστη τιμή του s. 3 3 s a b 60ab(a b) 01, να βρεθεί η ΘΕΜΑ 7 Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης 4 (x 3y ) x y 4 xy. ΘΕΜΑ 73 Αν a,b,c 0 ώστε 1 1 1 3, να δείξετε ότι a b c 1 1 1 3. a b b c c a Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 6

ΘΕΜΑ 74 Αν a,b,c τέτοιοι ώστε abc 1, τότε R a b c 3. ab 1 bc 1 ca 1 ΘΕΜΑ 75 Δείξτε ότι αν a,b,c 0 με abc 3 τότε, a (b 1) b (c 1) c (a 1). ab a b bc b c ca c a ΘΕΜΑ 76 Έστω οι ακέραιοι a,b,c,dκαι οι αριθμοί 4 4 4 A (a b c) (b c a) (c a b) και B d(d 1)(d )(d 3) 1. Δείξτε ότι ο αριθμός ακέραιος. Μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο; ( A 1) B είναι ΘΕΜΑ 77 Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n ο αριθμός γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. 4 n 5n 11 δε μπορεί να ΘΕΜΑ 78 Αν a,b,c 0 ώστε 4 4 4 a b c 3 να δείξετε ότι 9 9 9 4 6 4 6 6 4 a b c a b c a b c 6 6 6 a b c 6. ΘΕΜΑ 79 Οι διαφορετικοί ανά δύο και μη μηδενικοί αριθμοί x,y,zείναι τέτοιοι ώστε 1 1 1 xy yz zx. Βρείτε τις δυνατές τιμές του xyz. yz zx xy Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 7

ΘΕΜΑ 730 Έστω p,q,rπρώτοι αριθμοί. Να λυθεί η εξίσωση q p p q r. ΘΕΜΑ 731 Δείξτε ότι ανάμεσα σε 05 διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακεραίους, υπάρχουν 79 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 9. ΘΕΜΑ 73 Έστω a,b,c (0,1] και x,y,z 1 ώστε 1 x y z x a y b z c ( ). Δείξτε ότι x y z 6. a b c http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=19&t=5993&start=0 ΘΕΜΑ 733 Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού n ώστε οι αριθμοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους. n 5 1 και 39 ΘΕΜΑ 734 Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (a,b) 9[a,b] 9(a b) 7ab. ΘΕΜΑ 735 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 4 x 1x x y 30 0. ΘΕΜΑ 736 Για τους μη μηδενικούς και ανά δύο διαφορετικούς ακέραιους συντελεστές 3 3 3 a,b,c του πολυωνύμου f(x) x ax bx c ισχύει f(a) a και f(b) b. Να βρεθούν οι a,b,c. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 8

ΘΕΜΑ 737 Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες λύσεις (m,p,q)της εξίσωσης όπου p και q πρώτοι αριθμοί. m 5 p 1 q ΘΕΜΑ 738 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 4 5 1 4y y. ΘΕΜΑ 739 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι nτέτοιοι ώστε η εξίσωση 1 1 1 να έχει x y n μοναδική λύση x,y N. ΘΕΜΑ 740 013 Δίνονται οι αριθμοί A n n 1 και Bn 0 όπου n. Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς n, έτσι ώστε ο Aνα διαιρεί τον B. ΘΕΜΑ 741 Αν x,y,z 0με x y z 3, να αποδείξετε x yz y zx z xy ότι: 3. y zx z xy x yz ΘΕΜΑ 74 Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύει xy yz zx xyz x 1 y 1 z 1 6 να αποδείξετε ότι:. 3 3 3 x y z xyz Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 9

ΘΕΜΑ 743 Αν a,bθετικοί πραγματικοί αριθμοί τότε a a b b a b b a. 3 3 3 3 3 3 3 3 ΘΕΜΑ 744 Να βρείτε όλες τις τιμές της θετικής παραμέτρου pώστε a pb b pa a b (p 1) ab για κάθε a,b 0. ΘΕΜΑ 745 Δείξτε ότι σε κάθε αμβλυγώνιο τρίγωνο ABCμε πλευρές a,b,cισχύει 3 3 3 a cosa b cosb c cosc abc. ΘΕΜΑ 746 Αν A και B είναι μη κενά πεπερασμένα σύνολα πραγματικών αριθμών, συμβολίζουμε A B {a b a A,b B}. Να βρείτε i. Τον μέγιστο ακέραιο r για τον οποίο υπάρχουν A,B N έτσι ώστε A και B έχουν r στοιχεία το καθένα και AB {0,1,,...,01} και ii. Τον ελάχιστο ακέραιο n για τον οποίο υπάρχουν A,B N έτσι ώστε A και B έχουν nστοιχεία το καθένα και AB {0,1,,...,01}. ΘΕΜΑ 747 Ένα υποσύνολο E του συνόλου {1,,3,,50} λέγεται special αν δεν περιέχει υποσύνολο της μορφής {x,3x}. Ένα special σύνολο E λέγεται superspecial αν περιέχει όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 10

Πόσα στοιχεία έχει ένα superspecial σύνολο; Πόσα superspecial σύνολα υπάρχουν; Λύση: Μια σκέψη μόνο. Σ' ένα superspecial σύνολο μπορούν να υπάρξουν όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι του 16 στο σύνολο 34 αριθμοί αφού τα τριπλάσιά τους είναι μεγαλύτερα του 50. Ακόμη, σ' αυτούς τους αριθμούς μπορούν να προστεθούν αριθμοί μικρότεροι του 16 των οποίων το τριπλάσιο είναι μικρότερο του 16, δηλαδή αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 5. Αυτοί θα είναι 4 σε πλήθος αφού 3 1 3. Άρα ένα τέτοιο σύνολο έχει 38 στοιχεία. Για τον αριθμό των συνόλων έχω κάνει μια σκέψη αλλά είναι πολύ εκτενής και θα περιμένω καλύτερα να δω κάποια άλλη απάντηση αν δημοσιευτεί. ΘΕΜΑ 748 Να βρεθούν όλα τα x,y,z (kleovoulos) 3 Z που ικανοποιούν το σύστημα εξισώσεων: x+y+z=9 x +y +z =35 3 3 3 x +y +z =153 4 4 4 x +y +z =707 5 5 5 x +y +z =3369. ΘΕΜΑ 749 Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης A 1 3 4 5 6 7 8 9 10... 010 διαδοχικά πρόσημα διαδέχονται από δύο., όπου τρία ΘΕΜΑ 750 Έστω a b c 0. Να αποδειχθεί ότι 1 1 1 (a b c)( ) 1. a b c Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 11

ΘΕΜΑ 751 Να λυθεί στο 3 R η εξίσωση 4 4 4 4xyz x y z 1. ΘΕΜΑ 75 Έστω a,b,c,d θετικοί πραγματικοί αριθμοί με cd 1. Δείξτε ότι υπάρχει ακέραιος n ώστε ab n (a c)(b d). ΘΕΜΑ 753 Να δείξετε ότι για τους θετικούς αριθμούς a i,b i,c i, i 1,,3, ισχύει (a b c 1)(a b c 1)(a b c 1) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 (a 1 b 1 c 1 )(a b c )(a 3 b 3 c 3 ). 4 ΘΕΜΑ 754 Έστω x 1,x,,x μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 1. n Έστω ακόμη F x x x (x x x x x x ). Βρείτε τα n 1 n 1 3 n 1 α) minf ; 3 β) minf ; 4 γ) minf. 5 ΘΕΜΑ 755 Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c με a b c 1 ισχύει 3 3 3 a b c 3 b c c a a b 1 3. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1

ΘΕΜΑ 756 Έστω n 3 ένας ακέραιος και a 1,a,...,a θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι n ώστε a 1... an 1. Δείξτε ότι a a a a 1. a a a a a a a a a a a a 3 3 3 3 1 n1 n... 1 3 3 4 n1 n 1 n 1 ΘΕΜΑ 757 α) Βρείτε όλους τους πρώτους p,q,rτέτοιους ώστε 3 pq r και οι αριθμοί pq r και pq qr rp 3 να είναι τέλεια τετράγωνα. β) Υπάρχουν πρώτοι p,q,rτέτοιοι ώστε 3 p q r και οι αριθμοί pq r και pq qr rp 3 να είναι τέλεια τετράγωνα; ΘΕΜΑ 758 Έστωp,r πρώτοι και qφυσικός. Να λυθεί η εξίσωση (p q r) p q r. ΘΕΜΑ 759 Βρείτε όλους τους πρώτους p,q ώστε ΘΕΜΑ 760 (p q) (q p) p (q1). Βρείτε όλες τις τριάδες διαδοχικών πρώτων τέτοιες ώστε το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι επίσης πρώτος. ΘΕΜΑ 761 Βρείτε όλα τα a,bn ώστε a b a b a και b a ab b. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 13

ΘΕΜΑ 76 Οι ακέραιοι αριθμοί a,bείναι τέτοιοι ώστε ότι ο a είναι τετράγωνο ακεραίου. a a b 8b ab 16. Δείξτε ΘΕΜΑ 763 Έστω η ακολουθία 1,4,6,38,40,5,... (α) Περιέχει τον αριθμό 01 ; (β) Δείξτε ότι δεν περιέχει τέλεια τετράγωνα. ΘΕΜΑ 764 α) Να βρείτε τους πρώτους p,q,r αν β) Να βρείτε τους πρώτους p,q αν γ) Να βρείτε τους πρώτους p,q,r αν p qr 36100. pq p q 1. 3 p q r. δ) Να βρείτε τους πρώτους p,q αν οι αριθμοί pq p q,pq p q,pq p q,pq p q είναι επίσης πρώτοι. ε) Να βρείτε τους πρώτους p,q,r αν 3 3 3 p q r 36r. στ) Να βρείτε τους πρώτους p ώστε p p 43 7 6 1. ζ) Να βρείτε το μεγαλύτερο τριψήφιο πρώτο pγια τον οποίο η εξίσωση (1 x xy) y p έχει ακέραια ρίζα. η) Να βρείτε τους πρώτους p,q,rαν θ) Να βρείτε τους πρώτους p,qαν ι) Να βρείτε τους πρώτους p,qαν (p 011)(q 011) r 011. 3 (p q)(p q) (3p 5q). 3 (p q)(p q) (5p 7q). Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 14

ια) Να βρείτε τους πρώτους p,q αν ιβ) Να βρείτε τους πρώτους p αν οι αριθμοί 5 (3q p) (p 3q). p,3p,5p 4,7p 6,9p 8,11p 10,6p 11 είναι επίσης πρώτοι. ιγ) Να βρείτε τους πρώτους p,q,rαν p q r, q r p, r p 3q. ΘΕΜΑ 765 Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c 0 με abc 1 να δείξετε ότι 1 1 1 1 ( a b c ) 3. 1 a 1 b 1 c ΘΕΜΑ 766 Έστω ABCD κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1. Δείξτε ότι 0 (AB BC CD AD) (AC BD) 4. ΘΕΜΑ 767 Σε κάθε τρίγωνο ισχύει εμβαδόν του. (4a 3b) 96P, όπου a,b,c οι πλευρές και P το Ποιοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του όταν έχουμε ισότητα; ΘΕΜΑ 768 Να δείξετε ότι sinx cosx tanx cotx για κάθε x0,. ΘΕΜΑ 769 Οι θετικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε 1 1 1 1. a bc b ca c ab 3 3 3 a b c 3. Δείξτε ότι Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 15

ΘΕΜΑ 770 Να δείξετε ότι ΘΕΜΑ 771 a b 1 a 1 b b a, για κάθε a 0,0 b 1. Δείξτε ότι για κάθε x,y R ισχύει Γενικεύστε. Είναι 5 5 5 5 (x y ) (xy) (x y ). Λύση: 5 10 8 6 4 4 6 8 10 (x y ) x 5x y 10x y 10x y 5x y y και 5 5 10 5 5 10 (x y ) x x y y οπότε αρκεί να είναι 8 6 4 4 6 8 5 5 x y x y x y x y 6x y. Αυτό προκύπτει από την ΑΜ ΓΜ γράφοντας Γενίκευση: n n n n (x y ) (xy) (x y ), n N. Απόδειξη όπως παραπάνω. 6 4 6 4 6 4 x y x y x y... κτλ. ΘΕΜΑ 77 Οι θετικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε abc abc. Δείξτε ότι a b c. b 1 c 1 a 1 Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 16

ΘΕΜΑ 773 Οι αριθμοί a,b,c 1 είναι τέτοιοι ώστε a b c 3. b c 1 c a 1 a b 1 a b c 3. Να δείξετε ότι ΘΕΜΑ 774 Δείξτε ότι για τους μη αρνητικούς αριθμούς x,y ισχύει (x y) (x 7y ) 64x y. ΘΕΜΑ 775 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Πάνω στην πλευρά Oy, γωνίας xoy 45 o, παίρνουμε ένα τυχαίο τμήμα AB. Αν C,D είναι οι προβολές των A,B επί την Ox και αν η μεσοκάθετος της AB τέμνει την Ox στο K, να αποδείξετε ότι (ABK) (ABDC). ΘΕΜΑ 776 (Socratis Lyras) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a 1,a,...,a n,n 3 για τους οποίους ισχύουν : n i1 a i n n i1 a n i Να αποδείξετε ότι maxa 1,a,...,an. ΘΕΜΑ 777 Αν οι ακέραιοι m,s είναι τέτοιοι ώστε mx sy 3 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 001 ms 000, τότε η εξίσωση Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 17

ΘΕΜΑ 778 (Socratis Lyras) Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση στους ακεραίους : 3 x 7 y. ΘΕΜΑ 779 (Αργύρης Καρανικολάου) Δείξτε για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d ότι 1 1 4 16 64. a b c d a b c d ΘΕΜΑ 780 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) x y z w 4 Να λυθεί το σύστημα: xy zw. xz yw ΘΕΜΑ 781 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους m και κάθετες πλευρές με μήκη b,c. Nα αποδείξετε ότι: b mc c mb. 4 4 3m ΘΕΜΑ 78 Υπάρχουν ακέραιοι a,b,c τέτοιοι ώστε οι αριθμοί να είναι τέλεια τετράγωνα; a bc, ab c, abc ΘΕΜΑ 783 Να βρεθούν οι x N, y Q ώστε x y 3 y 1. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 18

ΘΕΜΑ 784 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Αν x και * n N, να αποδείξετε ότι: n n n (x ) ( x) 4. ΘΕΜΑ 785 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ) Αναλύστε σε γινόμενο τεσσάρων παραγόντων η παράσταση: 3 3 3 3 3 3 b c b c c a c a a b a b. ΘΕΜΑ 786 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Αν a,b,c είναι πλευρές τριγώνου και αν b c bc ca ab 0, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό, δεν μπορεί να είναι οξυγώνιο. ΘΕΜΑ 787 Υπάρχουν πρώτοι p1 p... p ώστε οι αριθμοί 99 p1 p,p p 3,...,p 98 p 99,p99 p να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων; 1 ΘΕΜΑ 788 Αν a,b,c 0, να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 789 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) a b c. b c a c a b (Cretanman) Αν a,b,c μη μηδενικοί πραγματικοί να βρείτε τις λύσεις του συστήματος των 1 1 1 εξισώσεων: a b c. b c a Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 19

ΘΕΜΑ 790 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Ο αριθμός 53abc είναι πολλαπλάσιο του 7, του 8 και του 9. Βρείτε τα ψηφία a,b,c. ΘΕΜΑ 791 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Δείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι a,bπου να ικανοποιούν την εξίσωση: a 5ab b 3b 7. ΘΕΜΑ 79 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ) Να βρεθούν οι πρώτοι αριθμοί x,y,z, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι: 1 1 1 1. x y z ΘΕΜΑ 793 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Να λυθεί το σύστημα x!y! 6! y!z! 7!. z!x! 10! ΘΕΜΑ 794 Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς a 1,a,a 3,...,a αν ισχύουν 011 a1 a... a011 011 και a1 a a a 3... a 011 a 1. ΘΕΜΑ 795 Να δείξετε ότι x y z x y z, xy yz yz zx zx xy x y z xyz για κάθε 0 x,y,z 1. Πότε ισχύει η ισότητα; Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 0

ΘΕΜΑ 796 Βρείτε τους πρώτους q 1,q,...,q ώστε 6 q q... q. 1 6 ΘΕΜΑ 797 Πόσοι το πολύ διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή όπου x,yακέραιοι; x y, 3 ΘΕΜΑ 798 Θεωρούμε το σύστημα: x 1(x x3 x4 x 5) 1 x (x x x x ) 1 1 3 4 5 x 3(x1 x x4 x 5) 1. x 4(x1 x x3 x 5) 1 x 5(x1 x x3 x 4) 1 Ποιες οι δυνατές τιμές του x ; 1 ΘΕΜΑ 799 Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y) ώστε (xy 1) (x y). ΘΕΜΑ 800 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ) Να γραφεί ο αριθμός 17 7 17 17 ως άθροισμα δύο τετραγώνων. Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα